例谈微元法在高中物理中的应用

例4 如 图 6 所 示,质 量 为 m 的 小 物
块以恒定速率v 沿半径为R 的竖直圆轨道 运动,已知小 物 块 与 竖 直 圆 轨 道 间 的 摩 擦
因数为μ,试 求 小 物 块 从 轨 道 最 低 点 运 动
到 最 高 点 的 过 程 中 ,克 服 摩 擦 力 做 的 功 。
解析:如图7建立坐标 系,将 圆 轨 道 分
理量,如平均功率和瞬时功率、平均感应电 动 势 和 瞬 时 感 应 电
动势等。
二 、微 元 法 在 静 力 学 中 的 应 用
例2 如图 3,静 止 的 圆 锥 竖 直 放 置,
顶角为α。质量为 m 且分布均匀的软绳水
平 套 在 圆 锥 体 上,忽 略 软 绳 与 圆 锥 体 之 间
的 摩 擦 力 ,试 求 软 绳 中 的 张 力 。
可 得v2=gt2-kmH 。
则
小
球
上
升
和
下
降
总
时
间t=t1
+t2
=v1+v2 g
。
四 、运 用 微 元 法 求 变 力 做 功
求変力做功还可 以 用 微 元 法,把 整 个 过 程 分 成 极 短 的 很
多段,在极短的每一 段 里,力 可 以 看 成 是 恒 力,则 可 用 功 的 公
式 求 每 一 段 元 功 ,再 求 每 一 小 段 上 做 的 元 功 的 代 数 和 。
-B2RL2v=ma。
五 、利 用 微 元 法 解 决 流 体 问 题
例5 水力采煤时,用水 枪 在 高 压 下 喷 出 强 力 的 水 柱,打 在 煤 层 上 ,若 水 枪 出 水 口 的 横 截 面 积 为 S,出 水 口 水 速 为v,水 流射到煤层上,速 率 减 为 零,水 的 密 度 为ρ,求 水 对 煤 层 的 冲 击力。
零)内 向 左 行 驶 Δx 距 离,滑 轮 右侧 的 绳 长 缩 短 ΔL。 如 图 2 所
示,当绳与 水 平 方 向 的 角 度 变 化 很
图1
小时,△ABC 可近似看 做 是 一 直 角
三角形,因而有 ΔL=Δxcosθ,两边
同除
以
Δt
得 :ΔL Δt
=ΔΔxtcosθ。
即 收 绳 速 率v0 =vAcosθ,因 此
船的速率为:vA =covs0θ。
图2
本题中所求物体 在 该 位 置 的 速 率 为 瞬 时 速 度,从 该 时 刻
起取一小段时间来求 它 的 平 均 速 度,当 这 一 小 段 时 间 趋 于 零
时,该平均速度就为 所 求 的 瞬 时 速 度。 通 过 微 元 法 可 以 很 好
地理解如何利用平均值去求瞬时值。在物理中还有类似的物
同,故摩擦力也不同,用 常 规 方 法 无 法 求 解,本 题 利 用 微 元 法 电量?
和对称的特点,巧妙 地 求 出 了 摩 擦 变 力 所 做 的 功。 利 用 微 元
解 :设 某 时 刻 棒 的 速 度 为 v,加 速 度 为 a,则 有 :
法求解变力功的题目还有好多,关键是要 选 好 位 移 元,在 这 段 位 移 内 ,力 可 视 为 恒 力 ,按 照 恒 力 求 元 功 后 ,再 求 和 。
一
小
段
可
视
为
点
电荷
,其
带
电
量
为q=
Q n
,这
就
把
非
理
想
化模型转 化 为 理 想 模 型。带 点 微 元 在 P 点 的 场 强 为E=
kQ nr2
=n(Rk2Q+l2)。
根据对称性,各带点微元在 P 点 的 场 强 垂 直 于 轴 向 的 分
-BLq=-m(0-v0),q=mBvL0 。 本题中计算电荷 量 时,也 可 以 从 动 量 定 理 的 角 度 列 方 程
值。利用微元法和动量定理可以很好地解决流体问题。
设某时刻电路中电流为I,取一极短时间 Δt,则这 段 时 间 通过导体的电荷量 Δq=IΔt。
而 -BIL=ma=mΔΔtv,-BLIΔt=mΔv。
六 、微 元 法 在 电 场 中 的 应 用
∑ -BLIΔt= ∑mΔv,-BL∑Δq=m ∑Δv。
例6 如图8 所 示,均 匀 带 电 圆
2014 年 第 4 期
例谈微元法在高中物理中的应用
■吴振民
微元思想是一种 重 要 的 物 理 思 想,微 元 法 就 是 利 用 微 元
的思想去是分析、解决物理问题中的一种 思 维 方 法,它 包 含 了
化曲为直和极限的思想。微元法与数学中的微积分知识相对
应,在教材中、高考题 中 和 大 学 自 主 招 生 试 题 中 多 有 涉 及,但
受重力 Δmg、支 持 力 N 和 张 力 的 合 力 F 而 处 于 平 衡 状 态 ,由 几 何 知 识 可 得 :
图4
F=
Δmg α
。
tan 2
( ) 而 Δm=m
Δl 2πr
=m2πθ。
联立可得软绳的张力 T =
F 2
=2πtMangα2
。
图5
解决静力学问题 时,若 各 处 受 力 不 相 同 时 可 取 一 微 元 对
图6
为上下两个半圆周。每半 个 圆 周 均 匀 细 分 成 n(n→ +∞ )等
份,在每段长πR 的 圆 弧 上 运 动 时,可 认 为 轨 道 对 物 块 的 支 持 n
力 Ni 不变、因而小车所受的摩擦力fi 不变。
当物块运动到如图所示的 A 处圆弧时,有:
NiA
-mgsinθ=m
v2 R
。
( ) 则fiA =μ
象 来 分 析 研 究 ,再 借 助 一 定 的 近 似 条 件 求 解 。
三 、微 元 法 在 动 力 学 中 的 应 用
例3 从地面上以速度v1 竖直上抛一质量 为 m 的 小 球, 已知小球所受空气阻 力 和 小 球 速 率 成 正 比,小 球 落 回 抛 出 点
时 速 率 为 v2 ,求 小 球 在 空 中 的 运 动 时 间 。 (重 力 加 速 度 为 g)
一 、利 用 微 元 法 求 瞬 时 速 度
例1 如图1 所 示,人 用 绳
子通 过 定 滑 轮 以 不 变 的 速 度v0 拉 水 平 面 上 的 物 体 A,当 绳 与
水平 方 向 成θ 角 时,求 物 体 A 的速度。
解 析:设 物 体 在 θ 角 位 置
经极 短 的 时 间 Δt(Δt 趋 近 于
解析:取 软 绳 中 Δl(Δl 趋 近 于 零 )长 为微元段,对应质量元为 Δm。
可以作出俯视受力图,如图4所 示,设 质量元 Δm 两 端 所 受 张 力 为 T,其 合 力 为 F。因为 它 所 对 的 圆 心 角 θ 很 小,所 以 有
图3
sinθ≈θ,即 F=2Tsinθ2 =Tθ。
再 作 出 正 视 受 力 图 ,如 图 5 所 示 ,质 量 元
求解。
通过以上题目我们总结出应用微元法解题的主要三个步
骤:一找微元;二列方程;三累积求和。 确 定 好 微 元 后,依 据 牛
顿 定 律、动 量 定 理、动 能 定 理 等 列 微 元 方 程,最 后 累 积 求 和。
在这里要特别注意累 积 求 和 的 物 理 意 义,如 时 间 元 求 和 是 总
由此,物块关于水 平 直 径 对 称 的 轨 道 两 元 段 上 摩 擦 力 元
例7 如图 9,水 平 放 置 的 导 体
功
之
和
为
Wi
=2μm
v2 R
·πR n
。
于是可知,小车沿 半 圆 周 从 轨 道 最 低 点 运 动 到 最 高 点 的
过 程 中 ,摩 擦 力 做 的 总 功 为 :
电 阻 为 R,R 与 两 根 光 滑 的 平 行 金 属导轨相连,导 轨 间 距 为 L,其 间 有 垂 直 导 轨 平 面 的、磁 感 应 强 度 为 B 的匀 强 磁 场。导 轨 上 有 一 导 体 棒
在解题时通常不用微积分公式求解。微元法在应用于物理解
题时,主要有两个方面 的 用 途:一 是 选 取 “微 元 ”,将 瞬 时 变 化
问题转化为平均变化问题;二是选取微元,通 过 相 应 的 物 理 量
关 系 ,进 行 求 和 ,从 而 求 得 待 求 量 。
下面通过一些例题来说明用微元法的解题思路。
∑
B2L2vΔt -R =
∑mΔv。
-
B2L2∑vΔt R
=
m
∑
Δv。 -
B2L2x R
=
-
mv0。
x=mBv2L0R2 。
则有上述两式解得 F=ρSv2。 由 牛 顿 第 三 定 律 知 ,水 对 煤 层 的 冲 击 力 大 小 也 为ρSv2 。 本题中,Δm 成 为 质 量 元,当 Δt 趋 近 于 零 时,F 为 瞬 时
v2 m R +mgsinθ
。
学 科 学 ,探 奥 秘 ,开 阔 知 识 视 野 ;品 英 华 ,添 食 粮 ,托 起 梦 想 翅 膀 。
——— 风 铃 姐 姐
2014 年 第 4 期
( ) WiA
=
μ
m
v2 R
+mgsinθ
量Ey 互相抵消,轴 向 分 量 Ex 之 和 即 为 带 电 环 在 P 点 的 场 强 ,即 :
பைடு நூலகம்
·πR 。 n
当物块 运 动 到 如 图 所 示 的 与
A 关于x 轴对称的B 处圆弧 时 ,有 :
NiB
+mgsinθ=m
v2 R
。
( ) 则fiB =μ
v2 m R -mgsinθ
。
( ) WiB =μ
v2 m R -mgsinθ
·πR 。 n
图7
Ex =Ecosθ=n(Rk2Q+l2)cosθ=n(Rk2Q+l2)·
解析:取一段极端时间 Δt 内射到煤层上的 水 Δm 为 研 究 对象,则 Δm=ρvΔt。
这 部 分 水 受 到 煤 层 大 小 为 F 的 作 用 力 后,速 度 减 为 零, 由 动 量 定 理 知 -FΔt=0-Δmv。
设经过一段极端的时间 Δt,a=ΔΔvt。
则 -B2LR2vΔt=mΔv。
n
W
2
= ∑Wi i=1
=
n 2
·2πμmv2 n
=πμmv2
。
ab,质量为 m,以 初 速 度 v0 向 右 运 动。求:(1)导体 棒 在 整 个 运 动 过 程
图9
4
本题 中,由 于 小 车 在 不 同 位 置,速 度 不 同,对 轨 道 压 力 不 中的位移x? (2)导 体 棒 整 个 运 动 过 程 中 通 过 闭 合 回 路 的
时间,长度元求和是 总 长 度,面 积 元 求 和 是 总 面 积,质 量 元 求
和是总质量等。还有就是加速度在时间上的累积是速度的变
化量,速度在时间上的累积是位移,电流 在 时 间 上 的 累 积 是 电
荷 量 ,力 在 位 移 上 的 累 积 是 功 ,力 在 时 间 上 的 累 积 是 冲 量 。
环 带 电 荷 量 为 Q ,半 径 为 R,圆 心 为 O, P 为垂直于圆环平 面的 对 称 轴 上 的 一
图8
点,OP=l,试求 P 点的场强。 解析:这是一个连续分布的非点电荷 电 场 问 题,同 学 们 没
学微积分知 识,求 解 困 难。 若 将 圆 环 分 成n(n→ +∞)小 段,
则每
l R2 +l2
=n(Rk2Q+ll2)3 2 。
所以
EP
=nEx
=
kQl (R2 +l2 )3 2
。
微元法除了求场 强 外,在 电 场 中 电 容 器 充 放 电 时 的 电 荷
量,点电荷电场中求解静电力的功、电势 等 相 关 计 算 在 某 些 情
况下也可用到微元法。
七 、微 元 法 在 电 磁 感 应 中 的 应 用
3 解析:设小球在 上 升 阶 段,某 时 刻 速 率 为 v,由 牛 顿 第 二
定律得 mg+kv=ma,a=g+kmv。
取一段时间微元 Δt,则a=ΔΔvt。
( ) Δv=aΔt= g+kmv Δt。两边求和有:
( ) ∑Δv=∑ g+kmv Δt=g∑Δt+mk ∑Δh。
v1=gt1+kmH 。 其中,t1 为小球上升时间,H 为小球上升高度。 同理,设t2 为小球下降时间,H 为小球下降高度。
利用微元法及其 思 想 能 解 决 的 问 题 还 有 很 多,希 望 大 家
能好好掌握这种物理 方 法 和 思 想 本 质 上 的 东 西,从 而 有 助 于
物理能力的提升。
作 者 单 位 :河 南 省 实 验 中 学
近日,中山大学医学院某课题组研究发现了一种天然病毒 M1,它能选 择 性 地 感 染 并 杀 伤 包 括 肝 癌、结 直 肠 癌、膀 胱 癌 、黑 色 素 瘤 在 内 的 多 种 体 外 培 养 的 癌 细 胞 ,而 对 正 常 细 胞 无 毒 副 作 用 。