截面应力的计算

轴径较小，所以需分别计算各段轴横截面上的最大切应力。
AB段：
max

T1 WP1

22106 MPa 64.8MPa π 1203
BC段：
16

max

T2 WP2

14106 MPa 71.3MPa π 1003
16
比较上述结果，该轴最大切应力位于BC段内任一截面的 边缘各点处，即该轴最大切应力为τmax=71.3MPa。
.
1
模块四：截面应力计算
【任务1】：轴心拉压的应力与应变 【任务2】：圆轴扭转横截面上的应力与应变 【任务3】：平面弯曲正应力计算 【任务4】：平面弯曲剪应力计算 【任务5】：组合变形应力计算 【任务6】：平面应力状态应力计算
模块四;截面应力的计算
学 （1）了解全应力、正应力、切应力的概念及单位；
0
32
O
对于空心圆轴：
IP
D4
32
d 4
32
D4
32
1 4
D
d
D
三、最大切应力：
横截面上边缘点的切应力最大，其值为
令
WP

IP R

max

T W

max

TR IP
式中WP只与截面的几何尺寸和形状有关，称为抗扭截面系数， 单位为mm3或m3。
完成任务：图示的阶梯圆轴。AB段直径d1=120mm，
可知：横截面上只有正应力σ，
且大小相等。
FP
s FN
FN
sdA s A
A
当轴力为拉力时，正应力为拉应力，取正号； 当轴力为压力时，正应力为压应力，取负号。
s 轴心拉压应力公式：
FN
A
轴心拉压应变公式：
DL FNL EA


DL
s

L
E
完成任务：图示支架，AB杆为圆截面杆，
A
d
L1=4m,d=30mm, BC杆为正方形截面杆，其边长
变形规律试验：
FP
FP’
观察发现：当杆受到轴向拉力作用后，所有的纵向线 都伸长了，而且伸长量都相等，并且仍然都与轴线平行； 所有的横向线仍然保持与纵向线垂直，而且仍为直线，只 是它们之间的相对距离增大了。
两个假设：平面假设：横截面只沿杆轴线平行移动。
纤维假设：横截面之间所有纵向 纤维的伸 长量相等
Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。
3）尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆
，只是Ip值不同。
剪应力的计算公式：
1、横截面上任意一点剪应力计算：


Mn
Ip
2、最大剪应力计算
IP—截面对形心的极惯性矩 是一个几何量，与截面形状及 尺寸有关，单位m4 mm4
当 R 时，表示圆截面边缘处的剪应力最大
A
d
300
B
C
a
F
一、应力的概念
10KN A=10mm2
10KN
10KN 受力杆件某截面上一点的内力分布疏密 程度，内力集度.
10KN
A=100mm2
哪个杆先破坏?
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布， 集度的定义不仅准确而且重要，因为“ 破坏” 或“失效”往往从内力集度最大处开始。
应力就是单位面积上的力?
BC段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN•m， MeB=36kN•m，MeC=14kN•m。试求该轴的最大切应力。
解（1）作扭矩图 用截面法求得AB段、 BC段的扭矩分别为
T1=MeA=22kN•m T2=－MeC=－14kN•m 作出该轴的扭矩图如图示。
(2) 计算最大切应力
由扭矩图可知，AB段的扭矩较BC段的扭矩大，但因BC段
（8）掌握斜弯曲、拉(压)弯杆、偏心压缩 杆的正应力、截面核心 ；
（9）理解平面应力状态分析的解析法、图解法。
学 习
（1）具有轴向拉抻和压缩构件的应力变形的计算能力； （2）会计算简单图形的惯性矩、极惯性矩、惯性积、惯性半径，
能用平行移轴公式 计算组合图形的形心主惯性矩。
目 （3）熟练掌握梁横截面上的正应力计算公式。
知识目标：掌握轴心拉压的应力、应变、变形及胡克定律 及低碳钢拉伸性能。 能力目标：能求解轴心拉压杆的应力和应变
任务引领：图示支架，AB杆为圆截面杆，L1=4m,d=30mm, BC杆为正方形截 面杆，其边长a=60mm，F=10KN，弹性模量E=200Mpa。试求AB杆和BC杆横截面 上的正应力和伸缩量。
WP
D3
16
判断下图扭转切应力的分布
对的是哪些?
错的是哪些?
（实心截面）
（空心截面）
工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量 轻， 结构轻便，应用广泛。
二、极惯性矩和抗扭截面系数
1. 极惯性矩
I P
2dA
A
dA 2d
IP
D 2
2 2d

D 4
a=60mm，F=10KN，弹性模量E=200Mpa。试求AB杆
300
B
和BC杆横截面上的正应力和伸缩量。
C
a
F
解： 1、以B点为研究对象
FN AB sin 300 F 0 FN AB 20KN
FNBC
FN BACOS 30 0 FN BC 0 FN BC 17.3KN
max

Mn Ip

Mn Wp
R
WP—抗扭截面系数，几何量 单位m3 mm3
圆截面的极惯性矩和抗扭截面系数
空 心 圆 轴
极惯 性矩
抗扭截 面系数
实
心
o
圆
o
d
轴
D
D
IIp

DD44
3322
((114
)4
)
=d/D=0
Ip
D4
32
WP
D 3 ( 1 4)
16


d
dx
此式表明距圆心为 任一点处的与到圆心
的距离成正比。
2. 物理关系
´


胡克定律：
G
´
代入上式得：


G

G
d
dx


G
d
dx



G
d
dx
3. 静力学关系
T

A
dA



A
G 2
d
dx
dA
dA

O

G
d
dx
A

2dA
令I p A 2dA
T

GI p
d
dx
代入物理关系式



G
d
dx
d T
dx GI p


T
Ip
横截面上距圆心为 处任一点切应力计算公式。
讨论：


T
Ip
1）仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截 面直杆。
2）式中：T—横截面上的扭矩。
—该点到圆心的距离。
形等
它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称 为纵向对称平面 。
s b — 强度极限
4、局部径缩阶段ef
0
两个塑性指标:
断后伸长率伸长率 l1 l0 100 %断面收缩率 A0 A1 100 %
l0
A0
5% 为塑性材料 5% 为脆性材料
低碳钢的 20 —30% 60% 为塑性材料
3、卸载定律及冷作硬化
2
s
s bt
、
o
脆
性
材 料
s bc
（
铸
铁
）
的
压
缩
脆性材料的抗拉与抗压性质 不完全相同
压缩时的强度极限远大于拉 伸时的强度极限
s bc s bt
低碳钢压缩, 愈压愈扁
铸铁压缩, 约45开裂
建筑专业用的混凝土，压缩时的应力–应变 图，如图示。
混凝土的抗压强度要比抗拉强度大10倍左右。
标：（4）能联系工程实例进行组合变形的应力计算及确定截面应力分布。
重点：轴心拉压应力、应变计算；平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算。
弯曲正应力分布规律及计算公式；偏心压缩杆的正应力。。
难点：剪切胡克定律；惯性半径；弯曲剪应力的分布规律及计算公式；平面应力
状态分析的解析法、图解法。
【任务1】：轴心拉压
应力和变形公式
（1）各圆周线均绕轴线作相对转动，且各圆周线的形 状、大小及它们相互之间的距离都没有变化。
（2）各纵向线都倾斜了相同的角度，原来的矩形格变 成了平行四边形，但各边的长度没有改变（在小变形情况 下），只是夹角发生了改变。
Me
Me
对圆轴内部的变形可作如下假设：扭转变形前原为平面 的横截面，变形后仍保持平面，且其形状、大小都不改变， 只是绕轴线相对转过一个角度，两相邻横截面之间的距离 也保持不变，这一假设称为圆轴扭转的平面假设。
一、 弯曲和平面弯曲
1. 弯曲: 受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力或在杆轴线所在平面内作用
的外力偶的作用。
变形特点 ：杆轴线由直变弯。
M
FP
q
以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
2、单跨静定梁的几种形式
M FP
q
F
P
M
FP
悬臂梁
外伸梁
3. 平面弯曲 工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、T形、十字形、槽
F1

P
DF
σ
ΔA
wk.baidu.com
P DF DA
DF dF
F2
p lim DA0 DA dA
（总应力）
σ—垂直于截面的应 力称为“ 正应力”
—位于截面内的应
力称为“ 切应力”
应力的国际单位为N/m2 （帕斯卡）
1N/m2=1Pa 1MPa=106Pa＝1N/mm2 1GPa=109Pa
二、拉（压）杆横截面上的应力与应变
材料，用名义屈服极限σ0.2来表示。 0.2%
四、 材料压缩时的力学性质
试 件 和 实 验 条 件
常 温 、 静 载
§2-5
1
、
塑 性
1 2 压 缩试 验 . s w f
材
料
（
低
碳
钢
）
的
压 缩
sp —
比例极限
se —
弹性极限
拉伸与压缩在屈服 阶段以前完全相同。
s S — 屈服极限 E --- 弹性摸量
根据圆轴扭转的平面假设和切应力互等定理、剪切胡 克定律可知：实心圆轴横截面上各点处，只产生垂直于
半径的切应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩
方向一致。
1. 几何变形方面
等直圆杆扭转实验观察：
dx O
dφ
a γp
cγ
d
d’
G
G’



d
dx
d
dx


tan

GG' aG
2、求应力
FNBA F=10
s AB

FN AB AAB

20 10 3
30 2
28.3MPa
4
s BC

17 .3 10 3 60 2
4.8MPa
3、求变形量
DLBA

FNBAL1 EA1

20 10 3 4 10 3 200 10 3 3.14 30 2
4
e
s
d
sb
b
se sP
a c ss
即材料在卸载过程中 应力和应变是线形关系，
f 这就是卸载定律。
材料的比例极限增高， 延伸率降低，称之为冷作硬 化或加工硬化。
d g
o
f h

1、弹性范围内卸载、再加载 2、过弹性范围卸载、再加载
2
、
其
它
材
料
拉
伸
时 的
s 0.2
力
学
性
质
对于没有明显屈服阶段的塑性
矩形截面 l k A k=11.3 k= 5.6
1. 拉伸图和应力——应变图
试验机的自动绘图设备，可在试件拉伸过程
中，自动绘出试件所受应力 s =P/A与标距 段相
应的伸长量 △ l/L 的关系曲线。通常称它为拉伸 图。下图为低碳钢的拉伸图。
2、低碳钢拉伸时的力学性能
变形发展的四个阶段:ob;bc;cd;de 10拉伸试验.swf
【任务2】圆轴扭转横截面上的应力应变
任务引领：图示的阶梯圆轴。AB段直径d1=120mm，BC 段直径d2=100mm，外力偶矩MeA=22kN•m，MeB=36kN•m ，MeC=14kN•m。试求该轴的最大切应力。
一、圆轴扭转时横截面上应力分布公式推导方法为：
物理关系
静力学关系
观察变形
应力分布规律
0.566 mm
DLBC
L2
sL2
E

4.8 2 3 10 3 200 10 3
0.083 mm
三、低碳钢拉伸性能
材料的力学性能：（与材料自身性质，加载方式，温度 条件有关）—是材料在受力过程中表现出的各种物理性 质。
在常温、静载条件下，塑性材料和脆性材料在拉伸和压缩时 的力学性能。 拉伸标准试件： 圆截面 l=10d l=5d
s
bc a
sb ss
ses p
de
O
o1 f e g
10拉伸试验.swf
e
s
sb
b
se sP
a c ss

o
明显的四个阶段
1、弹性阶段ob s E
s P — 比例极限
f
s e — 弹性极限
E s tan
2、屈服阶段bc（失去抵
抗变形的能力）
s s — 屈服极限
3、强化阶段ce（恢复抵抗 变形的能力）
习
（2）掌握轴心拉压的应力、应变、变形及胡克定律； （3）掌握轴向拉 伸 压缩时材料的力学性能、工作许用应力；
内 （4）理解扭转圆轴横截面上应力分布规律，掌握切应力的计算；
容：（5）平行移轴公式及常见组合截面的惯性矩计算；
（6）掌握弯曲正应力分布规律及计算公式；
（7）掌握弯曲剪应力的分布规律及计算公式；
【任务3】平面弯曲的正应力
任务引领：一外伸T型钢梁，梁上荷载如图所示。已知 L1=6m ; L2=2m F=20kN，q=10kN／m，截面尺寸如图所 示，试求梁最大正应力。
学习目标：1、平面弯曲；
2、s

Mz y I
3、 s max

M yy max IZ
4、Iz组 （Izci ai2 Ai）