§3.2 函数极限的性质

§2 函数极限的性质

【教学目的】掌握函数极限的基本性质――唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性、

迫敛性以及四则运算性等，并能应用相关性质解决函数的极限问题。

【教学重点】函数极限的性质及其计算。

【教学难点】函数极限性质证明及其应用。

在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限:

1) +∞→x lim f ( x ) 2) -∞→x lim f ( x ) 3) ∞

→x lim f ( x ) 4) )(lim 0x f x x → 5) )(lim 0x f x x +→ 6))(lim 0

x f x x -→ 它们具有与数列极限相类似的一些性质,下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质.至于其他类型极限的性质及其证明, 只要相应地作些修改即可.

定理3.2(唯一性) 若极限)(lim 0

x f x x →存在,则此极限是唯一的.

证 设 A 、B 都是f 当x →x 0时的极限,则对任给的ε>0分别存在正数δ1与δ2使得当0 < 0x x - < δ1时有

A x f -)( < ε (1)

当 0 < 0x x - < δ2 时有

B x f -)( < ε (2)

取δ=min(δ1;δ2) ,则当 0 < 0x x - < δ时, (1)与(2)式同时成立, 故有

B A - = B x f A x f ---)())((≤B x f A x f -+-)())(( < 2ε

由ε的任意性得A=B .这就证明了极限是唯一的.

定理3.3 (局部有界性) 若)(lim 0

x f x x → 存在, 则f 在x 0的某空心邻域 ∪0(x 0) 内有界 证 设 )(lim 0

x f x x →= A 取ε=1,则存在δ> 0 使得对一切x ∈∪0(x 0; δ)有 1)(1)(+<⇒<-A x f A x f

这就证明了f 在∪0(x 0; δ) 内有界.

定理3.4(局部保号性) 若 )(lim 0

x f x x →= A > 0 (或< 0), 则对任何正数r < A (或r <－A),存在∪0(x 0) 使得对一切x ∈∪0

(x 0) 有

f(x) > r > 0 (或f(x) < －r < 0)

证 设 A >0,对任何r ∈(0,A)取 ε=A - r ,则存在δ> 0使得对一切x ∈∪0(x 0; δ)有

f (x) > A －ε = r

这就证明得结论.对于A < 0的情形可类似地证明

注 在以后应用局部保号性时常取r=2

A

定理3.5 (保不等式性) 设 )(lim 0

x f x x → 与)(lim 0x g x x →都存在,且在某邻域∪0(x 0; δ')内有f(x ) ≤ g(x),则

)(lim 0x f x x → ≤)(lim 0

x g x x → (3) 证 设 )(lim 0x f x x →= A, )(lim 0x g x x →=B 则对任给的ε>0分别存在正数δ1与δ2使得当 0 < 0x x -< δ1时有

A －ε< f(x) (4)

当 0 < 0x x -< δ2 时有

g(x) < B +ε (5)

令 δ= min ｛δ/,δ1,δ2｝, 则当 0 < 0x x - < δ时不等式f(x )≤g(x)与(4)、(5)两式同时成立,于是有

A －ε

B +ε

从而 A < B + 2ε由ε的任意性推出A ≤B,即(3)式成立

定理3.6(迫敛性) 设)(lim 0x f x x →=)(lim 0

x g x x →= A 且在某 ∪0(x 0; δ')内有 f(x)≤h(x )≤g(x) (6)

则 )(lim 0

x h x x →=A 证 按假设,对任给的ε>0分别存在正数δ1与δ2使得当0 < 0x x - < δ1时有

A －ε< f(x) (7)

当0 < 0x x -< δ2时有

g(x)< A + ε (8)

令δ= min ｛δ/,δ1,δ2｝ 则当0 < 0x x -< δ时不等式(6)、(7)、(8)同时成立, 故有

A －ε< f (x) ≤ h(x) ≤ g(x)< A +ε

由此得 |A x h -)(| <ε,所以 )(lim 0

x h x x →= A 定理 3.7(四则运算法则) 若极限)(lim 0x f x x →与)(lim 0

x g x x →都存在,则函数f ±g , f ·g 当 x →x 0时极限也存在,且

1) [])()(lim 0x g x f x x ±→ =)(lim 0x f x x → ± )(lim 0

x g x x →; 2) [])()(lim 0x g x f x x → = )(lim 0x f x x →·)(lim 0

x g x x →;

又若)(lim 0

x g x x →≠0, 则f / g 当x →x 0 时极限存在,且有 3) )(lim )(lim )()(lim 0

00x g x f x g x f x x x x x x →→→= 这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理,留给读者作为练习.

利用函数极限的迫敛性与四则运算法则,我们可人一些简单的函数极限出发,计算较复杂的函数极限.

例1 求⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x

x x 1lim 0 解 1由 第一章§3习题12,当x>0时有

1－x < x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡x

1≤1 而+→0lim x (1－x) = 1,故由迫敛性得 +→0lim x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡x 1 = 1 另一方面,当x < 0时有1 ≤ x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡x 1< 1－x 故由迫敛性又可得 -→0lim x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡x 1=1 综上,我们求得 0lim →x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡x 1=1 例 2 求 4

lim π

→x (x tan x －1)

解 由 x tan x=x x

x cos sin 及§1例4所得的 4lim π→x sinx = sin 4π=22=4

lim π

→x cos x 并按四则运算法则有

4lim π

→x (x tan x －1)= 4lim π

→x x ·

44

lim sin lim cos x x x

x ππ→→ － 4lim π→x 1= 4

π－1 例 3 求 1lim -→x (1

3113+-+x x ) 解 当 x+1≠0时有