§3.2 函数极限的性质

函数极限连续知识点总结一、函数极限的定义1.1 函数的极限概念首先，我们先来了解一下函数的极限概念。

对于给定的函数$f(x)$和实数$a$，如果当$x$趋于$a$时，函数$f(x)$的取值无限接近某个确定的实数$L$，那么我们称$L$为函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$，并称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时收敛于$L$。

1.2 函数极限的定义根据上面的概念，我们可以得到函数极限的严格定义：设函数$f(x)$在点$a$的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当$0 <|x - a| < \delta$时，就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立，那么就称函数$f(x)$在$x$趋于$a$时的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a}f(x) = L$。

上述定义可以用符号表示为：对于任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。

1.3 函数极限的几何意义函数极限的定义反映了函数在某一点附近的变化趋势。

通过函数图像可以直观地理解函数极限的几何意义：当$x$在点$a$的邻域内时，函数$f(x)$的图像逐渐接近直线$y=L$，并且可以任意地靠近直线$y=L$。

这也就意味着函数在$x$趋于$a$时，其值可以无限接近于$L$。

1.4 函数极限存在的充分条件函数极限的存在需要满足一定的条件，下面给出函数极限存在的充分条件：（1）函数$f(x)$在点$a$的某个邻域内有定义；（2）存在实数$L$，使得对任意给定的$\varepsilon > 0$，总存在$\delta > 0$，使得当$0 < |x - a| < \delta$时就有$|f(x) - L| < \varepsilon$成立。

lim()x xf x A→= *点击以上标题可直接前往对应内容定理3.2（唯一性）证 不妨设以及 A x f x x =→)(lim 0.)(lim 0B x f x x =→由极限的定义，对于任意的正数 ,1δ存在正数,||010时当δ<-<x x (1),2|)(|ε<-A x f ,||020时当δ<-<x x )(lim 0x f x x →存在, 则此极限唯一.若 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0,2δ,ε后退 前进 目录 退出(2) 式均成立，.|)(||)(|||ε<-+-≤-B x f x f A B A 由ε 的任意性，推得 A = B. 这就证明了极限是唯一的.12min{,},δδδ=令(1) 式与.2|)(|ε<-B x f (2)(1),2|)(|ε<-A x f 00||,x x δ<-<当时所以定理3.3（局部有界性）证 ,1=ε取.1|)(|<-A x f .1|||)(|+<A x f 由此得,)(lim 0A x f x x =→若上在)()(0x U x f,)(0x U则存在有界.这就证明了 在某个空心邻域 上有界.),(0δx U)(x f ,0>δ存在00x x δ<-<当时，注(1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2.3）作一 (2) 有界函数不一定存在极限； 这上并不是有界的在但.)2,0(1,11lim )3(1xx x =→说明定理中 “局部” 这两个字是关键性的.比较；定理3.4（局部保号性）则对任何正数)(A r A r -<<或使得存在,)(,0x U.)0)((0)(<-<>>r x f r x f 或.|)(|ε<-A x f .)(r A x f >->ε由此证得 有对一切,)(0x U x∈有时，当δ<-<||00x x 证 不妨设 0.A >,)0(0)(lim 0<>=→或A x f x x 若 ,0>δ存在,r A -=ε取 (0,),r A ∈对于任何定理3.5（保不等式性）)(lim )(lim 0x g x f x x x x →→与设则内有且在某邻域,)()()(0x g x f x U ≤).(lim )(lim 0x g x f x x x x →→≤证 0lim (),lim (),x x x x f x A g x B →→==设;)(ε->A x f 有时而当,||020δ<-<x x .)(ε+<B x g 分别存在正数 12,,δδ有 都存在，0,ε>则对于任意使当 010||x x δ<-<时, 满足时则当令,||0,},min{021δδδδ<-<=x x ,)()(εε+<≤<-B x g x f A所以证得是任意正数因为从而有,.2εε+<B A .B A ≤定理3.6（迫敛性）lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==设0x 且在的某个空心).()()(x g x h x f ≤≤.)(lim 0A x h x x =→那么证 因为 00lim ()lim (),x x x x f x g x A →→==有时当,||00δ<-<x x (),A f x A εε-<<+().A g x A εε-<<+.)()()(εε+<≤≤<-A x g x h x f A 再由定理的条件，又得这就证明了 0)(x x h 在点的极限存在，并且就是 A .0,ε>所以对于任意,0>δ存在0()U x 邻域内有定理3.7（四则运算法则）;)(lim )(lim )]()([lim )1(0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±;)(lim )(lim )()(lim )2(000x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=g f g f ⋅±,在点 x 0 的极限也存在, 且都存在, ,0)(lim )3(0≠→x g x x 又若在点 x 0 的极限也存在,g f则.)(lim )(lim )()(lim 00x g x f x g x f x x x x x x →→→=并有,)(lim 0x f x x →若)(lim 0x g xx → 则§2 函数极限概的性质A x f x x =→)(lim 0范例这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理, 这就可以知道这些定理是显然的.里将证明留给读者. 在下一节学过归结原则之后, 的基本性质 A x f xx =→)(lim 0的基本性质 §2 函数极限概的性质A x f xx =→)(lim 0范例arctan lim x x x→+∞πlim arctan ,2x x →+∞=因解为例1 .arctan limxxx ∞+→求002=⋅=π范例1lim 0,x x →∞=所以1=lim arctan lim x x x x →+∞→+∞⋅例 2 .1lim 0⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 求有时又当,0<x 0>x 当,11lim )1(lim 00==-++→→x x x 由于,111x x x -≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<于是求得.11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 解 由取整函数的性质， .1111xx x ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-时, 有 ,111≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<-x x x 因此由迫敛性得 ;11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→x x x 同理得 .11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→x x x例 3 求极限 π4lim(tan 1).x x x →-π4lim tan tan1,4x x π→==解 因为所以π4ππlim(tan 1)11 1.44x x x →-=⋅-=-例4 .)1(1lim 0>=→a a xx 求证特别又有.1111εε+<<<--NNa a ,1N=δ取,|0|0时当δ<-<x ,1111εε+<<<<--NxNa a a .1lim 0得证即=→xx a 证 ,11lim ,1lim ==∞→∞→n n nn aa 因为所以 ,,0N ∃>∀ε有时当,N n ≥,1111εε+<<<--nna a复习思考题1. lim (), lim (),x x x x f x a g x →→=设存在不存在试问02. lim (),lim (),x x u u g x u f u A →→==设这时是否必有lim (())?x x f g x A →=0lim ()()?x x f x g x →极限是否必定不存在。

第三章 函数极限教学目标：1. 掌握各种情形下的函数极限的基本概念与性质。

2. 掌握极限存在性的判定及应用。

3. 熟练掌握求函数极限的基本方法；熟练掌握重要极限x x sin lim 0x →，x x )x11(lim +∞→及其应用。

4. 掌握无穷小(大)量及其阶的概念，并将它们运用到求极限中。

重点：函数极限的概念、性质及计算。

难点：Heine 定理与Cauchy 准则的应用。

教学内容：§3.1 函数极限概念 一、x 趋于∞时函数的极限定义1 设f 为定义在[a, +∞)上的函数，A 为定数。

若对ε∀＞0，∃正数M(≥a)，使得当x ＞M 时有A )x (f -＜ε，则称函数f 当x 趋于+∞时以A 为极限，记作A )x (f lim x =+∞→或f(x)→A(x →+∞).注1. A )x (f lim x =+∞→可看作数列极限a )n (f lim n =∞→的直接推广。

它们不同之处在于，这里所考虑的是所有大于M 的实数（连续），而不仅仅是正整数(跳跃性的)。

注2. A )x (f lim x =+∞→的几何意义。

注3. A )x (f lim x ≠+∞→0ε∃⇔＞0，对M ∀＞a ，'x ∃＞M 使得A )'x (f -≥0ε.例1. 证明：(1)0xxsin limx =+∞→；(2) 231x 21x 3limx =-++∞→；(3) 2x arctan lim x π=+∞→ 定义1' (i)设f 是定义在U （-∞）(即(-∞,b])上的函数，A 为定数. 若对ε∀＞0，∃正数M(-M ≤b)，使得当x ＜-M 时有A )x (f -＜ε,则称f 当x 趋于-∞时以A 为极限，记作A )x (f lim x =-∞→或f(x)→A(x →-∞).(ii)设f 是定义在U(∞)(即|x|≥a)上的函数，A 为定数. 若对ε∀＞0，∃正数M(≥a)，使得当|x|＞M 时有A )x (f -＜ε,则称f 当x 趋于∞时以A 为极限，记作A )x (f lim x =∞→或f(x)→A(x →∞).思考题：①用“ε-M ”语言叙述A )x (f lim x ≠-∞→及A )x (f lim x ≠∞→.②它们的几何意义？例2. 证明：(1) 21x 21x lim x -=--∞→；(2) 0a lim x x =-∞→(a ＞1)；(3) 2x arctan lim x π-=-∞→. 例3. 证明：(1) 0x1limx =∞→； (2) 1x11lim 2x =+∞→.命题 设f 为定义在U(∞)上的函数，则A )x (f lim x =∞→⇔A )x (f lim )x (f lim x x ==-∞→+∞→.注：x arctan lim x ∞→不存在.二、x 趋于x 0时函数的极限定义2(函数极限的δ-ε定义) 设函数f 在点x 0的某空心邻域U 0(x 0；δ')内有定义，A 为定数. 若对ε∀＞0，δ∃＞0(δ＜δ')，使得当0＜|x-x 0|＜δ时有A )x (f -＜ε,则称函数f 当x 趋于x 0时以A 为极限，记作A )x (f lim 0x x =→或f(x)→A(x →x 0).例4. 证明：(1) 6)4x 2(lim 1x =+→；(2) 42x 4x lim 22x =--→；(3) 1x sgn lim 0x =→.例5. 证明：(1) o x x x sin x sin lim 0=→；(2) o x x csox x cos lim 0=→.例6. 证明：321x x 21x lim221x =---→ 例7. 证明：(1) o x x x x lim=→；(2) 202x x x 1x 1lim 0-=-→(|x o |＜1).由ε-δ定义立得c c lim 0x x =→，0x x x x lim 0=→(c 为常数，x 0为定实数)注1. 定义2中的δ，相当于数列极限ε-N 定义中的N ，它依赖于ε，但也不是由ε所唯一确定. 一般，ε愈小，δ相应也小一些.注2. A )x (f lim 0x x =→研究的只是x →x 0这一过程中函数值f(x)的变化趋势，它与f(x)在点x 0是否有定义或取什么值无关. 因此，只需在x 0的空心邻域中考虑. 注3. 0＜|x-x 0|＜δ⇔x ∈U 0(x 0;δ); |f(x)-A|＜ε⇔f(x)∈U(A;ε).于是, A )x (f lim 0x x =→⇔ε∀＞0，δ∃＞0，当x ∈U 0(x 0; δ)时有f(x)∈U(A; ε).⇔ε∀＞0，δ∃＞0，使得f(U 0(x 0; δ))⊂U(A; ε). 注4. ε-δ定义的几何意义.定义3 设函数f 在0U +(x 0; δ')=(x 0, x 0+δ'）（或0U -(x 0; δ')=(x 0-δ', x 0）)内有定义，A 为定数. 若对ε∀＞0，δ∃＞0(δ＜δ'），使得当x 0＜x ＜x 0+δ(或x 0-δ＜x ＜x 0)时有|f(x)-A|＜ε,则称数A 为函数f 当x 趋于x +0(或x -0）时的右(左）极限，记作A )x (f lim 0x x =+→（A )x (f lim 0x x =-→）或 f(x)→A(x →x +0)（f(x)→A(x →x -0)）右极限与左极限统称为单侧极限。

第三章函数极限2 函数极限的性质六种类型的函数极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).定理3.2(唯一性)：若极限存在，则此极限是唯一的.证：设A，B都是f当x→x0时的极限，则∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使当0<|x-x0|<δ1时，有|f(x)-A|<ε；当0<|x-x0|<δ2时，有|f(x)-B|<ε.取δ=min{δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时，|A-B|≤|f(x)-A|+|f(x)-B|<ε,由ε的任意性，可知A=B. ∴存在时，此极限是唯一的。

定理3.3(局部有界性)：若存在，则f在x0的某空心邻域U⁰(x0)内有界. 证：设=A，取ε=1，则存在正数δ，使得对一切x∈U⁰(x0;δ)有|f(x)-A|<1=>|f(x)|<|A|+1. ∴存在时，f在U⁰(x0;δ)内有界.定理3.4(局部保号性)：若=A>0(或<0)，则对任何正数r<A(或r<-A)存在U⁰(x0)有：f(x)>r>0(或f(x)<-r<0).证：当=A>0时，对任何r∈(0,A)，取ε=A-r，则存在正数δ，使得对一切x∈U⁰(x0;δ)有f(x)>A-ε=r，∴f(x)>r>0.当=A<0时，对任何-r∈(A,0)，取ε=-r-A，则存在正数δ，使得对一切x∈U⁰(x0;δ)有f(x)<A+ε=-r，∴f(x)<-r<0.定理3.5(保不等式性)：若与都存在，且在某邻域U⁰(x0;δ’)内有：f(x)≤g(x)，则≤.证：设=A，=B，则对∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使当0<|x-x0|<δ1时，有Aε<f(x)；当0<|x-x0|<δ2时，有g(x)<Bε.取δ=min{δ’,δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时，Aε<f(x)≤g(x)<Bε，从而有A<B+ε. 由ε的任意性，可知A≤B. 即≤.注：当f(x)<g(x)时，仍有≤.反之，当时，在某U⁰(x0)内有f(x)<g(x). (证明见习题第6题)定理3.6(迫敛性)：设==A，且在某U⁰(x0;δ’)内有：f(x)≤h(x)≤g(x)，则=A.证：∵==A，∴对∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使当0<|x-x0|<δ1时，有A-ε<f(x)；当0<|x-x0|<δ2时，有g(x)<A+ε.取δ=min{δ’,δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时，A-ε<f(x)≤h(x)≤g(x)< A+ε，从而有|h(x)-A|<ε. ∴=A.定理3.7(四则运算法则)：若极限与都存在，则函数f±g，f·g 当x→x0时的极限也存在，且：(1)=；(2)=.(3)当≠0时，当x→x0时的极限也存在，且：=.证：设=A，=B，则对∀ε>0，分别有正数δ1与δ2，使当0<|x-x0|<δ1时，有|f(x)-A|<ε，即A-ε<f(x)<A+ε；当0<|x-x0|<δ2时，有|g(x)-B|<ε，即B-ε<g(x)<B+ε.取δ=min{δ1,δ2}，则当0<|x-x0|<δ时：(1)有A+B-2ε<f(x)+g(x)<A+B+2ε，A-B-2ε<f(x)-g(x)<A-B+2ε；∴=A±B=.(2)|f(x)g(x)-AB|=|g(x)(f(x)-A)+A(g(x)-B)|≤|g(x)||f(x)-A|+|A||g(x)-B|<(|g(x)|+|A|)ε又|g(x)|-|B|≤|g(x)-B|<ε，即|g(x)|<ε+|B|，∴|f(x)g(x)-AB|<(ε+|B|+|A|)ε；∴=AB=. (3)==≤<ε.又|B|-|g(x)|≤|g(x)-B|<ε，即|g(x)|> |B|-ε，∴<ε；∴==.ε例1：求.解：当x>0时，1-x<≤1；当x<0时，1≤<1-x.∵=1，由迫敛性得==1；∴=1.例2：求.解：===.例3：求.解：当x+10时，===-1.例4：证明(a>1).证：∀ε>0，不妨设ε<1，为使|a x-1|<ε，即1-ε<a x<1+ε，∵a>1，即(1-ε)<x<(1+ε). 只要令δ=min{(1+ε),-(1-ε)}，则当0<|x|<δ时，就有|a x-1|<ε，∴(a>1).习题1、求下列极限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)(n,m为正整数)；(6)；(7)(a>0)；(8).解：(1)=2(sinx-cosx-x2)=2(1-0)= 2(1).(2)==1.(3)===.(4)==== -3.(5)当n,m为正整数时，==.(6)===.(7)当a>0时，===.(8)==.2、利用迫敛性求极限：(1)；(2).解：(1)∵-1≤cosx≤1，∴=≤≤=；∵==1，根据迫敛性定理，=1.(2)∵-1≤sinx≤1，又x→+∞，即x2-4>0，∴=≤≤=；∵==0，根据迫敛性定理，=0.3、设f(x)=，a0≠0，b0≠0，m≤n，试求. 解：=；当m=n时，=；当m<n时，=0.，∴=4、设f(x)>0，=A. 证明：，其中n≥2为正整数. 证：∵f(x)>0，∴=A≥0.当A=0时，由=0可知，对∀ε>0，存在正数δ，当0<|x-x0|<δ时，有f(x)<εn，即<ε，∴.当A>0时，由=A可知，对∀ε>0，有正数δ，使当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε.又=≤<ε.∴.5、证明=1(0<a<1).证1：∀ε>0(不妨设ε<1)，要使1-ε<a x<1+ε，∵0<a<1，即log a(1+ε)<x< log a(1-ε)，只要取δ=min{ log a(1-ε),- log a(1+ε)}，则当0<|x|<δ时，就有|a x-1|<ε，∴=1(0<a<1).证2：∵=1，∴对∀ε>0，∃N>0，有0<1-<ε，由a x递减，∴当0<x<时，有a x>.∴0<1-a x<1-<ε，取δ=，则当0<x<δ时，就有0<|a x-1|<ε，∴=1. 又=1，∴对∀ε>0，∃N>0，有-ε<1-<0，由a x递减，∴当<x<时，有a x<.∴-ε<1-<1-a x <0，取δ=，则当-δ<x<0时，就有0<|a x-1|<ε，∴=1. ∴=1(0<a<1).6、设=A，=B，(1)若在某U⁰(x0)内有f(x)<g(x)，问是否必有A<B？为什么？(2)证明：若A<B，则在某U⁰(x0)内有f(x)<g(x).解：(1)不一定。

极限中的知识点总结一、极限的概念1.1 数列的极限数列的极限是极限的最初形式，它描述了当n趋于无穷大时，数列的项趋于的稳定状态。

数列的极限定义为：对于任意小的正数ε，存在正整数N，当n＞N时，|an−a|＜ε。

其中，an表示数列第n个项，a表示数列的极限值。

1.2 函数的极限对于函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，函数值f(x)的稳定状态即称为函数的极限。

函数的极限定义为：对于任意小的正数ε，存在正数δ，当0＜|x−a|＜δ时，|f(x)−L|＜ε。

其中，L表示函数的极限值。

二、极限的性质极限具有一些重要的性质，它们对于求解极限问题有着重要的指导意义。

2.1 极限的唯一性对于同一个数列或函数，它的极限值是唯一的。

即使通过不同的方法计算出的极限值可能不同，但是只要满足极限定义，它们最终得到的极限值将是相同的。

2.2 极限的保序性如果数列或函数f(x)的极限存在且为L，那么对于任意小于L的数K1,必存在常数N1，对于数列的每一项an（n>N1）有an＜K1；对于任意大于L的数K2，必存在常数N2，对于数列的每一项an（n>N2）有an＞K2。

同样，对于函数的定义域中的任意点x，当0＜|x−a|＜δ时，有f(x)＜L+ε，并且当0＜|x−a|＜δ时，有f(x)＞L−ε。

2.3 数列的基本性质如果数列的极限存在，那么数列一定是有界的。

另外，如果数列的两个子数列有相同的极限，那么它们的极限值一定相等。

2.4 函数的基本性质函数的极限有以下一些基本性质：加法性、减法性、乘法性、除法性、乘以常数性、逆序性、夹逼定理。

三、极限的计算方法求解极限的过程需要掌握一些常用的计算方法。

3.1 数列极限的计算方法数列的极限计算方法主要有以下几种：常数法、相加减法、相乘法、相除法、复合法、递推法、对数法、不等式法等。

3.2 函数极限的计算方法函数的极限计算方法主要有以下几种：代入法、夹逼法、等价无穷小代换法、洛必达法则、泰勒展开、变量代换法等。