green函数

u n
(x)
u( ) (x; ) f (x)dx
(
x;
)
(
x)
u
(
x)
( x; n
)
dS
x
9
考虑一个函数 g(x;
g 0, x
)：
g n
(x, )
n
对函数 g(x; ) 和 u(x) 利用Green公式
0
g
(
பைடு நூலகம்x;
)
f
(
x)dx
g
(
x;
)
(
x)
u(
x)
g
(x; n
)
)：
g
g
0, x
(x, )
对函数 g(x; ) 和 u(x) 利用Green公式
0
g
(
x;
)
f
(
x)dx
g
(
x;
)
u(x) n
(
x)
g
(x; n
)
dS
x
u(
)
(
x;
)
f
(
x)dx
(
x;
)
u(x) n
(
x)
(x;
n
)
dS
x
相减，得
u(
)
( x;
)
g(x;
)
f
(x)dx
(x)
于是在 Ba上，有
G G
1 a2 ( 2 2 )
n Ba r ra
2 a (x )2 ( y )2 ( x, y)Ba
21
直角坐标下的解的形式
u( ,) 1
2 2 (x *)2 ( y *)2
ln
f (x, y)dxdy
2 Ba
a (x )2 (y )2
法求得 利用定解问题的积分表达式可用进一步研究
位势方程的解的性质 对于一般区域， Green函数的确定与求解原
来的定解问题一样困难
12
第三节 Green函数的求解
镜像法—Dirichlet问题 当n=3时
G(x; ) 1 1 g(x; ) 4 x
当n=2时 G(x; ) 1 ln 1 g(x; )
f
(x,
y)dxdy
(x,
Ba
y)
G(x, y;,)
n
dS x, y
G(x; ) 1 ln
1
1 ln
a
2 (x )2 ( y )2 2 2 2 (x *)2 ( y *)2
20
2 2 , * *2 *2 ,
r x2 y2
G(x, y; ,) 1 ln 2r2 a4 2ra2 cos 2 a 2 r2 2r cos
2 x
x g 0, x
g
x
1
4
1
x
x
x g 0, x
g
x
1
2
ln
1
x
x
13
上半空间上的Green函数
g 0,
(x, y, z) R3
g
z0
4
1
x
z0
G(x; ) 1 1 1 1 4 x 4 x *
14
球上的Green函数
g 0, x Ba
g Ba
u(
)
(
x;
)
u ( x) n
u(x)
( x;
n
)
dSx
5
第二节 边值问题的解的积分表 示和Green函数
Dirichlet问题的求解
u f (x), x
u (x)
u( ) (x; ) f (x)dx
(
x;
)
u ( x) n
(
x)
( x; n
)
dS
x
6
考虑一个函数 g(x;
dS
x
u(
)
(
x;
)
f
(
x)dx
(
x;
)
(
x)
u(
x)
(x;
n
)
dS
x
相减，得
u( ) (x; ) g(x; ) f (x)dx (x;) g(x;) (x)dSx
10
引入函数
Green函数
G(x; ) (x; ) g(x; )
其中
g 0, x
g n
n
(x, )
Neumann问题 的解的积分表
4
1
x
xBa
G(x; ) 1 1 a 1 4 x 4 x *
15
上半平面上的Green函数
g 0,
(x, y) R2
g
y0
1
2
ln
1
x
y0
G(x; ) 1 ln x * 2 x
16
四分之一平面上的Green函数
g 0, x 0, y 0
g
y0
1
2
ln
1
x
, g 1 ln
x0 2
y0
1
x
x0
G(x; ) 1 ln x 1 x 2 2 x x 3
17
圆上的Green函数
g 0, (x, y) Ba
g
xBa
1
2
ln
1
x
xBa
G(x; ) 1 ln 1 1 ln a 2 x 2 x *
18
半圆上的Green函数
g 0,
达式
u( ) G(x; ) f (x)dx G(x; ) (x)dSx
11
利用Green函数方法求解的步骤：
求解相应问题在 上的Green函数 带入到积分表达式即得相应问题的形式解
Green函数方法几点注记
Green函数只与区域有关，而与边值无关 对某些特殊的区域，Green函数可用初等的方
第十二章 Green函数方法
第一节 基本解和Green公式 第二节 边值问题的解的积分表示
和Green函数 第三节 Green函数的求解 第四节 特殊区域上边值问题的解
1
第一节 基本解和积分表示定理
基本解
满足方程 (x ), x, Rn
当 n = 2 时 (x; ) 1 ln 1 2 x
当n=3时
(x; ) 1 1 4 x
2
Green公式
设分段光滑，u, v C2 () I C1()，则有
uv
vu
dx
u
v n
v
u n
dS
附注 若u C2 () I C1()是Neumann问题的解，则有
f (x)dx (x)dS 0
3
积分表示定理
设分段光滑，u C2 () I C1()，则有
(x, y) Ba
g
xBa
1
2
ln
1
x
xBa
G(x; ) 1 ln x 1 x * 2 x x 1*
19
第四节 特殊区域上边值问题的解
圆内Dirichlet问题
u f (x, y), (x, y) Ba
u (x, y)Ba (x, y)
u(,)
Ba
G(x,
y; , )
u( ) (x; )u(x)dx
(
x;
)
u ( x) n
u(
x)
( x; n
)
dS
x
4
附注
1. 若u C2 () I C1()是Piosson方程 -u f (x) 的解，则有
u(
)
( x;
)
f
(
x)dx
(
x;
)
u ( x) n
u(x)
( x;
n
)
dSx
2. 若u C2 () I C1()是Laplace方程 -u 0 的解，则有
(x; )
n
g(x;
)
dSx
7
引入函数
Green函数
G(x; ) (x; ) g(x; )
其中
g 0, x
g (x, )
Dirichlet问题 的解的积分
表达式
u(
)
G
(
x;
)
f
(
x)dx
(
x)
G ( x; n
)
dS
x
8
Neumann问题的求解
u f (x), x