《2.10第十节 函数模型及其应用》 学案

函数模型及应用教案函数模型是基于数学函数的一种建模方法，通过将现实问题抽象为数学函数的形式来描述、分析和解决问题。

函数模型的应用非常广泛，涉及到许多领域，包括物理、经济、生物等。

一、函数模型的基本概念1. 函数的定义：函数是一个映射关系，将输入映射到唯一的输出，通常用f(x)表示。

2. 自变量和因变量：函数的自变量是输入值，通常用x表示；函数的因变量是输出值，通常用y表示。

3. 函数图像：函数图像是函数在坐标系中的几何表示，可以通过计算和绘制得到。

4. 函数的性质：函数可以有多个性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性等。

二、函数模型的应用1. 物理学中的应用：物理学中许多自然现象都可以用函数模型来描述，如运动学中的位移函数、速度函数和加速度函数，力学中的万有引力函数等。

2. 经济学中的应用：经济学中常常用函数模型来描述供求关系、成本函数、效用函数等，以便分析经济现象和制定经济政策。

3. 生物学中的应用：生物学中常常用函数模型来描述生物体的生长、代谢和进化过程，以便研究和预测生物现象。

4. 工程学中的应用：工程学中常常用函数模型来描述电路、信号处理、控制系统等，以便分析和设计工程系统。

5. 数据分析中的应用：数据分析中常常用函数模型来描述数据的分布和趋势，以便预测和优化数据。

三、函数模型的教学内容1. 函数的基本概念和性质：教学内容包括函数的定义、自变量和因变量的概念、函数图像的绘制和函数的性质分析等。

2. 函数的分类和常见函数模型：教学内容包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等的定义、图像和性质分析等。

3. 函数的应用实例分析：教学内容包括物理、经济、生物、工程等领域的函数模型实例分析，以及数据分析中的函数模型应用实例。

4. 函数模型的建立和求解：教学内容包括根据实际问题建立函数模型、利用函数模型求解问题等。

四、函数模型的教学方法1. 理论讲解：通过讲解基本概念、定理和性质，帮助学生理解函数模型的基本原理和方法。

芯衣州星海市涌泉学校函数模型及其应用教学目的：1.能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；进一步理解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，理解函数模型在社会生活中的广泛应用2.在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探究问题、解决问题的才能，培养学生的应用意识，进步学习数学的兴趣. 教学重点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解. 教学难点： 对图、表的理解. 教学方法： 讲授法，尝试法. 教学过程： 一、情境创设矩形的长为4，宽为3，假设长增加x ，宽减少0.5x ，所得新矩形的面积为S ． 〔1〕将S 表示成x 的函数；〔2〕求面积S 的最大值，并求此时x 的值． 二、学生活动 考虑并完成上述问题． 三、例题解析例1有一块半径为R 的半圆形钢板，方案剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求出它的定义域．A BO C DE例2一家旅社有100间一样的客房，经过一段时间是是的经营理论，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系：要使每天收入最高，每间客房定价为多少元？例3今年5月，荔枝上．由历年的场行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的场售价与上时间是是的关系大致可用如下列图的折线ABCD表示(场售价的单位为元／500g)．请写出场售价S(t)(元)与上时间是是t(天)的函数关系式，并求出6月20日当天的荔枝场售价．练习：1．直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截此梯形所得位于l左方图形的f(t)的大致图象为()状可能是()元一个销售，每天可卖200个．假设这种商品每涨价1元，〔2〕假设销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？5．根据场调查,某商品在最近40天内的价格f(t)与时间是是t满足：l AC DBhH A B C DO 10 40 60f(t)＝111(020)241(2040)t t t Nt t t N⎧+<∈⎪⎨⎪-+∈⎩≤,≤≤,，销售量g(t)与时间是是t满足：g(t)＝14333t-+(0≤t≤40，t N)，求这种商品日销售金额的最大值．四、小结利用图、表建模；分段建模．五、作业。

函数模型及其应用教案一、教学目标1. 理解函数的概念，了解函数模型的产生和应用；2. 学习两种常见函数模型的基本形式和参数，并能解决实际问题应用；3. 认识函数模型在现实生活和工程实践中的重要作用；4. 提高学生分析和解决实际问题的能力。

二、教学重点1. 函数的概念与应用；2. 两种常见函数模型的基本形式与参数；3. 实际问题中函数模型的应用。

三、教学难点1. 函数模型在数学联系与实际应用展示之间的联系；2. 如何将实际问题转化为基本形式的函数模型。

四、教学方法1. 讲授教学法；2. 课堂互动式教学法；3. 问题式教学法。

五、教学准备1. 多媒体教学设备；2. 函数模型案例资料。

六、教学过程1. 引入函数是一种重要的数学概念，也是自然科学、经济学、工程技术等领域的基础。

而函数模型则是在实际问题中应用函数的过程中，通过对数据和经验的分析产生的数学模型，可用于预测、控制、优化等目的。

今天我们将学习两种常见函数模型及其应用。

2. 基础知识讲解（1）函数的概念函数是一个输入输出关系的特殊情况。

数学上定义一个函数是指一组数对，其中第一个数（称为自变量）从一个特定集合中取任意一个值，；第二个数（称为因变量或函数值）则从另一集合中取一个值，这个取值完全由第一个数决定。

（2）线性函数模型线性函数模型可以写为 y=a*x+b 的形式，其中 a 称为斜率，b称为截距。

它的应用非常广泛，比如经济学中的供给函数、消费函数，工程学中的动力学方程等等，都可以通过线性函数模型来描述。

（3）指数函数模型指数函数模型可以用 y=a^x+b 的形式表示，其中 a 称为底数，b 称为位移。

指数函数具有非常广泛的应用，在物理学、天文学、化学、生物学、经济学等领域中都有其用途，比如放射性衰变过程、细胞增殖过程、经济增长过程等等都可以使用指数函数模型来描述。

3. 练习将下列实际问题转化为线性函数模型或指数函数模型，并求出相应的参数或曲线。

高一数学《函数模型及其应用》教课设计函数模型及其应用(1)【学习导航】知识网络学习要求1.认识解实质应用题的一般步骤;2.初步学会依据已知条件成立函数关系式的方法;3.浸透建模思想，初步拥有建模的能力.自学评论1.数学模型就是把实质问题用数学语言抽象归纳，再从数学角度来反应或近似地反应实质问题，得出对于实质问题的数学描绘 .2. 数学建模就是把实质问题加以抽象归纳成立相应的数学模型的过程，是数学地解决问题的重点.3. 实质应用问题成立函数关系式后一般都要观察定义域.【精模典范】例 1.写出等腰三角形顶角 (单位：度 )与底角的函数关系 . 例 2.某计算机企业企业生产某种型号计算机的固定成本为万元 ,生产每台计算机的可变为本为元,每台计算机的售价为元 .分别写出总成本(万元 )、单位成本(万元 )、销售收入(万元 )以及收益(万元 )对于总产量(台 )的函数关系式.剖析：销售收益销售收入成本,此中成本(固定成本可变成本 ).【解】总成本与总产量的关系为课本、报刊杂志中的成语、名言警语等俯首皆是 ,但学生写作文运用到文章中的甚少 ,即便运用也很难做到恰到好处。

为什么?仍是没有完全“记死”的缘由。

要解决这个问题 ,方法很简单,每天花3-5 分钟左右的时间记一条成语、一则名言警语即可。

能够写在后黑板的“累积专栏”上每天一换 ,能够在每天课前的3 分钟让学生轮番解说 ,也可让学生个人收集 ,每天往笔录本上抄录 ,教师按期检查等等。

这样 ,一年便可记 300 多条成语、300 多则名言警语 ,与日俱增 ,终归会成为一笔不小的财产。

这些成语典故“储藏”在学生脑中 ,自然会下笔成章 ,写作时便会为所欲为地“提取”出来 ,使文章添色添辉。

单位成本与总产量的关系为销售收入与总产量的关系为要练说，得练看。

看与说是一致的，看禁止就难以说得好。

练看，就是训练幼儿的察看能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在察看事物、察看生活、察看自然的活动中，累积词汇、理解词义、发展语言。

个性化教学辅导教案1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x (1≤x ≤4，x ∈N *)之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100x解析：选C 当x ＝4时，A 中，y ＝400；B 中，y ＝700；C 中，y ＝800；D 中，y ＝1004.故选C.2．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A 地，则汽车离开A 地的距离x 关于时间t (时)的函数解析式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝150－50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150－50t ，t >3.5 D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t ，0≤t ≤2.5150，2.5＜t ≤3.5150－50t －3.5，3.5＜t ≤6.5解析：选D 显然出发、停留、返回三个过程中行车速度是不同的，故应分三段表示函数．3．三个变量y 1，y 2，y 3，随着自变量x 的变化情况如下表：x 1 3 5 7 9 11 y 1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y 2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y 356.106.616.9857.27.4则关于x 分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为( )(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．[解] (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20＜x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b (a ≠0)，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13200－x ，20＜x ≤200.(2)依题意并结合(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x 200－x ，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． 6．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为a 2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为22a . (1)求p %的值．(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)该森林今后最多还能砍伐多少年？ [解] (1)由题意得a (1－p %)10＝a2，即(1－p %)10＝12，解得p %＝1－⎝⎛⎭⎫12. (2)设经过m 年森林面积为22a ，(1)应该涨价多少，才能使每天的营业额(售出的总金额)最大？ (2)如果适当涨价，能使每天的营业额增加，求x 的取值范围．[解] 设商品原价格为m ，每天的原销售量为n ，则每天的原营业额为m ·n ，涨价后每天的营业额为y ＝m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x10·n . (1)y ＝m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x10·n ＝⎣⎡⎦⎤－1125⎝⎛⎭⎫x －542＋8180·m ·n . 当x ＝54，即涨价125%时，每天的营业额最大．(2)要使涨价后每天的营业额比原来增加， 则需m ·⎝⎛⎭⎫1＋x 10·⎝⎛⎭⎫1－45·x10·n ＞m ·n ， 即2x 2－5x ＜0，变形得x (2x －5)<0. 又x >0，故0＜x ＜52.∈x 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，52. [例2]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/时)．[解] (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20＜x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b (a ≠0)，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13200－x ，20＜x ≤200.(2)依题意并结合(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x 200－x ，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333. 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时． [例3]一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p %,10年后森林面积变为a 2.为保护生态环境，所剩森林面积至少要为原面积的14.已知到今年为止，森林面积为22a . (1)求p %的值．(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)该森林今后最多还能砍伐多少年？ [解] (1)由题意得a (1－p %)10＝a2，即(1－p %)10＝12，解得p %＝1－⎝⎛⎭⎫12. (2)设经过m 年森林面积为22a ， 则a (1－p %)m ＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12， m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，n 年后森林面积为 22a ·(1－p %)n . 令22a (1－p %)n ≥14a ， 即(1－p %)n ≥24， ⎝⎛⎭⎫12≥⎝⎛⎭⎫12，得n 10≤32，解得n ≤15，甲调查表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1万只甲鱼上升到第六年2万只； 乙调查表明：甲鱼池个数由第一年30个减到第六年10个． 请你根据提供的信息说明：(1)第二年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数．(2)到第六年，这个县的甲鱼养殖业的规模比第一年是扩大了还是缩小了？说明理由． (3)哪一年的规模最大？说明理由． [解题流程][变式]某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场销售中发现此商品的销售单价x 元与日销售量y 件之间有如下关系：销售单价x /元 30 40 45 50 日销售量y /件603015(1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x ，y )对应的点，并确定x 与y 的一个函数关系式y ＝f (x )；(2)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据上述关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出销售单价x 为多少时，才能获得最大日销售利润．解：实数对(x ，y )对应的点如图所示，由图可知y 是x 的一次函数．(1)设f (x )＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧60＝30k ＋b ，30＝40k ＋b ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3，b ＝150.∈f (x )＝－3x ＋150,30≤x ≤50，检验成立． (2)P ＝(x －30)·(－3x ＋150) ＝－3x 2＋240x －4 500,30≤x ≤50， ∈对称轴x ＝－2402×－3＝40∈[30,50]．答：当销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s 与时间t 的函数关系如下图所示，则下列说法正确的是( )A ．甲比乙先出发。

教学过程一、课堂导入有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气二、复习预习1.方程的根与函数零点有什么关系，函数零点的如何判断？2.用二分法求函数零点时需要注意些什么？3.涵数与方程的关系三、知识讲解考点1 几种常见的函数模型考点2 三种函数模型性质比较[探究] 1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．四、例题精析【例题1】【题干】一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A．①B．①②C．①③D．①②③【答案】A【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.【例题2】【题干】某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系式是p ＝⎩⎨⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *，且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系式是Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )．求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？【解析】设日销售金额为y (元)，则y ＝p ·Q ，即y ＝⎩⎨⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N ，＝⎩⎨⎧－(t －10)2＋900，0<t <25，t ∈N ， ①(t －70)2－900，25≤t ≤30，t ∈N . ②由①知，当t ＝10时，y max ＝900； 由②知，当t ＝25时，y max ＝1 125. 由1 125>900，知y max ＝1 125， 即在第25天日销售额最大，为1 125元.【例题3】【题干】某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．【解析】(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5. 所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨，付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．【例题4】【题干】(2011·山东高考)(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.【解析】(1)设容器的容积为V ，由题意知V ＝4πr 33＋πr 2l ，又V ＝80π3，⇨(1分) 所以4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－4r 3，⇨(2分)由于l ≥2r ，因此0<r ≤2.⇨(3分)，所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫803r 2－4r 3＝160π3r －8πr 23， 两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以建造费用y ＝160πr －8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]．⇨(4分)(2)由(1)，得y ′＝－160πr 2－16πr ＋8πcr ＝c －r 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2，⇨(5分) 由于c >3，所以c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令 320c －2＝m ，则m >0. 所以y ′＝8π(c －2)r2 (r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．⇨(7分) ①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0；当r ∈(0，m )时，y ′<0；当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．⇨(9分)②当m≥2，即3<c≤92时，当r∈(0,2)时，y′<0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点．⇨(11分)综上，当3<c≤92时，建造费用最小时r＝2；当c>92时，建造费最小时r＝320c－2.⇨(12分)五、课堂运用【基础】1．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()解析：选C由于中间一段时间，张大爷离家的距离不变，故应选C.2．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)()A．90万m2B．87万m2C．85万m2D．80万m2500×(1＋1%)10×7－500×610≈86.6(万m 2)≈87(万m2)．解析：选B由题意3．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，将三角形APM的面积y看作路程x的函数，则其函数图象大致是()解析：选A 当0≤x ≤1时，y ＝12·x ·1＝12x ； 当1<x ≤2时，y ＝1－12(x －1)－14(2－x )－14＝－14x ＋34； 当2<x ≤2.5时，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x ×1＝54－12x . 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ，0≤x ≤1，－14x ＋34，1<x ≤2，－12x ＋54，2<x ≤2.5.根据函数可以画出其大致图象，故选A.【巩固】4.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象可能是图中的________．解析：当h＝0时，v＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h在H2附近时，体积变化较快；h小于H2时，增加越来越快；h大于H2时，增加越来越慢．答案：②5．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定：①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠；某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意知付款432元，实际标价为432×109＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．答案：582.6【拔高】6．A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x(km)处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城为每月10亿度．(1)求x的取值范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用y最少？解：(1)x的取值范围为[10,90]．(2)y＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．(3)由y＝5x2＋52(100－x)2＝152x2－500x＋25 000＝152⎝⎛⎭⎪⎫x－10032＋50 0003，得x＝1003时，y min＝50 0003，即核电站建在距A城1003km处，能使供电总费用y最少．7．目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．解：(1)当x ＝1时，y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x ＝2时，y ＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x ＝3时，y ＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；…故y 关于x 的函数解析式为y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)．(2)当x ＝10时，y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x 年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x ＝120，解得x ＝log 1.012120100≈15.3故大约16年后该县的人口总数将达到120万．8．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)当t＝4时，求s的值；(2)将s随t变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N城位于M地正南方向，且距M地650 km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550. 综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650，解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30，即沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．课程小结常见函数模型的理解(1)直线模型：即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x的系数k>0)，通过图像可以很直观地认识它．(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型，其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(a>1)，常形象地称为“指数爆炸”．注意：指数函数y＝a x(a>1)，从图像上看，在开始过程中增长缓慢，但随着x的逐渐增大，当x增加一个非常小的增量Δx，其函数值变化Δy会大得惊人，因此常称之为“指数爆炸”．(3)对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长的较快(a>1)，但随着x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．(4)幂函数型函数模型：能用幂函数表达的函数模型，其增长情况随x n中n的取值变化而定，常用的有二次函数模型．(5)“对勾”函数模型，形如f(x)＝x＋ax(a>0，x>0)的函数模型，在现实生活中也有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时利用函数的单调性求解最值．31 / 31。

第十节函数模型及其应用一、复习目标：1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。

知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。

2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。

3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。

二、重难点：重点：掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等基本初等函数模型；培养阅读理解、建立数学模型和分析问题、解决问题的能力掌握解函数应用问题的基本步骤。

难点：建立数学模型和分析问题、解决问题的能力的培养。

三、教学方法：讲练结合，探析归纳。

四、教学过程（一）、谈新课标要求及考纲要求和高考命题考查情况，促使学生积极参与。

新课标要求及考纲要求：1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义；2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。

高考命题考查情况及预测：函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考查即考小题又考大题，而且分值呈上升的趋势。

高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考查。

出于“立意”和创设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考查，加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考查力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。

预测2010年的高考，将再现其独特的考查作用，而函数类应用题，是考查的重点，因而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题，学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。

（1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题；（2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象。

清泉州阳光实验学校第10课时函数模型及其应用1．抽象概括：研究实际问题中量，确定变量之间的主、被动关系，并用x 、y 分别表示问题中的变量； 2．建立函数模型：将变量y 表示为x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式； 3．求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目的及函数式的构造特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并复原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示是：例1.如下列图，在矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b 〔b ＜a 〕,在AB ，AD ，CD ，CB 上分别截取AE ，AH ，CG ，CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？并求出最大面积.解：设四边形EFGH 的面积为S ，那么S△AEH=S△CFG=21x2, S△BEF=S△DGH=21〔a-x 〕〔b-x 〕， ∴S=ab -2［x 212+21〔a-x 〕〔b-x 〕］=-2x2+〔a+b 〕x=-2〔x-)4b a +2+,8)(2b a +由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}. 又0＜b ＜a,∴0＜b ＜2b a +,假设4ba +≤b,即a≤3b 时， 那么当x=4b a +时，S 有最大值8)(2b a +;假设4ba +＞b,即a ＞3b 时， S 〔x 〕在〔0,b ］上是增函数， 此时当x=b 时，S 有最大值为-2(b-4b a +)2+8)(2b a +=ab-b2,典型例题 根底过关实际问题函数模型 抽象概括 实际问题的函数模型的复原说运用函数的性质综上可知，当a≤3b 时，x=4ba +时， 四边形面积Smax=8)(2b a +,当a ＞3b 时，x=b 时，四边形面积Smax=ab-b2.变式训练1：某商人将进货单价为8元的某种商品按10元一个销售时，每天可卖出100个，如今他采用进步售价，减少进货量的方法增加利润，这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10个，问他将售价每个定为多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大值.解：设每个提价为x 元〔x≥0〕，利润为y 元，每天销售总额为〔10+x 〕〔100-10x 〕元， 进货总额为8〔100-10x 〕元， 显然100-10x ＞0,即x ＜10,那么y=〔10+x 〕〔100-10x 〕-8(100-10x)=(2+x)(100-10x)=-10(x-4)2+360(0≤x＜10). 当x=4时，y 获得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元. 例2.据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向挪动，其挪动速度 v 〔km/h 〕与时间是是t 〔h 〕的函数图象如下列图，过线段OC 上一点T 〔t ，0〕作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t 〔h 〕内沙尘暴所经过的路程s 〔km 〕.〔1〕当t=4时，求s 的值；〔2〕将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；〔3〕假设N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这 场沙尘暴是否会侵袭到N 城，假设会，在沙尘爆发生后多长时间是是它将 侵袭到N 城？假设不会，请说明理由.解：〔1〕由图象可知： 当t=4时，v=3×4=12, ∴s=21×4×12=24.22当10＜t≤20时，s=21×10×30+30〔t-10〕=30t-150； 当20＜t≤35时，s=21×10×30+10×30+(t -20)×30-21×(t -20)×2(t -20)=-t2+70t-550. 综上可知s=[](](]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈-+-∈-∈.35,20,55070,20,10,15030,10,0,2322t t t t t t t(3)∵t∈［0，10］时，smax=23×102=150＜650. t∈〔10，20］时，smax=30×20-150=450＜650. ∴当t∈〔20，35］时，令-t2+70t-550=650. 解得t1=30,t2=40,∵20＜t≤35,∴t=30，所以沙尘爆发生30h 后将侵袭到N 城.变式训练2：某工厂消费一种机器的固定本钱〔即固定投入〕为0.5万元，但每消费100台，需要加可变本钱〔即另增加投入〕0.25万元.场对此产品的年需求量为500台，销售的收入函数为R 〔x 〕=5x-22x 〔万元〕(0≤x≤5)，其中x 是产品售出的数量〔单位：百台〕. 〔1〕把利润表示为年产量的函数；〔2〕年产量是多少时，工厂所得利润最大？〔3〕年产量是多少时，工厂才不赔本？解：〔1〕当x≤5时，产品能售出x 百台； 当x ＞5时，只能售出5百台， 故利润函数为L 〔x 〕=R 〔x 〕-C 〔x 〕 =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+--⨯≤≤+--).5(25.012),50(5.0275.4)5()25.05.0()2555()50()25.05.0()25(222x x x x x x x x x x x2当x=5时，L(x)max=10.78125万元.当x ＞5时，L 〔x 〕=12-0.25x 为减函数，此时L 〔x 〕＜10.75(万元〕.∴消费475台时利润最大. 〔3〕由⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤≤.025.0125,05.0275.4,502x ，x x x x 或 得x≥5-5562.21=0.1(百台〕或者者x ＜48(百台). ∴产品年产量在10台至4800台时，工厂不赔本.例3.某居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为0元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户一一共交水费y 元，甲、乙两用户该月用水量分别为5x ，3x 吨.〔1〕求y 关于x 的函数；〔2〕假设甲、乙两户该月一一共交水费2元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.解：〔1〕当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨， y=〔5x+3x 〕×=1x;当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时， 即3x≤4且5x ＞4, y=4×+3x×+3×(5x -4)=20.4x-.当乙的用水量超过4吨时， 即3x ＞4,y=8×+3(8x -8)=24x-，所以y=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤≤)34(6.924).3454(8.44.20)540(4.14x x x x x x (2)由于y=f(x)在各段区间上均为单调递增，当x∈［0，54］时,y≤f〔54〕＜2;当x∈〔54，34］时，y≤f〔34〕＜2;当x∈〔34,+∞〕时，令24x-=2,解得x=, 所以甲户用水量为5x=吨， 付费S1=4×+×3=10〔元); 乙户用水量为3x=吨， 付费S2=4×+0.5×3=0〔元).变式训练3：1999年10月12日“世界60亿人口日〞，提出了“人类对生育的选择将决定世界将来〞的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.〔1〕世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？〔2〕我国人口在1998年底到达18亿，假设将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2021年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N 1.010 1.015 1.017 10 2.000 对数lgN 0.0043 0.0065 0.0073 0.1173 0.3010 数N 3.000 5.000 18 11 18 对数lgN0.47710.69901.0962176392解：〔1〕设每年人口平均增长率为x ，n 年前的人口数为y ， 那么y·(1+x)n=60，那么当n=40时，y=30， 即30(1+x)40=60，∴(1+x)40=2， 两边取对数，那么40lg(1+x)=lg2， 那么lg 〔1+x 〕=402lg =0.007525， ∴1+x≈1.017，得x=%.〔2〕依题意，y≤18〔1+1%〕10，得lgy≤lg18+10×lg1.01=392,∴y≤18，故人口至多有18亿.答每年人口平均增长率为%，2021年人口至多有18亿.小结归纳解决函数应用问题应着重注意以下几点：1．阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；2．建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目的表示为这个变量的函数，建立函数模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，不要忘记考察函数的定义域；3．求解函数模型：主要是计算函数的特殊值，研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值等，注意发挥函数图象的作用.4．复原评价：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科又要符合实际背景，因于解出的结果要代入原问题进展检验、评判最后作出结论，作出答复.。

本课内容是函数的应用，它的本质就是我们学习过的函数做为模型在现实问题刻画过程中的基本操作过程和常见函数图象与性质在应用中的升华•本课内容是课本必修1中第三章的重点内容之一，课本中还渗透了函数拟合的基本思想，这也为后面高中的学习做了铺垫。

通过本节的学习，要使学生从中体会函数模型刻画现实问题的基本过程并体会函数在数学及其它地方的应用的广泛性，能初步运用函数的思想解决现实生活中的一些简单问题，函数模型本身就来源于现实，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成【知识导图】教学过程」、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节, 是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状^态。

导入的方法很多，仅举两种方法：①情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象；②温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。

二、知识讲解（考点对实解决题进行抽象题的解题过程际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的主、被动关系，并用X、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型一般都是函数的解析式；（3 ）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解这些步骤用框图表示：间的关系，数据的单位等等；(2 )建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；(3)求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。

类型一、用函精图象刻画变化过程例题1(1) 设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()(2) 物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()答案与解析解析(1) y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A, C;又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B,故选D.(2)由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故函数的图象应一直是下凹的，故选 B.【总结与反思】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1) 构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2) 验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.例题2 I某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图2—10中(1)的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2—10中(2)的抛物线表示.图2—10(1)写出图中(1 )表示的市场售价与时间的函数关系式P= f (t);写出图中(2 )表示的种植成本与时间的函数关系式Q = g (t);(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102, kg ,时间单位：天)答案与解析f ( t )=严-兰200，、2t —300,200 ct 兰 300;(t - 150) 2+ 100, 0W W00.200(2)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t ) = f (t ) - g (t ),—- t^-^175,^^<200,即 h ( t )“2002 2Lt 27t-1025,20^J< 300..200 2 2得区间［0, 200］上的最大值 100;1 2当 200v t<300 时，配方整理得 h (t )=—(t — 350) 2+ 100，所以，当 t = 300 时，h200(t )取得区间(200, 300］ 上的最大值 87.5.综上，由100> 87. 5可知，h (t )在区间］0, 300］ 上可以取得最大值 100,此时t = 50 , 即从二月一日开始的第 50天时，上市的西红柿纯收益最大.类型二已知函数模型的实际问题候鸟例题年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现， 该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v = a • blog 3Q(其中a 、b 是实数).据10统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为 30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1) 求出a 、b 的值；⑵若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？答案与解析(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a bg 30 = 0,10解：(1)由图(1)可得市场售价与时间的函数关系为由图(2)可得种植成本与时间的函数关系为当0W€00时，配方整理得h (t )=-1 200(t — 50) 2+ 100,所以，当 t = 50 时，h (t )取90即a+ b= 0;当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s，故a ■ blog3= 1,整理得a+ 2b10=1.3+ b= 0, a=—1,解方程组彳得*3+ 2b= 1, b= 1.Q 一、Q⑵ 由(1)知，v=—1 + log 3yo・所以要使飞行速度不低于 2 m/s,则有v>2,即一1 + log 3和》2,Q 即log 3^>3,解得Q>270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s，则其耗氧量至少要270个单位.【总结与反思】求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1) 认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2) 根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.⑶利用该模型求解实际问题.类型三构造函数模型的实际问题A B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y12=4.1 x —0.1 x，在B地的销售利润(单位：万元)为y2= 2x,其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A. 10.5万元B. 11万元C. 43万元D. 43.025万元答案与解析解析设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16 —x)辆，所以22 2 21 2 21 可得利润y= 4.1 x —0.1 x + 2(16 —x) =—0.1 x + 2.1 x + 32=—0.1( x —-^) + 0.1 X —+ 32.因为x€ [0,16]，且x€ N,所以当x= 10或11时，总利润取得最大值43万元.例题2(1) 世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2 : 0.3010,100.0075 : 1.017 )( )A. 1.5% B . 1.6% C . 1.7% D . 1.8%(2) 某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A. 略有盈利B. 略有亏损C. 没有盈利也没有亏损D. 无法判断盈亏情况答案与解析答案⑴C (2)B40解析(1)设每年人口平均增长率为x，则(1 + X)= 2，两边取以10为底的对数，则40 lg(1+ x) = lg 2，所以lg(1 + x) ~0.007 5，所以100'007 5= 1 + X,得1 + x~ 1.017，所以x~ 1.7%.C⑵设该股民购进这支股票的价格为a元，贝U经历n次涨停后的价格为a(1 + 10%)n= a x 1.1 n元，经历n 次跌停后的价格为a x 1.1 n x(1 —10%)n= a x 1.1 n x0.9 n= a x(1.1 x0.9) n=0.99 n• a<a，故该股民这支股票略有亏损. B例题3某帀出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费);超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了km.答案与解析答案9解析设出租车行驶x km时，付费y元，9, 0<x<3,则y= 8 + 丄丨；〕x —v + 1, 3<x W8,v_8 + 2.15 x 5+ 2、号J x —8 + 1, x>8,由y= 22.6，解得x= 9.【总结与反思】构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.四、课堂运用1. 已基础方形ABCD勺边长为4,动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动.设点P运动的路程为x, △ ABP的面积为S,则函数S= f(x)的图象是()2. 某般空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.3. 一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到 的酒精含量以每小时 25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过 0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过 _______________ 小时才能开车.(精确到1小时)4. 某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 0.5万元，此外每年都要花 费一定的维护费，第一年的维护费为 2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年 增加2万元•为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为 ()A. 10 B • 11 C • 13 D • 21答案与解析1. 【答案】D【解析】依题意知当 0W x W4 时，f (x ) = 2x ；当 4<x W8 时，f (x ) = 8;当 8<x W 12 时，f (x ) = 24 — 2x , 观察四个选项知，选 D.2. 【答案】19【解析】由图象可求得一次函数的解析式为y = 30x — 570，令30x — 570= 0,解得x = 19.3. 【答案】(1)5【解析】设经过x 小时才能开车.x由题意得 0.3(1 — 25%) < 0.09 ,0.75 x < 0.3 , x > log 0.75 0.3 〜4.19.二 x 最小为 5. 4. 【答案】A【解析】设该企业需要更新设备的年数为 x ,设备年平均费用为y ,则x 年后的设备维护费用为 2 + 4 +…+ 2x = x (x + 1), 所以x 年的平均费用为100 + 0.5 x + x x + J. y = x100=x +v +1.5,A.巩固1.已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为0.3 mg/mL ,在停止喝酒后，血液中 由基本不等式得y =x + 型 + 1.5 >2x • ---- + 1.5V X=21.5，当且仅当 100即x = 10时取等号，所以选"400— 6x , 0<x w 40,(1) 写出年利润 W 万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2) 当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.答案与解析__ 2—6x + 384x — 40, 0<x w 40, 1 答案(1) W= 40 000——16x + 7 360 , x >40.解析(1)当 0<x w 40 时，W xR (x ) — (16 x + 40)2=—6x + 384X — 40, [2 分]当 x >40 时，W xR (x ) — (16 x + 40)40 000 =— —16x + 7 360.x__ 2—6x + 384x — 40 , 0<x w 40,所以W 40 000J — x — 16x + 7 360 , x >40.2⑵①当 0<x w 40 时，W=— 6(x — 32) + 6 104 , 所以 Wax = W (32) = 6 104 ; [6 分] ②当 x >40 时，Wl=—40 000— 16x + 7 360 ,即x = 50€ (40,+^)时，取等号 所以W 取最大值为5 760.［10分］ 综合①②知，当x = 32时，W 取得最大值6 104万元.拔高］1.用水清洗一堆蔬菜上残留的农药. 对用一定量的水清洗一次 的效果作如下假定：用1个单1位量的水可洗掉蔬菜上残留农药量的，用水越多洗掉的农药量也越多，但总还有农药残2留在蔬菜上.设用x 单位量的水清洗一次 以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农Rx)万美兀，且 Rx) = * 7 400 x40 000，x >4°.(2) W 取得最大值6 104万元.由于40 000x+ 16x >240 000 .xx 16x = 1 600当且仅当40 000x16x ,药量之比为函数f (x).(1)试规定f ( 0)的值，并解释其实际意义；(2)试根据假定写出函数f (x)应该满足的条件和具有的性质；1(3)设f (x)= -，现有a (a> 0)单位量的水，可以清洗一次，也1 +x2可以把水平均分成2份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由2. 有一个湖泊受污染，其湖水的容量为V立方米，每天流入湖的水量等于流出湖的水量。

高一数学必修知识点1《函数模型及其应用》教案高一数学必修知识点1《函数模型及其应用》教案函数模型本身就来源于现实，并用于解决实际问题，所以本节内容是通过对展现的实例进行分析与探究使得学生能有更多的机会从实际问题中发现或建立数学模型，并能体会数学在实际问题中的应用价值，同时本课题是学生在初中学习了函数的图象和性质的基础上刚上高中进行的一节探究式课堂教学。

下面和一起看看有关高一数学必修知识点1《函数模型及其应用》教案。

高一数学必修知识点1《函数模型及其应用》教案【内容】建立函数模型刻画现实问题【内容解析】在一个具体问题的解决过程中，学生可以从理解知识升华到熟练应用知识，使他们能辩证地看待知识理解与知识应用间的关系，与所学的函数知识前后紧紧相扣，相辅相成。

；另一方面，函数模型本身就是与实际问题结合在一起的，空讲理论只能导致学生不能真正理解函数模型的应用和在应用过程中函数模型的建立与解决问题的过程，而从简单、典型、学生熟悉的函数模型中挖掘、提炼出来的思想和方法，更容易被学生接受。

同时，应尽量让学生在简单的实例中学习并感受函数模型的选择与建立。

因为建立函数模型离不开函数的图象及数据表格，所以会有一定量的原始数据的处理，这可能会用到电脑和计算器以及图形工具，而我们的教学应更加关注的是通过实际问题的分析过程来选择适当的函数模型和函数模型的构建过程。

在这个过程中，要使学生着重体会的是模型的建立，同时体会模型建立的可操作性、有效性等特点，学习模型的建立以解决实际问题，培养发展有条理的思维和表达能力，提高逻辑思维能力。

【教学目标】（1）体现建立函数模型刻画现实问题的基本过程.（2）了解函数模型的广泛应用（3）通过学生进行操作和探究提高学生发现问题、分析问题、解决实际问题的能力（4）提高学生探究学习新知识的兴趣，培养学生，勇于探索的科学态度【重点】了解并建立函数模型刻画现实问题的基本过程，了解函数模型的广泛应用【难点】建立函数模型刻画现实问题中数据的处理【教学目标解析】通过对全班学生中抽样得出的样本进行分析和处理，使学生认识到本节课的重点是利用函数建模刻画现实问题的基本过程和提高解决实际问题的能力，在引导突出重点的同时能过学生的小组合作探究来突破本节课的难点，这样，在小组合作学习与探究过程中实现教学目标中对知识和能力的要求（目标1，2，3）在如何用函数建模刻画现实问题的基本过程中让学生亲身体验函数应用的广泛性，同时提高学生探究学习新知识的兴趣，培养学生主动参与、自主学习、勇于探索的科学态度，从而实现教学目标中的德育目标（目标4）【学生学习中预期的问题及解决方案预设】①描点的规范性；②实际操作的速度；③解析式的计算速度④计算结束后不进行检验针对上述可能出现的问题，我在课前课上处理是，课前给学生准备一些坐标纸来提高描点的规范性，同时让学生使用计算器利用小组讨论来进行多人合作以期提高相应计算速度，在解析式得出后引导学生得出的标准应该是只有一个的较好的，不能有很多的标准，这样以期引导学生想到对结果进行筛选从而引出检验.【教学用具】多媒体辅助教学（ppt、计算机）。

函数模型及其应用教学设计编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（函数模型及其应用教学设计）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为函数模型及其应用教学设计的全部内容。

函数模型及其应用(一）教学设计一、教学目标1、通过一些实例，让学生感受建立函数模型的过程和方法;2、认识到函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，能初步运用函数思想解决现实生活中的一些简单问题；3、恰当运用函数的三种表示法(解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题；4、培养学生学习数学的兴趣，使学生感受到数学的实用性。

二、教学重难点本节课的教学重点是让学生学会将实际问题转化为数学问题,并对得到的函数模型进行解答，得出数学的解。

本节课的教学难点是让学生掌握如何选择数学模型分析解决实际问题。

三、学情分析1、本节课的授课对象为高一新生；2、学生已经初步掌握了一次函数、二次函数、指数函数,对数函数的性质及其图象；3、学生个性活泼,思维活跃，学习积极性高，已具有对数学问题进行合理探究的能力；4、学生缺少生活的积累与历练.四、教学策略根据本节知识的特点与课标要求1、教学过程采用多媒体2、以探究式体验教学为主，做好充分的课前准备，备学生、备教材、备教法，利用PPT结合几何画板、EXCEL软件做好课件以便更高效的完成课堂教学。

五、教学过程。