2019-2020年高中数学 第三章 直线与方程章末知识整合 新人教A版必修2
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2019-2020年高中数学 第三章 直线与方程章末知识整合 新人教A
版必修2
专题一 直线的倾斜角和斜率
直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念,它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度.
1.倾斜角α与斜率k 的对应关系:当α≠90°时,k =tan α;当α=90°时,k 不存在.
2.单调性:当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时,k 由0逐渐增大到+∞(不存在),然后由-∞(不存在)逐渐增大到0.
3.经过两点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)的直线的斜率k =y 2-y 1
x 2-x 1
(x 1≠x 2),注意当x 1=x 2时,直线斜率不存在.
已知坐标平面内三点A (-1,1),B (1,1),C (2,3+1). (1)求直线AB ,BC ,AC 的斜率和倾斜角;
(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点,求直线CD 斜率k 的取值范围.
解析:(1)k AB =1-1
1-(-1)=0,
∴AB 倾斜角为0°.
k BC =
3+1-1
2-1
=3,
∴BC 倾斜角为60°.
k AC =
3+1-12+1=3
3
,
∴AC 倾斜角为30°.
(2)如题图,当D 在AB 上变化时,斜率k 由k CA 增大到k CB , ∴k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
33,3. ►跟踪训练
1.若直线ax +y +2=0与连接点A (-2,3),B (3,2)的线段有交点,则a 的取值范围是________.
解析:容易发现,直线ax +y +2=0过定点P (0,-2),因此,要使直线与线段AB 始终有交点,如图所示,当直线绕P 点在PA 、PB 之间旋转时,直线ax +y +2=0与连接点A (-2,3)、B (3,2)的线段有交点,而ax +y +2=0的斜率k =-a ,当直线由PB 开始绕P 点逆时针旋转时(不与y 轴重合),到PA 为止,直线与线段AB 始终有交点,此时,斜率的变化为:当直线ax +y +2=0的倾斜角为锐角时:k ≥k PB ,而k PB =43,即-a ≥43,所以a ≤-4
3
;
当直线ax +y +2=0的倾斜角为钝角时:
k ≤k PA ,而k PA =-52
,
即:-a ≤-52,所以a ≥5
2.
答案:⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,-43∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫52,+∞
2.过点A (8,6)引三条直线l 1,l 2,l 3,它们的倾斜角之比为124,若直线l 2的方程是y =3
4
x ,求直线l 1,l 3的方程. 解析:设直线l 2的倾斜角为α,
则tan α=34,于是tan α2=1-cos α
sin α=1-4535=13
,
tan 2α=2tan α1-tan 2
α=2×34
1-⎝ ⎛⎭⎪
⎫342=24
7. 故直线l 1的方程为y -6=1
3(x -8),
即x -3y +10=0.
l 3的方程为y -6=247
(x -8),
即24x -7y -150=0. 专题二 两直线的平行与垂直 两直线平行或垂直的判定方法:
如果直线ax +2y +2=0与直线3x -y -2=0平行,那么系数a 等于( ) A .-6 B .-3 C .-32 D.2
3
解析:由题意⎩
⎪⎨⎪⎧a ×(-1)-2×3=0,
a ×(-2)-3×2≠0,得a =-6.
答案:A ►跟踪训练
3.已知直线l 1经过点A (2,a ),B (a -1,3),直线l 2经过点C (1,2),D (-2,a +2). (1)若l 1∥l 2,求a 的值; (2)若l 1⊥l 2,求a 的值. 解析:直线l 2的斜率为k 2,则
k 2=
2-(a +2)1-(-2)=-a 3
.
(1)若l 1∥l 2,则l 1的斜率k 1=-a
3
,
又k 1=a -3
3-a
=-1,∴a =3.
(2)若l 1⊥l 2,
①当k 2=0时,此时a =0,且k 1=-1,不合题意. ②当k 2≠0时,l 1的斜率存在,且k 1=-1, 由k 2·k 2=-1,可得a =-3. 专题三 直线方程的五种表示形式
直线方程的五种形式各有优劣,在使用时要根据题目条件灵活选择,注意每一种方程形式的适用条件,必要时对特殊情况进行讨论.
过点P (-1,0),Q (0,2)分别作两条互相平行的直线,使它们在x 轴上截距之差的绝对值为1,求这两条直线的方程.
解析:当两条直线的斜率不存在时,两条直线的方程分别是x =-1,x =0,它们在x 轴上截距之差的绝对值为1,适合题意.
当两条直线斜率存在时,设其斜率为k ,则两条直线的方程分别为y =k (x +1),y -2=
kx .
令y =0,得x =-1与x =-2
k
.
由题意|-1+2
k
|=1,即k =1.
∴直线的方程为y =x +1,y =x +2, 即x -y +1=0,x -y +2=0.
综上可知,适合题意的直线方程为x=-1,x=0或x-y+1=0,x-y+2=0.
►跟踪训练
4.求过点P(1,2)的直线,且使A(2,3),B(0,-5)到它的距离相等的直线方程.解析:x=1显然符合条件;当A(2,3),B(0,-5)在所求直线的同侧时,k AB=4,∴y -2=4(x-1),
即4x-y-2=0.
综上,符合题意的直线方程为x=1或4x-y-2=0.
5.已知直线Ax+By+C=0,
(1)系数为什么值时方程表示通过原点的直线.
(2)系数满足什么关系时与坐标轴都相交.
(3)系数满足什么条件时只与x轴相交.
(4)系数满足什么条件时是x轴.
解析:(1)把原点(0,0)代入Ax+By+C=0,得C=0;
(2)此时斜率存在且不为零即A≠0且B≠0;
(3)此时斜率不存在,且不与y轴重合,即B=0且C≠0;
(4)A=C=0,且B≠0.
专题四距离问题
两点间的距离、点到直线的距离、平行线间的距离是高考考查热点,公式见下表:
直线l在两坐标轴上的截距相等,且P(4,3)到直线的距离为32,求直线l的方程.
解析:当所求直线经过坐标原点时,设其方程为y=kx,由点到直线的距离公式可得32