随机过程习题解答(一)

所以 ς (t ) ~ N (0,1) 。
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（4） 由于：
2ω
π
2
∫
π ω
0
ς 2 (t )dt = ξ 2 + η 2
2
所以 P ( A) = P (ξ + η > c) ，因此 当 c ≤ 0 时，
P ( A) = 1
当 c > 0 时，
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随机过程习题解答（一）
第一讲作业：
1、设随机向量 ( X , Y ) 的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布 N (0,1) 。 （a）分别写出随机变量 X + Y 和 X − Y 的分布密度 （b）试问： X + Y 与 X − Y 是否独立？说明理由。 解： （a） X + Y ~ N (0,2), （b）由于：
R XX (t1 , t 2 ) = E{ X (t1 ) X (t 2 )} = = ∫ A 2 cos(ω c t1 + ϕ ) cos(ω c t 2 + ϕ )
−π
π
A2 1 dϕ = cos(ω c (t1 − t 2 )) 2π 2
=
π
A2 cos ω cτ τ = t1 − t 2 2 1 A2 dϕ = 2π 2
D{ X (t )} = ∫ A 2 cos 2 (ω c t + ϕ )
−π
（b） R XY (t1 , t 2 ) = E{ X (t1 )Y (t 2 )} = 0
第二讲作业：
P33/2．解：
ξ (t ) =
A 0
nT < t ≤ nT + η nT + η < t ≤ (n + 1)T
2 2
（a）试求 Z = XY 和 X 的相关系数； （b） Z 与 X 能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。 解： （a）利用 X , Y 的独立性，由计算有：
Cov( Z , X ) = E{[ XY − E ( XY )][ X − E ( X )]} = [σ 12 + µ12 ]µ 2 − µ12 µ 2 = σ 12 µ 2
) ( µσ
=
2 1
σ1 µ2
2 2 2 2 + σ 12 µ 2 + σ 12σ 2
)
（b）当 ρ XZ = 1 的时候， Z 和 X 线性相关，即
2 2 2 2 µ12σ 2 + σ 12 µ 2 + σ 12σ 2 = σ 12 µ 2
3 、 设 { X (t ), t ≥ 0} 是 一 个 实 的 均 值 为 零 ， 二 阶 矩 存 在 的 随 机 过 程 ， 其 相 关 函 数 为
P37/10. 解： （1） E (η ( n)) = nE (ξ i ) = n ⋅ [ q ⋅ ( −1) + p ⋅ 1] = n( p − q ) （2） Rηη (n1 , n 2 ) = E (
∑ξi ⋅ ∑ ξ j ) = E(
i =1 j =1
n1
n2
1≤i ≤ n1 1≤ j ≤ n2
(2 )
（1） P
1 − p 0 =P = 1 0 1 − p 0
2
p 1 − p 0 (4 ) 4 0 ， P = P = 1 0 p 1 − p 0
(n )
p (2 ) 0 =P p
（2）由（1）的结论，当 n 为偶数时，递推可得： P 计算有： P
P35/4. 解：(1)
ς (t ) = V sin (ωt + φ )
其中 φ = tan
−1
ξ , V = ξ 2 +η 2 η
由题意可知， (ξ ,η ) 的联合概率密度为：
f (ξwk.baidu.com,η ) ( x, y ) =
利用变换：
1 exp{−( x 2 + y 2 ) / 2} 2π
x = v cos ϕ ⇒ v = x2 + y2 = ϕ y v sin ∂x ∂v J= ∂y ∂v
2 2 2 2 D( Z ) = E ( Z 2 ) − E 2 ( Z ) = E ( X 2 ) E (Y 2 ) − µ12 µ 2 = µ12σ 2 + σ 12 µ 2 + σ 12σ 2
ρ ZX =
2 2 2 σ 1 µ12σ 2 + σ 12 µ 2 + σ 12σ 2
(
σ 12 µ 2
1 2π
0 ≤ ϕ ≤ 2π
（3）给定一时刻 t ，由于 ξ , η 独立、服从正态分布，因此 ς (t ) 也服从正态分布，且
E (ς (t )) = E (ξ cos ωt + η sin ωt ) = cos ωtE (ξ ) + sin ωtE (η ) = 0 D(ς (t )) = D(ξ cos ωt + η sin ωt ) = D(ξ cos ωt ) + D(η sin ωt ) = cos 2 ωtD(ξ ) + sin 2 ωtD(η ) = 1
(3 )
= P (n + 2 ) ；
= P (1) ⋅ P (2 ) = P (1) ，递推得到 P (n ) = P (n + 2 ) ，因此有：
0 1 − p 0 = 1 − p 0 1 − p 1 0 1 0 1 0 0 p 0 p 0 p
∑ξ ξ
i
j
)=
2
1≤i ≤ n1 1≤ j ≤ n2
∑ E (ξ ξ
i
j
)
当 i = j 时， E (ξ i ξ j ) = 1 ；否则 E (ξ i ξ j ) = ( p − q ) 令 n = min(n1 , n 2 ) ， N = max(n1 , n2 ) ，则有
Rηη (n1 , n 2 ) =
= P{ ξ (2) = 1ξ (1) = 1}⋅ P{ ξ (1) = 1ξ (0) = 0}⋅ P{ξ (0) = 0}
=
（2）由齐次马氏链的性质，有：
P (2 )
7 16 16 36 13 48
1 4 13 ， 36 31 48
因此： P01 =
(2 )
7 16
P112/9．解：
1
(2) 由协方差函数的定义，有：
Cξξ (t1 , t 2 ) = Rξξ (t1 , t 2 ) − ∫ η cos t1 cos t 2 dη ⋅ ∫ η cos t1 cos t 2 dη
0 0
1 1 1 = cos t1 cos t 2 − cos t1 cos t 2 = cos t1 cos t 2 3 4 12
ϕ = tg −1
∂x ∂ϕ =v ∂y ∂ϕ
y ，及雅克比行列式： x
我们有 (V , φ ) 的联合分布密度为：
− 1 f (V ,φ ) (v, ϕ ) = ve 2 2π v2
v ≥ 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π
因此有：
f V (v) = ve
−
v2 2
v≥0
f φ (ϕ ) =
且 V 和 φ 相互独立独立。 （2）典型样本函数是一条正弦曲线。
第三讲作业：
P111/7．解： （1）是齐次马氏链。经过 n + 1 次交换后，甲袋中白球数仅仅与 n 次交换后的状态有关，和
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之前的状态和交换次数无关。 （2）由题意，我们有一步转移矩阵：
0 1 P = 9 0 0
D[ X (t ) − X (t + T )] = D[ X (t )] + D[ X (t + T )] − 2 E{[ X (t ) − EX (t )][ X (t + T ) − EX (t + T )]} = B(0) + B(0) − 2 E{ X (t ) X (t + T )} = B(0) + B(0) − 2 B(T ) = 0
X +Y 是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为： X −Y 1 1 1 0 1 1 2 0 D = BE2 B T = 0 2 1 − 1 = 1 − 1 0 1
因此 X + Y 与 X − Y 独立。 2、设 X 和 Y 为独立的随机变量，期望和方差分别为 µ1 , σ 1 和 µ 2 , σ 2 。
1 4 9 4 9 0
0 4 9 4 9 1
0 0 1 9 0
P111/8．解： （1）由马氏链的马氏性，我们有：
P{ξ (0) = 0, ξ (1) = 1, ξ (2) = 1} = 1 3 1 1 ⋅ ⋅ = 3 4 4 16 5 16 7 = P2 = 36 1 12
4、考察两个谐波随机信号 X (t ) 和 Y (t ) ，其中：
X (t ) = A cos(ω c t + φ ), Y (t ) = B cos(ω c t )
式中 A 和 ω c 为正的常数； φ 是 [− π , π ] 内均匀分布的随机变量， B 是标准正态分布的随机 变量。 （a）求 X (t ) 的均值、方差和相关函数； （b）若 φ 与 B 独立，求 X (t ) 与 Y (t ) 的互相关函数。 解： （a） E{ X (t )} = 0
E{ X ( s ) X (t )} = B(t − s ), s ≤ t ，且是一个周期为 T 的函数，即 B (τ + T ) = B(τ ), τ ≥ 0 ，
试求方差函数 D[ X (t ) − X (t + T )] 。
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解：由定义，有：
n 是奇数
P
(n )
n 是偶数
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P112/11．解：矩阵 P 的特征多项式为：
f (λ ) = λI − P =
λ + a −1
−b
−a = (λ − 1)(λ + a + b − 1) λ + b −1
由此可得特征值为： λ1 = 1, λ 2 = 1 − a − b ，及特征向量：
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P33/3．解：由周期性及三角关系，有：
ξ (t ) =
反函数 τ 0 = T + t −
A (t + T −τ 0 ) T
t ∈ [τ 0 − T , τ 0 ]
T ξ (t ) ，因此有一维分布： A
1 dτ 0 1 T 1 = ⋅ = f ξt ( x) = T dx T A A 0 x ∈ (0, A) 其它
P ( A) = 1 − P( ξ 2 + η 2 ≤ c )
由（1）中的结论，有： P ( A) = 1 − FV ( c ) = e
− c 2
P36/7．证明： (1)
Rξξ (t1 , t 2 ) = ∫ η 2 cos t1 cos t 2 dη =
1 0
1
1 cos t1 cos t 2 3
X − Y ~ N (0,2)
1 1 X X + Y 1 1 X 1 − 1 , det B = −2 ≠ 0 Y , B = 1 − 1 Y = B X −Y =
因此
其中 n 为整数，η 为脉宽
0 Fξ ( x, t ) = P{η < t ≤ T } = 1
从而有一维分布密度：
0 t T 1
x<0 0≤ x< A x≥ A
f ξ t ( x, t ) =
t t δ ( x ) + 1 − δ ( x − A) T T
A1 = (1, 1) , A2 = (a, − b ) ，
T T
令矩阵 A =
1 a ，则有： 1 − b 0 1 A −1 PA = 0 1 − a − b
1≤i ≤ n1 1≤ j ≤ n2 i≠ j
∑ E (ξ ξ
i
j
) + n ⋅ 1 = [n ⋅ ( N − 1)]( p − q ) 2 + n = (n1 ⋅ n 2 − n)( p − q ) 2 + n
Cηη (n1 , n 2 ) = Rηη (n1 , n 2 ) − E (η (n1 )) ⋅ E (η (n2 )) = (n1 ⋅ n2 − n)( p − q ) 2 + n − n1 ( p − q ) ⋅ n 2 ( p − q ) = 4npq