电磁场仿真实验报告
电气工程学院 2011级2班 2011302540056 黄涛实验题目：
有一极长的方形金属槽，边宽为1m，除顶盖电位为100sin (pi*x)V外，其它三面的电位均为零，试用差分法求槽内点位的分布。
1、有限差分法的原理
它的基本思想是将场域划分成网格，用网格节点的差分方程近似代替场域内的偏微分方程，然后解这些差分方程求出离散节点上位函数的值。
一般来说，只要划分得充分细，其结果就可达到足够的精确度。
差分网格的划分有多种不同的方式，这里将讨论二维拉普拉斯方程的正方形网格划分法。
如下图1所示，用分别平行与x，y轴的两组直线把场域D划分成许多正方行网格，网格线的交点称为节点，两相邻平行网格线间的距离h称为步距。
用表示节点处的电位值。利用二元函数泰勒公式，可将与节点（x
i，y
）直接相邻的节点上的电位值表示为
i
上述公式经整理可得差分方程
这就是二维拉普拉斯方程的差分格式，它将场域内任意一点的位函数值表
示为周围直接相邻的四个位函数值的平均值。这一关系式对场域内的每一节点
都成立，也就是说，对场域的每一个节点都可以列出一个上式形式的差分方程，所有节点的差分方程构成联立差分方程组。
已知的边界条件经离散化后成为边界点上已知数值。若场域的边
界正好落在网格点上，则将这些点赋予边界上的位函数值。一般情况下，场域
的边界不一定正好落在网格节点上，最简单的近似处理就是将最靠近边界点的
节点作为边界节点，并将位函数的边界值赋予这些节点。
2、差分方程的求解方法：简单迭代法
先对静电场内的节点赋予迭代初值，其上标（0）表示初始近似值。然后再按
下面的公式：
进行多次迭代（k=0,1,2,3…）。当两次邻近的迭代值差足够小时，就认为得到了电位函数的近似数值解。
实验程序：
a=zeros(135,135);
for i=1:135 a(i,i)=1;
end;
for i=1:7
a(15*i+1,15*i+2)=-0.25;a(15*i+1,15*i+16)=-0.25;a(15*i+1,15*i-14)=-0.25;
end
for i=1:7
a(15*i+15,15*i+14)=-0.25;a(15*i+15,15*i+30)=-0.25;a(15*i+15,15*i)=-0.25;
end
a(1,2)=-0.25;a(1,16)=-0.25;
a(121,122)=-0.25;a(121,106)=-0.25;
a(135,134)=-0.25;a(135,120)=-0.25;
a(15,14)=-0.25;a(15,30)=-0.25;
for i=2:14 a(i,i-1)=-0.25;a(i,i+1)=-0.25;a(i,i+15)=-0.25;
end
for i=122:134 a(i,i-1)=-0.25;a(i,i+1)=-0.25;a(i,i-15)=-0.25;
end
for i=1:7
for j=2:14;
a(15*i+j,15*i+j-1)=-0.25;
a(15*i+j,15*i+j+1)=-0.25;
a(15*i+j,15*i+j+15)=-0.25;
a(15*i+j,15*i+j-15)=-0.25;
end
end
b=a^(-1);
c=zeros(135,1);
for i=121:135 c(i,1)=25;
end
d=b*c;s=zeros(11,17);for i=2:16 s(11,j)=100*sin(pi.*i); end for i=1:9 for j=1:15
s(i+1,j+1)=d(15*(i-1)+j,1); end end
subplot(1,2,1),mesh(s) axis([0,17,0,11,0,100]) subplot(1,2,2),contour(s,32) 实验结果如下：
以上是划分为135*135个网格的过程，同理可有如下数据：
5
10
15
1
2345678910
11
（1）将题干场域划分为16个网格，共有25各节点，其中16个边界的节点的电位值是已知，现在要解的是经典场域内的9个内节点的电位值。而且先对此场域内的节点赋予了迭代初值均为1.
第十七次迭代值：
0 70.7107 100.0000 70.7107 0
0 33.1810 46.9251 33.1811 0
0 15.0887 21.3387 15.0887 0
0 5.8352 8.2523 5.8352 0
0 0 0 0 0
第二十次迭代值：
0 70.7107 100.0000 70.7107 0
0 33.1812 46.9253 33.1812 0
0 15.0888 21.3388 15.0888 0
0 5.8353 8.2523 5.8353 0
0 0 0 0 0
当第十七次迭代以后，9个内节点的电位就不再发生变化了
（2）现在对此场域内的节点赋予了迭代初值均为6，并且进行了20次的迭代，最终场域内的9个节点的电位值如下：
0 70.7107 100.0000 70.7107 0
0 33.1812 46.9253 33.1812 0
0 15.0888 21.3388 15.0888 0
0 5.8353 8.2524 5.8353 0
0 0 0 0 0
由（1）与（2）的仿真结果最终可知：
在求解区域范围、步长、边界条件不变的情况下，迭代的次数越多，计
算的结果的精确度约高。反之，迭代的次数越少，计算结果的精确度就越低。
在求解区域范围，步长、边界条件不变的情况下，静电场域内节点的电位值与初次对节点赋予的初值没有关系。
（3）将题干场域划分为100个网格，共有121个节点，其中40个边界的节点的电位值是已知，现在要解的是经典场域内的81个内节点的电位值。而且先对此场域内的节点赋予了迭代初值均为3.
