利用极坐标解圆锥曲
线题
利用极坐标解题
知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一
条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．
以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ
ρcos 1e ep
-=.
其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；
当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；
当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.
引论（1）若 1+cos ep
e ρθ
=
则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep
e ρθ
=
当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆
当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep
e ρθ
=
当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编
（1）二次曲线基本量之间的互求
例1.（复旦自招）确定方程10
53cos ρθ
=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴
长。
解法一：3102
5333
1cos 1cos 55ρθθ?
==--
31053
e P ∴==，
2332555851015
103383c a c a a b a c c c
???===??????∴?????
???-===??????
52
b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25
54
长轴长，短轴长
解法二：转化为直角坐标 （2）圆锥曲线弦长问题
若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，
1、椭圆中，c
b c c a p 2
2=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.
若椭圆方程为，半焦距为，焦点
，
设过
的直线的倾斜角为
交椭圆于A 、B 两点，求弦长
。
解：连结，设，由椭圆定义得
，由余弦定理得
，整理可得，同理可求得
，则弦长
。
同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a 为长半轴，b 为短半
轴，c 为半焦距）
结论：椭圆过焦点弦长公式：
2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。） 若M 、N 在双曲线同一支上，
θ
θπθ2222
cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=
--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2
222
cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ
设双曲线
，其中两焦点坐标为
，过
的直线的倾斜角为
，交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB|。
解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A 、B
在同一交点上，连
，设
，由双曲线定义可得
，由余弦定理可得
整理可得，同理
，则可求得弦长
。
（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B 在两支上，连，设，则，
，由余弦定理可得，
整理可得，则
因此焦点在x轴的焦点弦长为
同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式
其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。
3、抛物线中，θ
θπθ2
sin 2)cos(1cos 1p
p p MN =--+-=
若抛物线与过焦点的直线相交于A 、B 两点，若的倾斜角
为
，求弦长|AB|？（图4）
解：过A 、B 两点分别向x 轴作垂线为垂足，设，
，则点A 的横坐标为，点B 横坐标为，由抛物线定义
可得
即
则
同理的焦点弦长为