21届河北省高三年级11月份联合考试
数学
考生注意：
1．本试卷共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数，导数，三角函数，向量，数列，不等式，立体几何．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{ln(2)0}A x x =-，{
}
2
2950B x x x =--<，则A B ?=（ ） A ．(2,5) B ．[2,5) C ．[3,5) D ．(3,5)
2．在公比为q 的正项等比数列{}n a 中，已知1339,210a a a q =+=，则q =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．函数1()1f x x =+
的图象在点11,22f ??
?? ? ?????
处的切线斜率为（ ） A ．4 B ．4- C ．2 D ．2-
4．设,x y ∈R ，则“1x 且1y ”是“2
2
1x y +≥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是正方形11CDD C 的中心，点Q 在线段1AA 上，且11
3
AQ AA =，E 是BC 的中点，则异面直线,PQ DE 所成角的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°
6．已知
2sin 22sin 1
,(0,)1tan 3
αααπα+=-∈+，则cos sin αα-=（ ）
A ．3-
B ．3
C ．3-
D ．3
7．如图，战国商鞅铜方升是公元前344年商鞅督造的标准量器．秦始皇统中国后，仍以商鞅所规定的制度
和标准统一全国的度量衡．经测量，该铜方升内口（长方体）深1寸，内口长是宽的1.8倍，内口的表面积（不含上底面）为33平方寸，则该铜方升内口的容积为（ ）
A ．5.4立方寸
B ．8立方寸
C ．16立方寸
D ．16.2立方寸
8．已知ABC 所在的平面内一点P （点P 与点A ，B ，C 不重合），且523AP PO OB OC =++，则ACP 与BCP 的面积之比为（ ）
A ．2:1
B ．3:1
C ．3:2
D ．4:3
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9．已知函数()cos()0,||2f x x πω?ω??
?
=+><
??
?
，
其图象相邻两条对称轴之间的距离为4
π，且直线12x π
=
是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为
2
π
B ．3182f π??=-
?
??
C ．函数()f x 在区间,612ππ??
-
????
上单调递增 D ．点7,024π??
-
???
是函数()f x 图象的一个对称中心 10．下列函数有两个零点的是（ ） A ．()e 1x
f x x =--B ．1
()|1|12
f x x x =+-
- C ．3
2
()331f x x x x =++-D ．()ln 2f x x x =-+
11．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄
金矩形12AB ABCD BC
??
=
???中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作弧BE ；然后在黄金矩形
CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作弧EG ；……；如此继续下去，这些弧就连接
成了斐波那契螺线．记弧,,BE EG GI 的长度分别为l ，m ，n ，则下列结论正确的是（ ）
A ．l m n =+
B ．2m l n =?
C ．2m l n =+
D ．
111
m l n
=+ 12．设0.34log 0.5,log 0.5a b ==，则下列结论正确的是（ ） A ．0ab C ．2(1)ab a + 22 116a b +> 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知正数a ，b 满足1ab =，则49a b +的最小值为______． 14．在ABC 中，90,3,2,C AC BC D ? ∠===为BC 的中点，E ，F 都在线段AB 上，且AE EF FB ==， 则DE CF ?=_______． 15．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA =，P 是侧面11BCC B 内 一动点，HP =CP 的最小值为_______． 16．已知数列{}n a 满足{}1 112,(1) ,n n n n a a a n a ++=+-=的前n 项和为n S ，则61S =______． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 在①224,6n n a a S +-==，②353516,42a a S S +=+=，③222n n S a n =+三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答． 问题：设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，__________，求数列1n S ?? ???? 的前n 项和． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（12分） 已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ω?ω?π=+>><<的部分图象如图所示． （1）求函数()f x 的解析式； （2）当91,22x ?? ∈-???? 时，求函数()(3)y f x x =++的最值． 19．（12分） 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，124AA AB ==，M ，N ，P 分别是11,,AD DD CC 的中点． （1）证明：平面//MNC 平面1AD P ． （2）求直线DP 与平面MNC 所成角的正弦值． 20．（12分） 如图，在三棱锥A BCD -中，1 22 AB AD CD BC === =，E 为BC 的中点BD CD ⊥，且AE =． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABD ． （2）求平面ABC 与平面ACD 所成锐二面角的余弦值． 21．（12分） 已知函数()|3|f x x a x =++，[1,2]x ∈，1 ()42 1x x g x a +=+?+，[1,2]x ∈． （1）若3,()a f x -在[1,2]上的最大值与最小值之和为10，求a 的值； （2）若对任意的1[1,2]x ∈，总存在2[1,2]x ∈，能使()()120f x g x +，求实数a 的取值范围． 22．（12分） 已知函数2 ()e x f x ax =-． （1）设函数()()g x f x '=，讨论()g x 的单调性； （2）当(1,)x ∈+∞时，()2 e f x > 恒成立，求a 的取值范围． 21届河北省高三年级11月份联合考试 数学参考答案 1．C 本题考查集合的运算，考查运算求解能力． 因为1{3},52A x x B x x ?? ==- < ? ，所以{35}A B x x ?=<． 2．A 本题考查等比数列的性质，考查运算求解能力． 因为2 1329a a a ==，所以23a =．又3210a q +=，所以3210q q +=，解得2q =． 3．B 本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力． 因为1()1f x x =+ ，所以211(),42f x f x ' '??=-=- ??? ． 4．A 本题考查常用逻辑用语的知识，考查推理论证能力． 因为1x 且1y 所以2 1x 且21y 1，所以2221x y +≥>；若22 1x y +，可取0,1x y ==-，不满足1 x 且1y ，所以前者是后者的充分不必要条件，选A ． 5．D 本题考查异面直线所成角的大小，考查空间想象能力． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，PQ 在底面ABCD 的射影为AM ，可证DE ⊥平面AMPQ ，而 PQ ?平面AMPQ ，那么DE PQ ⊥，则异面直线,PQ DE 所成角的大小为90°． 6．C 本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力． 因为 2sin 22sin 2sin cos (cos sin )2sin cos 1tan cos sin a αααααααααα++==++，所以12sin cos 3 αα=-， 且,2παπ?? ∈ ??? ，又24(cos sin )12sin cos 3αααα-=-= ，所以cos sin αα-= 7．D 本题考查数学文化与空间几何体的表面积与体积，考查空间想象能力． 设内口宽为a 寸，则长为1.8a 寸，由2 2( 1.8) 1.833a a a ++=，整理得29281650a a +-=，解得3a =（55 9 a =- 舍去），故所求的容积为3(1.83)116.2???=立方寸． 8．A 本题考查平面向量的线性表示，考查运算求解能力． 由523AP PO OB OC =++化简得11 32 AP AB AC = +，故 2E APC P C S S =． 9．ACD 本题考查三角函数的性质，考查运算求解能力． 因为()f x 图象相邻两条对称轴之间的距离为 4 π，即()f x 的最小正周期为242π π ?=，所以4ω=，即 ()cos(4)f x x ?=+，A 正确；又直线12 x π = 是其中一条对称轴，所以 ,3 k k π ?π+=∈Z ，即 ,3 k k π?π=-∈Z ，由||2 π?<，得3 π?=-，所以()cos 43f x x π? ?=- ?? ? ，从而 33cos 8 232f πππ????=-=- ? ????? ，所以B 错误：由242,3k x k k ππππ--∈Z ，解得单调递增区间为,,26212k k k ππππ?? -+∈???? Z ，取0k =可知C 正确：由4,32x k k πππ-=-∈Z ，解得,424k x k ππ=-∈Z ，取1k =-可知D 正确． 10．BD 本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想． 对于选项A ，函数x y e =与1y x =+的图象相切于点(0,1)，因此()1x f x e x =--只有一个零点：对于选项B ，画出|1|y x =+和1 12 y x = +的图象（图略）可知它们有两个交点；对于选项C ，22()3633(1)0f x x x x '=++=+≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 在(,)-∞+∞上最多 只有一个零点；对于选项D ，因为1()x f x x ' -= ，易知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以max ()(1)1f x f ==，所以()f x 有两个零点．故答案为BD ． 11．AB 本题考查弧长的计算，考查运算求解能力． 不妨设1AB = ，则2BC =，所以121)4l π= ??-=．因为3ED = 1(3 2(342m ππ-= ??-=．同理可得14)24)42 n π π=??=．所以2111 ,,2, l m n m l n m l n m l n =+=?≠+≠+，所以A ，B 正确，C ，D 错误． 12．ABD 本题考查指数、对数的运算及比较大小，考查推理论证能力． 易知0,0a b ><，所以A 正确：因为 0.50.50.511log 0.3log 4log 1.20a b +=+=<，即0a b ab +<，又0ab <，所以0a b +>，B 正确；又 0.5411log 0.31,log 0.52b a =>==-，所以1111 22 b a a +=->，从而 2(1)ab a +>，C 错误；又 ()()22 60.50.52222 1110log 0.3log 44log log 263a b +=+>>=，可知D 正确，综上，A ，B ，D 正确，C 错误． 13．12本题考查均值不等式的知识，考查运算求解能力． 4924912a b a b +?==． 14． 14 9 本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力． 如图，建立直角坐标系xOy ，则2414(0,1),2,,1,,2,,(1,)3333 D E F DE CF ??????=-= ? ? ?? ??? ? ? ，所以 414299 DE CF ?=- =． 152本题考查立体几何的有关知识，考查空间想象能力． 如图，作1HG BB ⊥交1BB 于点G ，则11B G =．因为HP =2GP =，所以点P 的轨迹是以G 为圆心，2为半径的圆弧，所以CP 的最小值为22CG -=-． 16．962本题考查数列的有关知识，考查逻辑推理能力． 由题知，当n 为奇数时，1n n a a n ++=，于是1234561,3,5,a a a a a a +=+=+=， 所以606030 135599002 S ?=+++ += =．又因为当n 为偶数时，1n n a a n +-=，且11n n a a n -+=-， 所以两式相加可得1121n n a a n +-+=-，于是3123n n a a n +++=+两式相减得314n n a a +--=．所以 61215462a =+?=，故6190062962S =+=． 17解：选① 由24n n a a +-=，可知数列{}n a 的公差为2， 2分 又26S =，可得1126a a ++=，得12a =， 4分 所以2n a n =，2n S n n =+． 6分 可知 211111(1)1 n S n n n n n n ===-+++， 8分 数列1n S ???? ?? 的前n 项和为111 111 1122311 n n n -+-++ -=-++． 10分 选② 设数列{}n a 的公差为d ，则由353516,42a a S S +=+=，得112616, 81342, a d a d +=?? +=? 2分 解得12, 2, a d =?? =? 4分 所以2n a n =，2n S n n =+， 6分 可知 211111(1)1 n S n n n n n n ===-+++， 8分 数列1n S ???? ?? 的前n 项和为111 111 1122311 n n n -+-++ -=-++． 10分 选③ 当1n =时，12a =， 2分 当2n =时，2228S a =+，解得2d =， 4分 所以22,n n a n S n n ==+， 6分 可知 211111 (1)1 n S n n n n n n ===-+++， 8分 数列1n S ??? ? ?? 的前n 项和为111 111 1122311 n n n -+-++ -=-++． 10分 评分细则： （1）不管补充的条件是哪个，只要算出22,n n a n S n n ==+这一步都得6分；写出111 1 n S n n =-+累计得8分，直到算出最后的正确答案得10分． （2）其他解法根据评分标准依步骤给分． 18．解：（1）由图可知，3, 34T A ==，所以26 T ππω==， 2分 所以()3sin 6f x x π??? =+ ??? ． 因为332f ??= ??? ，所以32,622k k ππ?π?+=+∈Z ，则2,4k k π?π=+∈Z ． 4分 因为0?π<<，所以4 π ?= ． 5分 故()3sin 6 4f x x π π??=+ ???． 6分 （2）函数()(3)3sin (3)646 4y f x x x x πππ π????=++=++++ ??????? 7 3sin 6sin 64646 12x x x πππππ π??????=?+++=+ ? ? ???????． 9分 因为91,22x ??∈- ????，所以72,61263x ππππ?? +∈-???? ． 10分 所以当 76 122x π ππ+ =，即1 2 x =-时，y 取最大值6； 当 76 126x π ππ+ =-，即9 2 x =-时，y 取最小值3-． 12分 评分细则： （）第一问中，写出6 π ω= 得2分，写出2,4 k k π ?π= +∈Z ，累计得4分，求出4 π ?= ，累计得5分， 正确写出函数的解析式累计得6分； （2）第二问中，写出76sin 612y x ππ??=+ ???，累计得9分，写出72,61263x ππππ?? +∈-???? ，累计得10分，最后正确求出结果得满分； （3）其他情况根据评分标准酌情给分． 19．（1）证明：因为M ，N ，P 分别是11,,AD DD CC 的中点， 所以11//,//MN AD CN PD ． 1分 又1AD ?平面MNC ，MN ?平面MNC ， 所以1//AD 平面 MNC ， 3分 同理1//PD 平面MNC ， 4分 又111AD PD D ?=， 所以平面//MNC 平面1AD P ． 5分 （2）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,2,2)P ，(1,0,0)M ，(0,0,2)N ，(0,2,0)C ， (0,2,2),(1,0,2),(1,2,0)DP MN MC ==-=-． 6分 设平面 MNC 的法向量为(,,)n x y z =， 则20, 20, MN n x z MC n x y ??=-+=???=-+=?? 8分 令1z =，得(2,1,1)n =． 9分 设直线DP 与平面MNC 所成角为θ， 则||3 sin |cos ,|3 ||||DP n DP n DP n θ?== =， 11分 所以直线DP 与平面MNC 所成角的正弦值为3 ， 12分 评分细则： （1）第一问中，也可以先建立空间直角坐标系，用向量方法证明，不管用哪种方法，证出得5分； （2）第二问中，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标和相关向量的坐标，得1分，计算出平面的法向量得3分，整个题解答完全正确得满分； （3）若用传统做法，作出直线与平面所成的角得1分，简单证明得2分，整个题解答完全正确得满分． 20．（1）证明：取BD 的中点为O ，连接OA ，OE ， 因为,4,2BD CD BC CD ⊥==， 所以BD OB == 1分 又2AB AD = =，所以BD AO ⊥，且1AO =． 2分 在AOE 中，1 1,2 EO CD AE = == 所以222AO OE AE +=，即OE AO ⊥，从而CD AO ⊥， 3分 又,CD BD BD AO O ⊥?=，所以CD ⊥平面ABD ． 4分 因为CD ?平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面ABD ． 5分 （2）解：由（1）知OB ，OE ，OA 两两垂直，如图，分别以OB ，OE ，OA 的方向为x ，y ，z 轴正方 向建立空间直角坐标系O xyz -，则B ，(C ，(D ，(0,0,1)A ， (1)AC =--，(BC =-． 6分 设(,,)m x y z =是平面ABC 的法向量，可得20, 20, y z y ?+-=??-+=??令1x = ，得(1,3,m =． 8分 设()111,,n x y z =是平面ACD 的法向量，因为(0,2,0),(3,2,1)DC AC ==- -， 则111120, 20, y y z =???+-=??令 11x =，得(1,0,n =．10分 设平面ABC 与平面ACD 所成的锐二面角为θ ，则1cos |cos ,|7m m θ=??= =ABC 与平面ACD ． 12分 评分细则： （1）第一问中，也可以先建立空间直角坐标系，用向量方法证明，不管用哪种方法，证出得5分； （2）第二问中，建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，得1分，计算出相关向量坐标，得1分，计算出平面的法向量各得2分，整个题完全正确得满分； （3）若用传统做法，作出二面角的平面角得1分，简单证明得2分，整个题解答完全正确得满分． 21．解：（1）因为3a -，33x ， 所以30x a +≥．从而()4f x x a =+． 2分 由于()f x 在[1,2]上是增函数，所以(1)(2)10f f +=， 即4810a a +++=，解得1a =-， 4分 （2）由题知min max ()()0f x g x +． 5分 易知()|3|f x x a x =++在,3a ? ?-∞- ?? ?上单调递减，在,3a ?? -+∞ ??? 上单调递增． 6分 令2x t =，则当[1,2]x ∈时，[2,4]t ∈，且1 242 121x x y a t at +=+?+=++． 7分 若记2 ()21h t t at =++，[2,4]t ∈，则max max ()()h t g x =，且知函数()h t 的开口向上，对称轴是 t a =-． 8分 ①当3a -，即3a ≥-时，min ()(1)|3|14f x f a a ==++=+,max ()(2)178g x g a ==+, 所以41789210a a a +++=+，解得73a - ，又因为3a -，所以7 3 a -； 9分 ②当6a -≥，即6a -时，min ()(2)|6|24f x f a a ==++=--，max ()(1)54g x g a ==+， 所以454310a a a --++=+，解得1 3 a -，又因为6a -，所以此时a 无解； 10分 ③当36a <-<，即63a -<<-时，min ()33a a f x f ??=- =- ??? ，max ()(1)54g x g a ==+， 所以11545033a a a - ++=+≥，解得15 11 a -，又因为63a -<<-，所以此时a 无解． 11分 综上所述，实数a 的取值范围是7,3?? -+∞???? ． 12分 评分细则： （1）第一问中，会去掉绝对值得到()4f x x a =+给2分，全部正确的得4分； （2）第二问中，写到min max ()()0f x g x +这一步累计得5分，会判断()f x 的单调性，累计得6分，通过换元法写出；2 21y t at =++，累计得7分，第一次分类讨论正确写出7 3 a - ，累计得9分，第二次分类讨论判断a 无解，累计得10分，第三次分类讨论判断a 无解．累计得11分，正确写出a 的取值范围得满分； （3）其他情况根据评分标准依步骤给分． 22．解：（1）由已知得2 ()()2g x f x e ax ' ==-，所以2 ()2g x e a ' =-． 1分 ①当0a 时，()0g x ' >，()g x 在R 上单调递增． 2分 ②当0a >时，令()0g x '>，则ln2x a >；令()0g x '<，则ln2x a <． 所以()g x 在(,ln 2)a -∞上单调递减，在(ln 2,)a +∞上单调递增． 综上所述，当0a 时，()g x 在R 上单调递增； 当0a >时，()g x 在(,ln 2)a -∞上单调递减，在(ln 2,)a +∞上单调递增． 4分 （2）()22,(1,)2x x e f x e ax x a x x ' ??=-=-∈+∞ ??? ． 令()0f x ' =，得2x e a x =． 5分 设()2x e h x x =，则2 (1)()2x x e h x x ' -=． 6分 当1x >时，()0h x ' >，()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()h x 的值域是,2e ?? +∞ ??? ． 7分 当2 e a 时，()0f x '=没有实根，()0f x ' >，()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)2 e f x f e a >=-，符合题意． 9分 当2e a > 时，(1)2 e h a =<， 所以()h x a =有唯一实根()001x x >，即()0f x ' =有唯一实根0x ， 10分 当()01,x x ∈时，()0,()f x f x ' <在()01,x 上单调递减， 所以()(1)2 e f x f e a <=-< ，不符合题意． 11分 综上所述，2e a ，即a 的取值范围是,2e ? ?-∞ ?? ?． 12分 评分细则： （1）第一问中，求出()2x g x e a '=-得1分，正确讨论0a 的情形得1分，正确讨论0a >的情形累计得4分： （2）第二问中，只要得到2(1)()2x x e h x x ' -=，得2分，求出()h x 的值域是,2e ?? +∞ ? ?? ，得1分，讨论2e a 的情形．累计得9分，讨论2 e a > 的情形，累计得11分．正确解完本题得满分； （3）采用其他方法，参照本评分标准依步骤给分．
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