2.1.习题
1．设随机变量ξ的分布函数为)(x F ，证明ξηe =也是随
机变量，并求η的分布函数．
证明：由定理2.1.3随机变量的Borel 函数仍为随机变量， 故ξη
e =也是随机变量．
η的分布函数为
}{}{)(y e P y P y F <=<=ξηη
当0≤y 时，φξ=<}{y e ，故0)(=y F η；
当
>y 时
，
)
(ln }ln {}{}{)(y F y P y e P y P y F ξξηξη=<=<=<=
因此，η的分布函数为
⎩⎨⎧≤>=00
),(ln )(y y y F y F ξ
η． 3．假定一硬币抛出正面的概率为
(01)p p <<，反复抛这
枚硬币直至正面与反面都出现过为止，试求：（1）抛掷次数ξ的密度阵；（2）恰好抛偶数次的概率．
解：（1）}{k =ξ
表示前1k -次都出现正(反)面，第k 次出
现反(正)面，据题意知，
p p p p k P k k 11)1()1(}{---+-==ξ， ,4,3,2=k
所以，抛掷次数ξ的密度阵为
22112322(1)(1)k k k
p p p p p p p p
--⎛
⎫ ⎪ ⎪---+-⎝
⎭
(2) 恰好抛掷偶数次的概率为：
+=++=+=+=}2{}6{}4{}2{n P P P P ξξξξ
+++++++++=
--p q q p p q q p p q q p qp pq n n 12125533
)
1()1(4242 +++++++=q q qp p p pq
2
211
11q qp p pq -⋅+-⋅
=
)
1(1
)1(1q p qp q p pq +⋅++⋅
=
q
q p p +++=
11
4．在半径为R 的圆内任取一点（二维几何概型），试求此点到圆心之距离ξ的分布函数及}3
2{R
P >
ξ
． 解：此点到圆心之距离ξ的分布函数为
}{)(x P x F <=ξ
当0x ≤时，φξ
=<}{x ，()0F x =；
当0x R <<时，22
2
2}{)(R
x R x x P x F ==<=ππξ；
当x R ≥
时， ()1F x =
故ξ的分布函数为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<≤=R x R x R
x
x x F ,
10,0,
0)(22．
95
941)3/2(1)32(1}32{2
2=-=-=-=>R
R R F R P ξ． 5．在半径为1的车轮边缘上有一裂纹，求随机停车后裂纹距
地面高度ξ的分布函数．
解：当0x ≤时，φξ
=<}{x ，()0F x =；
1x =
R
当裂纹距离地面高度为1时，分布函数为
()(){}{}1arccos(1),1122R x F x F P R ππξππ
--=-∞=<===；
当裂纹距离地面高度为x ()01x <<时，分布函数为()(){}{}()2arccos 1,2x R
F x F x P x R ξπ-=-∞=<=
()
arccos 1x π
-=
()
arccos 1x ππ
--=
；
当裂纹距离地面高度为(12)x x <
<时，分布函数为
()(){}{}()()22arccos 1arccos 1,2x R x F x F x P x R ππξππ
--⎡⎤--⎣⎦=-∞=<==
；
当2>x
时， ()1F x =；
则ξ的分布函数为
()()00arccos 10212x x F x x x ππ≤⎧
⎪
--⎪=<≤⎨⎪
>⎪⎩
6．已知随机变量ξ的密度函数为
(),01,2,1 2.x
x p x x x <≤⎧=⎨
-<≤⎩
试求：(1)
ξ的分布函数，
（2）{}0.2 1.2P ξ<<． 解：（1）当0≤x 时，00)()(===⎰⎰∞
-∞
-dt dt t p x F x
x ；
当01x <≤时，20
2
1)()(x dt t dt t p x F x
x =
==⎰⎰∞
-； 当
12
x <≤时
，
122
1
2)()(211
0-+-=-+==⎰⎰⎰∞-x x dt t dt t dt t p x F x
x
；
当2x
>时，12)()(2
1
10
=-+==⎰⎰⎰∞
-dt t dt t dt t p x F x ；
则ξ的分布函数为
()220,0,1,01,2121,12,
2
1,2.x x x F x x x x x ≤⎧
⎪⎪<≤⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎪>⎩
（2）{}0.2 1.2P ξ<<{}{}1.20.2P P ξξ=<-<
=()()1.20.20.66F F -=
7．设
)()(a x e e x p --=，0x >
（1）求a 使()p x 为密度函数； （2）若ξ以此()p x 为密度函数，求b 使b b P =>}{ξ．
解：（1）由密度函数的性质，知
ea a x e a x e e e e e
dx e dx x p 101
)(1)(0)(=∞-===--∞--∞∞-⎰⎰
解得，1
a e
=
． （2）【法一】根据概率的非负性，0≥b ，
当0=b 时，1}{=>b P ξ，显然b b P =>}{ξ不成立；
当
>b 时
，
()1
()
1
(11)(}{b
e e x e b
e
x e b
e
e b e e
dx e
dx x p b P ---∞
--∞
=∞-===>⎰⎰ξ
而b b P =>}{ξ，即b e
e
e b e =--)
1
(1， 解得，1b
e
=
． 【法二】ξ的分布函数为
()10,0,111,
.
e x e x F x e
e x e
e ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭≤⎧
⎪=⎨++>⎪⎩
{}{}()11P b P b F b b ξξ>=-<=-=
