14、可测函数定义及简单性质(一)

所以，f ( x)在E上可测 ⇒(1)⇒(2)⇒(3)⇒ f ( x)在E上可测
推论1 f(x)在E上可测的必要条件 若 f(x) 在E 上可测，则对任意的 a ∈ R 集合 E[ x | f ( x) = a ] 总为可测集；集合 E[ x | f ( x ) = +∞ ] 及 E[ x | f ( x) = −∞ ]也为可测集
+
⎧− f ( x), f ( x) ≤ 0 f ( x) = − min { f ( x), 0} = ⎨ ⎩ 0, f ( x) > 0
−
− f + ( x), f ( x) 都是集合E上的非负函数，分别称为f(x) 的正部和负部
注2
f ( x) = f + ( x) − f − ( x)， f ( x) = f + ( x) + f − ( x)
注1 由定义，函数可测讨论的是集合可测——实函中函数的讨论方法主要是集合分析法
)，若 ∀a ∈ R, E[ f ≥ a] 可
2、 可测函数举例
例1(104页7) 设f(x)是 R 1 中的可测子集E上的单调函数，证明： f(x) 在E上 可测。
证：不妨设f ( x)单增，对∀a ∈ R, 则 inf { x | f ( x) ≥ a, x ∈ E} = xa
5、定理5 定义在可测集 E上的可测函数列的上下确界函数、上下极限函数必可测。 6、定理5推论2 可测函数列的极限函数若存在，则也必可测。
7、定理6 定义在可测集 E上的函数可测充要条件是它的的正部与负部函数均可测。
总结
可测函数对四则运算、绝对值运算、上下确界运算、 上下极限运算、极限运算、正负部运算等均封闭。
分析 ∀a ∈ R, E[ x | f ( x ) = a ] = E ( f ( x) ≥ a ) − E ( f ( x) > a )
E ( f ( x) = +∞) = ∩ E ( f ( x) ≥ n), E ( f ( x) = −∞ ) = ∩ E ( f ( x) ≤ − n)
n =1 n =1 ∞ ∞
哪些函数是可测函数呢？可测函数是否比连续函数更广泛呢？
三、几个概念
1、简单函数的定义
⎧ c1 , x ∈ E1 n ⎪ = f ( x ) E = E 可测, E ⎨ ∪ i i 可测且互不相交， i =1 ⎪c , x ∈ E n ⎩ n
2、f(x) 的正部与负部的定义
⎧ f ( x), f ( x) ≥ 0 f ( x) = max { f ( x), 0} = ⎨ ⎩ 0, f ( x) < 0
ⅱ）f(x)在集合E上连续
注3
ⅰ’）定义在集合E 上的实函数 f(x) 在一点连续的定义 设f(x)为E上有限实函数， 若∀ε > 0, ∃δ > 0, 使得f ( N （x0，δ） ∩ E) ⊂ N （f (x0 )，ε）
思考
若集合 E是孤立点集, 则定义在集合 E上的实函数 f(x)在E上连续吗?说明理由. 当E=(a，b)时,与数分中连续的定义一样
由 f 单调增知下面的集合为可测集
存在
⎧ E ∩ [ x a , +∞ ) 当 x a ∈ { x | f ( x ) ≥ a， x ∈ E } E[ f ≥ a] = ⎨ ⎩ E ∩ ( x a , +∞ ) 当 x a ∉ { x | f ( x ) ≥ a， x ∈ E }
例2 零测度集上的任何函数都是可测函数。
3）证明定理3 当f(x)既是 E1 上又是 E2 的可测函数， f(x)也是 E1 ∪ E上 的可测函数 2
证明：
记E = E1 ∪ E2
由E[ x | f ( x) ≥ a] = E1[ x | f ( x) ≥ a] ∪ E2 [ x | f ( x) ≥ a]
可知E[ x | f ( x) ≥ a]也为可测集
实变函数论
第14讲
第四章
§1 可测函数定义及简单性质
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要建立的Lebesgue积分是从分割值域入手 yi yi-1
Ei = {x : yi −1 ≤ f ( x) < yi }
yi −1 ≤ ξ i < yi
若Ei可测，则有mEi
(L)∫
问题
[ a ,b ]
f ( x ) dx = lim
δ→0
∑ξ
i =1
n
i
mE
i
怎样的函数可使Ei可测?
C
Ei = { x | f ( x) ≥ yi −1} ∩ { x | f ( x) < yi } = { x | f ( x) ≥ yi −1} ∩ { x | f ( x) ≥ yi }
一 、可测函数定义
1、 定义： 设f(x)是可测集E上的实函数(可取 ± ∞ 测，则称f(x)是E上的可测函数。
例3 (104页6) 证明如果f(x)是上
R n 的连续函数，则f(x)在 R n上任何可测子集E都可测。
证
对任意常数a ∈ R，集合R n [ x | f ( x) ≥ a]为闭集，
因此E[ x | f ( x) ≥ a] = E ∩ R n [ x | f ( x) ≥ a]仍可测
四、可测函数的性质
证明 思路皆用可测函数定义，将问题转化为证相应的集合可测。
如：1）（1）分析：
∀a ∈ R, E[ x | f ( x) ≥ a]与E[ x | g ( x) ≥ a]只相差一个零测度集
2）证明：若 f(x)在E上可测，则|f (x)|在E上可测
⎧ E ( f ( x) ≥ a ) ∪ E ( f ( x) ≤ − a), a ≥ 0 ∀a ∈ R, E (| f ( x) |≥ a ) = ⎨ 皆可测 ⎩E, a < 0
1、定理3 若f(x)在E上可测，则f(x)在E的任一可测子集 E0 上也必可测。 2、定理3 若f(x)在 E i 上可测，则f(x)在 E = ∪ Ei 上也必可测，其中m
i =1 m
≤∞
3、定理2 若 f ( x) = g ( x)
a.e.于E ，则当一个在E上可测时，另一个也在E上可测。
4、 定理4、6、7 定义在可测集上的可测函数的和、差、积、商、绝对值等均可测。
∞
(1) ⇒ (2) E[ x | f ( x) ≤ a] = E[ x | f ( x) > a]C
1 (2) ⇒ (3) E[ x | f ( x) < a ] = ∪ E[ x | f ( x) ≤ a − ] k k =1
∞
(3) ⇒ 定义E[ x | f ( x) ≥ a] = E[ x | f ( x) < a]C
3、几乎处处成立 若命题在 E − E0 上成立，而mE0 = 0 ，则称该命题在E上几乎处处成立，记做
π ( x) a.e.于E
| tan x |< +∞, a.e.于（－∞，＋∞）
D( x) ≡ 0, a.e.于[0,1]
lim f n ( x) = f ( x) a.e.于E , 即存在E 0 ⊂ E , mE0 = 0, 在E − E0上， lim f n ( x ) = f ( x )
n →∞
n →∞
4 、f(x)在E上连续的定义（见第三节） ⅰ）定义在集合E 上的实函数 f(x) 在一点连续的定义
设 | f ( x0 ) |< +∞， 若∀ε > 0, ∃δ > 0, 当x ∈ N ( x0 , δ ) ∩ E时, 有 | f ( x) − f ( x0 ) |< ε
则称f ( x)在点x0相对于E连续
从而f ( x)为E = E1 ∪ E2上的可测函数
五、可测函数类
1、 定义在零测度集上的任意实函数均可测。 2、定义在可测集上的单调函数必可 测。 3、定义在可测集E上的简单函数必可测。 ——狄利克雷函数必可测——可测函数类比连续函数类广 4、定义在可测集E上的连续函数必可测
二 、可测函数的等价定义
定理1
f(x)在E上可测
⇔ (1)∀a ∈ R, E[ f > a]可测
⇔ (2) ∀a ∈ R, E[ f ≤ a ]可测
⇔ (3) ∀a ∈ R, E[ f < a]可测
证：
1 定义 ⇒ (1) E[ x | f ( x) > a ] = ∪ E[ x | f ( x) ≥ a + ] k k =1