组合与组合数(共47张PPT)

与解法一相比，挡板法比较简捷， 但不如解法一易于理解． 实际上，解法一是更为基本的解决问题的办法
例2．已知方程 x y z 5，求 ⑴有多少组正整数解？ ⑵有多少组非负整数解？
解：⑴在五个1之间添加两个加号，添加的方法种 数就等于方程解的个数．故有
解：此问题则可以解释为：先将 x, y, z
C 1300

100 99 32
98

161700种
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
从2件次品中抽出1件次品的抽法有
从98件合格品中抽出2件的抽法有
C
1 2

C
2 98

9506
练习 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
例1．计算：（1）C
4 7
C74

765 4!
4

35
2、课本 P15练习2
3、课本 P17练习3的第二题
例3 计算：（1）C74和 C73
（2）C1300 和 C939 C929
组合数的两个性质 性质1：
性质2：
简单的组合问题
例1 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中 以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一 个足球队的上场队员是11人.问:
若元素的位置对结果产生影响,则是排列,否则,是组合.
组合数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取 出m个元素的组合数
C是英文Combination的首字母 如何计算这个组合数呢？
从a, b, c, d这四个字母中选三个的组合与排列的关系：
第一步 组合
组合
排列 的全排列
含有附加条件的组合问题：
1 某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：
例1 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
C
3 8

56
或
C
3 8

C
2 7

C
3 7
⑵从口袋内取出3个球,含有1个黑球,有多少种取法?
C72 21
⑶从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？
额，分配方法种数为
第三类:选一个学校,三个名额都给该校,分配方法种数为
所以不同的名额分配方法种数为
解法二：注意到10个名额之间是没有差别的， 设想将10个名额排成一排， 每两个“相邻”的名额间形成一个空隙，如下图示：
“○”表示相同的名额，“ ”表示名额间形成的空隙， 设想在这几个空隙中插入六块“挡板”,则将这10个
条，又与l上的两个蓝点只连一条直线，
可连 C
1 3

C
1 3

1
条
(2)过l外的四个红点：可与五个蓝点各连一条直线，有
C
1 5

C
1 4
条
共可连
C
1 3

C
1 3

1

C
1 5

C
1 4

30（条）
例4 平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红 点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共 线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？
C
4 8
种，
其中共面的有6个面和6个对角面，
∴ 共有 C84 12 58（种）
5 “名额分配”问题： 例1．有10个参加数学竞赛的名额,要分给7所学校,
每校至少一个名额,有多少种不同的名额分配方法？ 解：先将10个名额中的7个名额分给7个学校每校一个， 则转化为剩下的三个名额如何分配的问题，可分三类方法. 第一类:选三个学校,每个学校一个名额,分配方法数 第二类:选两个学校,决定哪个学校分别给一个或两个名
选三个数相加有 选四个数相加有 但 1+4=2+3，1+2+3=2+4，1+2+4=3+4．
（个）．
例4 以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？ 解法一： 上三下一
下三上一
上二下二
其中共面的有４个侧面和6个对角面，
∴共有
2C
3 4
C41

C42
C42

4

6

58
解法二：从正方体的8个顶点中任选4个有
解题思路：
解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和分 步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂 的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方 法：
1 特殊(元素,位置)优先法: 2 科学分类法：
3 插空法：
4 捆绑法：
5 “分组”问题：
6 隔板处理
1 特殊(元素,位置)优先法:
对于特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们 可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位 置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法.
2 某些特殊元素有特殊归类问题：
例4 平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红 点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共 线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？
解法一：（直接法）设五个点所在直线为l，分为两类：
(1)过l上的三个红点：可与l外的三个蓝点各连一条直线,有
C
1 3

C
1 3
5．分清排列、组合、等分的算法区别
（1）今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件, 乙二件和丙三件,有多少种分法?
（2）今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人, 其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?
（3）今有10件不同奖品, 从中 选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?
排列与组合的综合问题
每一个均加1，然后再均减1．则可以将原来的问
题理解为：求 x y z 8
的正整数解个数，同（1），则
方法回顾 1．注意区别“恰好”与“至少”
例 从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有 一双同色的手套的不同取法共有多少种．
2．特殊元素（或位置）优先安排
例 将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不 停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同 的停放方法有种．
例1: 有5个男生和3个女生，从中选取5人担任5门 不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生．
＝5400种
(2)某女生一定要担任语文科代表．
(3)某男生必须包括在内,但不担任数学科代表．
问题一
从已知 的3个不同 元素中每次 取出2个元 素,按照一 定的顺序排 成一列.
有
顺
序
排列
问题二
从已知 的3个不同元 素中每次取 出2个元素, 并成一组
无
顺
组合
序
组合定义: 一般地,从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并
成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 排列与组合有什么共同点与不同点？
法1 含1件次品或含2件次品
C
1 2

C
2 98

C
2 2
C918

9604
种
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件
Biblioteka Baidu
C 3 100

C
3 98

9604
种
课堂小结：
①主要学习了组合、组合数的概念。 ②利用组合和排列的关系得到了组合数公式。
第一步 n个不同元素
m个元素
第二步 m个元素
(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员 上场方案?
(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守 门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?
(1)没有角色差异 (2)分两步完成这件事
第1步,从17名学员中选出11人上场
第2步,从上场的11人中选1名守门员
共有
例2 (1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线 段共有多少条?
10个不同元素中取2个元素的组合数.
C120

10 9 2

45条
(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线 段共有多少条?
10个不同元素中取2个元素的排列数.
A120 10 9 90条
例3 (1)有4本不同的书，一个人去借，至少借一本， 则有多少种不同的借法？
(2) 有13本不同的书，其中小说6本，散文4本， 诗歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本 诗歌，问有几种借法？
ab c
第二步 排列
abc bac cab acb bca cba
ab d
abd bad dab adb bda dba
ac d
acd cad dac adc cda dca
bc d
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
C43
×
A33 = A43
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数, 可看作以下2个步骤得到: 第1步,从这n个不同元素中取出m个元素,共有Cnm 种不同的取法;
(1)解：此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本
C 41

C42

C43

C
4 4

15（本）
(2)解：分三个步骤完成，共有
C
3 6

C
2 4

C
1 3

360（种）
练习 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3件
(1)有多少种不同的抽法?
100个不同元素中取3个元素的组合数
数学 理
4.2.2组合与组合数
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名 同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加 某天一项活动，有多少种不同的选法？
甲、乙； 甲、丙； 3 乙、丙.
两个问题有什么联系和区别？
3．“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”
例 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、 乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种．
5 “分组”问题： 例1 有6本不同的书 （1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？ （2）分成3堆,每堆2本,有多少种不同的分堆方法？ （3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种
名额分割成七个部分， 将第一、二、三、…、七个部分所包含的名额数分
给第一、二、三、…、七所学校， 则“挡板”的一种插法恰好对应10个名额的一种分配方法, 反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法， 即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，为
本题的解法二所用的方法一般称为“挡板法”， 用于建立相同元素与确定的不同位置间的对应关系， 而且每个位置至少应分配一个元素．
解法二：（间接法）不考虑五点共线，有
C
1 5

C
1 7
条，
其中共线的五个点可连
C
1 3

C
1 2
条
而这
C
1 3

C
1 2
条只能是一条
共可连
C
1 7

C
1 5

C
1 3

C
1 2

1

30（条）
说明：本例是某些特殊元素有特殊归类的问题， 即题中共线的五个点，只能作一条直线．
3 组合中的有重复问题： 例3 由数1、2、3、4可组成多少个不同的和？ 解：选两个数相加有
C
3 7

35
例2
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ （1）甲、乙、丙三人必须当选； （2）甲、乙、丙三人不能当选； （3）甲必须当选，乙、丙不能当选； （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
例3 在产品检验中,常从产品中抽出一部分进行检 查.现有100件产品,其中3件次品,97件正品.要抽出5件进 行检查,根据下列各种要求,各有多少种不同的抽法？
第2步,将取出的m个元素做全排列,共有种不同的 Anm 排法.
Anm

C
m n

Amm
Cnm

Anm Amm
组合数公式
Cnm

Anm Amm

nn 1n 2n m 1
m!
n,m∈N*,并且m≤n.
Anm

n
n!
m!
规定：Cn0 =1
C
m n

n!
m!n
m !
不同的分堆方法？
（4）分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本, 有多少不同的分配方法？
（5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同 的分堆方法？
（6）摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？
4．混合问题，先“组”后“排”
例 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次 品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次 品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有 种可能？
组合的特征： （1）每个组合中元素互不相同； （2）“只取不排”——无序性； （3）组合相同即元素相同； （4）排列与组合问题共同点是“从n个不同元素中任
意取出m （m≤n）个元素”，
不同点是前者要“按照一定的顺序排成一列”， 而例后如者a是b与“b不a管是顺不序同并的成排一列组，”但；是相同的组合
(1)无任何限制条件； (2)全是正品；
(3)只有2件正品； (4)至少有1件次品； (5)至多有2件次品； (6)次品最多.
（1）C1500
（2）C957 （3）C927 C33
（4）C947
C31

C937

C32

C927
C33
，或
C5 100

C957
（5）C957 C30 C947 C31 C937 C32 （6）C927 C33