② 已知 Ωc 、Ωs 和 Ω=Ωp( Ω ≠ -3dB
1.总结学过的滤波器设计方法，用 matlab 仿真例子分析不同设计方法的滤波器 的性能及适应场合。
答：
1.1 模拟低通滤波器的设计方法
1.1.1 Butterworth 滤波器设计步骤：
⑴.确定阶次 N
① 已知 Ωc 、Ωs 和 As 阶数 N
求出 p )的衰减 Ap 求 阶数 N
③ 已知 Ωp 、Ωs 和 Ω=Ωp 的衰减 Ap 和 As
则：
(Ω p / Ωc )2N
= 10 A p /10 -1, (Ωs / Ωc )2N
= 10
A s
/10 -1
⑵.用阶次N确定H a(s)
根据公式：
H a(s)H a(-s)在左半平面的极点即为H a(s)的极点，因而
1.1.2切比雪夫低通滤波器设计步骤：
⑴.确定技术指标ΩpαpΩsαs
归一化：λp=Ωp/Ωp=1λs=Ωs/Ωp ⑵.根据技术指标求出滤波器阶数N及ε：
δ=αp
ε2=100.1δ-1
⑶.求出归一化系统函数
其中极点由下式求出：
、阻带截止频率ω 、阻带最小衰减系数α s 。
或者由 N 和 S 直接查表得 H a ( p )
2.数字低通滤波器的设计步骤：
（1） 确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率
α p
ωp
、通带最大衰减系数
（2）将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。
巴特沃斯：
k =1
切比雪夫： λs = Ωs / Ω p
ε 2 = 100.1δ -1
δ = α p
p
t t t t H a (s )= ∑
t
h a (t )= ∑ A i e s i t
u (t )
（3）把模拟滤波器变换成数字滤波器，即把模拟滤波器的系数 H (S ) 映射成数
字滤波器的系统函数 H (z ) 。
实现系统传递函数 s 域至 z 域映射有脉冲响应不变法和双线性映射两种方法。
（3.1）脉冲响应不变法。
按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数 H a (s )转换成数字低通滤波器的系统函数 H(z)。
设模拟滤波器的传输函数为 H a (s )，相应的单位冲激响应是 h a ( )， H a (s )=LT[
h a ( )]，LT[.]代表拉氏变换，对 h a ( )进行等间隔采样，采样间隔为 T ，得到
h a (nT
)
，将 h(n)=
h a (nT )
作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的
系统函数 H(z)便是 h(n)的 Z 变换。因此脉冲响应不变法是一种时域上的转换方 法，它是 h(n)在采样点上等于 h a ( )。
设模拟滤波器 H a (s )只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次， 将 H a (s )用部分分式表示：
N
i =1 A i
s - s i ，式中 s i 为 H a (s )的单阶极点。
将 H a (s )逆拉氏变换得到 h a ( )：
N
i =1
，式中 u(t)是单位阶跃函数。
h (n )= h a (nT ) = ∑ A i e s i
nT
u (nT )
t A i H (z )= ∑
i =1 1 - e H (z ) z =e sT = ∑ H ±π/T 之间，再用 z = e 转换到 z 平面上。设 Ha （s ），s=j Ω，经过非线性频率
对 h a ( )进行等间隔采样，采样间隔为 T,得到：
N
i =1
对上式进行 Z 变换，得到数字滤波器的系统函数 H(z)：
N s i T z -1
，
经过一系列变换得到：
1 T k
a (s - jk Ω s )
（3.2）双线性变换法
这种变换方法，采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到
sT
压缩后用 Ha （s1）， s 1 =j Ω1 表示，这里用正切变换实现频率压缩：
Ω =
2
T
tan (0.5Ω1T )
式中 T 仍是采样间隔，当 Ω1 从-π/T 经过 0 变化到 π/T 时，Ω 则由-∞经过 0
变化到+∞，实现了 s 平面上整个虚轴完全压缩到 s 1 平面上虚轴的±π/T 之间的 转换。这样便有
s = 2 T th (0.5Ω1T )= 2 1 - z -s 1
T
T 1 + z -s 1t
再通过 z = e
2 1 - z -1
s =
T 1 + z -1
sT
转换到 z 平面上，得到：
tan ω
z = 2 T 2 T
+ s
- s 令 s = j Ω, z = e j ω
，有
j Ω = 2 1 - e - j
ω
T 1 + e - j ω Ω =
2 T 1 2
两种方法比较：
脉冲响应不变法的优点：
1）模拟频率到数字频率的转换时线性的；
2）数字滤波器单位脉冲响应的数字表示近似原型的模拟滤波器单位脉冲响应， 因此时域特性逼近好。
缺点：
会产生频谱混叠现象，只适合带限滤波器 双线性变换法优点：
克服多值映射得关系，可以消除频率的混叠 缺点：
时域到频域的变换是非线性的，在高频处有较大的失真。
3.数字高通滤波器的设计步骤：
① 数字高通滤波器的技术指标为：通带截止频率 ωp 阻带截止频率 ωs
通带衰减频率 阻带衰减频率
