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利用一元一次方程解配套问题和工程问题【教学目标】知识与技能目标1．理解工程问题和产品配套问题的根本等量关系。
2．会用这些等量关系列一元一次方程解决这类问题。
过程与方法目标通过列方程解决实际问题，培养学生数学建模能力、探索能力、分析能力。
情感与态度目标让学生在实际问题情境中感受数学的应用价值，产生对数学的兴趣，养成认真听他人发言的习惯，感受与同学交流的乐趣。
【重点、难点】重点：根据题意列出方程。
难点：从实际问题中建立数学模型，从数量关系中提炼出等量关系。
【教学方法与教学手段】1.通过已会知识的复习，引出新课，并在练习题的设计上逐步深入。
2.通过自学、思考、交流等活动，激发学习情绪，营造学习气氛，给学生一定的时间和空间，自主探讨。
【教学过程】一、明确目标，导入新课学习目标〔1〕理解并掌握工程问题和产品配套问题的根本等量关系。
〔2〕能运用这些等量关系解决实际问题。
〔3〕掌握用一元一次方程解实际问题的根本思路。
二、复习回忆，打好铺垫1. 一项工作，甲独做3小时可完成，那么甲的工作效率为____；乙独做6小时可完成，那么乙的效率为____；假设甲乙合作那么合作效率可表示为_____。
2. 一件工作，甲用10天可以完成，现在甲独做了a天，那么甲的工作量为____。
3. 一项工作，由一个人独做40天可完成，现由4个人共做5天，那么完成的工作量为_____。
〔假设这些人的工作效率相同〕4. 一件工作，甲独做用8天可以完成，乙独做用6天可以完成，假设甲乙合作x天可以完成任务，那么可列方程为_______。
小结归纳三、自学探究，以学定教〔一〕工程问题：整理一批图书，由一个人做要40h完成，现方案由一局部先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？【自学指导】1.一个人的工作效率你可以算出来。
2.设先安排x人工作，你可表示出后来工作的人数。
3.分别表示出先后完成的工作量。
希望工程义演教学设计一、教材依据七年级数学上册（北师大版），第五章，第五节希望工程义演第一课时。
二、教学内容分析（一）本节选择了1个例题和2 个探究案例，循序渐进地从四个层次来介绍一元一次方程的应用,素材的选择上注意了知识你内容的梯度扩展、全面，同时又关注到一元一次方程的应用。
（二）本节的主要目标是应用一元一次方程的知识去解决实际问题。
因此，在教学中，教师应该让学生采用小组合作的模讨论，探究多搭建一些自主学习的平台，如根据题意如何找到关系式，并利用方程的思想去转化实际问题。
三、教学目标（一）知识与技能能够把实际问题转化为数学问题, 能应用一元一次方程方程解决问题。
（二）过程与方法1．经历探索两类问题的实际应用的过程,进一步体会一元一次方程在解决问题过程中的作用.2．通过探索活动让学生感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生用数学知识分析问题、解决问题的良好习惯。
（三）情感态度与价值观让学生在探索活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力。
四、学情分析学生已经学习了直角三角形相关知识（1）解一元一次方程；（2）找未知量，已知量；（3）根据题意列方程。
在本章课程的学习过程中，学生已经掌握了解一元一次方程基础知识，对列一元一次方程解应用题的问题已能初步解决。
本班为自己任课的班级，在七年级的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
而且，平时对学生比较了解，在解决具体问题的时候可以兼顾不同能力的学生，充分调动学生的积极性。
五、重点难点本节的重点和难点问题就是如何使学生将现实问题转化为数学（方程）问题（特别是与相关的数学知识的联系），实际问题转化为方程问题，并应用相关的知识去解决问题。
六、教学过程活动一：自主探索，同桌互助1、根据一句话的含义找未知量，已知量；3、根据问题找到等量关系。
根据1完成表格。
5.5应用一元一次方程——“希望工程”义演1.巩固用一元一次方程解决实际问题的步骤，并能验证解的合理性.2.借助表格分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用.一、情境导入在中国古代问题中，有一个非常有趣的“鸡兔同笼”问题：今有鸡兔同笼，上有头三十五，下有足九十四，问鸡兔各多少？二、合作探究探究点一：利用表格解决实际问题有一批货物需要从A地运往B地，货主准备租用甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车运货情况如下表.现租用3辆甲种货车和5辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，如果按每吨付50元计算，问货主应付运费多少元？解析：设乙种货车每辆每次运x吨，则甲种货车每辆每次运（11.5－3x）吨，根据表格可列方程求解.现租用3辆甲种货车和5辆乙种货车，一次刚好运完这批货物，如果按每吨付50元计算可求解.解：设乙种货车每辆每次运x吨，则甲种货车每辆每次运（11.5－3x）吨，6x＋5×（11.5－3x）＝35，解得x＝2.5，11.5－3x＝4（吨），3×4＋5×2.5＝24.5（吨）.50×24.5＝1225（元）.答：货主应付运费1225元.方法总结：解决本题的关键是读懂表格，找到相应的等量关系列出方程.探究点二：利用一元一次方程解决实际问题（菏泽中考）食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？解析：本题可根据A、B两种饮料加入的添加剂的总量为270克列方程解题.解：设A饮料生产了x瓶，则B饮料生产了（100－x）瓶，由题意得2x＋3（100－x）＝270，解得x ＝30.所以100－x ＝70.答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶.方法总结：列方程解应用题的关键是从问题中找出等量关系，每一个等量关系表示成等式后，要明确它的左边是什么，右边是什么，然后恰当设未知数，把等式左边和右边的各个量用含有已知数和未知数的代数式表示.某单位计划“五一”期间组织职工到东江湖旅游，如果单独租用40座的客车若干辆刚好坐满；如果租用50座的客车则可以少租一辆，并且有40个剩余座位.（1）该单位参加旅游的职工有多少人？（2）如同时租用这两种客车若干辆，问有无可能使每辆车刚好坐满？如有可能，两种车各租多少辆？（此问可只写结果，不写分析过程）解析：（1）先设该单位参加旅游的职工有x 人，利用人数不变，车的辆数相差1，可列出一元一次方程求解；（2）可根据租用两种汽车时，利用假设一种车的数量，进而得出另一种车的数量求出即可.解：（1）设该单位参加旅游的职工有x 人，由题意得方程：x 40－x ＋4050＝1，解得x ＝360.答：该单位参加旅游的职工有360人；（2）有可能，因为租用4辆40座的客车、4辆50座的客车刚好可以坐360人，正好坐满.方法总结：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解.探究点三：工程问题一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成.现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？解析：首先设乙队还需x 天才能完成，由题意可得等量关系：甲队干三天的工作量＋乙队干（x ＋3）天的工作量＝1，根据等量关系列出方程，求解即可.解：设乙队还需x 天才能完成，由题意得：19×3＋124（3＋x ）＝1， 解得：x ＝13.答：乙队还需13天才能完成.方法总结：找到等量关系是解决问题的关键.本题主要考查的等量关系为：工作效率×工作时间＝工作总量，当题中没有一些必须的量时，为了简便，应设其为1.三、板书设计“希望工程”义演⎩⎪⎨⎪⎧题目特点：未知数一般有两个，等量关系也有两个解题思路：利用其中一个等量关系设未知数，利用另一个等量关系列方程教学过程中，通过对“希望工程”义演中的数学问题的探讨，进一步体会方程模型的作用，同时，从情感上认识“希望工程”，懂得珍惜现在良好的学习生活环境.。
5 应用一元一次方程——“希望工程”义演1．等量关系的确定列方程解应用题的关键是找出能够反映题意的一个等量关系．对于复杂问题的等量关系可采用列表法分析数量之间的关系．一般可从以下几个方面确定等量关系：(1)抓住问题中的关键词，确定等量关系．如问题中的“和”、“差”、“倍”、“多”、“少”、“快”、“慢”等都是确定等量关系的关键词．(2)利用公式或基本数量关系找等量关系．(3)从变化的关系中寻找不变的量，确定等量关系．【例1】刘成用150元买了甲、乙两种书，共20本，甲种书单价10元，乙种书单价5元，则刘成买了这两种书各多少本？分析：本题的两个等量关系是：甲种书款＋乙种书款＝150元，甲种书量＋乙种书量＝20本．本题有两个未知数：甲种书的数量和乙种书的数量．因此既可以设甲书的数量为未知数，又可以设乙书的数量为未知数．解：(方法1)设刘成买了甲种书x本，则买了乙种书 (20－x)本，根据题意，得10x＋5(20－x)＝150，10x＋100－5x＝150,5x＝50，x＝10，20－10＝10(本)．答：刘成买了甲、乙两种书各10本．(方法2)设买了乙种书x本，则甲种书有(20－x)本．根据题意，得10(20－x)＋5x＝150，200－10x＋5x＝150，－5x＝－50，x＝10，20－10＝10(本)．答：刘成买了甲、乙两种书各10本．2．未知数的设法较复杂的问题，未知量可能有两个或两个以上，选择一个适当的未知量设为未知数非常重要．未知数设的适当，能给列方程带来简便．未知数的设法大致有两种：直接设未知数和间接设未知数．另外还可以根据解决问题的需要设出辅助未知数帮助解答．(1)直接设未知数直接设未知数，就是题目中问什么就设什么．对于只有一个相等关系的问题，直接设未知数就能解决问题．而对于较复杂的问题，直接设未知数时列方程可能会较困难．(2)间接设未知数，就是所设的未知数不是问题中最后所要求的未知数，而是设另外的量为未知数，这样做的好处是便于理顺数量关系、易于列方程．(3)设辅助未知数在列方程解应用题时，有时为了解题的需要，将某些量之间的关系说得更清晰，我们引入一些辅助未知数．这些未知数在解方程的过程中，往往是约掉了或者抵消了，最后求出的问题的解与这些未知数无关，因此，被称为辅助未知数．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【例2－1】 一位老人立下遗嘱：把17头牛按12，13，19分给他的大儿子、二儿子、三儿子，问三个儿子各分得多少头牛？分析：解答本题，若直接设三个儿子分别分得多少头牛来求解比较困难，因为遗嘱中规定的大儿子、二儿子、三儿子应分得牛的头数的比例为12∶13∶19＝9∶6∶2，所以可设一份为x ，然后根据“大儿子所分得的牛的头数＋二儿子所分得的牛的头数＋小儿子所分得的牛的头数＝17”列方程求解．解：因为12∶13∶19＝9∶6∶2，所以设每一份为x 头牛，则三人所分得的牛的头数分别为9x,6x,2x .根据题意，得9x ＋6x ＋2x ＝17.解这个方程，得x ＝1.所以9x ＝9,6x ＝6,2x ＝2.答：三个儿子分别分得9头、6头、2头牛．【例2－2】 高一某班在入学体检中，测得全班同学的平均体重是48千克，其中男同学平均体重比女同学平均体重多20%，而女同学人数比男同学人数多20%.求男、女同学的平均体重．分析：本题中的未知量有四个——男、女同学的平均体重和男、女同学的人数，可以设女同学的平均体重为x 千克，男同学有y 人两个未知数，根据本题中的相等关系“男女同学的总体重＝全班同学的平均体重×总人数”列出一个方程，其中的未知数y 在解方程的过程中被约掉了，这里的y 就是辅助未知数．解：设女同学平均体重为x 千克，则男同学平均体重为1.2x 千克，设男同学为y 人，则女同学为1.2y 人．根据题意，得1.2xy ＋1.2xy ＝48(y ＋1.2y )．合并同类项，得2.4xy ＝48×2.2y .∵y ≠0，∴方程两边同除以2.4y ，得x ＝44.∴1.2x ＝1.2×44＝52.8 (千克)．答：男同学的平均体重为52.8千克，女同学的平均体重为44千克．3．几种复杂的应用问题含有两个或两个以上的等量关系的应用题主要有以下三种：(1)按比例分配问题按比例分配问题是指已知两个或几个未知量的比，分别求几个未知量的问题．比例分配问题中的相等关系是： 不同成分的数量之和＝全部数量．(2)工程问题工程问题中的相等关系是： 工作量＝工作效率×工作时间； 甲的工作效率＋乙的工作效率＝合作的工作效率； 甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝完成的总工作量．解答工程类问题时，常常把总工作量看成整体1.找出工作效率(即单位时间内的工作量)是解答的关键．(3)资源调配问题 资源调配问题一般采取列表法分析数量关系，利用表格，可以很清晰地表达出各个数量之间的关系．其中的相等关系要根据题目提供的等量关系确定．【例3】 甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成．否则每超过1天罚款1 000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同．(1)正常情况下，甲、乙两人能否完成该合同？为什么？(2)现两人合作了该工程的75%，因别处有急事，必须调走一人，问调走谁更合适一些？为什么？分析：(1)设甲、乙两人合作x 天完成合同，列出一元一次方程求出x 的值，即可知道甲、乙两人能否完成该合同；(2)因两人已完成了该工程的75%，分别计算出甲、乙两人单独做完未完成的25%各需要多少时间，调走合同期内不能完成任务的人更合适一些．解：(1)设甲、乙两人合作x 天完成合同，则甲、乙的工作效率分别为130，120.依题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋120x ＝1.解这个方程，得x ＝12.因为12＜15，所以两人能完成该合同． (2)调走甲更合适一些．理由：设甲单独完成剩下的工程需x 天，乙单独完成剩下的工程需y 天．依题意，得130x ＝1－75%，120y ＝1－75%.解得x ＝7.5，y ＝5. 因为两人合作12天完成任务，所以完成任务的75%需要12×75%＝9(天)，所以还剩6天可以让另一个人单独完成任务．而7.5>6,5<6，说明甲不能按期完成任务，而乙能完成．所以调走甲更合适一些．。
5 应用一元一次方程——“希望工程”义演
1．等量关系的确定
列方程解应用题的关键是找出能够反映题意的一个等量关系．对于复杂问题的等量关系可采用列表法分析数量之间的关系．一般可从以下几个方面确定等量关系：
(1)抓住问题中的关键词，确定等量关系．如问题中的“和”、“差”、“倍”、“多”、“少”、“快”、“慢”等都是确定等量关系的关键词．
(2)利用公式或基本数量关系找等量关系．
(3)从变化的关系中寻找不变的量，确定等量关系．
【例1】刘成用150元买了甲、乙两种书，共20本，甲种书单价10元，乙种书单价5元，则刘成买了这两种书各多少本？
分析：本题的两个等量关系是：甲种书款＋乙种书款＝150元，甲种书量＋乙种书量＝20本．本题有两个未知数：甲种书的数量和乙种书的数量．因此既可以设甲书的数量为未知数，又可以设乙书的数量为未知数．
解：(方法1)设刘成买了甲种书x本，则买了乙种书 (20－x)本，
根据题意，得10x＋5(20－x)＝150，
10x＋100－5x＝150,5x＝50，x＝10，
20－10＝10(本)．
答：刘成买了甲、乙两种书各10本．
(方法2)设买了乙种书x本，则甲种书有(20－x)本．
根据题意，得10(20－x)＋5x＝150，
200－10x＋5x＝150，
－5x＝－50，
x＝10，
20－10＝10(本)．
答：刘成买了甲、乙两种书各10本．
2．未知数的设法
较复杂的问题，未知量可能有两个或两个以上，选择一个适当的未知量设为未知数非常重要．未知数设的适当，能给列方程带来简便．
未知数的设法大致有两种：直接设未知数和间接设未知数．另外还可以根据解决问题的需要设出辅助未知数帮助解答．
(1)直接设未知数
直接设未知数，就是题目中问什么就设什么．对于只有一个相等关系的问题，直接设未知数就能解决问题．而对于较复杂的问题，直接设未知数时列方程可能会较困难．
(2)间接设未知数，就是所设的未知数不是问题中最后所要求的未知数，而是设另外的量为未知数，这样做的好处是便于理顺数量关系、易于列方程．
(3)设辅助未知数
在列方程解应用题时，有时为了解题的需要，将某些量之间的关系说得更清晰，我们引入一些辅助未知数．这些未知数在解方程的过程中，往往是约掉了或者抵消了，最后求出的问题的解与这些未知数无关，因此，被称为辅助未知数．
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【例2－1】 一位老人立下遗嘱：把17头牛按12，13，19
分给他的大儿子、二儿子、三儿子，问三个儿子各分得多少头牛？
分析：解答本题，若直接设三个儿子分别分得多少头牛来求解比较困难，因为遗嘱中规
定的大儿子、二儿子、三儿子应分得牛的头数的比例为12∶13∶19
＝9∶6∶2，所以可设一份为x ，然后根据“大儿子所分得的牛的头数＋二儿子所分得的牛的头数＋小儿子所分得的牛的头数＝17”列方程求解．
解：因为12∶13∶19
＝9∶6∶2，所以设每一份为x 头牛，则三人所分得的牛的头数分别为9x,6x,2x .
根据题意，得9x ＋6x ＋2x ＝17.
解这个方程，得x ＝1.
所以9x ＝9,6x ＝6,2x ＝2.
答：三个儿子分别分得9头、6头、2头牛．
【例2－2】 高一某班在入学体检中，测得全班同学的平均体重是48千克，其中男同学平均体重比女同学平均体重多20%，而女同学人数比男同学人数多20%.求男、女同学的平均体重．
分析：本题中的未知量有四个——男、女同学的平均体重和男、女同学的人数，可以设女同学的平均体重为x 千克，男同学有y 人两个未知数，根据本题中的相等关系“男女同学的总体重＝全班同学的平均体重×总人数”列出一个方程，其中的未知数y 在解方程的过程中被约掉了，这里的y 就是辅助未知数．
解：设女同学平均体重为x 千克，则男同学平均体重为1.2x 千克，设男同学为y 人，则女同学为1.2y 人．
根据题意，得1.2xy ＋1.2xy ＝48(y ＋1.2y )．
合并同类项，得2.4xy ＝48×2.2y .
∵y ≠0，∴方程两边同除以2.4y ，得x ＝44.
∴1.2x ＝1.2×44＝52.8 (千克)．
答：男同学的平均体重为52.8千克，女同学的平均体重为44千克．
3．几种复杂的应用问题
含有两个或两个以上的等量关系的应用题主要有以下三种：
(1)按比例分配问题
按比例分配问题是指已知两个或几个未知量的比，分别求几个未知量的问题．
比例分配问题中的相等关系是： 不同成分的数量之和＝全部数量．
(2)工程问题
工程问题中的相等关系是： 工作量＝工作效率×工作时间； 甲的工作效率＋乙的工作效率＝合作的工作效率； 甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝完成的总工作量．
解答工程类问题时，常常把总工作量看成整体1.找出工作效率(即单位时间内的工作量)是解答的关键．
(3)资源调配问题 资源调配问题一般采取列表法分析数量关系，利用表格，可以很清晰地表达出各个数量之间的关系．其中的相等关系要根据题目提供的等量关系确定．
【例3】 甲、乙两人想共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成．否则每超过1天罚款1 000元，甲、乙两人经商量后签订了该合同．
(1)正常情况下，甲、乙两人能否完成该合同？为什么？
(2)现两人合作了该工程的75%，因别处有急事，必须调走一人，问调走谁更合适一些？
为什么？
分析：(1)设甲、乙两人合作x 天完成合同，列出一元一次方程求出x 的值，即可知道甲、乙两人能否完成该合同；
(2)因两人已完成了该工程的75%，分别计算出甲、乙两人单独做完未完成的25%各需要多少时间，调走合同期内不能完成任务的人更合适一些．
解：(1)设甲、乙两人合作x 天完成合同，则甲、乙的工作效率分别为130，120
.依题意，得⎝ ⎛⎭
⎪⎫130＋120x ＝1.解这个方程，得x ＝12.因为12＜15，所以两人能完成该合同． (2)调走甲更合适一些．
理由：设甲单独完成剩下的工程需x 天，乙单独完成剩下的工程需y 天．依题意，得130
x ＝1－75%，120
y ＝1－75%.解得x ＝7.5，y ＝5. 因为两人合作12天完成任务，所以完成任务的75%需要12×75%＝9(天)，所以还剩6天可以让另一个人单独完成任务．
而7.5>6,5<6，说明甲不能按期完成任务，而乙能完成．所以调走甲更合适一些．。
