2020年高考数学三轮微专题突破34 数列中的奇偶性问题(教师版)江苏

数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题（微专题）（解析版）2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.4(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=5,S 9=81，数列{b n }满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n a n +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .5(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．2【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n}是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4=16．(1)求数列{a n}的通项公式；log，求数列{b n}的前n项和T n．(2)若b n=-1n⋅2a2n+12【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.n n+13(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.2(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n前n项和满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n的通项公式；和数列b n(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.【解析】【小问1详解】∵na n+1-n+1a n=1,∴a n+1n+1-a nn=1n-1n+1,a n+1+1n+1=a n+1n，所以a n+1n是常数列，即a n+1n=a1+11=3,∴a n=3n-1；【小问2详解】由(1)知，a n是首项为2，公差为3等差数列，由题意得b2n-1=a2n-1=6n-4，b2n=2a2n+1=12n+4，设数列b2n-1，b2n的前50项和分别为T1，T2，所以T1=50b1+b992=25×298=7450，T2=50×b2+b1002=25×620=15500，所以b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950；综上，a n=3n-1，b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见详解(2)S2n=2n-1n19+n34n+3【详解】(1)当n=1时，可得a1=1，当n≥2时，由a1+3a2+⋯+2n-1a n=n，则a1+3a2+⋯+2n-3a n-1=n-1n≥2，上述两式作差可得a n=12n-1n≥2，因为a1=1满足a n=12n-1，所以a n的通项公式为a n=12n-1，所以1a n=2n-1，因为1a n-1a n-1=2n-1-2n-3=2(常数)，所以1a n是一个等差数列．(2)c n=2n-119,n为奇数12n-12n+3,n为偶数 ，所以C1+C3+⋯C2n-1=1+5+9+⋯4n-319=2n-1n19，C2+C4+⋯C2n=1413-17+17-111+⋯+14n-1-14n+3=n34n+3所以数列c n的前2n项和S2n=2n-1n19+n34n+3．2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．【答案】(1)a1=12，a2=4；1024是数列a n的第342项(2)S2n-1=4n6+3n2-5n+116【详解】(1)由a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数可得a1=12，a2=4．令2n-2=1024=210，解得：n=12为偶数，不符合题意，舍去；令3n-2=1024，解得：n=342，符合题意．因此，1024是数列a n的第342项．(2)S2n-1=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-2+a2n-1=12+4+2+10+⋅⋅⋅+6n-8+22n-3=12+2+⋅⋅⋅+22n-3+4+10+⋅⋅⋅+6n-8=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116．另解：由题意得a2n-1=22n-3，又a2n+1a2n-1=4，所以数列a2n-1是以12为首项，4为公比的等比数列．a2n=6n-2，又a2n+2-a2n=6，所以数列a2n是以4为首项，6为公差的等差数列．S2n-1为数列a2n-1的前n项和与数列a2n的前n-1项和的总和．故S2n-1=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116.3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.【答案】(1)a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)证明见解析.【详解】(1)由题意a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1,所以a2n+1+1=2a2n-1+1,因为a1+1=2≠0,所以数列a2n-1+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以a2n-1+1=2n,即a2n-1=2n-1,而a2n=2a2n-1=2n+1-2,所以a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)方法一：由(1)得T2n=ni=11a2i-1+1a2i=32ni=112i-1=32ni=12i+1-12i-12i+1-1<32ni=12i+12i-12i+1-1=3ni=12i2i-12i+1-1=3ni=112i-1-12i+1-1=31-12n+1-1<3方法二：因为2n-1≥2n-1n∈N*,所以T2n=∑ni=11a2i-1+1a2i=32∑n i=112i-1≤32∑n i=112i-1=31-12n<34(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列{b n}满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n an +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =2n -1,b n =3n (2)T 2n =3⋅9n 8-116n +12-724【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=5S 9=81 ，即a 1+2d =59a 1+9×82d =81 ，∴a 1=1,d =2，∴a n =2n -1.∵a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3，①∴a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n -1b n -1=n -2 ⋅3n +3n ≥2 ，②所以①-②得，a n b n =2n -1 ⋅3n ，∴b n =3n n ≥2 .当n =1时，a 1b 1=3,b 1=3，符合b n =3n .∴b n =3n .(2)T 2n =c 1+c 2+c 3+⋯+c 2n ，依题有：T 2n =b 1+b 3+⋯+b 2n -1 +1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2.记T 奇=b 1+b 3+⋯+b 2n -1，则T 奇=3(1-32n )1-32=32n +1-38.记T 偶=1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2，则T 偶=12d 1a 2-1a 4 +1a 4-1a 6 +⋯+1a 2n -1a 2n +2=12d 1a 2-1a 2n +2=1413-14n +3 .所以T 2n =32n +1-38+1413-14n +3 =3⋅9n 8-116n +12-7245(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =3n (2)T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数【详解】(1)因为a n 是等比数列，公比为q ≠-1，则a 4=a 1q 3,a 5=a 1q 4，a 7=a 1q 6,a 8=a 1q 7，所以a 4+a 5a 7+a 8=a 1q 3+a 1q 4a 1q 6+a 1q 7=1q 3=127，解得q =3，由S 4=a 3+93，可得a 11-34 1-3=9a 1+93，解得a 1=3，所以数列a n 的通项公式为a n =3n ．(2)由(1)得b n =-n ,n 为奇数3n ,n 为偶数，当n 为偶数时，T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =b 1+b 3+⋅⋅⋅+b n -1 +b 2+b 4+⋅⋅⋅+b n =-1+3+⋅⋅⋅+n -1 +32+34+⋅⋅⋅+3n=-n2⋅1+n -12×+91-9n 21-9=983n -1 -n 24；当n 为奇数时T n =T n +1-b n +1=983n +1-1 -n +1 24-3n +1=18×3n +1-98-n +1 24；综上所述：T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数.题型二、含有(-1)n 类型2【2020年新课标1卷文科】数列{a n }满足a n +2+(-1)n a n =3n -1，前16项和为540，则a 1=【答案】7【解析】a n +2+(-1)n a n =3n -1，当n 为奇数时，a n +2=a n +3n -1；当n 为偶数时，a n +2+a n =3n -1.设数列a n 的前n 项和为S n ，S 16=a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 16=a 1+a 3+a 5⋯+a 15+(a 2+a 4)+⋯(a 14+a 16)=a 1+(a 1+2)+(a 1+10)+(a 1+24)+(a 1+44)+(a 1+70)+(a 1+102)+(a 1+140)+(5+17+29+41)=8a 1+392+92=8a 1+484=540，∴a 1=7.故答案为：7.1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1、3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =-1 n ⋅2a 2n +1log ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列{a n }是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-⋯-2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +⋯+-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+⋯+-1 n ⋅2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+⋯+-1 n +1⋅2n +1 所以2T n =3+2[-1 2+-1 3+⋯+-1 n ]--1 n +12n +1 ，=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n=n+1-1n-1，n∈N*2【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2题型三、a n+a n+1类型3(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．【解析】(1)已知S n=a n2+n2+1，n∈N*当n=1时，a1=a12+2，a1=4；当n=2时，a1+a2=a22+5，a2=2，所以a1+a2=6．因为S n=a n2+n2+1①，所以S n+1=a n+12+n+12+1②．②-①得，a n+1=a n+12-a n2+n+12-n2，整理得a n+a n+1=4n+2，n∈N*，所以a n+1+a n+2-a n+a n+1=4n+1+2-4n+2=4(常数)，n∈N*，所以a n+a n+1是首项为6，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，a n-1+a n=4n-1+2=4n-2，n∈N*，n≥2．当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+⋯+a n-1+a n=n26+4n-22=n2+n；当n为奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n-1+a n=4+n-1210+4n-22=n2+n+2．综上所述，S n=n2+n,当n为偶数时n2+n+2,当n为奇数时1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.【答案】(1)a n=n,n=2k-1,k∈Zn-1,n=2k,k∈Z，bn=3n-1；(2)58n-59n8.【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n82(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n8。

专题7 函数的奇偶性和周期性专题知识梳理1．奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函数．2．奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．(4)若函数f(x)是偶函数，则有__f(|x|)＝f(x)__．(5)奇函数在对称区间上的单调性__相同__，偶函数在对称区间上的单调性__相反__．3．周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．注1：函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．注2：函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x，(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0)．考点探究考向1 判断函数的奇偶性【例】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x ＜0）－x 2＋x （x ＞0）； (5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2．题组训练1.下列函数中为偶函数的是________．①y ＝1x②y ＝lg|x | ③y ＝(x －1)2 ④y ＝2x2.下面的定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是________．3.（易错题）试判断函数()f x =的奇偶性．考向2 函数奇偶性与单调性的综合应用【例1】（1）若函数f(x)=xln(x+√a+x2)为偶函数,则a=______．（2）已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x−1)>0,则x的取值范围是______．【例2】(1) 设函数f(x)＝a·2x＋a－22x＋1(x∈R)为奇函数，求实数a的值；(2) 设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a－2)－f(4－a2)<0，求实数a的取值范围．题组训练1.设函数f(x)=(x+1)(2x+3a)为偶函数,则a=______ ．2.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(−1)=______．3.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间(−∞,0)上单调递增,若实数a 满足f(2|a−1|)>f(−√2),则a 的取值范围是______．4.若函数f(x)={x(x −b),x ≥0ax(x +2),x <0(a,b ∈R)为奇函数,则a +b 的值为______．5.设f(x)=log 21−ax x−1−x 为奇函数,a 为常数．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数f(x)在x ∈(1,+∞)时的单调性；(3)若对于区间[2,3]上的每一个x 值,不等式f(x)>2x +m 恒成立,求实数m 取值范围．考向3 函数的奇偶性与周期性的综合应用【例1】定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0，2)时，f(x)＝3x9x ＋1．求f(x)在[－2，2]上的解析式．【例2】（2019·江苏卷）设f(x)，g(x)是定义在R 上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数.当x ∈(0,2]时，f(x)=√1−(x −1)2，g(x)={k(x +2),0<x ≤1,−12,1<x ≤2,其中k >0.若在区间(0,9]上，关于x 的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k 的取值范围是______．题组训练1.若f(x)是周期为2的奇函数,当x ∈(0,1)时,f(x)=x 2−8x +30,则f(√10)=______．2.奇函数f(x)的周期为4,且x ∈[0,2],f(x)=2x −x 2,则f(2018)+f(2019)+f(2020)的值为________．3.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．4.（拔高题）设函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足：① f (x 1-x 2)=1221()()1()()f x f x f x f x +- (x 1≠x 2)；② 存在正常数a ，使得f (a )=1． 求证：（1） f （x ）是奇函数；（2） f （x ）是周期为4a 的周期函数．。

2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破专题08数列2020年江苏高考核心考点1.等差和等比数列是江苏高考的C 级考点，属于必考内容，主要对等差和等比数列的项、公差、公比、通项公式、前n 项和公式的求解。

2.数列解答题通常在等差和等比数列的基本量运算上更深入的研究，例如n a 与n s 的递推关系，属于压轴题型。

专项突破一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a ＝ ． 【答案】112+-=n a n 【解析】29(1)(1)10211n n n S n S n n a n n=+--⇒=-+⇒=-+． 2.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在等差数列{}n a (n N *∈)中，若124a a a =+，83a =-，则20a 的值是 ．【答案】-15【解析】∵数列{}n a 是等差数列，∴1524a a a a +=+，又124a a a =+，∴50a =， ∴8531853a a d --===--，故2051515a a d =+=-．3.（2019～2020学年度高三年级如皋中学第二学期期初调研测试）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且434322+1,2232S S a a a ==++，则1a = ．【答案】1【解析】因为434322+1,2232S S a a a ==++所以13344+=-=s s s a ，代入232)1(2233++=+a a s 得0232=+-q q ，解得2=q 或1（舍去） 所以11=a .4.（江苏省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期语数英学科模拟）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121223a a a a =+，且34S ，43S ，52S 成等差数列，则满足不等式40392020n n S a >的n 的最小值为 ． 【答案】12【解析】34S ，43S ，52S 成等差数列得qq a q q a q q a --+--=--1)1(21)1(41)1(6513141（1≠q ） 得2,0232==+-q q q 解得. 由121223a a a a =+得11=a ，202040392121>-=-n n n a s ，得202021>-n ，12≥n 时，不等式成立.5.（天一中学2020届高三第二学期阶段测试）等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，满足S 6﹣3S 5+2S 4＝0，则S 5＝ ．【答案】31【解析】S 6﹣3S 5+2S 4＝0得01)1(21)1(31)1(415161=--+-----qq a q q a q q a . 得0232=+-q q 得)(12舍去或==q q .所以311)1(515=--=q q a s .6.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{1a ，2a ，3a }＝{1b ，2b ，3b }＝{a ，b ，﹣2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为 ．【答案】5【解析】不妨令a ＞b ，则4ab =，22b a =-，则b ＝1，a ＝4，∴a ＋b ＝5．7.(江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷)公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3a 是2a 与6a 的等比中项，3S ＝3，则9S 的值为 ．【答案】63【解析】∵3a 是2a 与6a 的等比中项，∴2326a a a =，∵3S ＝3，∴21a =，从而有2222()(4)a d a a d +=+，即2(1)114)d d +=+（， 化简得d 2＝2d ，∵d ≠0，∴d ＝2，∴5231327a a d =+=+⨯=，95963S a ==.8.（2020年沭阳高级中学高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））已知等比数列{a n }满足a 2+2a 1＝4，a 32＝a 5，则该数列的前5项和为 ．【答案】31【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2+2a 1＝4，523a a =，∴a 1（q +2）＝4，a 12q 4＝a 1q 4， 联立解得a 1＝1，q ＝2，∴数列的前5项的和为21215--＝31. 9.（南通市通州区2020届高三年级第二学期联考数学试卷）已知各项均不相等的数列{}n a 为等差数列，且1041,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.若6b a k =，则=k .【答案】94。

§2.3函数的奇偶性与周期性考情考向分析以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以填空题为主，中等偏上难度．1．函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．(2)f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)．(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a| (2)T＝2|a| (3)T＝|a－b|题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( × )(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (4)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ )题组二 教材改编2．[P45习题T11]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________. 答案 －2解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．[P43练习T4]函数y ＝f (x )为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f (|a |)＝3，则f (－a )＝________. 答案 3解析 若a ≥0，则f (－a )＝f (a )＝f (|a |)＝3； 若a <0，则f (－a )＝f (|a |)＝3. 故对a ∈R ，总有f (－a )＝3.4．[P45习题T8]若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 ∵f (x )＝(x ＋1)(x －a )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )对x ∈R 恒成立，∴(1－a )x ＝(a －1)x 恒成立，∴1－a ＝0，∴a ＝1.题组三 易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 答案 13解析 ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝________. 答案 18解析 由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.题型一 函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36； (2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，x 2－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称， ∴f (x )＝36－x 2＋x 2－36＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝ln (1－x 2)－x.又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是________．(填序号)①f(x)＝x＋sin2x; ②f(x)＝x2－cos x；③f(x)＝3x－13x；④f(x)＝x2＋tan x.答案④解析对于①，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x为奇函数；对于②，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，所以f(x)＝x2－cos x为偶函数；对于③，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫3x－13x＝－f(x)，所以f(x)＝3x－13x为奇函数；对于④，f(x)＝x2＋tan x既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数f(x)＝lg|sin x|是________．(填序号)①最小正周期为π的奇函数；②最小正周期为2π的奇函数；③最小正周期为π的偶函数；④最小正周期为2π的偶函数．答案③解析易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数．题型二函数的周期性及其应用1．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.答案516解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2020)＝________.答案 －2－ 3 解析 由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－ 3.3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.答案 6解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.4．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________. 答案2－1解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋0＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0) ＝122－1＋20－1＝2－1.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三 函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式例2(1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2021)＝________.答案 －12解析 设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2021)＝f (1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则f (x )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0解析 ∵当x >0时，－x <0， ∴f (x )＝f (－x )＝ex －1＋x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.命题点2 求参数问题例3(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________. 答案 1解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)， ∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0. ∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0时，函数为减函数，且－1－a ≤0，此时⎩⎪⎨⎪⎧－a －2＝a 2≤0，－1－a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ≥－1，即－1≤a ≤0.命题点3 利用函数的性质解不等式例4(1)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若f (ln x )<f (2)，则x 的取值范围是________． 答案 (e －2，e 2)解析 根据题意知，f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f (ln x )<f (2)⇔|ln x |<2，即－2<ln x <2，解得e －2<x <e 2，即x 的取值范围是(e －2，e 2)． (2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 解析 由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|， 两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0， 解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 思维升华 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．跟踪训练2(1)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________. 答案 －12解析 由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系为________． 答案 f (－25)<f (80)<f (11)解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1)<f (0)<f (1)． 所以f (－25)<f (80)<f (11)．(3)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (6－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．答案 (－3,2)解析 ∵g (x )是奇函数，∴当x >0时，－x <0，g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )， 易知f (x )在R 上是增函数， 由f (6－x 2)>f (x )，可得6－x 2>x ， 即x 2＋x －6<0，∴－3<x <2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 一、函数性质的判断例1(1)已知函数f (x )＝ax 2＋1x，其中a ∈R .讨论函数f (x )的奇偶性，并证明你的结论．解 方法一 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )恒成立， 即ax 2－1x ＝－ax 2－1x，得2ax 2＝0恒成立，所以a ＝0；若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )恒成立， 即ax 2－1x ＝ax 2＋1x ，得2x＝0，这是不可能的．综上所述，当a ＝0时，f (x )为奇函数； 当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数．方法二 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当a ＝0时，f (x )＝1x ，f (－x )＝－1x＝－f (x )，此时f (x )为奇函数；当a ≠0时，f (－1)＝a －1，f (1)＝a ＋1， 则f (－1)≠－f (1)且f (－1)≠f (1)， 所以f (x )是非奇非偶函数． (2)下列函数： ①y ＝sin 3x ＋3sin x; ②y ＝1e x ＋1－12；③y ＝lg 1－x1＋x；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x －1，x >0.其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的是________．(填序号) 答案 ②③解析 易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③. (3)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为________． 答案 ①②④解析 ∵f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)．又f (x )是R 上的偶函数，所以f (3)＝0，故①正确； 由①知f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )的周期为6. 又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (x ＋6)＝f (－x )， 而f (x )的周期为6，所以f (x ＋6)＝f (－6＋x )，f (－x )＝f (－x －6)，所以f (－6－x )＝f (－6＋x )，所以直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴．故②正确；当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数．因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数．故③错误；f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，所以函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．故④正确．二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ改编)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________. 答案 2解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.(2)(2018·南京、盐城模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e解析 f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ＝f (ln t )＋f (－ln t )＝2f (ln t )＝2f (|ln t |)，于是f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，所以f (|ln t |)≤f (1)，所以|ln t |≤1，所以－1≤ln t ≤1，所以1e≤t ≤e.(3)(2018·扬州期末)已知函数f (x )＝sin x －x ＋1－4x2x ，则关于x 的不等式f (1－x 2)＋f (5x－7)<0的解集为________．答案 (2,3)解析 因为f (－x )＝sin(－x )＋x ＋1－4－x2－x＝－sin x ＋x ＋4x－12x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．又因为f (x )＝sin x －x ＋12x －2x，所以易判断f (x )在R 上单调递减， 所以f (1－x 2)＋f (5x －7)<0， 即f (1－x 2)<f (7－5x )，所以1－x 2>7－5x ，即x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3.1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是________．(填序号) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . 答案 ②④解析 由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 可知②④正确．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝________. 答案 －3解析 由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1， 则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0为________函数．(填“奇”或“偶”)答案 奇解析 f (x )的定义域为R (关于原点对称)．(1)当x ＝0时，－x ＝0，f (－x )＝f (0)＝0，f (x )＝f (0)＝0，∴f (－x )＝－f (x )； (2)当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2－2(－x )－3 ＝－(x 2－2x ＋3)＝－f (x )； (3)当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3 ＝－(－x 2－2x －3)＝－f (x )．由(1)(2)(3)可知，当x ∈R 时，都有f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2021)＝________.答案 －2解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，∴f (2021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)．∵－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)，∴f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2， ∴f (2021)＝－f (－1)＝－2.5．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是________．(用“<”连接) 答案 f (0)<f (－6.5)<f (－1)解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2. ∵函数f (x )为偶函数，∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)． 7．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 答案 －32解析 函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e3x＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝2ax ＝lne 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e2ax ＋3x (e 3x＋1)，所以2ax ＋3x ＝0恒成立， 所以a ＝－32.8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为________． 答案 －ln2解析 由已知可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)．又因为f (x )是奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)＝－f (2)＝－ln2. 9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．答案 9解析 由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9. 10．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________． 答案 －25解析 由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35，∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. 经检验，m ＝2符合题意．(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2023)＝________.答案 1解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)． 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2023)＝f (－1)＝f (1)． 当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1). 由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2023)＝f (1)＝1. 14．(2018·如东、丰县联考)已知函数f (x )＝－3x＋a3x ＋1＋b .(1)当a ＝b ＝1时，求满足f (x )＝3x的x 的取值集合；(2)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，存在t ∈R ，使得不等式f (t 2－2t )<f (2t 2－k )有解，求k 的取值范围．解 (1)由题意得－3x＋13x ＋1＋1＝3x，化简得3·(3x )2＋2·3x－1＝0，解得3x ＝－1(舍去)或3x＝13，从而x ＝－1.即满足f (x )＝3x的x 的取值集合是{－1}． (2)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0， 所以－3－x＋a 3－x ＋1＋b ＋－3x＋a 3x ＋1＋b＝0，化简并变形得(3a －b )(3x＋3－x)＋2ab －6＝0. 要使上式对任意的x 恒成立， 则3a －b ＝0且2ab －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，因为f (x )的定义域是R ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3不合题意，所以a ＝1，b ＝3.所以f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3＝13⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23x ＋1，对任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝1212233131x x 骣÷ç-÷ç÷ç桫++ 2112233.3(31)(31)x x x x =?－＋＋ 因为x 1<x 2，所以21330x x>－， 所以f (x 1)>f (x 2)， 因此f (x )在R 上单调递减．因为f (t 2－2t )<f (2t 2－k )，所以t 2－2t >2t 2－k ， 即t 2＋2t －k <0在R 上有解， 所以Δ＝4＋4k >0，解得k >－1. 所以k 的取值范围为(－1，＋∞)．15．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为__________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23解析 易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，m ∈[－2,2]，此时，只需⎩⎪⎨⎪⎧h (－2)<0，h (2)<0即可，解得－2<x <23.16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)的值．解 因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝0.。

专题22 数列中的探究性问题数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题,对于此类问题的求解,通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解,本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围,从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题,也可以运用反证法,反证法证明命题的基本步骤：①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来,不要有遗漏．②归谬：从反设出发,通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设,从而得出原命题结论成立．一、题型选讲题型一 、数列中项存在的问题例1、(2018无锡期末）已知数列{a n }满足⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2·…·⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1a n,n ∈N *,S n 是数列{a n }的前n 项和．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a p ,30,S q 成等差数列,a p ,18,S q 成等比数列,求正整数p ,q 的值；(3) 是否存在k ∈N *,使得a k a k ＋1＋16为数列{a n }中的项？若存在,求出所有满足条件的k 的值；若不存在,请说明理由．例2、(2019苏州期初调查）已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列,数列{a n }前n 项和为S n ,且满足S 3＝a 4,a 5＝a 2＋a 3.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a m a m ＋1＝a m ＋2,求正整数m 的值；(3) 是否存在正整数m,使得S 2m S 2m －1恰好为数列{a n }中的一项？若存在,求出所有满足条件的m 值,若不存在,说明理由．题型二、数列中的等差数列或者等比数列的存在问题例3、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n,且2S n＝a2n＋a n,数列{b n}满足b1＝12,2b n＋1＝b n＋b n a n.(1) 求数列{a n},{b n}的通项公式；(2) 设数列{c n}满足c n＝b n＋2S n,求和c1＋c2＋…＋c n；(3) 是否存在正整数p,q,r(p<q<r),使得b p,b q,b r成等差数列？若存在,求出所有满足要求的p,q,r；若不存在,请说明理由．例4、(2019常州期末）已知数列{a n}中,a1＝1,且a n＋1＋3a n＋4＝0,n∈N*.(1) 求证：{a n＋1}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式；(2) 数列{a n}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后,构成等差数列？若存在,求满足条件的项；若不存在,说明理由．题型三、数列中的有序实数对的问题例5、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知数列{}n a 满足15(1)()2n n n n a a n *+++-=∈N ,数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求13a a +的值；（2）若1532a a a +=．① 求证：数列{}2n a 为等差数列； ② 求满足224()pm S S p m *=∈N ，的所有数对()p m ，．题型四、数列中的参数的问题例6、(2019苏州期末）定义：对于任意n ∈N *,x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{x n }中的项,则称数列{x n }为“回归数列”．(1) 已知a n ＝2n (n ∈N *),判断数列{a n }是否为“回归数列”,并说明理由；(2) 若数列{b n }为“回归数列”,b 3＝3,b 9＝9,且对于任意n ∈N *,均有b n <b n ＋1成立． ①求数列{b n }的通项公式；②求所有的正整数s ,t ,使得等式b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t 成立．二、达标训练1、已知数列{}n a 的通项公式为27n a n =-,若12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项,则m =____ 2、(2019扬州期末）记无穷数列{a n }的前n 项中最大值为M n ,最小值为m n ,令b n ＝M n ＋m n 2,数列{a n }的前n 项和为A n ,数列{b n }的前n 项和为B n .(1) 若数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,求B n .(2) 若数列{b n }是等差数列,试问数列{a n }是否也一定是等差数列？若是,请证明；若不是,请举例说明．3、(2019苏北三市期末）已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *,都有a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1·(1－q n a n ＋1),且a n ＋1＋a n ≠0,其中a 1＝2,q ≠0.记T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋q n －1a n .(1) 若q ＝1,求T 2019的值．(2) 设数列{b n }满足b n ＝(1＋q )T n －q n a n .①求数列{b n }的通项公式；②若数列{c n }满足c 1＝1,且当n ≥2时,c n ＝2b n －1－1,是否存在正整数k ,t ,使c 1,c k －c 1,c t －c k 成等比数列？若存在,求出所有k ,t 的值；若不存在,说明理由．4、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足12a =-,1320n n a S +++=（*n ∈N ）.（1）求2a ,3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在整数对(,)m n ,使得等式248n n a m a m -⋅=+成立？若存在,请求出所有满足条件的(,)m n；若不存在,请说明理由.5、(2019南京、盐城一模）已知数列{a n},其中n∈N*.(1) 若{a n}满足a n＋1－a n＝q n－1(q>0,n∈N*)．①当q＝2,且a1＝1时,求a4的值；②若存在互不相等的正整数r,s,t,满足2s＝r＋t,且a r,a s,a t成等差数列,求q的值；(2)设数列{a n}的前n项和为b n,数列{b n}的前n项和为c n,c n＝b n＋2－3,n∈N*,若a1＝1,a2＝2,且|a2n＋1－a n a n＋2|≤k恒成立,求k的最小值．6、(2017南京学情调研）已知数列{a n}是公差为正数的等差数列,其前n项和为S n,且a2·a3＝15,S4＝16.(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 设数列{b n}满足b1＝a1,b n＋1－b n＝1a n·a n＋1.①求数列{b n}的通项公式；②是否存在正整数m,n(m≠n),使得b2,b m,b n成等差数列？若存在,求出m,n的值；若不存在,请说明理由．。

专题34数列中的奇偶性问题、题型选讲题型一、与奇偶性有关讨论求含参问题含参问题最常用的方法就是把参数独立出来，要独立出来就要除以一个因式，此因式的正负与n的奇偶性有关，因此要对n进行奇偶性的讨论.例1、（2015扬州期末）设数列｛a”｝的前n项和为S“,且a“=4+（—扌）-1,若对任意“□”*,都有1伞（S“一4〃）三3,则实数p的取值范围是.例2、（2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列｛a n｝的各项均不为零.设数列｛a n｝的前n项和为S n,数列｛聲｝的前n项和为T n，且3S2—4S n+T n=0,nD N*.（1）求a1?a2的值；（2）证明：数列｛a n｝是等比数列；⑶若（X—na n）（X—na n十］）＜0对任意的n D N*恒成立，求实数久的所有值.题型二、数列中奇偶项问题数列通项中出现奇、偶不同的表达式,需要分奇、偶分别赋值得到关系式,再对关系式相加或相减,得到奇数项或偶数项的关系式,体现减元的思想,考生要能够多观察,多思考,养成良好的逻辑推理的习惯.仃.、「亠“”云a+n,n为奇数,例3、例3、(2015苏州期末)已知数列｛a n｝中a=1,a n+i=*"l a—3n,n为偶数.n(1)是否存在实数入使得数列｛a2n—A｝是等比数列？若存在，求出久的值；若不存在,请说明理由.(2)若S n是数列｛a^｝的前n项和,求满足S n>0的所有正整数n.例4、(2018苏中三市、苏北四市三调)已知数列匕｝满足n a+(一1)n an+1—出5(n G N*)，数列｛a｝的前恢n和为S n(1)求a1+a的值；(2)^^a+a—2a口求证：数列｛d｝为等差数列；2n口求满足S—4S2(p m G N*)的所有数对(p,m)•2p2m例5、(2017苏北四市期末)已知正项数列｛a^｝的前n项和为S”,且a1a,(a“+1)(a n+]+1)=6(S“+n),n D N*.(1)求数列｛a n｝的通项公式;(2)若□“□”*，都有S<n(3n+1｝成立,求实数a的取值范围；(3)当a=2时,将数列｛a n｝中的部分项按原来的顺序构成数列｛b”｝,且b=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列｛b n｝.题型三、数列中连续两项和或积的问题“相邻两项的和是一次式”的特征，联想到数列｛a n｝中相邻两项的和成等差数列，故考虑采用相邻项作差法，得到数列｛a n｝中奇数项成等差，偶数项也成等差,而且公差相同的结论，进而求出数列通项公式.例6、(2018苏州暑假测试)已知数列｛a n｝满足a”1+a n=4n-3(nD N*).(1)若数列｛a n｝是等差数列，求a1的值；(2)当a1=2时,求数列｛a n｝的前n项和S”；a2＋a2(3)若对任意n D N*,都有a n+a n|1>5成立，求a1的取值范围.nn＋1例7、(2019苏州期初调查)已知数列｛a n｝的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列,数列｛a n｝前n项和为S n,且满足S3=a4，a5=a2+a3・(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若a m a m+]=a m+2,求正整数m的值；S(3)是否存在正整数m,使得s~e恰好为数列｛a n｝中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在,S2m－1n说明理由．二、达标训练1、(2018南京、盐城一模)设S n为等差数列｛a n｝的前n项和，若｛a n｝的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为．2、(2019常州期末)数列｛a n｝,｛b n｝满足b n=a n+]+(—1)n a n(nD N*),且数列｛b”｝的前n项和为n2,已知数列｛a“—n｝的前2018项和为1,那么数列｛a n｝的首项a=•3、(2015南京、盐城一模)已知数列｛a n｝满足a1=—1,a2>a1?|a n+1—a”|=2”(n D N*),若数列｛a2n—1｝单调递减，数列｛a2n｝单调递增,则数列｛a n｝的通项公式为a n=.4、(2017镇江期末)已知n D N*，数列｛a n｝的各项均为正数，前n项和为S n,且a1=1,a2=2，设b n=a2n—1+a2n.(1)若数列｛b n｝是公比为3的等比数列，求S2n；a2+n(2)若对任意“□N*,S n=~^恒成立,求数列｛a n｝的通项公式；⑶若S2n=3(2n—1),数列｛aa n+1｝也为等比数列，求数列｛a n｝的通项公式.5、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模)已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且对任意正整数n都有a”=(—1)n S n+p n(p 为常数,p^0).(1)求P的值；(2)求数列｛a n｝的通项公式；(3)设集合A n=｛a2n—],a2n｝，且b n,c n DA n,记数列｛nb n｝,｛nc“｝的前n项和分别为P n,Q n•若久舛,求证：对任意n D N*，P n^Q n-6、(2015扬州期末)已知数列｛a n｝中,a]=1,a2=a,且a^]=k(a n+a“十2)对任意正整数都成立，数列｛a n｝的前n项和为S n.(1)若k=g且S2015=2015a,求a的值.(2)是否存在实数k,使数列｛a n｝是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项a m,a m十代十2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在,请说明理由.⑶若k=-g,求S n.。

数列中的奇偶项问题一、真题剖析【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=_____ ________【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以数列中的两项之间的关系为载体，考查数列中的项。

【必备知识】本题考查数列中的递推公式以及通项公式，并项求和等问题·【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，对n为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用a1表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立a1方程，求解即可得出结论.【答案】7【解析】a n+2+(-1)n a n=3n-1，当n为奇数时，a n+2=a n+3n-1；当n为偶数时，a n+2+a n=3n-1.设数列a n的前n项和为S n，S16=a1+a2+a3+a4+⋯+a16=a1+a3+a5⋯+a15+(a2+a4)+⋯(a14+a16)=a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)+(5+17+29+41)=8a1+392+92=8a1+484=540，∴a1=7.故答案为：7.二、题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和例1.(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分10分)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，S3= 7a1，且a1，a2+2，a3成等差数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=a n，n为奇数，n，n为偶数，求数列{bn}的前2n项和T2n．【解析】(1)因为数列{a n}为正项等比数列，记其公比为q，则q>0．因为S3=7a1，所以a1+a2+a3=7a1，即a3+a2-6a1=0，因此q2+q-6=0，解得q=2或-3，从而q=2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又a1，a2+2，a3成等差数列，所以2(a2+2)=a1+a3，即2(2a1+2)=a1+4a1，解得a1=4．因此a n=4×2n-1=2n+1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)因为b n=a n，n为奇数，n，n为偶数，所以T2n=(b1+b3+⋯+b2n-1)+(b2+b4+⋯+b2n)=(a1+a3+⋯+a2n-1)+(2+4+⋯+2n)=(22+24+⋯+22n)+(2+4+⋯+2n))⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分=4×1-4n1-4+(2+2n)n2=n2+n+4n+1-43．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分变式1.(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)已知等差数列{a n}前n项和为S n(n∈N+)，数列{b n}是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若c n=2S n,n为奇数b n,n为偶数，设数列{c n}的前n项和为T n，求T2n.【答案】(1)a n=2n+1，b n=2n-1；(2)1+22n+13-12n+1.【解析】【分析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q(q≠0)，根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果；(2)求出S n=n(3+2n+1)2=n(n+2)，代入可得c n=2n(n+2)=1n-1n+2，n为奇数2n-1，n为偶数，再分组求和，利用裂项求和和等比数列的求和公式可求得结果.【详解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q(q≠0)，∵a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3，∴q+3+3+d=103+4d-2q=3+2d ，∴d=2，q=2，∴a n=2n+1，b n=2n-1；公众号：高中数学最新试题(2)由(1)知，S n=n(3+2n+1)2=n(n+2)，∴c n=2n(n+2)=1n-1n+2，n为奇数2n-1，n为偶数，∴T2n=1-13+13-15+⋅⋅⋅+12n-1-1 2n+1+(21+23+25+⋅⋅⋅+22n-1)=1-12n+1+2(1-4n) 1-4=1+22n+13-12n+1.变式2.(2022·山东·潍坊一中模拟预测)已知数列a n满足a12+a222+⋅⋅⋅+a n2n=n2n．(1)求数列a n的通项公式；(2)对任意的n∈N∗，令b n=2-n,n为奇数22-n,为偶数，求数列bn的前n项和S n．【解析】(1)当n=1时，得a12=12，解得a1=1；当n≥2时，可得a12+a222+⋅⋅⋅+a n2n=n2n①a1 2+a222+⋅⋅⋅+a n-12n-1=n-12n-1②，由①-②，得a n2n=n2n-n-12n-1=2-n2n，a n=2-n，当n=1时，a1=2-1=1也符合，所以数列a n的通项公式为a n=2-n．(2)由(1)知b n=2-n,n为奇数22-n,为偶数.当n为偶数时，S n=1+-1+-3+⋅⋅⋅+2-n-1+20+2-2+⋅⋅⋅+22-n=1+3-nn22+1-14 n21-14=4-nn4+431-12n=-3n2+12n+1612-13×2n-2；当n为奇数时，S n=S n+1-b n+1=-3n+12+12n+1+1612-13×2n-1-21-n=-3n2+6n+2512-43×2n-1．综上所述，S n =-3n 2+6n +2512-43×2n -1,n 为奇数-3n 2+12n +1612-13×2n -2,n 为偶数 ．变式3.(2022·湖南省雅礼中学开学考试)(10分)已知数列{a n }满足n 2a n +12+12，为正奇数，2a n 2+n 2，n 为正偶数．(1)问数列{a n }是否为等差数列或等比数列?说明理由．(2)求证：数列a 2n2n是等差数列，并求数列{a 2n}的通项公式．【解析】(1)由题意可知，a 1=12a 1+12+12=12a 1+12，所以a 1=1，a 2=2a 22+22=2a 1+1=3，a 3=32a 3+12+12=32a 2+12=5，a 4=2a 42+42=2a 2+2=8，因为a 3-a 2=2，a 4-a 3=3，a 3-a 2≠a 4-a 3，所以数列{a n }不是等差数列．又因为a 2a 1=3，a 3a 2=53，a2a 1≠a 3a 2所以数列{a n }也不是等比数列．(2)法一：因为对任意正整数n ，a 2n +1=2a 2n+2n ，a 2n +12n +1-a 2n2n =12，a 22=32，所以数列a 2n2n是首项为32，公差为72的等差数列．从而对 n ∈N *，a 2n2n =32+n -12，a 2n=(n +2)2n -1，所以数列{a 2n}的通项公式是a 2n=(n +2)2n -1(n ∈N *)．法二：因为对任意正整数n ，a 2n +1=2a 2n+2n ，得a 2n +1-(n +3)2n =2[a 2n-(n +2)2n -1]，且a 21-(1+2)21-1=a 2-3=0所以数列{a 2n-(n +2)2n -1}是每项均为0的常数列，从而对∀n ∈N *，a 2n=(n +2)2n -1，所以数列{a 2n}的通项公式是a 2n=(n +2)2n -1(n ∈N *)．∀n ∈N *，a 2n2n =n +22，a 2n +12n +1-a 2n2n =n +32-n +22，a 22=32，所以数列a 2n2n是首项为32，公差为12的等差数列题型二、含有(-1)n 类型公众号：高中数学最新试题例2.【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2.变式1.【2022·广东省深圳市育才中学10月月考】已知数列a n的前n项和为S n，且对任意正整数n，a n =34S n+2成立．(1)b n=log2a n，求数列b n的通项公式；(2)设c n=-1n+1n+1b n b n+1，求数列c n的前n项和T n．【答案】(1)a n=22n+1；(2)T n=1413+-1n+112n+3．【解析】【分析】(1)利用数列a n与S n的关系，即可求得数列a n的通项公式，代入b n=log2a n，即可求得数列b n的通项公式；(2)由(1)可知c n=14-1n+112n+1+12n+3，分n为奇数和偶数，分别求和.【详解】(1)在a n=34S n+2中令n=1得a1=8．因为对任意正整数n，a n=34S n+2成立，所以a n+1=34S n+1+2，两式相减得a n+1-a n=34a n+1，所以a n+1=4a n，又a1≠1，所以a n为等比数列，所以a n=8⋅4n-1=22n+1，所以b n=log222n+1=2n+1．(2)c n=-1n+1n+12n+12n+3=14-1n+14n+42n+12n+3=14-1n+112n+1+12n+3当n为偶数时，T n=1413+15-15+17+17+19-⋯-12n+1+12n+3=1413-12n+3，当n为奇数时，T n=1413+15-15+17+17+19-⋯+12n+1+12n+3=1413+12n+3．所以T n=1413+-1n+112n+3．变式2.(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列a n是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4 =16．公众号：高中数学最新试题(1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n =-1 n 2a 2n +1log ，求数列b n 的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列a n 的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列a n 是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-L -2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +L +-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+L +-1 n 2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+L +-1 n +12n +1 所以2T n =-3+2-1 2+-1 3+L +-1 n --1 n +12n +1=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *变式3.(2022·湖北·黄冈中学二模)已知数列a n 中，a 1=2,n a n +1-a n =a n +1.(1)求证：数列a n +1n是常数数列；(2)令b n =(-1)n a n ,S n 为数列b n 的前n 项和，求使得S n ≤-99的n 的最小值.【解析】(1)由n a n +1-a n =a n +1得：na n +1=n +1 a n +1，即a n +1n +1=a n n +1n n +1∴a n +1n +1=a n n +1n -1n +1，即有a n +1+1n +1=a n +1n,∴数列a n +1n 是常数数列；(2)由(1)知：a n +1n =a 1+1=3,∴a n =3n -1,∴b n =(-1)n 3n -1即b n =3n -1,n 为偶数-3n -1 ,n 为奇数，∴当n 为偶数时，S n =-2+5 +-8+11 +⋯+-3n -4 +3n -1 =3n2，显然S n ≤-99无解；当n 为奇数时，S n =S n +1-a n +1=3n +1 2-3n +1 -1 =-3n +12，令S n ≤-99，解得：n ≥66，结合n 为奇数得：n 的最小值为67.所以n 的最小值为67.题型三、a n +a n +1类型例3.(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z ，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，公众号：高中数学最新试题又b2=3，∴n≥2时，b n=3n-1，b1=1=30，∴b n=3n-1；(2)由(1)得c n=n3n-1,n=2k-1,k∈Zn-13n-1,n=2k,k∈Z，T2n=1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n-2+1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n-1= 41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n-1⋅32n-2设K n=1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n-1⋅32n-2①则9K n=1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n②①-②得-8K n=1+232+34+⋅⋅⋅+32n-2-2n-1⋅32n=5+8n-59n-4，K n=5+8n-59n32，∴T2n=58n-59n8变式1.(2022·江苏苏州·高三期末)若数列a n满足a n+m=a n+d(m∈N*，d是不等于0的常数)对任意n∈N*恒成立，则称a n是周期为m，周期公差为d的“类周期等差数列”．已知在数列a n中，a1=1，a n+a n+1=4n+1(n∈N*)．(1)求证：a n是周期为2的“类周期等差数列”，并求a2,a2022的值；(2)若数列b n满足b n=a n+1-a n(n∈N*)，求b n的前n项和T n．【答案】(1)证明见解析；a2=4；a2022=4044(2)T n=2n+1,n为奇数, 2n,n为偶数.【解析】【分析】(1)由a n+a n+1=4n+1，a n+1+a n+2=4(n+1)+1，相减得a n+2-a n=4(n∈N*)，即可得到答案；(2)对当n分为偶数和奇数进行讨论，进行并求和，即可得到答案；(1)由a n+a n+1=4n+1，a n+1+a n+2=4(n+1)+1，相减得a n+2-a n=4(n∈N*)，所以a n周期为2，周期公差为4的“类周期等差数列”，由a1+a2=5，a1=1，得a2=4，所以a2022=a2+(2022-2)×2=4+4040=4044．(2)由b n=a n+1-a n，b n+1=a n+2-a n+1，得b n+1+b n=a n+2-a n=4，当n为偶数时，T n=(b1+b2)+(b3+b4)+⋯+(b n-1+b n)=4⋅n2=2n；当n为奇数时，T n=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+⋯+(b n-1+b n)=3+4⋅n-12=2n+1．综上所述，T n=2n+1,n为奇数, 2n,n为偶数.变式2.(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)(10分)已知等差数列{a n}满足an+an+1= 4n，n∈N*．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b1=1，bn+1=a n，n为奇数，-b n+2n，n为偶数，求数列{bn}的前2n项和S2n．【答案】(1)a n=2n-1；(2)4n-13+4n-3.【解析】【分析】(1)设等差数列a n的公差为d，由已知可得a n+1+a n+2=4n+1与已知条件两式相减可得a n+2-a n=4=2d求得d的值，再由a1+a2=4求得a1的值，利用等差数列的通项公式可得a n的通项公式；(2)当n为奇数时，b n+1=2n-1，当n为偶数时，b n+1+b n=2n，再利用分组并项求和以及等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】因为a n+a n+1=4n，所以a n+1+a n+2=4n+1，所以a n+2-a n=4，设等差数列a n的公差为d，则a n+2-a n=4=2d，可得d=2，当n=1时，a1+a2=a1+a1+2=4，可得a1=1，所以a n=1+2n-1=2n-1.【小问2详解】当n为奇数时，b n+1=a n=2n-1，当n为偶数时，b n+1+b n=2n，所以S2n=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+⋯+b2n-2+b2n-1+b2n=1+22+24+26+⋯+22n-2+22n-1-1=20+22+24+26+⋯+22n-2+22n-1-1=201-4n1-4+4n-3=4n-13+4n-3.三、追踪训练1.(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{a n}中不超过f(m)的项数恰为b m(m∈N*)，则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{a n}生成{b m}的控制函数．已知a n=2n，且f(m)=m，数列{b m}的前m项和S m，若S m=30，则m的值为()公众号：高中数学最新试题A.9B.11C.12D.14【答案】B【解析】由题意可知，当m为偶数时，可得2n≤m，则b m=m2；当m为奇数时，可得2n≤m-1，则bm=m-12，所以b m=m-12(m为奇数)m2(m为偶数)，则当m为偶数时，S m=b1+b2+⋯+b m=12(1+2+⋯+m)-12×m2=m24，则m24=30，因为m∈N*，所以无解；当m为奇数时，S m=b1+b2+⋯+b m=S m+1-b m+1=(m+1)24-m+12=m2-14，所以m2-14=30，因为m∈N*，所以m=11，故答案选B．2.【2022·广东省深圳市第七高级中学10月月考】(多选题)已知数列a n满足a n+1+a n=n⋅-1 n n+12，其前n项和为S n，且m+S2019=-1009，则下列说法正确的是()A.m为定值B.m+a1为定值C.S2019-a1为定值D.ma1有最大值【答案】BCD【解析】【分析】分析得出a2k+a2k+1=2k⋅-1k2k+1，由已知条件推导出S2019-a1=-1010，m+a1=1，可判断出ABC选项正误，利用基本不等式可判断D选项的正误.【详解】当n=2k k∈N∗，由已知条件可得a2k+a2k+1=2k⋅-1k2k+1，所以，S2019=a1+a2+a3+⋯+a2019=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a2018+a2019=a1-2+4-6+8-⋯-2018=a1+2×504-2018=a1-1010，则S2019-a1=-1010，所以，m+S2019=m+a1-1010=-1009，∴m+a1=1，由基本不等式可得ma1≤m+a122=14，当且仅当m=a1=12时，等号成立，此时ma1取得最大值14.故选：BCD.3.(2022·江苏南通市区期中)(多选题)已知数列{a n}满足a1=-2，a2=2，a n+2-2a n=1-(-1)n，则A.{a2n-1}是等比数列B.5i=1a2i−1+2=-10C.{a2n}是等比数列D.10i=1a i=52【答案】ACD【解析】由题意可知，数列{a n}满足a1=-2，a2=2，a n+2-2a n=1-(-1)n，所以a n+2=1-(-1)n+2a n=2+2a n，n为奇数2a n，n为偶数，所以a3=2+2×(-2)=-2，a4=2×2=4，a5=2+2×(-2)=-2，a6=2×4=8，a7=2+2×(-2)=-2，a8=2×8=16，a9=2+2×(-2)=-2，a10=2×16=32，⋯，所以{a2n-1}={-2}，是等比数列，故选项A正确；5i=1a2i−1+2=(a1+a3+a5+a7+a9)+2×5=-2×5+2×5=0，故选项B错误；对于选项C，{a2n}={2n}是等比数列，故选项C正确；对于选项D，10i=1a i=-2+2-2+4-2+8-2+16-2+32=52，故选项D正确，综上，答案选ACD．4.(2022·江苏海门中学、泗阳中学期中联考)已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n+1，则a1+a3+a5+⋯+a99=．【答案】50【解析】【分析】根据所给递推关系，可得a2n+1+a2n=4n+1,a2n-a2n-1=4n-1，两式相减可得a2n+1+a2n-1=2.即相邻奇数项的和为2，即可求解.【详解】∵a n+1+(-1)n a n=2n+1,∴a2n+1+a2n=4n+1,a2n-a2n-1=4n-1.两式相减得a2n+1+a2n-1 =2.则a3+a1=2,a7+a5=2,⋯,a99+a97=2,∴a1+a3+a5+⋯+a99=25×2=50，故答案为：505.(2021·天津红桥区·高三一模)已知数列a n的前n项和S n满足：S n=2a n+(-1)n，n≥1.(1)求数列a n的前3项a1，a2，a3；(2)求证：数列a n+23⋅-1n是等比数列：(3)求数列(6n-3)⋅a n的前n项和T n.【详解】(1)当n=1时，有：S1=a1=2a1+-1⇒a1=1；当n=2时，有：S2=a1+a2=2a2+-12⇒a2=0；当n=3时，有：S3=a1+a2+a3=2a3+-13⇒a3=2；综上可知a1=1，a2=0，a3=2；(2)由已知得：n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n+(-1)n-2a n-1-(-1)n-1化简得：a n=2a n-1+2(-1)n-1公众号：高中数学最新试题上式可化为：a n+23(-1)n=2a n-1+23(-1)n-1故数列a n+23(-1)n是以a1+23(-1)1为首项，公比为2的等比数列.(3)由(2)知a n+23(-1)n=132n-1∴a n=13⋅2n-1-23(-1)n6n-3⋅a n=2n-12n-1-2-1n=2n-1⋅2n-1-2⋅(-1)n⋅(2n-1)当n为偶数时，T n=1⋅20+3⋅21+⋅⋅⋅+(2n-1)⋅2n-1-2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-3)+(2n-1)]令A n=1⋅20+3⋅21+⋅⋅⋅+(2n-1)⋅2n-1，B n=2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-3)+(2n-1)] A n=1⋅20+3⋅21+5⋅22⋅⋅⋅+(2n-3)⋅2n-2+(2n-1)⋅2n-1①2A n=1⋅21+3⋅22+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2n-3)⋅2n-1+(2n-1)⋅2n②则①-②得-A n=20+2⋅21+2⋅22⋅⋅⋅+2⋅2n-1-(2n-1)⋅2n=1+221+22⋅⋅⋅+2n-1-(2n-1)⋅2n=1+2⋅21-2n-11-2-(2n-1)⋅2n=-3+(3-2n)⋅2n∴A n=3+(2n-3)⋅2n10B n=2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-3)+(2n-1)]=2⋅2⋅n2=2n所以T n=A n-B n=3+(2n-3)⋅2n-2n.当n为奇数时，A n=3+(2n-3)⋅2nB n=2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-5)+(2n-3)-(2n-1)] =22⋅n-12-2n+1=-2n所以T n=A n-B n=3+(2n-3)⋅2n+2n综上，T n=3+(2n-3)⋅2n-2n,n为偶数, 3+(2n-3)⋅2n+2n,n为奇数.6.(2022·山东烟台·高三期末)已知数列a n满足a1=4，a n+1=12a n+n,n=2k-1a n-2n,n=2k(k∈N*)．(1)记b n=a2n-2，证明：数列b n为等比数列，并求b n的通项公式；(2)求数列a n的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见解析；b n =12n -1，n ∈N *；(2)S 2n =-2n 2+6n +6-32n -1.【解析】【分析】(1)根据给定的递推公式依次计算并探求可得b n +1=12b n，求出b 1即可得证，并求出通项公式.(2)由(1)求出a 2n ，再按奇偶分组求和即可计算作答.(1)依题意，b n +1=a 2n +2-2=12a 2n +1+2n +1 -2=12a 2n -2×2n +2n +1 -2=12a 2n -1=12(a 2n -2)=12b n，而b 1=a 2-2=12a 1+1-2=1>0，所以数列b n 是以1为首项，12为公比的等比数列，b n =12n -1，n ∈N *.(2)由(1)知，a 2n =b n +2=12 n -1+2，则有a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n =1-12 n1-12+2n =2-12n -1+2n ，又a 2n =12a 2n -1+2n -1，则a 2n -1=2a 2n -2(2n -1)，于是有a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1=2(a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n )-2×1+(2n -1)2×n =22-12n -1+2n -2n 2=-2n 2+4n +4-22n -1，因此，S 2n =(a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1)+(a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n )=-2n 2+4n +4-22n -1+2-12n -1+2n =-2n 2+6n +6-32n -1，所以S 2n =-2n 2+6n +6-32n -1.公众号：高中数学最新试题。

2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破专题02 立体几何2020年江苏高考核心考点1.线线与线面的平行与垂直：线线与线面的平行与垂直一定要熟练掌握它们的判定定理和性质定理。

利用几何方法证明垂直与平行问题是立体几何的重要内容，也是高考考查的重点，求解的关键是根据线线垂直(平行)、线面垂直(平行)、面面垂直(平行)这三者之间的互化关系，借助辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系，从而将问题解决。

2.平面与平面的平行与垂直：熟练掌握平面与平面的平行与垂直的判定定理和性质定理，注意判定定理和性质定理的条件。

3.多面体的表面积与体积：求多面体的表面积与体积常用方法：1、公式法：可以运用规则的几何体；2、割补法：把不规则的图形分割成规则的图形，或者把几何体补成熟悉的几何体。

3、等积法：通过转换顶点，换成底面积或者高易求的几何体。

专项突破一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1.（江苏省南通市2020届四校联盟）在正四棱锥S ﹣ABC D 中，点O 是底面中心，SO ＝2，侧棱SA ＝2√3，则该棱锥的体积为 ．2.（江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的体积为 cm 3． 3.（2020届天一中学高三年级第二学期期初调研测试）某种圆柱形的如罐的容积为128π个立方单位，当它的底面半径和高的比值为 时，可使得所用材料最省．4.（2019～2020学年度如皋高三年级第二学期期初调研测试）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12,3AB AA ==，O 为上底面中心．设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为12,S S ，则21S S = ． 5.（江苏省张家港市2020届高三阶段性调研测试）在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为3的等边三角形，PA PC ⊥，PB PC ⊥，2PA PB ==，则该三棱锥的体积为_______．6.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）如图，在体积为V 的圆柱O 1O 2中，以线段O 1O 2上的点O 为项点，上下底面为底面的两个圆锥的体积分别为V 1，V 2，则12V V V+的值是 ． 7.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在△AB C 中，AB ＝25AC 5∠BAC ＝90°，则△ABC 绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ．8.（2020年南师附中高考模拟数学试卷）设m ，n 为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ②若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β； ③若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α； ④若m ⊥α，α∥β，则m ⊥β． 其中的正确命题序号是 ．9.（2019—2020学年度扬州中学第二学期阶段性检测改编）将一个底面半径为4，高为2的圆锥锻造成一个球体，则球体的表面积为 ．10.（江苏省海安中学高三3月数学模拟考试数学试卷）现有一个橡皮泥制作的圆锥，底面半径为1，高为4．若将它制作成一个总体积不变的球，则该球的表面积为 ．11.（2019—2020学年度镇江市九校2020届高三年级3月模拟考试）如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，左、右三角形是等腰直角三角形，则此四棱锥的体积为 ．12.（江苏省常熟市2020届高三3月“线上教育”学习情况调查）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，2PA =，则四棱锥的侧面积是_________．13.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为．14．（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））如图在矩形ABC D中，E为边AD 的中点，AB＝1，BC＝2．分别以A，D为圆心，1为半经作圆弧EB，EC，将两圆弧EB，EC及边BC所围成的平面图形（阴影部分）绕直线AD旋转一周，所形成的几何体的体积为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（江苏省南通市2020届四校联盟）如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC1∥平面PBD；（2）求证：BD⊥A1P．16.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）在如图，三棱锥P—AB C中，点D，E分别为AB，BC的中点，且平面PDE⊥平面AB C．（1）求证：AC ∥平面PDE ；（3）若PD ＝AC ＝2，PE 3PBC ⊥平面AB C ．17.（江苏省如皋中学高三3月数学模拟考试数学试卷）如图，在四棱锥P ­ABC D 中，底面ABCD 为平行四边形，面PAD ABCD ⊥面，三角形PAD 为正三角形．（1）若,E F 为,PB CD 中点，证明：//EF PAD 面； （2）若90PAB ∠=︒，证明：面PAD PAB ⊥面．18.（2020年江苏沭阳高级中学高考模拟试卷高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））如图，在四棱锥P ﹣ABC D 中．（1）若AD ⊥平面PAB ，PB ⊥PD ，求证：平面PBD ⊥平面PAD ；（2）若AD ∥BC ，E 为PA 的中点，当BE ∥平面PCD 时，求BCAD的值．19.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））如图，在四棱锥P —ABC D 中，四边形ABCD 为平行四边形，BD ⊥DC ，△PCD 为正三角形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点．（1）证明：AP ∥平面EBD ；FEPDCBA（2）证明：BE⊥P C．20.(江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试)如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA＝CB，点P，Q 分别为AB 1，CC1的中点．求证：（1）PQ∥平面ABC；（2）PQ⊥平面ABB1A1．2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破专题02 立体几何2020年江苏高考核心考点1.线线与线面的平行与垂直：线线与线面的平行与垂直一定要熟练掌握它们的判定定理和性质定理。

新高考数学大一轮复习专题：第4讲 数列中的奇、偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列．例 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *. (1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .解 (1)因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，所以[3＋(－1)2n －1]a 2n ＋1－2a 2n －1＋2[(－1)2n －1－1]＝0，即a 2n ＋1－a 2n －1＝2，又b n ＝a 2n －1，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1＝2，所以{b n }是以b 1＝a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *.(2)对于[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0，即a n ＋2a n ＝12，所以a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列； 当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×1＋12n n －1×2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n 2＋1－12n ，n ∈N *. (1)数列中的奇、偶项问题的常见题型①数列中连续两项和或积的问题(a n ＋a n ＋1＝f (n )或a n ·a n ＋1＝f (n ))；②含有(－1)n的类型；③含有{a 2n }，{a 2n －1}的类型；④已知条件明确的奇偶项问题．(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看作一项，求出S 2k ，再求S 2k －1＝S 2k －a 2k .1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200B ．－200C ．400D ．－400答案 B解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n ·n ，若对任意的正整数n ，使得(a n ＋1－p )·(a n －p )<0恒成立，则实数p 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n n －(－1)n －1(n －1)＝(－1)n(2n －1)． 因为对任意的正整数n ，(a n ＋1－p )(a n －p )<0恒成立，所以[(－1)n ＋1(2n ＋1)－p ][(－1)n(2n －1)－p ]<0. ①当n 是正奇数时，化为[p －(2n ＋1)][p ＋(2n －1)]<0，解得1－2n <p <2n ＋1，因为对任意的正奇数n 都成立，取n ＝1时，可得－1<p <3.②当n 是正偶数时，化为[p －(2n －1)][p ＋(1＋2n )]<0，解得－1－2n <p <2n －1，因为对任意的正偶数n 都成立，取n ＝2时，可得－5<p <3.联立⎩⎪⎨⎪⎧ －1<p <3，－5<p <3，解得－1<p <3.所以实数p 的取值范围是(－1,3)．3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *. (1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)求S n .解 (1)因为a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1， 所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n . 因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12， 所以数列{b n }是公比为12的等比数列． 因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，b 1＝a 1＋a 2＝32，所以b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n ，n ∈N *. (2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列， 所以a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 所以a n ＝11221,212n n n n +-⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数，偶，为数. (3)因为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n ， 又S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3－32n －12n ＝3－42n ，。

考点34 数学归纳法1．（2019·江苏高三高考模拟）已知数列{}n a ，12a =，且211n n n a a a +=-+对任意n N *∈恒成立．（1）求证：112211n n n n a a a a a a +--=+L (n N *∈)； （2）求证：11nn a n +>+(n N *∈)． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）①当1n =时，2221112213a a a =-+=-+= 满足211a a =+成立.②假设当n k =时，结论成立.即：112211k k k k a a a a a a +--=+L 成立 下证：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+L 成立。

因为()211211111k k k k k a a a a a +++++=-+-+=()()11221112211111k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +--+--=+=++-L L即：当1n k =+时，112211k k k k a a a a a a +-+=+L 成立 由①、②可知，112211n n n n a a a a a a +--=+L (n *N ∈)成立。

（2）（ⅰ）当1n =时，221221311a >=-=++成立，当2n =时，()2322222172131112a a a a a =-+=-+=>⨯>++成立，（ⅱ）假设n k =时（3k ≥），结论正确，即：11kk a k +>+成立 下证：当1n k =+时，()1211k k a k ++>++成立.因为()()2211112111111kkkk k k k k k a a a a a k k kk +++++-+==-+>++=++要证()1211k k a k ++>++，只需证()12111k k k k k k +++>++只需证：()121k k k k ++>，只需证：()12ln ln 1k k k k ++>即证：()()12l l n n 10k k k k -++>（3k ≥） 记()()()2ln 11ln h x x x x x -++=∴()()()()2ln 1112ln 11ln ln x x x x h x +-++=-++⎡⎤⎦=⎣' 21ln 1ln 12111x x x x ⎛⎫=+=++-+ ⎪++⎝⎭当12x +≥时，1111ln 121ln 221ln 1ln 10122x x e ⎛⎫⎛⎫++-+≥+-+=+>+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭所以()()()2ln 11ln h x x x x x -++=在[)1,+∞上递增， 又()6423ln34ln3ln 34ln729ln2564l 0n h ⨯-=-=->=所以，当3x ≥时，()()30h x h ≥>恒成立。

【精品】2020年江苏高考数学第三轮复习精典试题巩固训练(1)1. 已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为__f(x)＝x 3＋2x －1__．解析：因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．当x<0时，－x>0.因为当x>0时，f(x)＝x 3＋2x ＋1，所以f(－x)＝(－x)3－2x ＋1＝－x 3－2x ＋1，所以－f(x)＝－x 3－2x ＋1，所以f(x)＝x 3＋2x －1.2. 下列四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x ∈R )．其中结论正确的个数是__1__．解析：偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，①错误，③正确；奇函数关于原点对称，但不一定经过原点，②错误；若y ＝f(x)既是奇函数又是偶函数，由定义可得f(x)＝0，但不一定x ∈R ，只要定义域关于原点对称即可，④错误．3. 已知定义在R 上的函数f(x)，对任意x ∈R 都有f(x ＋3)＝f(x)，当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，则f(2 018)＝__13__．解析：由题意，得f(x)是周期为3的函数，所以f(2 018)＝f(3×673－1)＝f(－1)．因为当x ∈(－3，0)时，f(x)＝3x ，所以f(2 018)＝f(－1)＝3－1＝13.4. 定义两种运算：a b ＝a 2－b 2，a b ＝（a －b ）2，则函数f(x)＝2x 2－（x 2）是__奇__函数(填“奇”或“偶”)． 解析：由题意，得f(x)＝4－x 22－（x －2）2，由4－x 2≥0且2－（x －2）2≠0，得－2≤x<0或0<x ≤2，所以（x －2）2＝|x －2|＝2－x ，所以f(x)＝4－x 22－（2－x ）＝4－x 2x ，x ∈[－2，0)∪(0，2]．因为f(－x)＝4－x 2－x＝－4－x 2x ＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数． 5. 已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x －a －x＋2(其中a>0，且a ≠1)．若g(2)＝a ，则f(2)＝__154__．解析：由题意得f(－2)＝－f(2)，g(－2)＝g(2)，由已知f(2)＋g(2)＝a 2－a －2＋2①，f(－2)＋g(－2)＝－f(2)＋g(2)＝a －2－a 2＋2②，由①②解得g(2)＝2＝a ，f(2)＝a 2－a －2＝154.6. 已知y ＝f(x)是奇函数，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，则g(－1)＝__3__．解析：由g(1)＝f(1)＋2＝1，得f(1)＝－1.因为函数f(x)是奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)＋2＝3.7. 已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是__⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23__． 解析：偶函数f(x)＝f(|x|)，所以f(2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，即f(|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13.又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|2x －1|<13，解得13<x<23.8. 已知函数f(x)＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ，b ∈R )对任意实数x 都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x ∈[－1，1]时，f(x)>0恒成立，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．解析：由题意，得函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1＝a 2，即a＝2.因为对称轴为直线x ＝1，且图象开口向下，所以函数f(x)在区间[－1，1]上是单调增函数．又f(x)>0恒成立，则f(x)min ＝f(－1)＝b 2－b －2>0，解得b<－1或b>2，故实数b 的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．9. 对于函数y ＝f(x)(x ∈R )，给出下列命题：①在同一平面直角坐标系中，函数y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝0对称；②若f(1－x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称； ③若f(1＋x)＝f(x －1)，则函数y ＝f(x)是周期函数；④若f(1－x)＝－f(x －1)，则函数y ＝f(x)的图象关于点(0，0)对称． 其中正确命题的序号是__③④__．解析：y ＝f(1－x)与y ＝f(x －1)的图象关于直线x ＝1对称，①错；函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝0对称，②错；若f(1＋x)＝f(x －1)，则f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝f(x ＋1－1)＝f(x)，函数y ＝f(x)是周期为2的函数，③正确；由f(1－x)＝－f(x －1)可得f(－t)＝－f(t)，函数f(x)为奇函数，即图象关于点(0，0)对称，④正确．10. 设函数f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝__2__．解析：f(x)＝（x ＋1）2＋sinx x 2＋1＝1＋2x ＋sinx x 2＋1.设g(x)＝2x ＋sinx x 2＋1，因为g(－x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．由奇函数图象的对称知g(x)max ＋g(x)min ＝0，所以M ＋m ＝[g(x)＋1]max ＋[g(x)＋1]min ＝2＋g(x)max ＋g(x)min ＝2.11. 设函数f(x)＝－2x ＋a 2x ＋1＋b(a>0，b>0)． (1) 当a ＝b ＝2时，求证：函数f(x)不是奇函数；(2) 设函数f(x)是奇函数，求a 与b 的值；(3) 在(2)条件下，判断并证明函数f(x)的单调性，并求不等式f(x)>－16的解集．解析：(1) 当a ＝b ＝2时，f(x)＝－2x ＋22x ＋1＋2， 所以f(－1)＝12，f(1)＝0，所以f(－1)≠－f(1)，所以函数f(x)不是奇函数．(2) 由函数f(x)是奇函数，得f(－x)＝－f(x)，即－2－x ＋a 2－x ＋1＋b ＝－－2x ＋a 2x ＋1＋b对定义域内任意实数x 都成立，化简整理得(2a －b)·22x ＋(2ab －4)·2x ＋(2a －b)＝0对定义域内任意实数x 都成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝0，2ab －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2， 因为a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2符合题意． 故a 与b 的值分别为1，2.(3) 由(2)可知f(x)＝－2x ＋12x ＋1＋2＝12(－1＋22x ＋1)． 设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝12(－1＋22x 1＋1)－12(－1＋22x 2＋1)＝2x 2－2x 1（2x 1＋1）（2x 2＋1）. 因为x 1<x 2，所以0<2x 1<2x 2，所以f(x 1)>f(x 2)，所以函数f(x)在R上是减函数．由f(1)＝－16，f(x)>－16，得f(x)>f(1)．由函数f(x)在R 上是减函数可得x<1，所以不等式f(x)>－16的解集为(－∞，1)．12. (1) 已知函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，试判断函数f(x)的奇偶性；(2) 已知函数f(x)的定义域为R ，且对于一切实数x ，y 都有f(x ＋y)＝f(x)＋f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性．解析：(1) 因为函数f(x)的定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，且2f(x)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ， ① 所以2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f(x)＝1x .② 由①②解得f(x)＝2x 2－13x .因为定义域为{x|x ∈R 且x ≠0}，关于原点对称，f(－x)＝2（－x ）2－13（－x ）＝－2x 2－13x ＝－f(x)， 所以函数f(x)＝2x 2－13x 是奇函数．(2) 因为定义域关于原点对称，令x ＝y ＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，则f(0)＝0.令y ＝－x 得f(0)＝f(x)＋f(－x)，所以f(－x)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．13. 已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数，对定义域上的任意x 1，x 2，都有f(x 1x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1) 求证：函数f(x)是偶函数；(2) 求证：函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数；(3) 解不等式：f(2x 2－1)<2.解析：(1) 令x 1＝x 2＝1，所以f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0. 令x 1＝x 2＝－1，所以f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，所以0＝2f(－1)，所以f(－1)＝0.令x 1＝x ，x 2＝－1，所以f[x ×(－1)]＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．(2) 设x 1>x 2>0，则f(x 1)－f(x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2·x 1x 2－f(x 2)＝f(x 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－f(x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2. 因为x 1>x 2>0，所以x 1x 2>1. 因为当x>1时，f(x)>0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2>0，所以f(x 1)－f(x 2)>0， 所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数．(3) 令x 1＝x 2＝2，所以f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，所以f(4)＝2. 因为f(2x 2－1)<2＝f(4)，且函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1≠0，|2x 2－1|<4，解得－102<x<102且x ≠±22. 巩固训练(2)1. 若二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 图象的顶点坐标为(2，－1)，与y 轴的交点坐标为(0，11)，则a ，b ，c 的值为__3，－12，11__．解析：由题意得⎩⎨⎧－b 2a ＝2，4a ＋2b ＋c ＝－1，c ＝11，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－12，c ＝11.故a ，b ，c 的值分别为3，－12，11.2. 函数f(x)＝x 2－2x －2(x ∈[－2，2])的最小值是__－3__． 解析：因为f(x)＝x 2－2x －2＝(x －1)2－3，所以函数f(x)在区间[－2，1]上单调递减，在区间[1，2]上单调递增，所以f(x)min ＝f(1)＝1－2－2＝－3.3. 如果函数f(x)＝x 2＋px ＋q 对任意的x 均有f(1＋x)＝f(1－x)成立，那么f(0)、f(－1)、f(1)从小到大的顺序为__f(1)<f(0)<f(－1)__．解析：由题意得函数f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以函数在区间(－∞，1]上是减函数，所以f(1)<f(0)<f(－1)．4. 若f(x)＝x 2＋bx ＋c ，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)＝__8__．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3，所以f(x)＝x 2－4x ＋3，所以f(－1)＝1＋4＋3＝8.5. 若f(x)＝－x 2＋(b ＋2)x ＋3，x ∈[b ，c]的图象关于直线x ＝1对称，则c ＝__2__．解析：由题意，得⎩⎨⎧－b ＋22×（－1）＝1，b ＋c 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，c ＝2，故c 的值为2. 6. 函数f(x)＝2x 2－6x ＋1在区间[－1，1]上的最小值为__－3__，最大值为__9__．7. 已知函数f(x)＝|x 2－2ax ＋b|(x ∈R )，给出下列命题：①f(x)必是偶函数；②当f(0)＝f(2)时，f(x)的图象必关于直线x ＝1对称；③f(x)有最大值|a 2－b|；④若a 2－b ≤0，则f(x)在区间[a ，＋∞)上是增函数．其中正确的序号是__④__．解析：当a ＝0时，函数f(x)为偶函数；当a ≠0时，函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数，故①错误；若f(0)＝f(2)，则|b|＝|4－4a ＋b|，所以4－4a ＋b ＝b 或4－4a ＋b ＝－b ，即a ＝1或b ＝2a －2.当a ＝1时，函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝1；当b ＝2a －2时，函数f(x)图象的对称轴为直线x ＝a ，故②错误；若a 2－b ≤0，则f(x)＝|(x －a)2＋b －a 2|＝(x －a)2＋b －a 2，所以函数在区间[a ，＋∞)上是增函数，此时有最小值b －a 2，故③错误，④正确．8. 已知函数f(x)＝ax 2＋(a 3－a)x ＋1在区间(－∞，－1]上单调递增，则实数a 的取值范围是．解析：当a ＝0时，函数f(x)＝1，不符合题意，舍去；当a ≠0时，⎩⎨⎧a<0，－a 3－a 2a ≥－1，解得－3≤a<0，故实数a 的取值范围是[－3，0)．9. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋(a 2＋b)x ＋c 的图象开口向上，且f(0)＝1，f(1)＝0，则实数b 的取值范围是__(－∞，－1)__．解析：由题意得a>0，c ＝1，a ＋a 2＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a 2＋a)－1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－34.因为a>0，所以b<－1，故实数b 的取值范围为(－∞，－1)．10. 函数y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值为__4__．解析：因为y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5＝[(x ＋1)(x ＋4)][(x ＋2)(x ＋3)]＋5＝(x 2＋5x ＋4)(x 2＋5x ＋6)＋5＝(x 2＋5x ＋5－1)(x 2＋5x ＋5＋1)＋5＝(x 2＋5x ＋5)2＋4.设t ＝x 2＋5x ＋5，则y ＝t 2＋4.因为t ＝x 2＋5x ＋5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522－54，x ∈[－3，3]，所以y ＝t 2＋4，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，29，抛物线开口向上，对称轴为直线t ＝0，所以y min ＝4，故y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)＋5在区间[－3，3]上的最小值是4.11. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c.(1) 若f(－1)＝0，试判断函数f(x)的零点个数；(2) 若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f(x 1)≠f(x 2)，证明方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．解析：(1) 因为f(－1)＝0，所以a －b ＋c ＝0，即b ＝a ＋c. 因为Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c)2－4ac ＝(a －c)2，所以当a ＝c 时，Δ＝0，函数f(x)有一个零点；当a ≠c 时，Δ>0，函数f(x)有两个零点．(2) 令g(x)＝f(x)－12[f(x 1)＋f(x 2)]，则g(x 1)＝f(x 1)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2， g(x 2)＝f(x 2)－12[f(x 1)＋f(x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2， 所以g(x 1)·g(x 2)＝－14[f(x 1)－f(x 2)]2.因为f(x 1)≠f(x 2)，所以g(x 1)·g(x 2)<0，所以g(x)＝0在区间(x 1，x 2)上必有一个实数根，即方程f(x)＝12[f(x 1)＋f(x 2)]必有一个实数根属于(x 1，x 2)．12. 已知函数f(x)＝ax 2－1，a ∈R ，x ∈R ，集合A ＝{x|f(x)＝x}，B ＝{x|f(f(x))＝x}且A ＝B ≠，求实数a 的取值范围．解析：①若a ＝0，则A ＝B ＝{－1}；②若a ≠0，由A ＝{x|ax 2－x －1＝0}≠，得a ≥－14且a ≠0.集合B 中元素为方程a(ax 2－1)2－1＝x ，即a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝0的实数根，所以a 3x 4－2a 2x 2－x ＋a －1＝(ax 2－x －1)(a 2x 2＋ax －a ＋1)＝0. 因为A ＝B ，所以a 2x 2＋ax －a ＋1＝0无实数根或其根为ax 2－x －1＝0的根．由a 2x 2＋ax －a ＋1＝0无实数根，得a<34，故a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34； 当a 2x 2＋ax －a ＋1＝0有实数根且为ax 2－x －1＝0的根时， 因为ax 2－x －1＝0，所以ax 2＝x ＋1，所以a 2x 2＋ax －a ＋1＝a(x ＋1)＋ax －a ＋1＝0，解得x ＝－12a ，代入ax 2－x －1＝0得a ＝34.综上所述，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34. 13. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1，若f(1)＝0，且函数f(x)的值域为[0，＋∞)．(1) 求a ，b 的值；(2) 若h(x)＝2f(x ＋1)＋x|x －m|＋2m ，求h(x)的最小值． 解析：(1) 显然a ≠0，因为f(1)＝0，所以a ＋b ＋1＝0.又f(x)的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝b 2－4a ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋1＝0，b 2－4a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2. (2) 由(1)知f(x)＝x 2－2x ＋1，h(x)＝2x 2＋x|x －m|＋2m ，即h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－mx ＋2m ，x ≥m ，x 2＋mx ＋2m ， x<m. ①若m ≥0，则h(x)min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫h （m ），h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2， 即h(x)min ＝min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫2m 2＋2m ，－m 24＋2m . 又2m 2＋2m －⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 24＋2m ＝9m 24≥0，所以当m ≥0时，h(x)min ＝－m 24＋2m ；②若m<0，则h(x)min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 6＝2m －m 212. 综上所述，h(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧2m －m 24， m ≥0，2m －m 212， m<0.巩固训练(3)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n ，则n ＝__－1或2__.解析：根据幂函数的性质知y ＝x －1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n 的值只有－1和2. 2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f(x)＝__x 12__． 解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12. 3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__． 解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为．解析：由题意，得3a＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x nm ，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当n m 为2或23时，函数y ＝x n m 为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0， 解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13，所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3，解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性； (3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集． 解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)， 所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13.(2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)， 所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2， 即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， 所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]．因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0， 所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4， 解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．巩固训练(4)1. 已知n ∈{－1，0，1，2，3}，若⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n，则n ＝__－1或2__.解析：根据幂函数的性质知y ＝x －1或y ＝x 2在区间(－∞，0)上是减函数，故满足⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫－15n的值只有－1和2.2. 已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1，再将点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22代入f(x)＝x α，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f(x)＝x 12. 3. 已知幂函数f(x)＝k·x α满足f （9）f （3）＝3，则f(x)＝__x 12__．解析：由幂函数的定义得k ＝1.因为f （9）f （3）＝3，所以9α3α＝3，解得α＝12，故f(x)＝x 12.4. 若点(a ，9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan aπ6的值为． 解析：由题意，得3a＝9，解得a ＝2，所以tan aπ6＝tan π3＝ 3.5. 已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f(x)的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g(x)的图象上，则f(2)＋g(－1)＝__32__．6. 已知函数f(x)＝x α(0<α<1)，对于下列命题：①若x>1，则f(x)>1；②若0<x<1，则0<f(x)<1；③当x>0时，若f(x 1)>f(x 2)，则x 1>x 2；④若0<x 1<x 2，则f （x 1）x 1<f （x 2）x 2.其中正确的命题有__①②③__．(填序号)7. 已知幂函数y ＝x nm ，其中m ，n 是取自集合{1，2，3}中的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为__13__．解析：由题意得n m 所有值的集合为{12，13，2，23，3，32}，当nm 为2或23时，函数y ＝x n m 为偶函数，所以该函数为偶函数的概率为13.8. 已知函数：①y ＝x 43；②y ＝x 32；③y ＝x －2；④y ＝x －14，其中既是偶函数又在区间(－∞，0)上为增函数的是__③__．(填序号)解析：①y ＝x 43＝3x 4在区间(－∞，0)上是减函数；②y ＝x 32＝x 3的定义域为[0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数；③y ＝x －2＝1x 2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在区间(－∞，0)上为增函数且为偶函数；④y ＝x －14＝14x的定义域为(0，＋∞)，既不是奇函数也不是偶函数，故选③.9. 如图所示的是幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d ，y ＝x 的图象，则实数a ，b ，c ，d 的大小关系为__c>a>b>d__．解析：根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图象，当n>0时，n 越大，y 递增速度越快，所以c>a>b>0，d<0，故c>a>b>d.10. 已知f(x)＝x 1－n 2＋2n ＋3(n ＝2k ，k ∈Z )的图象在区间[0，＋∞)上单调递增，解不等式f(x 2－x)>f(x ＋3)．解析：由题意知1－n 2＋2n ＋3>0，即－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n<3.又n ＝2k ，k ∈Z ，所以n ＝0，2.当n ＝0或2时，f(x)＝x 13， 所以函数f(x)在R 上单调递增，所以由f(x 2－x)>f(x ＋3)得x 2－x>x ＋3， 解得x<－1或x>3，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．11. 已知一个幂函数y ＝f(x)的图象过点(3，427)，另一个幂函数y ＝g(x)的图象过点(－8，－2)．(1) 求这两个幂函数的解析式； (2) 判断这两个函数的奇偶性； (3) 作出这两个函数的图象，观察图象直接写出f(x)<g(x)的解集． 解析：(1) 设幂函数f(x)＝x a ，g(x)＝x b .因为幂函数f(x)与g(x)的图象分别过点(3，427)，(－8，－2)， 所以427＝3a ，－2＝(－8)b ，解得a ＝34，b ＝13，所以两个函数的解析式为f(x)＝x 34与g(x)＝x 13.(2) 因为函数f(x)＝x 34的定义域是[0，＋∞)， 所以函数f(x)是非奇非偶函数．因为函数g(x)＝x 13的定义域为R ，g(－x)＝(－x)13＝－x 13＝－g(x)， 所以函数g(x)是奇函数．(3) 作出这两个函数的图象如下，由图象可知，f(x)<g(x)的解集为{x|0<x<1}．12. 已知函数f(x)＝x －k 2＋k ＋2(k ∈Z )满足f(2)<f(3)． (1) 求k 的值并求出相应的f(x)的解析式；(2) 对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使得函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q －1)x 在区间[－1，2]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，178？若存在，求出实数q 的值；若不存在，请说明理由．解析：(1) 因为f(2)<f(3)，所以2－k 2＋k ＋2<3－k 2＋k ＋2，所以lg 2－k 2＋k ＋2<lg 3－k 2＋k ＋2， 即(－k 2＋k ＋2)(lg 2－lg 3)<0. 因为lg 2<lg 3，所以－k 2＋k ＋2>0，解得－1<k<2. 又因为k ∈Z ，所以k ＝0或k ＝1. 当k ＝0或k ＝1时，－k 2＋k ＋2＝2， 所以f(x)＝x 2.(2) 假设存在q>0满足题意，则由(1)知g(x)＝－qx 2＋(2q －1)x ＋1，x ∈[－1，2]．因为g(2)＝－1，所以两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫2q －12q ，4q 2＋14q 处取得．又4q 2＋14q －g(－1)＝4q 2＋14q －(2－3q)＝（4q －1）24q≥0， 所以g(x)max ＝4q 2＋14q ＝178，g(x)min ＝g(－1)＝2－3q ＝－4， 解得q ＝2.所以存在q ＝2满足题意．随堂巩固训练(5)1. 计算：（π－4）2＋π＝__4__． 解析：原式＝|π－4|＋π＝4－π＋π＝4.2. 求值：(0.027)23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27125－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫2790.5＋10－2＝__110__．解析：原式＝9100＋53－53＋1100＝110.3. 化简：a 12b b －123a－2÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1b －1b a －23＝． 解析：原式＝a 12b 12b －12a －23÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －1b －12ba 12－23＝(a 12＋23·b 12＋12)÷(a －1－12b －12－1)－23＝a 76b÷(ab)＝6a. 4. 化简：(a 23b 12)×(－3a 12b 13)÷⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13a 16b 56＝__－9a__． 解析：原式＝－9a 23＋12－16b 12＋13－56＝－9a.5. 关于x 的不等式2x 2＋x ≤4的解集为__[－2，1]__．解析：由题意得2x 2＋x ≤22，所以x 2＋x ≤2，解得－2≤x ≤1，故原不等式的解集为[－2，1]．6. 计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫166－13＋3＋23－2－(1.03)0×⎝ ⎛⎭⎪⎫－623＝16． 解析：原式＝116＋(6－32)－13＋（3＋2）2（3）2－（2）2－⎝⎛⎭⎪⎫－668＝116＋6＋5＋26＋364＝81＋60616. 7. 给出下列等式：36a 3＝2a ；3－2＝6（－2）2；－342＝4（－3）4×2，其中一定成立的有__0__个．解析：36a 3＝a 36≠2a ，故错误；6（－2）2＝622＝322＝32≠3－2，故错误；4（－3）4×2＝434×2＝342≠－342，故错误，所以一定成立的有0个．8. 方程22x ＋3·2x －1－1＝0的解是__x ＝－1__.解析：令2x ＝t(t>0)，则原方程化为t 2＋32t －1＝0，解得t ＝12或t＝－2(舍去)，所以2x＝12，解得x ＝－1，故原方程的解是x ＝－1.9. 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a>b>0，则a －b a ＋b＝5．10. 计算：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫5490.5＋（0.008）－23÷（0.02）－12×（0.32）12÷0.062 50.25.解析：原式＝[(827)23－(499)12＋(1 0008)23÷50×4210]÷⎝ ⎛⎭⎪⎫62510 00014 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49－73＋25×152×4210÷12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－179＋2×2＝29.11. 化简：a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －23－23b a ×a ×3a 25a ×3a.(式中字母都是正数)解析：原式＝a 13[（a 13）3－（2b 13）3]（a 13）2＋a 13×（2b 13）＋（2b 13）2÷a 13－2b 13a×（a ×a 23）12（a 12×a 13）15＝a 13(a 13－2b 13)×a a 13－2b 13×a 56a 16＝a 13×a ×a 23＝a 2. 12. 解下列方程：(1) 1＋3－x 1＋3x ＝3；(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫14x－2－x ＋1－8＝0.解析：(1) 令3x ＝t(t>0)，则原方程为1＋1t1＋t＝3，解得t ＝13或t ＝－1(舍去)，所以3x ＝13，即x ＝－1.(2) 令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝t(t>0)，则原方程为t 2－2t －8＝0，解得t ＝4或t ＝－2(舍去)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝4，即x ＝－2.13. 利用指数的运算法则，解下列方程： (1) 43x ＋2＝256×81－x ； (2) 2x ＋2－6×2x －1－8＝0.解析：(1) 因为43x ＋2＝256×81－x ， 所以26x ＋4＝28×23－3x ， 所以6x ＋4＝11－3x ，所以x ＝79.(2) 因为2x ＋2－6×2x －1－8＝0， 所以4×2x －3×2x －8＝0， 所以2x ＝8，所以x ＝3.巩固训练(6)1. 已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－13，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－34，则a 、b 、c 的大小关系为__c<b<a__．解析：因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 在R 上单调递减，且－13<－14<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫34－13>⎝ ⎛⎭⎪⎫34－14>⎝ ⎛⎭⎪⎫340，即a>b>1.又0<c<1，所以c<b<a. 2. 已知函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)上不单调，则实数k 的取值范围为__(－1，1)__．解析：易知函数y ＝|2x －1|在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，因为函数在区间(k －1，k ＋1)上不单调，所以k －1<0<k ＋1，解得－1<k<1.3. 已知集合M ＝{－1，1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N ＝__{－1}__．解析：由题意得⎩⎨⎧2x ＋1>12，2x＋1<4，解得－2<x<1.又因为x ∈Z ，所以N ＝{－1，0}，所以M ∩N ＝{－1}．4. 定义运算：a b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a>b ，则函数f(x)＝12x 的值域为__(0，1]__．解析：当x<0时，0<2x <1，此时f(x)＝2x ∈(0，1)；当x ≥0时，2x ≥1，此时f(x)＝1，所以f(x)＝12x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x<0，1， x ≥0，其值域为(0，1]．5. 若关于x 的方程|a x －1|＝2a(a>0且a ≠1)有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为__⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12__．解析：方程|a x －1|＝2a 有两个不相等的实数根可转化为函数y ＝|a x －1|与函数y ＝2a 的图象有两个不同的交点，作出函数y ＝|a x －1|的图象，当a>1时，如图1；当0<a<1，如图2.由图象可知当0<2a<1时，符合题意，即0<a<12.图1 图2 6. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x<0，a x ， x ≥0(a>0且a ≠1)是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为__⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1__． 解析：根据单调性定义，函数f(x)为减函数应满足⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，3a ≥a 0，即13≤a<1.7. 设函数f(x)＝x(e x ＋ae －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a ＝__－1__． 解析：设g(x)＝e x ＋ae －x ，则f(x)＝xg(x)是偶函数．所以g(x)＝e x ＋ae －x (x ∈R )是奇函数，所以g(0)＝e 0＋ae －0＝1＋a ＝0，即a ＝－1.8. 若函数f(x)＝a x －1(a>0且a ≠1)的定义域和值域都是[0，2]，则实数a 的值为__3__．解析：易知函数f(x)是单调函数，所以当a>1时，f(2)＝2，所以a 2－1＝2，解得a ＝3，经验证符合题意；当0<a<1时，f(0)＝2，即1－1＝2，无解．所以a ＝ 3.9. 函数y ＝2x2x －1的值域为__(－∞，0)∪(1，＋∞)__．解析：由题意得2x －1≠0，解得x ≠0，所以函数的定义域为{x|x ≠0}，y ＝2x x 2x －1＝1＋12x －1，因为2x >0，所以2x －1>－1且2x －1≠0，所以12x －1∈(－∞，－1)∪(0，＋∞)，所以y ＝1＋12x －1∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，故所求的值域为(－∞，0)∪(1，＋∞)．10. 设a ＞0，f(x)＝3x a ＋a3x 是R 上的偶函数．(1) 求a 的值；(2) 判断并证明函数f(x)在区间[0，＋∞)上的单调性；(3) 求函数f(x)的值域．解析：(1) 因为f(x)为偶函数，故f(1)＝f(－1)，于是3a ＋a 3＝13a ＋3a ，即9＋a 23a ＝9a 2＋13a .因为a ＞0，故a ＝1.(2) 由(1)可知f(x)＝3x ＋13x .设x 2＞x 1≥0，则f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋13x 1－3x 2－13x 2＝(3x 2－3x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 1＋x 2－1. 因为y ＝3x 为增函数，且x 2＞x 1，故3x 2－3x 1＞0.因为x 2＞0，x 1≥0，故x 2＋x 1＞0，于是13x 2＋x 1＜1，即13x 2＋x 1－1＜0，所以f(x 1)－f(x 2)＜0，所以f(x)在区间[0，＋∞)上为单调增函数．(3) 因为f(x)为偶函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上为增函数，所以f(0)＝2为函数的最小值，故函数的值域为[2，＋∞)．11. 已知函数f(x)＝3x ，f(a ＋2)＝18，g(x)＝λ·3ax －4x 的定义域为[0，1]．(1) 求实数a 的值；(2) 若函数g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，求实数λ的取值范围．解析：(1) 由已知得3a ＋2＝18，解得a ＝log 32.故实数a 的值为log 32.(2) 方法一：由(1)知g(x)＝λ·2x －4x ，设0≤x 1<x 2≤1.因为函数g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，所以g(x 1)－g(x 2)＝(2x 1－2x 2)(λ－2x 2－2x 1)>0恒成立，即λ<2x 2＋2x 1恒成立．由于2x 2＋2x 1>20＋20＝2，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]．方法二：由(1)知g(x)＝λ·2x －4x .因为g(x)在区间[0，1]上是单调减函数，所以g′(x)＝λln 2·2x －ln 4·4x ＝2x ln 2(－2·2x ＋λ)≤0在区间[0，1]上恒成立，所以λ≤2·2x 在区间[0，1]上恒成立，所以实数λ的取值范围是(－∞，2]．12. 已知函数y ＝1＋2x ＋4x ·a 在x ∈(－∞，1]上恒大于零，求实数a 的取值范围．解析：由题意得1＋2x ＋4x ·a>0在x ∈(－∞，1]上恒成立，即a>－1＋2x4x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．令f(x)＝－1＋2x 4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ， 设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，t ≥12，则f(t)＝－t 2－t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≥12， 所以当t ＝12，即x ＝1时，函数f(t)取到最大值－34，所以a>－34，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 13. 已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 2－4x ＋3. (1) 若a ＝－1，求函数f(x)的单调区间；(2) 若函数f(x)有最大值3，求实数a 的值；(3) 若函数f(x)的值域为(0，＋∞)，求实数a 的值．解析：(1) 当a ＝－1时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x 2－4x ＋3， 令g(x)＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，因为函数g(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间(－2，＋∞)上单调递减，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 在R 上单调递减， 所以函数f(x)在区间(－∞，－2)上单调递减，在区间(－2，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)，单调减区间是(－∞，－2)．(2) 令h(x)＝ax 2－4x ＋3，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13h （x ）， 因为函数f(x)有最大值3，所以函数h(x)有最小值－1，所以3a －4a ＝－1，且a>0，解得a ＝1，即当函数f(x)有最大值3时，实数a 的值为1.(3) 由指数函数的性质可知，若函数f(x)的值域为(0，＋∞)，则h(x)＝ax 2－4x ＋3的值域为R .若a ≠0，则h(x)＝ax 2－4x ＋3为二次函数，其值域不可能为R ， 所以a ＝0.随堂巩固训练(7)1. 已知a 23＝49(a>0)，则log 32a ＝__－3__．解析：因为a 23＝49(a>0)，所以a 13＝23，所以a ＝827，所以log 32827＝－3.2. (lg 2)2＋lg 2×lg 50＋lg 25＝__2__．解析：原式＝lg 2×(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.3. 2lg 5＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2＝__3__．解析：原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2＋(lg5)2＋2lg 2×lg 5＋(lg 2)2＝2＋(lg 5＋lg 2)2＝3.4. log 2748＋log 212－12log 242－1＝__－32__．解析：原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 212 2＝log 22－32＝－32. 5. lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18＝__0__．解析：原式＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.6. 12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝__12__．解析：原式＝12(lg 32－lg 49)－43lg 812＋12lg 245＝12(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5)＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12lg 10＝12.7. 已知log 37×log 29×log 49a ＝log 412，则实数a 的值为2． 解析：原等式可化为lg 7lg 3·lg 9lg 2·lg a lg 49＝－12，即lg a lg 2＝－12，所以log 2a ＝－12，所以a ＝22.8. log 2(2＋3－2－3)＝__12__． 解析：原式＝12log 2(2＋3－2－3)2＝12log 2[4－2（2＋3）（2－3）]＝12log 2(4－2)＝12log 22＝12.9. 已知log 189＝a ，18b ＝5，求log 3645＝__a ＋b 2－a__．(用字母a ，b 表示)解析：因为18b ＝5，所以b ＝log 185，所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 189log 181829＝log 185＋log 1892－log 189＝a ＋b2－a .10. 计算：(1) lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40； (2) 2(lg 2)2＋lg 2×lg 5＋（lg 2）2－lg 2＋1.解析：(1) 原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1.(2) 原式＝lg 2×(2lg 2＋lg 5)＋（lg 2）2－2lg 2＋1＝lg 2×(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1|＝lg 2＋1－lg 2＝1.11. 已知log a x ＋log c x ＝2log b x ，且x ≠1，求证：c 2＝(ac)log a b.解析：因为log a x ＋log a x log a c ＝2log a x log ab ，且x ≠1， 所以log a x ≠0，所以1＋1log a c ＝2log a b ， 所以2log a c ＝(log a c ＋1)log a b ，所以log a c 2＝log a b·log a (ac)＝log a (ac)log a b ，所以c 2＝(ac)log a b.12. 已知loga 1b 1＝loga 2b 2＝…＝loga n b n ＝λ，a 1a 2…a n ≠0，n ∈N *，求证：loga 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝λ.解析：由换底公式，得lg b 1lg a 1＝lg b 2lg a 2＝…＝lg b n lg a n＝λ， 由等比定理得lg b 1＋lg b 2＋…＋lg b n lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n＝λ， 所以lg （b 1b 2…b n ）lg （a 1a 2…a n ）＝λ， 所以loga 1a 2…a n (b 1b 2…b n )＝lg （b 1b 2…b n ）lg （a 1a 2…a n ）＝λ. 13. 已知2lg x －y 2＝lgx ＋lgy ，求x y 的值．解析：由2lg x －y 2＝lgx ＋lgy 得lg （x －y ）24＝lg(xy)，x>y ， 所以x 2－2xy ＋y 2＝4xy ，即x 2－6xy ＋y 2＝0，所以x 2y 2－6x y ＋1＝0，所以x y ＝3＋22或x y ＝3－22(舍去)， 所以x y ＝3＋22＝（2＋1）2＝2＋1.随堂巩固训练(8)1. 设M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ∈[0，＋∞），N ＝{y|y ＝log 2x ，x ∈(0，1]}，则集合M ∪N ＝__(－∞，1]____．解析：因为x ≥0，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ∈(0，1]，所以M ＝(0，1]．因为0<x ≤1，所以y ＝log 2x ∈(－∞，0]，即N ＝(－∞，0]，所以M ∪N ＝(－∞，1]．2. 设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－12，则a ，b ，c 的大小关系为__c<a<b__．解析：因为1a ＝log 23>1，1b ＝log 2e>1，log 23>log 2e ，所以1a >1b >1，所以0<a<b<1.因为a ＝log 32>log 33＝12，所以a>12.因为b ＝ln 2>ln e ＝12，所以b>12.因为c ＝5－12＝15<12，所以c<a<b.3. 设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ＝log 2c ，则a ，b ，c 的大小关系为__a<b<c__．解析：因为a ，b ，c 均为正数，所以log 12a ＝2a >1，log 12b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ∈(0，1)，log 2c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ∈(0，1)，所以0<a<12，12<b<1，1<c<2，故a<b<c. 4. 已知0<a<b<1<c ，m ＝log a c ，n ＝log b c ，则m 与n 的大小关系为__m>n__．解析：由题意得1m ＝log c a ，1n ＝log c b.因为0<a<b<1<c ，所以log c a<log c b<0，即1m <1n <0，所以n<m.5. 已知函数f(x)＝a x ＋log a x(a>0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则实数a 的值为__2__．解析：当x>0时，函数y ＝a x 与y ＝log a x 的单调性相同，因此函数f(x)＝a x ＋log a x 是区间(0，＋∞)上的单调函数，所以函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a ＋a 2＋log a 2.由题意得a ＋a 2＋log a 2＝6＋log a 2，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．故实数a 的值为2.6. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧log 2x ， x>0，log 12（－x ）， x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围为__(－1，0)∪(1，＋∞)__．解析：①当a>0时，f(a)＝log 2a ，f(－a)＝log 12a.因为f(a)>f(－a)，即log 2a>log 12a ＝log 21a ，所以a>1a ，解得a>1；②当a<0时，f(a)＝log 12(－a)，f(－a)＝log 2(－a)．因为f(a)>f(－a)，即log 12(－a)>log 2(－a)＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，所以－a<－1a ，解得－1<a<0.由①②得－1<a<0或a>1.7. 已知f(3x )＝4xlog 23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝__2__008__． 解析：令3x ＝t ，则f(t)＝4log 2t ＋233，所以f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)＝4×(1＋2＋…＋8)＋8×233＝4×36＋1 864＝2 008.8. 下列命题为真命题的是__①②③__．(填序号)①若函数f(x)＝lg(x ＋x 2＋a)为奇函数，则a ＝1；②若a>0，则关于x 的方程|lg x|－a ＝0有两个不相等的实数根； ③方程lg x ＝sinx 有且只有三个实数根；④对于函数f(x)＝lg x ，若0<x 1<x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f （x 1）＋f （x 2）2. 解析：①因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以lg(－x ＋x 2＋a)＋lg(x ＋x 2＋a)＝lg [(x 2＋a)－x 2]＝lg a ＝0，所以a ＝1.故①正确；②因为|lg x|－a ＝0，所以|lg x|＝a.作出y ＝|lg x|，y ＝a 的图象，由图象可知，当a>0时两函数图象有两个交点，所以方程有两个不相等的实数根．故②正确；③作出y ＝lg x ，y ＝sin x 的图象，由图象可知在y 轴的右侧有三个交点，故方程有三个实数根．故③正确；④对于f(x)＝lg x ，如图，当0<x 1<x 2时，y A >y B ，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f （x 1）＋f （x 2）2.故④错误． 9. 若函数f(x)＝log －(ax ＋4)在区间[－1，1]上是单调增函数，则实数a 的取值范围是__(－2，－3)∪(2，4)__．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3>1，－a ＋4>0，a>0或⎩⎪⎨⎪⎧0<a 2－3<1，a ＋4>0，a<0，解得2<a<4或－2<a<－3，所以实数a 的取值范围是(－2，－3)∪(2，4)．10. 已知f(x)＝2＋log 3x ，x ∈[1，9]，求y ＝[f(x)]2＋f(x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．解析：因为f(x)＝2＋log 3x ，所以y ＝[f(x)]2＋f(x 2)＝(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2＝(log 3x)2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.因为函数f(x)的定义域为[1，9]，所以要使函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，1≤x ≤9，解得1≤x ≤3，所以0≤log 3x ≤1，所以6≤(log 3x ＋3)2－3≤13，当log 3x ＝1，即x ＝3时，y max ＝13.所以当x ＝3时，函数y ＝[f(x)]2＋f(x 2)取最大值13.11. 已知函数f(x)＝log a (1－a x )(a>0且a ≠1)．(1) 解关于x 的不等式：log a (1－a x )>f(1)；(2) 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1≠x 2)是f(x)图象上的两点，求证：直线AB 的斜率小于零．解析：(1) 因为f(x)＝log a (1－a x )，所以f(1)＝log a (1－a)，所以1－a>0，所以0<a<1.所以不等式可化为log a (1－a x )>log a (1－a)．所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a x >0，1－a x <1－a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a x <1，a x >a ，解得0<x<1. 所以不等式的解集为(0，1)．(2) 设x 1<x 2，则f(x 2)－f(x 1)＝log a (1－ax 2)－log a (1－ax 1)＝log a 1－ax 21－ax 1. 因为1－a x >0，所以a x <1.所以当a>1时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)；当0<a<1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．当0<a<1时，因为x 2>x 1>0，所以ax 2<ax 1<1，所以1－ax 21－ax 1>1， 所以log a 1－ax 21－ax 1<0， 所以f(x 2)<f(x 1)，即y 2<y 1；同理可证，当a>1时，y 2<y 1.综上，y 2<y 1，即y 2－y 1<0，所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1<0， 所以直线AB 的斜率小于零．12. 已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)．(1) 求y ＝f(x)的定义域；(2) 在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴？(3) 当a ，b 满足什么条件时，函数f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值？解析：(1) 由a x －b x >0，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a b x >1.因为a>1>b>0，所以ab>1，所以x>0，即函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2) 任取x1>x2>0，a>1>b>0，则ax1>ax2>1，bx1<bx2<1，所以ax1－bx1>ax2－bx2>0，即lg(ax1－bx1)>lg(ax2－bx2)，故f(x1)>f(x2)．所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数．假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得直线AB平行于x轴，则x1≠x2，y1＝y2，这与函数f(x)是增函数矛盾，故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴．(3) 由(2)知函数f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．因为f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值，所以f(1)＝lg(a－b)≥0，所以a≥b＋1，即当a≥b＋1时，函数f(x)在区间(1，＋∞)上恒为正值．随堂巩固训练(9)1. 由y ＝3x 的图象，将其图象向__右__平移__1__单位长度，再向__上__平移__1__个单位长度，即得y ＝x ＋2x －1的图象． 解析：由题意得，y ＝x ＋2x －1＝（x －1）＋3x －1＝1＋3x －1，所以由y ＝3x 的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到y ＝3x －1＋1的图象，即为y ＝x ＋2x －1的图象． 2. 已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，则函数y ＝f(x －3)＋2的图象经过定点__(3，2)__．解析：因为函数f(x)是R 上的奇函数，所以函数f(x)的图象必过原点(0，0)，而函数y ＝f(x －3)＋2的图象是由函数f(x)的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的，所以函数y ＝f(x －3)＋2的图象经过定点(3，2)．3. 已知f(x)为R 上的奇函数，则F(x)＝f(x －a)＋b 的图象关于点__(a ，b)__对称．解析：因为函数f(x)为R 上的奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点(0，0)对称，而函数F(x)＝f(x －a)＋b 的图象是由函数f(x)的图象向右平移a 个单位长度，再向上平移b 个单位长度得到的，所以函数F(x)＝f(x －a)＋b 的图象关于点(a ，b)对称．4. 对任意实数a ，b ，定义min{a ，b}＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ， a>b.设函数f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__1__．解析：由题意得h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤g （x ），g （x ），f （x ）>g （x ）.因为f(x)＝－x ＋3，g(x)＝log 2x ，所以画出h(x)的图象如图所示，所以这两个函数的交点的纵坐标，即为h(x)的最大值，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝log 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，故h(x)的最大值为1. 5. 函数f(x)＝2lnx 的图象与函数g(x)＝x 2－4x ＋5的图象的交点。

专题12 函数的单调性的研究一、题型选讲题型一 求函数的单调区间利用导数求函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域（2）求出()f x 的导函数'()f x（3）令'()0f x >（或0<）,求出x 的解集,即为()f x 的单调增（或减）区间（4）列出表格例1、求函数()2f x =的单调区间解：()()122'32112ln ln ln 4ln 122x x xx x x f x x x -⋅-==⋅ 令()'0fx >,即解不等式()ln ln 40x x -<,解得40ln 41x x e <<⇒<<()f x ∴的增单调区间为()41,e ,减区间为()0,1,()4,e +∞例2、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝ln x,g(x)＝x 2.(1) 求过原点(0,0),且与函数f(x)的图像相切的直线l 的方程； (2) 若a>0,求函数φ(x)＝|g(x)－2a 2f(x)|在区间 规范解答 (1)因为f(x)＝ln x,所以f ′(x)＝1x (x ＞0)．设直线l 与函数f(x)的图像相切于点(x 0,y 0), 则直线l 的方程为 y －y 0＝1x 0(x －x 0),即 y －ln x 0＝1x 0(x －x 0). (3分)因为直线l 经过点(0,0),所以0－ln x 0＝1x 0(0－x 0),即ln x 0＝1,解得x 0＝e .因此直线l 的方程为 y ＝1e x,即x －e y ＝0. (6分)(2)考察函数H(x)＝g(x)－2a 2f(x)＝x 2－2a 2ln x. H ′(x)＝2x －2a 2x ＝2（x －a ）（x ＋a ）x (x ≥1)．因为a ＞0,故由H′(x)＝0,解得x ＝a.(8分) ①当0＜a ≤1时,H ′(x)≥0在(11分)②当a ＞1时,H(x)在区间 （01）上递减 ,在区间()+∞,1为递增区间(16分) 题型二 给定区间的单调性已知在某区间的单调性求参数范围问题,其思路为通过导数将问题转化成为不等式恒成立或不等式能成立问题,进而求解,要注意已知函数()f x 单调递增（减）时,其导函数()'0fx ≥（0≤）,勿忘等号。

微专题12奇偶性问题【方法技巧与总结】方法技巧一、函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么()f x 称为偶函数．奇函数：若对于定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么()f x 称为奇函数．诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x 在定义域中，那么x -在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）()()f x f x -=的等价形式为：()()()0,1(()0)()f x f x f x f x f x ---==≠，()()f x f x -=-的等价形式为：()()()01(()0)()f x f x f x f x f x -+-==-≠，；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有(0)0f =；（5）若()f x 既是奇函数又是偶函数，则必有()0f x =．2、奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．3、用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()f x 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()f x 的定义域，化简函数()f x 的解析式；（3）求()f x -，可根据()f x -与()f x 之间的关系，判断函数()f x 的奇偶性．若()()f x f x -=-，则()f x 是奇函数；若()f x -=()f x ，则()f x 是偶函数；若()()f x f x -≠±，则()f x 既不是奇函数，也不是偶函数；若()()f x f x -=且()()f x f x -=-，则()f x 既是奇函数，又是偶函数方法技巧二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等．（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()()0f x f x -±=及()1()f x f x -=±是否成立即可．（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称．（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系．首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．方法技巧三、关于函数奇偶性的常见结论（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称；函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =；偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷．对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶．（7）复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．【题型归纳目录】题型一：函数奇偶性的判断题型二：求函数值与解析式题型三：已知奇偶性求参数题型四：利用性质解决不等式问题题型五：性质的综合运用【典型例题】题型一：函数奇偶性的判断例1．（2022·陕西·榆林市第十中学高一阶段练习）下列函数是奇函数的是（）A ．y =B ．223y x =+C ．1y x=-D ．2,(1,1)y x x =-∈-【答案】C【解析】对于A ：y =[)0,∞+，不关于原点对称，所以y =故A 错误；对于B ：()223y f x x ==+定义域为R ，则()()()222323f x f x x x -++-===，即223y x =+为偶函数，故B 错误；对于C ：()1y g x x ==-定义域为()(),00,∞-+∞U ，则()()11g x g x x x ==-=---，故1y x=-为奇函数，故C 正确；对于D ：()2,(1,1)y h x x x ==-∈-定义域为(1,1)-，则()()()22h x x x h x -==-=--，所以2,(1,1)y x x =-∈-为偶函数，故D 错误；故选：C例2．（2022·全国·高一课时练习）已知()()()32F x x x f x =-，且()f x 是定义在R 上的奇函数，()10f ≠，则()F x （）A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【解析】由已知()F x 的定义域为R ，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()()()3322F x x x f x x x f x F x -=-+-=-=，所以()F x 为偶函数，又()()()1121(1)F f f -=-+-=-，()()()()11211F f f =-=-，又()10f ≠，所以()()11F F -≠-，所以()F x 不为奇函数，故选：B ．例3．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x ，()g x 均为定义在R 上的奇函数，且()0f x ≠，()0g x ≠，则（）A ．()()f x g x +是奇函数B ．()()f x g x -是奇函数C ．()()f x g x 是偶函数D ．()()f x g x 是偶函数【答案】ABC【解析】因为函数()f x ，()g x 均为定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，()()g x g x -=-，对于A 选项，设()()()F x f x g x =+，则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=-+-=--=-，所以()()f x g x +为奇函数，故A 正确；对于B 选项，设()()()F x f x g x =-，则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=---=-+=-，所以()()f x g x -为奇函数，故B 正确；对于C 选项，设()()()F x f x g x =，则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=--=⎡⎤⎣⎦，所以()()f x g x 为偶函数，故C 正确；对于D 选项，设()()()F x f x g x =，则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=--=-，所以()()f x g x 是奇函数，故D 错误.故选：ABC.例4．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）下列判断正确的是（）A ．()(1f x x =-B ．()22,0,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+>⎩是奇函数C ．()f x =D ．()33f x x =+-是非奇非偶函数【答案】BC 【解析】对于A ，由101xx+≥-且10x -≠，得11x -≤<，则()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 为非奇非偶函数，故A 错误;对于B ，函数()f x 的定义域关于原点对称，当x >0时，0x -<，()()()220f x f x x x x x +-=-++--=，当x <0时，也有()()0f x f x +-=，所以()f x 为奇函数，故B 正确;对于C ，由230x -≥且230x -≥，得23x =，即x =()f x 的定义域关于原点对称，此时()0f x =，所以()f x 既是奇函数又是偶函数，故C 正确;对于D ，由210x -≥且330x +-≠，得11x -≤≤且x ≠0，()f x 的定义域关于原点对称，因为()33f x x x ==+-，()()f x f x -==-，所以函数()f x 为奇函数，故D 错误.故选:BC.例5．（2022·全国·高一单元测试）判断下列函数的奇偶性．(1)()31f x x x=-；(2)()(1f x x =-(3)()f x =+(4)()2,12,112,1x x f x x x x -<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪>⎩．【解析】由奇偶性的定义对各个题一一判断即可得出答案.（1）()f x 的定义域是()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，又()()()3311f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，所以()f x 是奇函数．（2）因为()f x 的定义域为[)1,1-，不关于原点对称，所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数．（3）因为()f x的定义域为{，所以()0f x =，则()f x 既是奇函数又是偶函数．（4）方法一（定义法）因为函数()f x 的定义域为R ，所以函数()f x 的定义域关于原点对称．①当x ＞1时，1x -<-，所以()()()()22f x x x f x -=-⨯-==；②当11x -≤≤时，()2f x =；③当1x <-时，1x ->，所以()()()22f x x x f x -=⨯-=-=．综上，可知函数()f x 为偶函数．方法二（图象法）作出函数()f x 的图象，如图所示，易知函数()f x 为偶函数．例6．（2022·全国·高一课时练习）设函数()f x 对任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，证明：()f x 为奇函数．【解析】证明：函数()f x 的定义域为R ，关于原点对称，因为函数()f x 对任意,x y ∈R ，都有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，则()()020f f =，得()00f =，令y x =-，则()()()0f f x f x =+-，所以()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，所以()f x 为奇函数．题型二：求函数值与解析式例7．（2022·全国·高一单元测试）已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()4f x x x =-，则0x <时，()f x 的解析式为________．【答案】2(4)=--f x x x 【解析】当0x <时，则0x ->，因为当0x >时，()24f x x x =-，且()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以22()()4()4()f x x x x x f x -=--⋅-=+=-，即2(4)=--f x x x ，故0x <时，()f x 的解析式为2(4)=--f x x x .故答案为：2(4)=--f x x x .例8．（2022·全国·高一单元测试）已知()f x 是偶函数，当0x <时，()()1f x x x =+，则当0x >时，()f x =_________．【答案】()1x x -【解析】由0x >，则0x -<，且函数()f x 是偶函数，故当0x >时，()()()()()11f x f x x x x x =-=--+=-故答案为：()1x x -例9．（2022·全国·高一课时练习）已知()f x ，()g x 分别是R 上的奇函数和偶函数，且()()231f x g x x x +=-+，试求()f x 和()g x 的表达式．【解析】解析：以x －代替条件等式中的x ，则有()()231f x g x x x -+-=++，又()f x ，()g x 分别是R 上的奇函数和偶函数，故()()231f x g x x x -+=++．又()()231f x g x x x +=-+，联立可得()f x x =-，()231g x x =+．例10．（2022·全国·高一期中）已知函数()y f x =的图象关于原点对称，且当0x ≥时，()22f x x x=-(1)试求()f x 在R 上的解析式；(2)画出函数的图象，根据图象写出它的单调区间.【解析】（1）()f x 的图象关于原点对称，()f x ∴是奇函数，()()f x f x ∴-=-．又()f x 的定义域为R ，(0)(0)f f ∴=-，解得(0)0f =．设0x <，则0x ->，当0x >时，2()2f x x x =-，22()()2()2()f x x x x x f x ∴-=---=+=-2()2f x x x ∴=--，所以222(0)()0(0)2(0)x x x f x x x x x ⎧->⎪==⎨⎪--<⎩；（2）由（1）可得()f x 的图象如下所示：由图象可知()f x 的单调递增区间为(),1-∞-和()1,+∞，单调递减区间为()1,1-；例11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，()22f x x x =+．(1)求当x ＞0时，函数()f x 的解析式；(2)解不等式()()30x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．【解析】（1）由()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-．当x ＞0时，0x -<，故()()()()2222f x f x x x x x -=-=-+-=-，故当x ＞0时，()22f x x x =-+．（2）由()()f x f x -=-，得()()()()()3332x f x f x x f x f x x f x --=+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故()()()()3300200x x f x f x x f x f x >⎧⎡⎤-->⇔>⇔⎨⎣⎦>⎩或()00x f x <⎧⎨<⎩．如图所示，画出函数()f x 的图象．由图易得()00x f x >⎧⎨>⎩的解集为（0，2），()00x f x <⎧⎨<⎩的解集为()2,0-，故不等式()()30x f x f x -->⎡⎤⎣⎦的解集为()()2,00,2-．题型三：已知奇偶性求参数例12．（2022·全国·高一单元测试）若函数()22,00,0,0x x x f x x ax x x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数，则实数a 的值为___________.【答案】1【解析】若()f x 是奇函数，则有()()f x f x -=-.当0x >时，0x -<，则()()()22f x a x x ax x -=-+-=-，又当0x >时，()2f x x x =-+，所以()2f x x x -=-，由()()f x f x -=-，得22ax x x x -=-，解得a =1.故答案为：1.例13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数2220()000x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩，，，是奇函数，则m =_____．【答案】2【解析】当0x <时，0x ->，22()()2()2f x x x x x -=--+-=--，又()f x 为奇函数，2()()2f x f x x x =--=+，而当0x <时，2()f x x mx =+，所以2m =．故答案为：2例14．（2022·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）定义在区间[,2]n 上的偶函数2()1=++f x x ax ，最大值为m ，则a m n ++=__________.【答案】3【解析】由题意，函数()f x 在[,2]n 上为偶函数，所以20n +=，解得2n =-，又由()f x 的图象关于y 轴对称，可得0a =，可得2()1(22)f x x x =+-≤≤，可得()f x 的最大值为5，即5m =，所以0523a m n ++=+-=.故答案为：3.例15．（2022·全国·高一专题练习）若函数32()=-+f x x bx ax 在[3,2]+a a 上为奇函数，则a b +=___________.【答案】12-【解析】因为函数32()=-+f x x bx ax 在[3,2]+a a 上为奇函数，所以320a a ++=，得12a =-，又()()f x f x -=-，即323211()()()22x b x x x bx x -----=-++，即220bx =恒成立，所以0b =，所以12a b +=-.故答案为：12-.例16．（2022·广西·高一阶段练习）已知函数()()32121f x a x x =-+-是偶函数，则a ＝______．【答案】1【解析】函数()()32121f x a x x =-+-是偶函数，则()()11f f -=，即()121121a a -+-=-+--，解之得1a =经检验符合题意.故答案为：1题型四：利用性质解决不等式问题例17．（2022·全国·高一单元测试）函数()f x 为奇函数，()2f x +是定义在()3,1--上的减函数，若()()1320f m f m -+-<，则实数m 的取值范围为______．【答案】()1,2【解析】由题意，()2f x +的定义域为()3,1--，所以()f x 的定义域为()1,1-，则1111321m m -<-<⎧⎨-<-<⎩，解得12m <<．又()2f x +是()3,1--上的减函数，所以奇函数()f x 在()1,1-上单调递减．由()()1320f m f m -+-<，得()()132f m f m -<--，所以()()123f m f m -<-，即123m m ->-，解得2m <．综上，12m <<．故答案为：()1,2．例18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，在()0,∞+上的图象如图所示，则使()0f x <的x 的取值集合为______．【答案】()()3,03,-⋃+∞【解析】解析()y f x =的图象如图所示，由图易得使()0f x <的x 的取值集合为()()3,03,-⋃+∞．故答案为：()()3,03,-⋃+∞.例19．（2022·全国·高一专题练习）奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)0f =，则不等式2023()2022()0-->f x f x x的解集为__________.【答案】{|1x x <-或}1x >【解析】因为()f x 为奇函数，且在(0,)+∞上是增函数，(1)0f =，所以()()110f f -=-=，且在()0-∞，上也是增函数，因为2023()2022()2023()2022()4045()0--+==>f x f x f x f x f x x x x，即()0()01x f x f >⎧⎨>=⎩或()0()01x f x f <⎧⎨<=-⎩，∴01x x >⎧⎨>⎩或01x x <⎧⎨<-⎩，即1x >或1x <-，所所以不等式的解集为{|1x x <-或}1x >.故答案为：{|1x x <-或}1x >.例20．（2022·江苏·盐城市田家炳中学高一期中）已知奇函数()f x 在[)0,∞+上单调递减，若()()211f a f ->，则实数a 的取值范围为_________．【答案】(),1-∞【解析】因为奇函数()f x 在[)0,∞+单调递减，所以()f x 在()0-∞，单调递减，且()00f =，所以()f x 在R 上单调递减，则()()211f a f ->等价于211a -<，解得1a <，故答案为：(),1-∞例21．（2022·全国·高一单元测试）已知偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,x ∈+∞时，()21xf x x -=+，则()11f x -<的解集为（）A ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】()()13231111x x f x x x x -++-===-++++，()f x ∴在[)0,∞+上单调递减，又()f x 为偶函数，112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()11f x -<，()111,122f x f x ⎛⎫∴-∴- ⎪⎝⎭，解得：12x <或32x >，()11f x ∴-<的解集为13,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.例22．（2022·全国·高一专题练习）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)1212,0,(),x x x x ∈+∞≠有()()12120f x f x x x -<-，则（）A ．()()()321f f f <-<B ．()()()123f f f <-<C ．()()()213f f f -<<D ．()()()312f f f <<-【答案】A【解析】因为()f x 满足，对任意的[)1212,0,(),x x x x ∈+∞≠有()()12120f x f x x x -<-，所以()f x 在[)0,∞+上单调递减且()f x 为偶函数，则()()22f f -=由123<<可得()()()123f f f >>，即()()()321f f f <-<故选:A题型五：性质的综合运用例23．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()22,f x mx nx m n =++∈R 是定义在[]2,3m m +上的偶函数，则函数()()2g x f x x =+在[]22-,上的最小值为______．【答案】－6【解析】因为函数()22f x mx nx =++(),m n ∈R 是定义在[]2,3m m +上的偶函数，故()()230f x f x m m ⎧-=⎨++=⎩，即22221mx nx mx nx m ⎧-+=++⎨=-⎩，则201nx m =⎧⎨=-⎩解得01n m =⎧⎨=-⎩，所以()()()2222231g x f x x x x x =+=-++=--，[]2,2x ∈-，所以()()()2222226g -=--+⨯-+=-，()2222222g =-+⨯+=，则()min 6g x =-，故答案为：-6例24．（2022·福建省永泰县第二中学高一阶段练习）已知函数()f x 的定义域是{}R |0D x x =∈≠，对任意1x ，2x D ∈都有：1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时，()0f x >．给出结论：①()f x 是偶函数；②()f x 是奇函数；③()f x 在()0,∞+上是增函数；④()f x 在()0,∞+上是减函数．则正确结论的序号是________．【答案】①③【解析】先探究函数()f x 的奇偶性：∵对任意1x ，2x D ∈都有：1212()()()f x x f x f x ⋅=+∴令121x x ==，有(11)(1)(1)2(1)f f f f ⨯=+=，即10f =（）；令121x x ==-，有[](1)(1)(1)(1)f f f -⨯-=-+-，即(1)2(1)0f f =-=，解得(1)0f -=；∴令121,x x x =-=，有()(1)()f x f f x -=-+，即()()f x f x -=，∴()f x 为偶函数．故①正确，②错误；再探究函数()f x 在()0,∞+上上的单调性：令120x x >>，则121x x >；∵1212()()()f x x f x f x ⋅=+，且当1x >时，()0f x >，∴111122222222()()()()(()()()0x x xf x f x f x f x f f x f x f x x x -=⋅-=+-=>，∴12()()f x f x >，即函数()f x 在()0,∞+上单调递增，故③正确，④错误；故答案为：①③．例25．（2022·全国·高一课时练习）设函数()()23211x x f x x ++=+在区间[]22-,上的最大值为M ，最小值为N ，则()20221M N +-的值为______.【答案】1【解析】由题意知，()32211x xf x x +=++（[]2,2x ∈-），设()3221x xg x x ++=，则()()1f x g x =+，因为()()3221x xg x g x x ---==-+，所以()g x 为奇函数，()g x 在区间[]22-,上的最大值与最小值的和为0，故2M N +=，所以()()202220221211M N +-=-=.故答案为：1例26．（2022·全国·高一单元测试）已知f (x )是定义在区间[－1，1]上的奇函数，且f (1)＝1，当a ，b ∈[－1，1]，a ＋b ≠0时，有()()f a f b a b++＞0成立.(1)判断f (x )在区间[－1，1]上的单调性，并证明；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1，1]恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）f (x )在区间[－1，1]上单调递增.证明如下：任取x 1，x 2∈[－1，1]，且x 1＜x 2，则－x 2∈[－1，1].∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝()()()()121212f x f x x x x x +-⋅-+-.由已知条件得()()()12120f x f x x x +->+-.又x 1－x 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2).∴f (x )在区间[－1，1]上单调递增.（2）∵f (1)＝1，f (x )在区间[－1，1]上单调递增，∴在区间[－1，1]上，f (x )≤1.∵f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1，1]恒成立，∴m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0对所有的a ∈[－1，1]恒成立.设g (a )＝－2ma ＋m 2.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1，1]恒成立.②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1，1]恒成立，必须有g (－1)≥0，且g (1)≥0，∴m ≤－2或m ≥2.综上所述，实数m 的取值范围是{m |m ＝0，或m ≥2，或m ≤－2}.例27．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()22f x x x =+，现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补出函数()y f x =，x ∈R 剩余部分的图象，并根据图象写出函数()y f x =，x ∈R 的单调增区间；(2)求函数()y f x =，x ∈R 的解析式；(3)已知关于x 的方程()f x m =有三个不相等的实数根，求实数的取值范围．【解析】（1）剩余的图象如图所示，有图可知，函数()f x 的单调增区间为(1,1)-；（2）因为当0x <时，2()2f x x x =+，所以当0x >时，则0x -<，有22()()2()2f x x x x x -=-+-=-，由()f x 为奇函数，得2()()2f x f x x x =--=-+，即当0x >时，2()2f x x x =-+，又(0)0f =，所以函数()f x 的解析式为2220()0020x x x f x x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-+>⎩，，，；（3）由(2)得，2220()0020x x x f x x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪-+>⎩，，，，作出函数()y f x =与y m =图象，如图，由图可知，当11m -<<时，函数()y f x =与y m =图象有3个交点，即方程()f x m =有3个不等的实根.所以m 的取值范围为(1,1)-.例28．（2022·全国·高一课时练习）函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称的充要条件是函数()y f x a b =+-是奇函数.(1)依据推广结论，求函数()323f x x x =-的图象的对称中心；(2)请利用函数()323f x x x =-的对称性()()()201920172015f f f -+-+-+⋅⋅⋅()()()()()()()()31135201720192021f f f f f f f f +-+-++++⋅⋅⋅+++的值；(3)类比上述推广结论，写出“函数()y f x =的图像关于y 轴成轴对称的充要条件是函数()y f x =为偶函数”的一个推广结论.（不需要证明）【解析】（1）设()323f x x x =-的图象的对称中心为(),P a b ，则()()g x f x a b=+-为奇函数，所以()()g x g x -=-，即()()f x a b b f x a -+-=-+，所以()()2f x a f x a b -+++=，即()()()()3232332x a x a x a x a b -+--+++-+=，整理得()232662620a x a a b -+--=，（对函数()f x 定义域内的任意x 都成立），所以32660{2620a a a b -=--=，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以函数()323f x x x =-的图象的对称中心为()1,2-；（2）由（1）知函数()323f x x x =-图象的对称中心为()1,2-，所以()()114f x f x -+++=-，则()()()()()()2019202120172019134f f f f f f -+=-+=⋅⋅⋅=-+=-，又()12f =-，所以()()()()()()()()20192017201531135f f f f f f f f -+-+-+⋅⋅⋅+-+-+++()()()2017201920214101024042f f f +⋅⋅⋅+++=-⨯-=-；（3）推论：函数()y f x =的图象关于直线x a =成轴对称的充要条件是函数()y f x a =+为偶函数，或函数()y f x =的图象关于直线x a =成轴对称的充要条件是()()f x a f a x +=-.例29．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝12,01,23,1,x xx x ⎧-<<⎪⎨⎪-≥⎩若f (x )在14,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值为m ，最小值为n ，求m ＋n ．【解析】如图，画出f (x )在(0，＋∞)上的图象，由图知，当x ∈1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，f (x )min ＝f (1)＝－1，又1(24f =，f (4)＝5，所以f (x )max ＝f (4)＝5，又f (x )为奇函数，所以当x ∈14,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦时，f (x )max ＝f (－1)＝－f (1)＝1，f (x )min ＝f (－4)＝－f (4)＝－5．所以m ＝1，n ＝－5，故m ＋n ＝1－5＝－4．例30．（2022·全国·高一课时练习）设函数()f x 的定义域为()1,1-，且满足：①当()1,0x ∈-时，()0f x >；②()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，(),1,1x y ∈-．则()f x 是_______函数（填“奇”或“偶”），()f x 在定义域上是_______函数（填“增”或“减”）．【答案】奇减【解析】()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭，令0x y ==，则()()()000f f f +=，所以()00f =，令y x =-，则()()()00f x f x f +-==，又因为()f x 的定义域关于原点对称，所以()f x 为奇函数；任取()12,,10x x ∈-，且12x x <，则()()()()121212121x x f x f x f x f x f x x ⎛⎫--=+-= ⎪-⎝⎭因为1210x x -<<<，所以120x x -<，1201x x <<，所以1210x x ->，所以121201x x x x -<-，()()12121212111011x x x xx x x x +--+=>--，所以121211x x x x ->--，所以1212101x x x x --<<-，由条件①得121201x x f x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，所以()()120f x f x ->，所以()f x 在()1,0-上是减函数，又()f x 为奇函数，所以()f x 在()1,1-上是减函数．【过关测试】一、单选题1．（2022·北京·中国农业大学附属中学高一期中）某同学在研究函数2()||1x f x x =+时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（）A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 的值域是()1,+∞C ．函数()f x 在R 上是增函数D ．方程()2f x =有实根【答案】D【解析】对于A ，2()()()||1x f x f x x --==-+，故()f x 是偶函数，(1)(1)1f f -==，()f x 不是奇函数，故A 错误，对于B ，当0x ≥时，21()1211x f x x x x ==++-++，由对勾函数性质知()()00f x f ≥=，而()f x 是偶函数，()f x 的值域是[0,)+∞，故B 错误，对于C ，当0x >时，21()1211x f x x x x ==++-++，由对勾函数性质知()f x 在(0,)+∞上单调递增，而()f x 是偶函数，故()f x 在(,0)-∞上单调递减，故C 错误，对于D ，当0x >时，()2f x =，即2220x x --=，解得1x =+，故D 正确，故选：D2．（2022·全国·高一单元测试）函数()225f x x x =-+的单调增区间是（）A ．(),1-∞-和()0,1B ．(),1-∞-和()1,+∞C ．[]1,0-和[)1,+∞D ．()1,0-和()0,1【答案】C【解析】由()()22()2525f x x x x x f x -=---+=-+=，则()f x 为偶函数，()f x 的图像关于y 轴对称.当0x ≥时，()225f x x x =-+，对称轴为1x =，所以()f x 在[)1,+∞上递增，在[]0,1递减；则当0x ≤时，()f x 在[]1,0-递增，在(],1-∞-递减，则有()f x 的递增区间为][)1,0,1,∞⎡-+⎣.故选：C3．（2022·全国·高一课时练习）若函数()24542322022t x tx x f x x t+++=+在[]2022,2022-上的最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝2024，则实数t 的值为（）A ．－506B ．506C ．2022D ．2024【答案】B【解析】函数()()4524554442320222322022320222t x t x x t x tx x x x f x t x t x t x t+++++++===++++，令()()54320222x x F x f x t x t +=-=+，因为()()5432022x x F x F x x t---==-+，所以()F x 为奇函数，又()f x 在[]2022,2022-上的最大值为M ，最小值为N ，且M ＋N ＝2024，所以()F x 的最大值为2M t -，最小值为2N t -，所以()()220M t N t -+-=，则t ＝506．故选：B4．（2022·全国·高一课时练习）已知定义在R 上的函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①()(),x f x f x ∀∈-=R ；②()12,0,x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，()()2112120x f x x f x x x ->-．记()1a f =，()33f b -=，()55f c =，则（）A ．c a b <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．b c a<<【答案】B【解析】依题意，12,(0,)x x ∀∈+∞，12x x ≠，()()2112120x f x x f x x x ->-，即()()1212120f x f x x x x x ->-，所以函数()f x x在(0,)+∞上单调递增．又x ∀∈R ，()()f x f x -=，所以函数()f x 是R 上的偶函数，所以()()3333f f -=,则有()()()135135f f f <<，所以a b c <<，故选：B ．5．（2022·全国·高一单元测试）若函数()()()21xf x x x a =-+为奇函数，则=a （）A ．12B ．23C ．34D ．1【答案】A【解析】由函数()()()21xf x x x a =-+为奇函数，可得()()f x f x -=-，所以()()()()2121x x a xx a x x ---=---++，所以()()()()2121x x x a x x x a --+=----+，化简得()22210a x ⋅-=恒成立，所以210a -=，即12a =,经验证()()22141212x xf x x x x ==-⎛⎫-+⎪⎝⎭，定义域关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，故12a =；故选:A ．6．（2022·全国·高一课时练习）已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且()30f -=，则()20xf x ->的解集是（）A ．{}|33x x -<<B ．{|10x x -<<或5}x >C ．{}|05x x <<D ．{|5x x <-或1}x >【答案】B【解析】因为()f x 是偶函数且在[0,)+∞上单调递增，()30f -=，故()30f =，所以当3x <-或3x >时，()0f x >，当33x -<<时，()0f x <．所以()20xf x ->等价于02323x x x >⎧⎨->-<-⎩或或0323x x <⎧⎨-<-<⎩，解得5x >或10x -<<，所以不等式的解集为105{|}x x x -<<>或，故选：B ．7．（2022·全国·高一课时练习）定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是（）A ．12m <-B ．12m >C ．112m -≤<D ．122m <≤【答案】C【解析】∵()f x 是偶函数，()()()f x f x f x ∴=-=，故(1)()f m f m -<可变形为(1)()f m f m -<，∵()f x 在区间[]0,2上单调递减，故212131222212112m m m m m m m m ⎧⎧⎪⎪-≤-≤-≤≤⎪⎪-≤≤⇒-≤≤⇒-≤<⎨⎨⎪⎪->⎪⎪<⎩⎩.故选：C.8．（2022·全国·高一单元测试）下列图象中，不可能是()()1R f x ax a x=+∈的图象的是（）A ．B．C ．D ．【答案】B【解析】当a ＝0时，()1f x x=，为反比例函数，对应A 中图象，故A 错误；当0a >时，()1f x ax x =+是对勾函数，函数为奇函数，且0x >时，()f x 在a ⎛ ⎝⎭上单调递减，在a ⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，对应D 中图象，故D 错误；当0a <时，()1f x ax x=+为奇函数，且0x >时，y ax =，1y x =均单调递减，故()f x 在(0,)+∞单调递减，对应C 中图象，故C 错误.故选：B.二、多选题9．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()f x x x a =-，其中R a ∈，下列结论正确的是（）A ．存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数B ．存在实数a ，使得函数()f x 为偶函数C ．当0a >时，()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(),a +∞D ．当0a <时，()f x 的单调减区间为,2a a ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由()f x x x a x x a -=---=-+，显然当a ＝0时有()()f x f x -=-，但不存在实数a 使()()f x f x -=成立，所以存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数，不存在实数a ，使得函数()f x 为偶函数.所以选项A 正确，选项B 错误；()22,,ax x x a f x x ax x a⎧-<=⎨-≥⎩，当0a >时，易知()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，所以选项C 正确；同理可得，当0a <时，()f x 在(,)a -∞上单调递增，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以选项D 错误.故选：AC.10．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R 的函数()f x 在(,1)-∞-上为增函数，且()1f x -为偶函数，则（）A ．()f x 的图象关于直线x ＝－1对称B ．()f x 在(1,)-+∞上为增函数C ．()()12f f =-D ．()()1302f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭【答案】AD【解析】因为()1f x -为偶函数，且函数()f x 在(,1)-∞-上为增函数，所以()f x 的图象关于直线x ＝－1对称，且()f x 在(1,)-+∞上为减函数，所以A 正确，B 不正确；因为()f x 的图象关于直线x ＝－1对称，()()()132f f f =-≠-，所以C 不正确；因为()f x 的图象关于直线x ＝－1对称，所以()()02f f =-，1322f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在(,1)-∞-上为增函数，所以()()3322f f f ⎛⎫-<-<- ⎪⎝⎭，即()()1302f f f ⎛⎫-<<- ⎪⎝⎭，所以D 正确.故选：AD.11．（2022·全国·高一课时练习）在复习了函数性质后，某同学发现：函数()y f x =为奇函数的充要条件是()y f x =的图彖关于坐标原点成中心对称：可以引申为：函数()y f x a b =+-为奇函数，则()y f x =图象关于点(),P a b 成中心对称.现在已知函数()3221f x x mx nx =+++的图象关于()1,0成中心对称，则下列结论正确的是（）A ．()11f =B ．()21f =-C ．3m n +=-D ．对任意x ∈R ，都有()()110f x f x ++-=【答案】BCD【解析】函数()f x 的图象关于()1,0成中心对称，且由函数可得定义域为R ，所以()1210f m n =+++=，所以3m n +=-，故A 错误，C 正确；结合题意可得()1f x +关于原点对称，所以对任意x ∈R ，都有()()110f x f x ++-=，故D 正确；()()110f x f x ++-=代入1得()()200f f +=，且()01,f =所以()21f =-，故B 正确故选：BCD12．（2022·全国·高一期中）已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，对于任意a ，R b ∈都满足()()()=+f ab af b bf a ，则下述正确的是（）A ．()00f =B ．()11f =C ．()f x 是奇函数D ．若()22f =，则1122⎛⎫-= ⎪⎝⎭f 【答案】ACD【解析】令0a b ==，则()()()000000f f f =+=，故A 正确；令1a b ==，则()()()()1111121f f f f =+=，则()10f =，故B 错误；令1a b ==-，则()()()()11121f f f f =----=--，所以()10f -=，又令1,a b x =-=，则()()()()()10f x f x xf f x f x -=-+-=-+=-，所以()f x 是奇函数，故C 正确；令12,2a b ==-，则()()111112222102222f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1122⎛⎫-= ⎪⎝⎭f ，故D 正确；故选：ACD 三、填空题13．（2022·云南红河·高一期末）设偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，且(3)0f -=，则不等式()()02f x f x x+-<的解集是___________．【答案】(3,0)(3,)-⋃+∞【解析】因为()f x 是偶函数，所以()()02f x f x x+-<等价于2()0f x x <，又()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(,0)-∞上单调递增．由()0f x x <得0()0<⎧⎨>⎩x f x ，或0()0⎧⎨⎩><x f x ，又(3)0f -=，所以(3)0f =，由0()0(3)0<⎧⎪>⎨⎪-=⎩x f x f 得30x -<<，由0()0(3)0⎧⎪⎨⎪><=⎩x f x f 得3x >，故解集为(3,0)(3,)-⋃+∞.故答案为：(3,0)(3,)-⋃+∞.14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 满足()()110f x f x -+-=，12,x x ∀∈R ，且12x x ≠，()()12120f x f x x x -<-.若()()243340f a f a ++->，则a 的取值范围是_______.【答案】11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】因为函数()f x 满足()()110f x f x -+-=，所以()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数；12,x x ∀∈R ，且12x x ≠，不妨取12x x <，因为()()12120f x f x x x -<-，所以()()12f x f x >，所以()f x 是减函数.因为()()243340f a f a ++->，可得()()24334f a f a +>--，即()()24334f a f a +>-+，所以24334a a +<-+，解得114a -<<，所以a 的取值范围是11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭15．（2022·全国·高一课时练习）若定义在R 上的偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()30f =，则满足()20xf x -≤的x 的取值范围为___________.【答案】(,1][0,5]-∞-【解析】()20xf x -≤等价于0x =或()020x f x >⎧⎪⎨-≤⎪⎩或()020x f x <⎧⎪⎨-≥⎪⎩，因为()f x 为偶函数，且()30f =，故()20f x -≤即为()()23f x f -≤，即为()()23f x f -≤，而()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，故23x -≤即15x -≤≤，同理()20f x -≥的解为1x ≤-或5x ≥，故()020x f x >⎧⎪⎨-≤⎪⎩的解为05x <≤，而()020x f x <⎧⎪⎨-≥⎪⎩的解为1x ≤-，故()20xf x -≤的解为(,1][0,5]-∞-.故答案为：(,1][0,5]-∞-16．（2022·贵州·凯里一中高一期中）函数()22f x x x =-，若()()213f m f +<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】()2,1-【解析】因为()()22()22f x x x x x f x -=---=-=所以()f x 是偶函数，作出()f x 的图象如下：由()()()2133f m f f +<-=得，3213m -<+<，∴21m -<<．故答案为：()2,1-四、解答题17．（2022·全国·高一课时练习）设函数()223f x x x a =--+，x ∈R ．(1)某同学认为，无论实数a 取何值，()f x 都不可能是奇函数，该同学的观点正确吗？请说明你的理由．(2)若()f x 是偶函数，求实数a 的值．(3)在（2）的情况下，()2f x m m ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）该同学的观点正确，理由如下：()23f a a =+，()243f a a a -=-+．若()f x 为奇函数，则有()()0f a f a +-=，∴2230a a -+=．显然2230a a -+=无实数解，∴()f x 不可能是奇函数．（2）若()f x 为偶函数，则有()()f x f x =-，∴222323x x a x x a --+=---+，即0ax =．∴0a =，此时()223f x x x =-+，是偶函数．∴实数a 的值为0．（3）由（2）知()223f x x x =-+，其图象如图所示：由图象，知()min 2f x =，∴22m m -≤，解得12m -≤≤．∴实数m 的取值范围为[]1,2-．18．（2022·浙江·余姚市实验高中高一开学考试）已知函数22()x x af x x++=．(1)若()()2g x f x =-，判断()g x 的奇偶性并加以证明．(2)当12a =时，先用定义法证明函数f （x ）在[1，+∞）上单调递增，再求函数()f x 在[1，+∞）上的最小值．(3)若对任意[1,),()0x f x ∈+∞>恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）因为()()()20ag x f x x x x =-=+≠，定义域为()(),00,-∞⋃+∞关于原点对称，且()()ag x x g x x-=--=-，所以()g x 为奇函数.（2）当12a =时，()[)1212,,1,2f x x x x x =++∀∈+∞，且12x x <，有()()()()121212122102x x x x f x f x x x ---=<．所以，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增，函数()f x 在[)1,+∞上的最小值为()712f =．（3）若对任意[)()1,,0x f x ∈+∞>恒成立，则()2222011a x x x x a x x ⎧>-+⎧++>⎪⇔⎨⎨≥≥⎩⎪⎩，所以，问题转化为a 大于函数()()22x x x ϕ=-+在[)1,+∞上的最大值．且函数()x ϕ在[)1,+∞上单调递减，所以()x ϕ最大值为()13ϕ=-，故实数a 的取值范围是()3,-+∞19．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()()2213f x x k x =-++．(1)若函数()f x 为偶函数，求实数k 的值；(2)若函数()f x 在区间[]1,3-上具有单调性，求实数k 的取值范围；(3)求函数()f x 在区间[]22-,上的最小值．【解析】（1）因为定义在R 上的函数2()2(1)3f x x k x =-++为偶函数，所以R x ∀∈，都有()()f x f x -=成立，即R x ∀∈，都有222(1)32(1)3x k x x k x +++=-++成立，解得1k =-．（2）因为函数2()2(1)3f x x k x =-++图象的对称轴为1x k =+，所以要使函数()f x 在[]1,3-上具有单调性，则13k +≥，或11k +≤-，即2k ≥或2k ≤-，则k 的取值范围为(][),22,-∞-+∞U ．（3）①若函数()f x 在[]22-,上单调递减，则12k +≥，即1k ³，此时函数()f x 在区间[]22-,上的最小值为()234f k=-．②若函数()f x 在[]22-,上单调递增，则12k +≤-，即3k ≤-，此时函数()f x 在区间[]22-,上的最小值为()2114f k -=+．③若函数()f x 在[]22-,上不单调，则212k -<+<，即31k -<<，此时函数()f x 在区间[]22-,上的最小值为2(1)22f k k k +=--．综上所述，函数()f x 在区间[]22-,上的最小值为2min 34,1()22,31114,3k k f x k k k k k -≥⎧⎪=---<<⎨⎪+≤-⎩.20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()20f x x mx m =->在区间[]0,2上的最小值为()g m ．（1）求函数()g m 的解析式．（2）定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()h x 为偶函数，且当0x >时，()()h x g x =．若()()4h t h <，求实数t 的取值范围．【解析】（1）因为()()222024m m f x x mx x m ⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭，所以当04m <≤时，022m <≤，此时()224m m g m f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭；当4m >时，22m >，此时函数()2224m m f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在区间[]0,2上单调递减，所以()()242g m f m ==-．综上，()2,04442,4m m g m m m ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩（2）因为0x >时，()()h x g x =，所以当0x >时，()2,04442,4x x h x x x ⎧-<≤⎪=⎨⎪->⎩，易知函数()h x 在()0,∞+上单调递减，因为定义在()(),00,∞-+∞U 上的函数()h x 为偶函数，且()()4h t h ≥，所以04t <<，解得40t -<<或04t <<，所以实数t 的取值范围为()()4,00,4-．21．（2022·全国·高一课时练习）已知______，且函数()22x b g x x a +=+.①函数()()224f x x a x =+-+在定义域[]1,1b b -+上为偶函数；②函数()()0f x ax b a =+>在[1,2]上的值域为[]2,4.在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出a ，b 的值，并解答本题.(1)判断()g x 的奇偶性，并证明你的结论；(2)设()2h x x c =--，对任意的1x ∈R ，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12g x h x =成立，求实数c 的取值范围.【解析】（1）选择①.由()()224f x x a x =+-+在[]1,1b b -+上是偶函数，得20a -=，且()()110b b -++=，所以a ＝2，b ＝0.所以()222x g x x =+.。

第五章 不 等 式____第34课__不__等__关__系____1. 了解日常生活中的不等关系及不等式(组)的实际背景，能通过具体情境建立不等式模型．2. 掌握不等式的简单性质，深刻理解其成立的条件，并能灵活运用．3. 熟悉两个实数比较大小的方法，掌握分类讨论的标准和技巧.1. 阅读：必修5第73～74页．2. 解悟：①现实生活中大量存在不等关系，我们常常用不等式表示这样的关系；②解决相关问题时，未知量与参数的范围要时刻表明，并运用不等式有关知识解决问题；③教材第74页练习第5题，体现了不等式怎样的性质，能够写出来吗？④初中你学过哪些不等式的性质，能列举出来吗？3. 践习：在教材空白处，完成第74页练习第2、3、4题.基础诊断1. 若a 1<a 2，b 1<b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是__a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1__．解析：作差可得(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)．因为a 1<a 2，b 1<b 2，所以(a 1－a 2)(b 1－b 2)>0，即a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.2. 某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量x 应不少于2.5%，蛋白质的含量y 应不少于2.3%，可用不等式表示为__⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2.5%，y ≥2.3%__．3. 已知a<b<0，给出下列不等式：①|a|>|b|； ②1a －b >1a； ③1a >1b； ④a 2>b 2.其中正确不等式的序号是__①③④__．解析：因为a<b<0，所以|a|>|b|，a 2>b 2，则①④成立；因为a<b<0，所以－b>0，所以0>a －b>a ，所以1a －b <1a ，则②不成立；因为a<b<0，所以1ab >0，所以在不等式a<b<0两边同时乘以1ab ，得1b <1a，则③成立．故选①③④.4. 已知2<m<4，3<n<5，则mn 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫25，43__． 解析：因为3<n<5，所以15<1n <13.又因为2<m<4，所以25<m n <43.范例导航考向❶ 实际问题中的不等关系例1 已知b 克糖水中有a 克糖(b>a>0)，若再添加m 克糖(m>0)，则糖水变甜了．试根据这个事实，写出a ，b ，m 所满足的不等式，并证明．解析：a b <a ＋mb ＋m.证明如下：方法一：因为0<a<b ，m>0，所以a －b<0，b ＋m>0. 因为a b －a ＋m b ＋m ＝a （b ＋m ）－b （a ＋m ）b （b ＋m ）＝m （a －b ）b （b ＋m ）<0，所以a b <a ＋m b ＋m.方法二：因为0<a<b ，m>0，所以b ＋m>0，所以要证a b <a ＋mb ＋m ，即证a(b ＋m)<b(a ＋m)，即am<bm.又m>0，a<b 为已知条件，所以am<bm 成立， 所以a b <a ＋m b ＋m成立．方法三：因为a<b ，m>0，所以am<bm ，所以ab ＋am<ab ＋bm ， 即a(b ＋m)<b(a ＋m)．因为0<a<b ，m>0，所以b ＋m>0， 所以a （b ＋m ）b （b ＋m ）<b （a ＋m ）b （b ＋m ），所以a b <a ＋m b ＋m .某野外训练活动队需要用浓度为35%～45%(35%、45%也能使用)的酒精为队员进行物理退热，现只有浓度是75%的消毒酒精，若取a 克浓度是75%的消毒酒精，加入x 克纯净水稀释后使用，则x 的取值范围为__⎣⎡⎤2a 3，8a 7__．解析：由题意得35%≤75%a x ＋a ≤45%，解得2a 3≤x ≤8a7.考向❷ 比较大小或证明不等式例2 已知x<y<0，试比较(x 2＋y 2)(x －y)与(x 2－y 2)(x ＋y)的大小．解析：方法一：(x 2＋y 2)(x －y)－(x 2－y 2)(x ＋y)＝(x －y)[(x 2＋y 2)－(x ＋y)2]＝－2xy(x －y)． 因为x<y<0，所以xy>0，x －y<0, 所以－2xy(x －y)>0，所以(x 2＋y 2)(x －y)>(x 2－y 2)(x ＋y)．方法二：因为x<y<0，所以x －y<0，x 2>y 2， 所以(x 2＋y 2)(x －y)<0，(x 2－y 2)(x ＋y)<0， 所以0<（x 2＋y 2）（x －y ）（x 2－y 2）（x ＋y ）＝x 2＋y 2x 2＋y 2＋2xy <1，所以(x 2＋y 2)(x －y)>(x 2－y 2)(x ＋y)．设a>0，b>0，且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小． 解析：因为a>0，b>0，所以a a b b a b b a ＝⎝⎛⎭⎫a b a －b.①若a>b>0，则ab >1，a －b>0，所以⎝⎛⎭⎫a b a －b>1，所以a a b b >a b b a;②若b>a>0，则ab <1，a －b<0，所以⎝⎛⎭⎫a b a －b>1，所以a a b b >a b b a .综上，得a a b b >a b b a .【选讲题】 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较a n ＋b n 与c n 的大小．解析：因为a ，b ，c ∈R ＋，所以a n ，b n ，c n >0, a n ＋b n c n＝⎝⎛⎭⎫a c n ＋⎝⎛⎭⎫b c n. 因为a 2＋b 2＝c 2，所以⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝1，所以0<a c <1，0<b c <1.因为n ∈N ，n >2， 所以⎝⎛⎭⎫a c n<⎝⎛⎭⎫a c 2，⎝⎛⎭⎫b c n<⎝⎛⎭⎫b c 2，所以a n ＋b n c n ＝⎝⎛⎭⎫a c n ＋⎝⎛⎭⎫b c n <⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2＝1，即a n ＋b nc n <1，所以a n ＋b n <c n .考向❸ 不等关系的简单综合运用例3 设f(x)＝ax 2＋bx ，1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围． 解析：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，(m ，n 为待定系数), 则4a －2b ＝m(a －b)＋n(a ＋b)＝(m ＋n)a －(m －n)b,于是⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1， 所以f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4, 所以5≤3f(－1)＋f(1)≤10， 所以5≤f(－2)≤10.设f(x)＝x 2－x ＋1，实数a 满足|x －a|<1. 求证：|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)． 解析：因为|x －a|<1，所以|f(x)－f(a)|＝|x 2－x ＋1－a 2＋a －1| ＝|x 2－a 2－x ＋a|＝|(x ＋a)(x －a)－(x －a)| ＝|(x －a)(x ＋a －1)|＝|x －a||x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a|＋|2a|＋|－1| <1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)， 所以|f(x)－f(a)|<2(|a|＋1)．自测反馈1. 若a ，b 是任意实数，且a>b ，则下列结论正确的有__④__．(填序号)①a 2>b 2；②ba <1；③lg (a －b)>0； ④⎝⎛⎭⎫12a<⎝⎛⎭⎫12b.解析：当0>a>b 时，有a 2<b 2成立，故①不对；当a ＝0时，b a <1无意义，故②不对；当0<a －b<1时，lg (a －b)<0，故③不对；因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x是定义域为R 的减函数的，所以当a >b 时，⎝⎛⎭⎫12a<⎝⎛⎭⎫12b成立，故④正确． 2. 设a>0，且a ≠1，P ＝log a (a 3－1)，Q ＝log a (a 2－1)，则P 与Q 的大小关系是__P>Q__．解析：因为P ＝log a (a 3－1)，Q ＝log a (a 2－1)，a>0，所以a 3－1>0，a 2－1>0，所以a>1.又因为(a 3－1)－(a 2－1)＝a 2(a －1)>0，所以a 3－1>a 2－1，所以log a (a 3－1)>log a (a 2－1)，即P>Q.3. 设0<a<b ，a ＋b ＝1，则12，b ，2ab ，a 2＋b 2中最大的是__b__．解析：因为0<a<b ，a ＋b ＝1，所以0<a<12，12<b<1，所以2a<1，2ab<b.因为a 2＋b 2－b ＝a 2＋b(b －1)＝a 2－b(1－b)＝a 2－ab ＝a(a －b)．又因为a<b ，a －b<0，所以a 2＋b 2－b<0，即a 2＋b 2<b.综上，最大为b.4. 一家三口外出旅游，甲旅行社提出，如果户主买全票一张，其余人可享受半价优惠；乙旅行社提出，家庭旅游算集体票，按七五折优惠，如果这两家旅行社的原价相同，__甲__(填“甲”或“乙”)家旅行社的价格更优惠．解析：设这两家旅行社一张全票的价格为a ，则在甲旅行社需要花a ＋2×12a ＝2a ，在乙旅行社需要花3×0.75a＝2.25a>2a ，所以甲旅行社的价格更优惠．1. 两个实数比较大小方法主要有：作差法，作商法．2. 证明不等式主要有：作差法，综合法，分析法．3. 你还有哪些体悟，写下来：。

微专题26 数列中有关奇偶项问题真 题 感 悟(2019·天津卷)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，b n 2，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *). 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0).依题意，得⎩⎨⎧3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得⎩⎨⎧d ＝3，q ＝3，故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n .所以{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n .(2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×3＋n （n －1）2×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n ) ＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n ).记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n ，①则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，②②－①得，2T n ＝－3－32－33－…－3n ＋n ×3n ＋1＝－3（1－3n ）1－3＋n ×3n ＋1＝（2n －1）3n ＋1＋32. 所以a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×（2n －1）3n ＋1＋32＝（2n －1）3n ＋2＋6n 2＋92(n ∈N *). 考 点 整 合1.数列与函数的关系：数列可以看成是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，4，…，n })的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值.2.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N *或它的有限子集{1，2，3，4，…，n }为定义域的函数表达式；如果对应的函数表达式是分段形式给出的，则数列的通项也分段给出.3.对于分奇偶给出的数列通项公式a n ＝⎩⎨⎧f （n ），（n 为奇数），g （n ），（n 为偶数）对应的数列问题我们称为数列中有关奇偶项问题.热点一 数列中与奇偶项有关的求和问题【例1】 (2019·苏州测试)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *).(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)当a 1＝2时，求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)若对任意n ∈N *，都有a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1≥5成立，求a 1的取值范围. 解 (1)若数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd .由a n ＋1＋a n ＝4n －3，得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3，即2d ＝4，2a 1－d ＝－3，解得d ＝2，a 1＝－12.(2)由a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)，得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *).两式相减，得a n ＋2－a n ＝4.所以数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列.数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列，由a 2＋a 1＝1，a 1＝2，得a 2＝－1，所以a n ＝⎩⎨⎧2n ，n 为奇数，2n －5，n 为偶数.①当n 为奇数时，a n ＝2n ，a n ＋1＝2n －3.S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －2＋a n －1)＋a n＝1＋9＋…＋(4n －11)＋2n＝n －12×（1＋4n －11）2＋2n ＝2n 2－3n ＋52； ②当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )＝1＋9＋…＋(4n －7)＝n 2（1＋4n －7）2＝2n 2－3n 2. 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n 2－3n ＋52，n 为奇数，2n 2－3n 2，n 为偶数.(3)由(2)知，a n ＝⎩⎨⎧2n －2＋a 1，n 为奇数，2n －3－a 1，n 为偶数. ①当n 为奇数时，a n ＝2n －2＋a 1，a n ＋1＝2n －1－a 1.由a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1≥5得a 21－a 1≥－4n 2＋16n －10. 令f (n )＝－4n 2＋16n －10＝－4(n －2)2＋6，当n ＝1或3时，f (n )max ＝2，所以a 21－a 1≥2.解得a 1≥2或a 1≤－1.②当n 为偶数时，a n ＝2n －a 1－3，a n ＋1＝2n ＋a 1.由a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1≥5得a 21＋3a 1≥－4n 2＋16n －12. 令g (n )＝－4n 2＋16n －12＝－4(n －2)2＋4，当n ＝2时，g (n )max ＝4，所以a 21＋3a 1≥4，解得a 1≥1或a 1≤－4.综上，a 1的取值范围是(－∞，－4]∪[2，＋∞).探究提高 1.第(1)问，已知数列为等差数列，故只需要写出数列的通项公式，根据关于n 的一次式恒成立，建立方程组，就能解决问题.2.第(2)问中，要能对n 分奇、偶数讨论，转化为等差数列来求和，这里要弄清等差数列的项数，这是易错点.3.第(3)问中，分奇、偶数分类讨论，值得注意的对任意n ∈N *恒成立，故求a 1的取值范围，将奇、偶数的情形取交集而不是并集.【训练1】 已知数列{a n }的通项a n ＝⎩⎨⎧2n ，n 为奇数，3n ＋1，n 为偶数，求数列{a n }的前n 项和S n .解 当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈N *)，则S n ＝S 2k ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2k －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2k )＝(21＋23＋…＋22k －1)＋[(3×2＋1)＋(3×4＋1)＋…＋(3×2k ＋1)]＝2－22k －1·221－22＋3×2(1＋2＋…＋k )＋k ＝13(22k ＋1－2)＋3k 2＋4k .∵n ＝2k ，∴k ＝n 2.∴S n ＝13(2n ＋1－2)＋3×n 24＋2n＝3n 24＋2n ＋13(2n ＋1－2).当n 为奇数时(此时n －1为偶数)，S n ＝S n －1＋a n ＝34(n －1)2＋2(n －1)＋13(2n －2)＋2n＝34n 2＋12n ＋2n ＋23－2312. 综上可知，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧34n 2＋2n ＋13（2n ＋1－2），n 为偶数.34n 2＋12n ＋2n ＋23－2312，n 为奇数. 热点二 数列中有关奇偶项的新定义问题【例2】 定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________，这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________.解+析 由题意知，a n ＋a n ＋1＝5，且a 1＝2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n 为奇数，3，n 为偶数，则a 18＝3. 当n 为偶数时，S n ＝(2＋3)＋(2＋3)＋…＋(2＋3)＝n 2(2＋3)＝5n 2；当n 为奇数时，S n ＝(2＋3)＋(2＋3)＋…＋(2＋3)＋2＝n －12(2＋3)＋2＝5n －12.故此数列的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n －12，n 为奇数，5n 2，n 为偶数.答案 3S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n －12，n 为奇数，5n 2，n 为偶数 探究提高 解决此类信息题的关键是认真审题，准确地领会新的概念所具有的特点，并加以充分运用.【训练2】 (2019·南通调研)若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n (n ＞k )恒成立，则称数列{a n }是“R (k )数列”.(1)已知a n ＝⎩⎨⎧2n －1，n 为奇数，2n ，n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R (2)数列”，并说明理由； (2)已知数列{b n }是“R (3)数列”，且存在整数p (p ＞1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列.(1)解 当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－(2n －1)＝3＞0，所以a n ＋1≥a n . a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n .当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝(2n ＋1)－2n ＝1＞0，所以a n ＋1≥a n ，a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n .所以数列{a n }是“R (2)数列”.(2)证明 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1，数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2，数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4，所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1，所以n (d 2－d 1)≥b 1－b 2①，n (d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1②.若d 2－d 1＜0，则当n ＞b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立； 若d 2－d 1＞0，则当n ＞b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立； 若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d .设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ，法一 (定义法) 则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p )d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d ]＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ.所以数列{b n }是等差数列.法二 (通项公式法) λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d ]＝b 2－b 3＋d ， λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d ]＝b 1－b 2＋d ，λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd )＝b 3－b 1，以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d 3，b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d 3，b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d 3，所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d 3，所以数列{b n }是等差数列.热点三 数列中有关奇偶项的存在性与恒成立问题【例3】 (2019·盐城三模)已知数列{a n }满足a 1＝m ，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n ＝2k －1，a n ＋r ，n ＝2k(k ∈N *，r ∈R )，其前n 项和为S n .(1)当m 与r 满足什么关系时，对任意的n ∈N *，数列{a n }都满足a n ＋2＝a n ?(2)对任意实数m ，r ，是否存在实数p 与q ，使得{a 2n ＋1＋p }与{a 2n ＋q }是同一个等比数列？若存在，请求出p ，q 满足的条件；若不存在，请说明理由.(3)当m ＝r ＝1时，若对任意的n ∈N *，都有S n ≥λa n ，求实数λ的最大值. 解 (1)由题意，得a 1＝m ，a 2＝2a 1＝2m ，a 3＝a 2＋r ＝2m ＋r ，首先由a 3＝a 1，得m ＋r ＝0.当m ＋r ＝0时，因为a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n ＝2k －1，a n －m ，n ＝2k(k ∈N *)， 所以a 1＝a 3＝…＝a 2k －1＝m ，a 2＝a 4＝…＝a 2k ＝2m ，故对任意的n ∈N *，数列{a n }都满足a n ＋2＝a n ，即当实数m ，r 满足m ＋r ＝0时，题意成立.(2)依题意，a 2n ＋1＝a 2n ＋r ＝2a 2n －1＋r ，则a 2n ＋1＋r ＝2(a 2n －1＋r )，因为a 1＋r ＝m ＋r ，所以当m ＋r ≠0时，{a 2n ＋1＋r }是等比数列，且a 2n ＋1＋r ＝(a 1＋r )2n＝(m ＋r )2n .为使{a 2n ＋1＋p }是等比数列，则p ＝r .同理，当m ＋r ≠0时，{a 2n ＋2r }是等比数列，且a 2n ＋2r ＝(m ＋r )2n ，则当{a 2n ＋q }是等比数列时，q ＝2r .综上所述：①若m ＋r ＝0，则不存在实数p ，q ，使得{a 2n ＋1＋p }与{a 2n ＋q }是同一个等比数列；②若m ＋r ≠0，则当p ，q 满足q ＝2p ＝2r 时，{a 2n ＋1＋p }与{a 2n ＋q }是同一个等比数列.(3)法一 当m ＝r ＝1时，由(2)可得a 2n －1＝2n －1，a 2n ＝2n ＋1－2，当n ＝2k 时，a n ＝a 2k ＝2k ＋1－2，S n ＝S 2k ＝(21＋22＋…＋2k )＋(22＋23＋…＋2k ＋1)－3k＝3(2k ＋1－k －2)， 所以S n a n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k 2k ＋1－2. 令c k ＝k 2k ＋1－2，则c k ＋1－c k ＝k ＋12k ＋2－2－k 2k ＋1－2＝（1－k ）2k ＋1－2（2k ＋2－2）（2k ＋1－2）＜0， 所以S n a n≥32，λ≤32； 当n ＝2k －1时，a n ＝a 2k －1＝2k －1，S n ＝S 2k －a 2k ＝3(2k ＋1－k －2)－(2k ＋1－2)＝2k ＋2－3k －4，所以S n a n ＝4－3k 2k －1，同理可得S n a n≥1，λ≤1， 综上所述，实数λ的最大值为1.法二 因为a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，n ＝2k －1，a n ＋1，n ＝2k(k ∈N *)， 故数列{a n }中各项都是正数，故S n a n≥1， 而当n ＝1时，S n a n＝1，故实数λ的最大值为1. 探究提高 1.一般地，对于数列问题，我们经常通过枚举数列中的前几项找规律，然后根据发现的规律来解题.第(2)小题本质上就是“由递推关系求通项公式”；第(3)小题，用的是：分离参数，分类讨论，用作差比较考察数列的单调性.2.第(2)问中，要注意等比数列的首项不能为0.3.若一个数列{a n }满足a n ＋1＝Aa n ＋B ，可以凑成一个等比数列，设等比数列的通项为a n ＋C ，则a n ＋1＋C ＝A (a n ＋C )，比较两式得C ＝B A －1(A ≠1). 【训练3】 (2019·苏州期末)已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.(1)是否存在实数λ，使得数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.(2)若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n ＞0的所有正整数n .解 (1)由已知，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋1＋(2n ＋1)＝13[a 2n －3(2n )]＋2n ＋1＝13a 2n ＋1.令a 2(n ＋1)－λ＝13(a 2n －λ)，得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋23λ，所以λ＝32. 此时，a 2－λ＝13＋1－32＝－16.所以存在λ＝32，使得数列{a 2n －λ}是等比数列.(2)由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是首项为－16，公比为13的等比数列， 所以a 2n －32＝－16·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－12·13n ， 即a 2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n . 由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1) ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3， 所以a 2n －1＋a 2n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n －6n ＋3＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－13n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6n ＋9.所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝13n －3n 2＋6n －1， 从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·13n －3n 2＋6n －52.因为13n 和－3n 2＋6n ＝－3(n －1)2＋3在n ∈N *时均单调递减，所以S 2n 和S 2n －1均各自单调递减.计算得S 1＝1，S 2＝73，S 3＝－73，S 4＝－89，所以满足S n ＞0的所有正整数n 的值为1和2.【新题感悟】 (2019·盐城模拟)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝λ，满足a 2n －1，a 2n －1＋1，a 2n －1＋2，…，a 2n 是等差数列(其中n ≥2，n ∈N )，且当n 为奇数时，公差为d ；当n 为偶数时，公差为－d .(1)当λ＝1，d ＝1时，求a 8的值；(2)当d ≠0时，求证：数列{|a 2n ＋2－a 2n |}(n ∈N *)是等比数列；(3)当λ≠1时，记满足a m ＝a 2的所有m 构成的一个单调递增数列为{b n }，试求数列{b n }的通项公式.(1)解 由λ＝1，d ＝1，所以a 2＝1，又a 2，a 3，a 4为等差数列且公差为－1，所以a 4＝a 2－2＝－1，又a 4，a 5，…a 8为等差数列且公差为1， 所以a 8＝a 4＋4＝3.(2)证明 当n ＝2k ＋1时，a 22k ，a 22k ＋1，a 22k ＋2，…，a 22k ＋1是等差数列且公差为d ，所以a 22k ＋1＝a 22k ＋22k d ， 同理可得a 22k ＝a 22k －1－22k －1d ，两式相加， 得a 22k ＋1－a 22k －1＝22k －1d ；当n ＝2k 时，同理可得a 22k ＋2－a 22k ＝－22k d ， 所以|a 2n ＋2－a 2n |＝2n d .又因为d ≠0，所以|a 2n ＋2－a 2n ||a 2n ＋1－a 2n －1|＝2n2n －1＝2(n ≥2)，所以数列{|a 2n ＋2－a 2n |}(n ∈N *)是以2为公比的等比数列. (3)解 因为a 2＝λ，所以a 4＝a 2－2d ＝λ－2d ， 由(2)知a 22k ＋1＝a 22k －1＋22k －1d ，所以a 22k ＋1＝a 22k －1＋22k －1d ＝a 22k －3＋22k －3d ＋22k －1d ， 依次下推，得a 22k ＋1＝a 21＋21d ＋23d ＋…＋22k －3d ＋22k －1d ， 所以a 22k ＋1＝λ＋23(22k －1)d ，当22k ＋1≤n ≤22k ＋2时，a n ＝a 22k ＋1－(n －22k ＋1)d ＝λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ＋33－n －23d ， 由a m ＝a 2，得m ＝22k ＋33－23， 所以b 2k ＋1＝22k ＋33－23，所以b n ＝2n ＋23－23(n 为奇数)；由(2)知a 22k ＋2＝a 22k －22k d ＝a 22k －2－22k －2d －22k d ， 依次下推，得a 22k ＋2＝a 22－22d －24d －…－22k －2d －22k d ， 所以a 22k ＋2＝λ－2d －4（22k －1）3d ，当22k ＋2≤n ≤22k ＋3时，a n ＝a 22k ＋2＋(n －22k ＋2)d ＝λ＋⎝⎛⎭⎪⎫n －22k ＋43－23d ， 由a m ＝a 2，得m ＝22k ＋43＋23，所以b 2k ＋2＝22k ＋43＋23. 所以b n ＝2n ＋23＋23(n 为偶数).综上所述，b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋23＋23（n 为偶数），2n ＋23－23（n 为奇数）.1.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，若对任意n ∈N *，都有1≤p (S n－4n )≤3，求实数p 的取值范围.解 令f (n )＝S n －4n ＝4n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4n ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n . 当n 为奇数时，f (n )＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 单调递减，则当n ＝1时，f (n )max ＝1；当n 为偶数时，f (n )＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 单调递增，则当n ＝2时，f (n )min ＝12； 所以对任意n ∈N *，都有1≤p (S n －4n )≤3， 即对任意n ∈N *，1S n －4n ≤p ≤3S n －4n，所以2≤p ≤3. 故p 的取值范围为[2，3].2.在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝an （n ＋1）2，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋ (－1)n b n ，求T n .解 (1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝an （n ＋1）2＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ·(n ＋1). 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时， T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n ) ＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n2（4＋2n ）2＝n （n ＋2）2，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝（n －1）（n ＋1）2－n (n ＋1)＝－（n ＋1）22.所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（n ＋1）22，n 为奇数，n （n ＋2）2，n 为偶数.3.(2019·徐州三模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ， 数列{b n }的公比为q ，则⎩⎨⎧b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.即⎩⎨⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ，解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝2， 所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1得S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n (n ＋2)，则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n （n ＋2），n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，∴T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n ) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1)＝1－12n ＋1＋2（1－4n ）1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1).4.(2019·连云港模拟)设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝12a 2n＋12a n .正项等比数列{b n }满足b 2＝a 2，b 4＝a 6. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎨⎧a n ，n ＝2k －1，b n ，n ＝2k ，其中k ∈N *.数列{c n }的前n 项和为T n ，求所有正整数m 的值，使得T 2mT 2m －1恰好为数列{c n }中的项. 解 (1)因为a n ＞0，当n ＝1时，a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1. 又S n ＝12a 2n ＋12a n ，故当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1， 两式相减并整理得12(a 2n －a 2n －1)－12(a n ＋a n －1)＝0. 又因为a n ＞0，所以a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1(n ≥2)，所以{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以a n ＝a 1＋(n －1)×1＝n . 设{b n }的公比为q (q ＞0).由b 2＝a 2，b 4＝a 6，得q 2＝b 4b 2＝a 6a 2＝3，所以q ＝ 3.所以b n ＝b 2·q n －2＝2·(3)n －2.(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝2k －1，2·3n 2－1，n ＝2k (k ∈N *)，所以T 2m ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2m －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2m ) ＝m （1＋2m －1）2＋2（1－3m ）1－3＝3m ＋m 2－1，T 2m －1＝T 2m －b 2m ＝3m ＋m 2－1－2×3m －1＝3m －1＋m 2－1， 所以T 2mT 2m －1＝3m ＋m 2－13m －1＋m 2－1＝3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1≤3，故若T 2m T 2m －1为{c n }中的项，则只能为c 1，c 2，c 3.①若3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝c 1＝1，则3m －1＝0，所以m 无解. ②若3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝c 2＝2，则3m －1＋1－m 2＝0， 显然m ＝1不合题意，m ＝2符合题意.当m ≥3时，令f (m )＝3m －1＋1－m 2，则f ′(m )＝3m －1ln 3－2m ， 设g (m )＝3m －1ln 3－2m ，则g ′(m )＝3m －1(ln 3)2－2＞0，即f ′(m )＝3m －1ln 3－2m 为增函数，故f ′(m )≥f ′(3)＞0，即f (m )为增函数，故f (m )＞f (3)＝1＞0. 故当m ≥3时方程3m －1＋1－m 2＝0无解， 即m ＝2是方程3m －1＋1－m 2＝0的唯一解.③若3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝c 3＝3，则m 2＝1，即m ＝1(舍负). 综上所述，m ＝1或m ＝2.5.(2019·徐州期末)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎩⎨⎧a n ＋2，n ＝2k －1，3a n ，n ＝2k (k ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2的正整数n 的值；(3)设数列{a n }的前n 项和为S n ，问是否存在正整数m ，n ，使得S 2n ＝mS 2n －1？若存在，求出所有的正整数对(m ，n )；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意，数列{a n }的奇数项构成以a 1＝1为首项，公差为2的等差数列；偶数项构成以a 2＝2为首项，公比为3的等比数列. 所以对任意正整数k ，a 2k －1＝2k －1，a 2k ＝2×3k －1.所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n ＝2k －1，2·3n 2－1，n ＝2k ，k ∈N *.(2)①当n 为奇数时，由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2， 得2×2×3n ＋12－1＝n ＋n ＋2，所以2×3n －12＝n ＋1，令f (x )＝2×3x －12－x －1(x ≥1)，由f ′(x )＝23×(3)x ×ln 3－1≥23×3×ln 3－1 ＝ln 3－1＞0，可知f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 所以f (x )≥f (1)＝0，所以当且仅当n ＝1时，满足2×3n －12＝n ＋1，即2a 2＝a 1＋a 3.②当n 为偶数时，由2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2， 得2(n ＋1)＝2×3n2－1＋2×3n ＋22－1，即n ＋1＝3n2－1＋3n 2，上式左边为奇数，右边为偶数，因此不成立. 综上，满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2的正整数n 的值只有1. (3)S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－3n ）1－3＝3n＋n 2－1，n ∈N *.S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3n －1＋n 2－1.假设存在正整数m ，n ，使得S 2n ＝mS 2n －1， 则3n ＋n 2－1＝m (3n －1＋n 2－1)， 所以3n －1(3－m )＝(m －1)(n 2－1)，(*) 从而3－m ≥0，所以m ≤3， 又m ∈N *，所以m ＝1，2，3.当m ＝1时，(*)式左边大于0，右边等于0，不成立；当m ＝3时，(*)式左边等于0，所以2(n 2－1)＝0，n ＝1，所以S 2＝3S 1； 当m ＝2时，(*)式可化为3n －1＝n 2－1＝(n ＋1)(n －1)，则存在k 1，k 2∈N ，k 1＜k 2，使得n －1＝3k 1，n ＋1＝3k 2且k 1＋k 2＝n －1， 从而3k 2－3k 1＝3k 1(3k 2－k 1－1)＝2，所以3k 1＝1，3k 2－k 1－1＝2， 所以k 1＝0，k 2－k 1＝1，于是n ＝2，S 4＝2S 3.综上可知，符合条件的正整数对(m ，n )只有两对：(2，2)，(3，1).6.(2019·泰州期中)已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝12，数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ∈N *)，数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1＝2b n . (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)是否存在自然数m ，使得对于任意n ∈N *，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n＜m －84恒成立？若存在，求出m 的最小值；(3)若数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1na n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为S n ＝n 2a n (n ∈N *)， 故当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2a n －1， 所以a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1， 所以(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1，即a n a n －1＝n －1n ＋1.又a 1＝12，所以a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ＋1·n －2n ·n －3n －1·…·24·13·12＝1n （n ＋1）.当n ＝1时，上式成立，故a n ＝1n （n ＋1）.因为b 1＝2，b n ＋1＝2b n ，所以{b n }是首项为2、公比为2的等比数列，故b n ＝2n . (2)由(1)知b n ＝2n ，则1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n＝1＋12＋122＋…＋12n ＝2－12n .假设存在自然数m ，使得对于任意n ∈N *，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n＜m －84恒成立，即2－12n ＜m －84恒成立.由m －84≥2，解得m ≥16.所以存在自然数m ，使得对于任意n ∈N *，n ≥2，有1＋1b 1＋1b 2＋…＋1b n＜m －84恒成立，此时，m 的最小值为16. (3)当n 为奇数时，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋13a 3＋…＋1na n ＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1) ＝[2＋4＋…＋(n ＋1)]＋(22＋24＋…＋2n －1) ＝2＋n ＋12·n ＋12＋4（1－4n －12）1－4＝n 2＋4n ＋34＋43(2n －1－1)；当n 为偶数时，T n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 1＋13a 3＋…＋1（n －1）a n －1＋(b 2＋b 4＋…＋b n )＝(2＋4＋…＋n )＋(22＋24＋…＋2n ) ＝2＋n 2·n 2＋4（1－4n2）1－4＝n 2＋2n 4＋43(2n －1).因此T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2＋4n ＋34＋43（2n －1－1），n 为奇数，n 2＋2n 4＋43（2n －1），n 为偶数.。