专题34 数列中的奇偶性问题
一、题型选讲
题型一、与奇偶性有关讨论求含参问题
含参问题最常用的方法就是把参数独立出来,要独立出来就要除以一个因式,此因式的正负与n 的奇偶性有关,因此要对n 进行奇偶性的讨论。
例1、(2015扬州期末）设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ＝4＋⎝⎛⎭⎫－1
2n －1,若对任意n ∈N *,都有1≤p (S n －4n )≤3,则实数p 的取值范围是________．
答案：[2,3]
思路分析 求参数的常用方法是分离参数,所以首先将参数p 进行分离,从而将问题转化为求函数f (n )＝S n
－4n 的最大值与最小值,再注意到题中含有⎝⎛⎭
⎫－1
2n －1,涉及负数的乘方,所以需对n 进行分类讨论． 令f (n )＝S n －4n ＝4n ＋1－⎝⎛⎭⎫－1
2n 1－⎝⎛⎭
⎫－12－4n ＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n . 当n 为奇数时,f (n )＝23⎣⎡⎦⎤1＋
⎝⎛⎭⎫12n 单调递减,则当n ＝1时,f (n )max ＝1； 当n 为偶数时,f (n )＝23⎣⎡⎦⎤1－
⎝⎛⎭⎫12n 单调递增,由当n ＝2时,f (n )min ＝12. 又
1S n －4n ≤p ≤3
S n －4n
,所以2≤p ≤3. 解后反思 本题的本质是研究数列的最值问题,因此,研究数列的单调性就是一个必要的过程,需要注意的
是,由于本题是离散型的函数问题,所以,要注意解题的规范性,“当n 为奇数时,f (n )＝23⎣⎡⎦
⎤1＋
⎝⎛⎭⎫12n ,单调递减,此时f (n )∈⎝⎛⎦⎤23，1；当n 为偶数时,f (n )＝2
3⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ,单调递增,此时f (n )∈⎣⎡⎭⎫12，1”的写法是不正确的,因为f (n )并不能取到⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤23，1＝⎣⎡⎦⎤
12，1内的所有值．
例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{a n }的各项均不为零．设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n }
的前n 项和为T n ,且3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n ∈N *.
(1) 求a 1,a 2的值；
(2) 证明：数列{a n }是等比数列；
(3) 若(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0对任意的n ∈N *恒成立,求实数λ的所有值．
思路分析 (1) 对3S 2n －4S n ＋T n ＝0,令n ＝1,2得到方程,解得a 1,a 2的值．
(2) 3S 2n －4S n ＋T n ＝0中,对n 赋值作差,消去T n ,再对n 赋值作差,消去S n ,从而得到a n ＋1＝－12a n ,证得数列{a n }是等比数列．
(3)先求出a n ＝⎝⎛⎭⎫－1
2n －1,由(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立,确定λ＝0适合,再运用反证法证明λ>0和λ<0不成立．
规范解答 (1)因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n ∈N *
. 令n ＝1,得3a 21－4a 1＋a 21＝0,因为a 1≠0,所以a 1＝1.
令n ＝2,得3(1＋a 2)2－4(1＋a 2)＋(1＋a 22)＝0,即2a 22＋a 2＝0,因为a 2≠0,所以a 2＝－12
.(3分) (2)解法1 因为3S 2n －4S n ＋T n
＝0, ① 所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0, ② ②－①得,3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0,
因为a n ＋1≠0,所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0, ③(5分) 所以3(S n ＋S n －1)－4＋a n ＝0(n ≥2), ④
当n ≥2时,③－④得,3(a n ＋1＋a n )＋a n ＋1－a n ＝0,即a n ＋1＝－12a n ,
因为a n ≠0,所以a n ＋1a n ＝－1
2
.
又因(1)知,a 1＝1,a 2＝－12,所以a 2a 1＝－1
2
,
所以数列{a n }是以1为首项,－1
2
为公比的等比数列．(8分)
解法2 因为3S 2n －4S n ＋T n
＝0,① 所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0,②
②－①得,3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0, 因为a n ＋1≠0,所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0, 所以3(S n ＋1＋S n )－4＋(S n ＋1－S n )＝0,(5分) 整理为S n ＋1－23＝－12⎝⎛⎭⎫S n －23,又S 1－23＝a 1－23＝1
3, 所以S n －23＝13·⎝⎛⎭⎫－12n －1,得S n ＝13·⎝⎛⎭⎫－12n －1＋2
3,
当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－1
2n －1
,而a 1＝1也适合此式,
所以a n ＝⎝⎛⎭
⎫－1
2n －1
,所以a n ＋1a n ＝－1
2
所以数列{a n }是以－1
2为公比的等比数列．(8分)
(3)解法1 由(2)知,a n ＝⎝⎛⎭
⎫－12n －1
.
因为对任意的n ∈N *,(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立, 所以λ的值介于n ⎝⎛⎭⎫－12n －1
和n ⎝⎛⎭
⎫－1
2n
之间． 因为n ⎝⎛⎭
⎫－1
2n －1
·n ⎝⎛⎭
⎫－1
2n
<0对任意的n ∈N *恒成立,所以λ＝0适合．(10分) 若λ>0,当n 为奇数时,n ⎝⎛⎭⎫－12n
<λ 2n －1 恒成立,从而有λ 2 n －1恒成立． 记p (n )＝n 2 2n (n ≥4),因为p (n ＋1)－p (n )＝（n ＋1）22n ＋1－n 22n ＝－n 2＋2n ＋12n ＋ 1<0, 所以p (n )≤p (4)＝1,即n 22n ≤1,所以n 2n ≤1 n (*), 从而当n ≥5且n ≥2λ时,有λ≥2n ≥n 2n －1,所以λ>0不符．(13分) 若λ<0,当n 为奇数时,n ⎝⎛⎭⎫－12n <λ ⎫－1 2n －1 恒成立,从而有－λ 2 n 恒成立． 由(*)式知,当n ≥5且n ≥－1λ 时,有－λ≥1n ≥n 2n ,所以λ<0不符．
