2020年数学分析教案华东师大版第五章导数和微分精编版
第五章导数和微分
教学目的：
1.使学生准确掌握导数与微分的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；
2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；
3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。
教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。
教学时数：16学时
§ 1 导数的概念（4学时）
教学目的：使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。
教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数
的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。
教学重点：导数的概念。
教学难点：导数的概念。
教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。
一、问题提出：导数的背景.
背景：曲线的切线；运动的瞬时速度.
二、讲授新课：
1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法.
有限增量公式:
例1 求
例2 设函数在点可导, 求极限
2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.
例3考查在点的可导情况.
3.导数的几何意义:
可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.
例4求曲线在点处的切线与法线方程.
4.可导与连续的关系:
5.导函数:函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法.
注意:等具体函数的导函数不能记为应记为
6.费马定理及达布定理
§ 2 求导法则（4学时）
教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。
教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。
教学重点：导数的四则运算法则、复合函数求导法则、反函数求导法；
教学难点：复合函数求导法则及复合函数导数的计算。
教学方法：以问题教学法为主，结合课堂练习。
一、复习引新：复习导数的概念等知识，并由此引入新课.
二、讲授新课：
（一）. 基本初等函数求导
推导基本初等函数的求导公式.
（二）.导数的四则运算法则: 推导导数四则运算公式.(只证“”和“”) 例1 求
例2 求 (
例3 求
例4 证明: ( 用商的求导公式证明 ).
例5 证明:
例6 证明: .
例7 求曲线在点处的切线方程.
（三）. 反函数的导数:推导公式并指出几何意义.
例8 证明反三角函数的求导公式. ( 只证反正弦 )
（四）. 复合函数求导法——链锁公式：
例9 设为实数，求幂函数的导数.
解
例10求和
例11求
例12 求
§ 3.参变量函数的导数（2学时）
教学目的：熟悉含参量函数的求导法则，并熟练进行此类函数的导数运算。
教学要求：会求由参数方程所给出的函数的导数，并注意与其它法则的综合应用。
教学重点：含参量方程的求导法则。
教学难点：含参量函数导数的计算。
教学方法：以问题教学为主，结合练习。
一.复习：导数公式及其运算法则.
二.讲授新课：
1.参变量函数的导数公式：
设函数可导且
证（法一）用定义证明.
（法二）由恒有或严格单调. ( 这些事实的证明将在下一章给出. ) 因此, 有反函数, 设反函数
为), 有用复合函数求导法, 并注意利用反函数求导公式. 就有
例1. 设求
2.取对数求导法:
例2. 设求
例3.设求
例4. 设求
3..抽象函数求导:
例5.求和
例6若可导, 求.
§ 4 高阶导数（2学时）
教学目的：了解高阶导数的定义，熟悉高阶导数的计算。
教学要求：掌握高阶导数与高阶微分的定义，会求高阶导数与高阶微分。能正确理解和运用一阶微分的形式不变性，并与高阶微分清楚地加以区分。
教学重点：高阶导数（微分）的计算。
教学难点：高阶导数（微分）的计算。
教学方法：以问题教学为主，结合练习。
一. 高阶导数:
定义:
注意区分符号和
以函数为例介绍高阶导数计算方法.
高阶导数的记法.
二. 几个特殊函数的高阶导数:
1.多项式: 多项式的高阶导数.
例1求和.
2. 正弦和余弦函数:计算、、、
的公式.
3．和的高阶导数：
4．的高阶导数：
5．的高阶导数：
6．分段函数在分段点的高阶导数：以函数求为例.
三. 高阶导数的运算性质: 设函数和均阶可导. 则1．
2．
3．乘积高阶导数的Leibniz公式：约定
（介绍证法.）
例2求
解
例3求
解
