天津理工电路习题及答案-第六章--一阶电路

；而uL(0-)=0V
图6.1(c)
注意：电感电压在换路瞬间发生了跃变，即：
【例题2】：直流稳态时电感相当于短路，电容相当于断路。
图6.2(a)所示电路在t＜0时处于稳态，t=0时闭合开关，求电感电压uL(0+)和电容电流iC(0+)
图6.2(a)图6.2（b）
解：(1)将电路中的电感短路，电容开路，画出t=0-时刻的等效电路如图6.2(b)所示，
8.冲激响应
所谓单位冲激响应，就是动态电路对于单位冲激函数输入[δ(t)]的零状态响应。
所谓冲激响应，就是动态电路对于冲激函数输入[Aδ(t)]的零状态响应。
理解单位冲激函数（又称δ函数）的数学表达形式，以及任意时刻t0的冲激函数[Aδ(t-t0)]。
单位Байду номын сангаас激函数的主要性质：
①单位冲激函数对时间的积分等于单位阶跃函数。
图6.29
【题22】：图6.30所示含受控源电路中 ，求 ， 。
图6.30
【题23】：图6.31所示含受控源电路在 时已达稳态。当 时开关断开，求 、 ， 。
图6.31
【题24】：已知RC电路对单位阶跃电流的零状态响应为 ，
则该电路对图6.32所示输入电流的零状态响应为。
图6.32
第六章一阶电路
题1：（t=0+时刻的等效电路）2.5A；1.5V
【例题5】：图6.5所示电路原来处于稳定状态，t=0时打开开关K，求t＞0后的电感电流iL和电压uL。
图6.5
解：这是一个一阶RL电路全响应问题，电感电流的初始值为：
时间常数为：
因此零输入响应为：
零状态响应为：
全响应为：
也可以求出稳态分量：
则全响应为：
代入初值有：6＝2＋A，得：A=4
【例题6】：图6.6.1所示电路原来处于稳定状态，t=0时开关闭合，求t＞0后的电容电压uC并画出波形图。
所谓阶跃响应，就是动态电路对于阶跃函数输入[Aε(t)]的零状态响应。
理解单位阶跃函数的数学表达形式，以及任意时刻t0的阶跃函数[Aε(t-t0)]，也称为延迟阶跃函数。
单位阶跃函数的主要性质：
①可以用来“起始”任意一个函数f(t)。
②可以用来描述矩形脉冲。
③阶跃函数对时间的一阶导数等于冲激函数。
单位阶跃响应与直流激励的响应相同。
图6.1(a)所示电路在t＜0时电路处于稳态，求t= 0时闭合开关后电感电压uL(0+)。
解：(1)首先由图6.1(b)t=0－电路求电感电流，此时电感处于短路状态，
图6.1(a)图6.1(b)
(2)由换路定律得：
则： iL(0+) =iL(0－)= 2A
(3)画出t=0+时刻的等效电路如图6.1(c)所示，电感用2A电流源替代，解得：
(a) (b) (c)
图6.10
则：
t = RC
根据单位冲激响应与单位阶跃响应之间的关系,当 时有：
根据冲击函数的筛分性质：
上式等号右边第一项为零，最后得：
图6.10(b)(c)分别给出了阶跃响应和冲激响应的波形。
【例题11】：求图6.11所示电路电容加冲击激励后的电压。
（a）（b）
图6.11
解：
电容电流和电容电压随时间变化的波形如图（b）所示。
则电路的 ____ ， _____H， _____ms，电感的初始储能=_______J。
图6.22
【题13】：图6.23所示电路中 ，则 时的 等于答（）
A. ；B. ；√C. ；D.
图6.23
【题14】：电路如图6.24所示，开关于 时闭合，闭合前电路已处于稳态，求 时的 。
图6.24
【题15】：若图6.25所示RC电路的零状态响应 （ ）； （ ）。
①RC电路：uC(t) =uC(∝)+[uC(0+uC(∝))e-(1/τ)t。
②LC电路：iL(t) =iL(∝)+[iL(0+)-iL(∝)]e-(1/τ)t。
以上两个式子是三要素法公式的具体应用。对于非状态变量同样适用。
7.阶跃响应
所谓单位阶跃响应，就是动态电路对于单位阶跃函数输入[ε(t)]的零状态响应。
第六章一阶电路
——经典分析法（微分方程描述）
——运算分析法（代数方程描述）见第十三章
一、重点和难点
1.动态电路方程的建立和动态电路初始值的确定；
2.一阶电路时间常数、零输入响应、零状态响应、冲激响应、强制分量、自由分量、稳态分量和暂态分量的概念及求解；
3.求解一阶电路的三要素方法；
电路初始条件的概念和确定方法；
图6.3(c)
【例题4】：图6.4所示电路在t=0时，闭合开关K，已知uC(0－)=0。
求：(1)电容电压和电流；
(2)电容充电至uC＝80V时所花费的时间t。
图6.4
解：(1)这是一个RC电路零状态响应问题，时间常数为：
t＞0+后，电容电压为：
充电电流为：
(2)设经过t1秒，uC＝80V，即：
解得：t1=8.045ms
则 ________mA，R=_________k ，C=_________ ， _________ms。
图6.25
【题16】：电路某一阶原来的零输入响应分量为 ，零状态响应分量为 。当激励电源电压变为原值的三倍时，则全响应 _______________。
【题17】：图6.26所示电路在 时，
（1）若 ， ， ____________________________。
4.零输入响应（又称放电过程）
所谓零输入响应，即输入信号为零，而是由电路中动态元件的初始值（初始储能）引起的响应。
①RC电路：uC(t) =uC(0+)e-(1/τ)t。
②LC电路：iL(t) =iL(0+)e-(1/τ)t。
5.零状态响应（又称充电过程）
所谓零状态响应，即初始状态为零，输入不等于零，而是由电路中输入信号引起的响应。
②对电感元件，如iL(0-) = 0，则把电感元件开路；如iL(0-)≠0，则用理想电流源（其数值为iL(0-)）替代电感元件。
画t=0+时刻等效电路的应用：
一般情况下，求解电路换路后非状态变量的初始值，然后利用三要素法求解非状态变量的过渡过程。
3.时间常数τ
①物理意义：衡量过渡过程快慢的技术指标(即等于一阶微分方程的特征方程的特征根)。仅取决于电路的结构和元件的参数。
②取样性质，即冲激函数可以把一个函数在某一时刻的“筛”出来。
③当把一个单位冲激电流[δi(t)A]加到初始电压为零且C =1F的电容上，其电容电压瞬间从零跃变到1V。
④当把一个单位冲激电压[δi(t)V]加到初始电流为零且L = 1H的电感上，其电感电流瞬间从零跃变到1A。
二、典型例题分析
【例题1】：动态电路换路后初始值的求解。
②几何意义：状态变量变化曲线中时间坐标轴上任意一点次切距的长度（即曲线上任意一点，如果以该点的斜率为固定变化率衰减，则经过τ时间后为零值）。
③单位：m(秒)、ms(毫秒)。
④τ的计算：RC电路，τRC=ReqC；RL电路，τLC=L/Req。
⑤注意问题：Req是状态元件两端的等效电阻。如含有受控电源，在求等效电阻时需采用“加压求流法”。
三、典型习题
【题1】：图6.12所示电路为 时的电路,已知 V, A,则 =____A； ____V。
图6.12
【题2】：图6.13所示电路中，已知 ， V，则 ______； ______。
图6.13
【题3】：图6.14所示电路在换路前处于稳态， 时开关接通，则
_____； ______； _____； ______。
图6.17
【题7】：电路如图6.18所示，则电路的时间常数等于答（）
A. ；B. ；C. ；D.
图6.18
【题8】：图6.19所示含受控源电路中转移电导 ，电路的时间常数为答（）
A. ;B.0.5s;C.1s;D. 1.1s。
图6.19
【题9】：图6.20所示含受控源电路的时间常数为_____________。
1.换路定理（换路规则）
仅对动态元件（又称储能元件）的部分参数有效。
①电容元件：uC(0-) =uC(0+)；（即：qC(0-) =qC(0+)）；iC(0-)≠iC(0+)。
②电感元件：iL(0-) =iL(0+)；（即：ΨL(0-) =ΨL(0+)）；uC(0-)≠uC(0+)。
③电阻元件：uR(0-)≠uR(0+)；iR(0-)≠iR(0+)。
图6.14
【题4】：图6.15所示电路在 时已达稳态， 时开关断开，则 =___， ____， ____。
图6.15
【题5】：图6.16所示电路中， 时开关打开，打开前电路已处于稳态。 时 和 之值分别为：答（）
A. V， ；B. V， ；C. V，0；D. V，-
图6.16
【题6】：图6.17所示电路在 时已达稳态， 时开关接通，则 =______， =______。
电感电路的三要素为：
初始值：
稳态值：
时间常数：
代入三要素公式得：
因此：
【例题9】：用阶跃函数表示图6.9所示函数f（t）。
(a) (b) (c)
图6.9
解：
(a)图：
(b)图：
(c)图：
【例题10】：电路如图6.10(a)所示，求：电源is(t)为单位冲激时的电路响应uC(t)和iC(t)。
解：先求电路的单位阶跃响应,令：
则： ；
(2)画出t=0+等效电路如图6.2(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：
∵
则：
图6.2(c)
【例题3】：求图6.3(a)所示电路在开关闭合瞬间各支路电流和电感电压。
图6.3(a)图6.3(b)
解：(1)把图6.3(a)电路中的电感短路，电容开路，如图6.3(b)所示，则：
(2)画出t=0+等效电路如图6.3(c)所示，电感用电流源替代，电容用电压源替代解得：
图6.6.1图6.6.2
解：这是一个一阶RC电路全响应问题，
应用三要素法，
电容电压的初始值为：
稳态值为：
时间常数为：
代入三要素公式：
随时间变化的波形如图6.6.2所示。
【例题7】：图6.7.1所示电路原来处于稳定状态，t=0时开关由1合到2，求换路后的电容电压uC(t)。
图6.7.1图6.7.2
解：这是一个一阶RC电路全响应的问题，应用三要素法求。
图6.20
【题10】：一阶电路的电压按指数律衰减，当 时为15V， 时为6V，则电路的时间常数 为
A. 0.458s；B. 2.18s；C. 0.2s；D. 0.1s答（）
【题11】：电路如图6.21所示，开关闭合后电路的时间常数 为____________。
图6.21
【题12】：若如图6.22所示RL电路的零输入响应 ， ； ，
①RC电路：uC(t) =US（1-e-(1/τ)t）。
②LC电路：iL(t) =IS（1-e-(1/τ)t）。
6.全响应（又称充放电过程）
所谓全响应，即初始状态不为零，输入不等于零，而是由电路中输入信号和初始值（初始储能）引起的响应。
三要素法：f(t)=f(∝)+[f(0+)-f(∝)] e-(1/τ)t或f(t)=f(0+)e-(1/τ)t+f(∝)(1- e-(1/τ)t)。
（2）___________________________。
【题19】：图6.27所示电路中 ，则 的 等于：答( )
A. ；B. ；C. ；D.
图6.27
【题20】：图6.28所示电路原已处于稳态，当 时开关闭合，求 ， ， 。
图6.28
【题21】：图6.29所示电路中 。当 时开关断开。求 的 。
因此，又称电容的电压、电感的电流为状态变量。电容的电流、电感的电压、电阻的电压和电流为非状态变量。如非状态变量的数值变化前后出现相等的情况则视为一种巧合，并非是一种规则。
2.画t=0+时刻的等效电路
画t=0+时刻等效电路的规则：
①对电容元件，如uC(0-) = 0，则把电容元件短路；如uC(0-)≠0，则用理想电压源（其数值为uC(0-)）替代电容元件。
（2）若 V， ， ____________________________。
（3）若 V， ， __________________________。
图6.26
【题18】：已知一阶电路响应的三要素为：
（1） ， ， ；
（2） ， ， 。则它们的波形图为：
（1）__________________________；
题2：（t=0+时刻的等效电路）25 ；10
题3：0；2 A；0；2 A
题4：2.5 A;7.5 V;1.25 A
初始值：
稳态值：
时间常数为：
由于含有受控源，所以应用图6.7.2所示电路求等效电阻：
代入三要素公式得：
【例题8】：图6.8.1所示电路原本处于稳定状态，t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t)。
图6.8.1
解：开关闭合后电路分为两个一阶电路，应用三要素法，
电容电路的三要素为：
初始值：
稳态值：
时间常数：