第八讲-马尔科夫预测法
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P(k) = Pk
➢ 举例
• 例6.7（130页） 为了解顾客对A，B，C三种 不同品牌洗衣粉的购买倾向，市场调查小组进 行了购买倾向调查。在本月购买A，B，C品牌 的顾客中分别调查了100人，150人和120人， 了解他们在下月的购买倾向。调查结果用矩阵 表示如下：
1A 2B 2B
1A 40 30 30 2B 60 30 60 3C 60 30 30
其中，第一行表示在本月购买A品牌的100 人中有40人在下月仍打算购买A品 牌，而打 算转向购买B和C品牌的人都是30。第二行 ，第三行类同。要求: ① 写出状态转移概率矩阵； ② 求购买 C品牌的顾客在未来第二个月购 买A品牌和B品牌的概率。 解：① 题中所给的矩阵也称状态转移频数矩阵， 用频数矩阵的各行频数分别除以各行频数之 和，得状态转移概率矩阵如下：
6.1.3 一步转移概率矩阵
➢ 一步转移概率
• 定义 设 Zt , t∈T 是一马尔科夫链，其中T={0，1 ，2，··· }； S={1，2， ···，n },则称在Zt = i的条 件下， Zt+1 = j的条件概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}称为由 状态i到状态j的一步转移概率。
➢ 平稳的马尔科夫链
第六章 马 尔 科 夫 预 测 法
• 马尔科夫链及转移概率 • 转移概率矩阵的固定点 • 马尔科夫链在经济预测
等方面的应用 • 吸收态马尔科夫链及其应用
6.1 马尔科夫链及转移概率
6.1.1 随机过程 ➢ 随机过程
• 定义 如果对每个给定的时间 t∈T，Z(t) 都是一 随机变量，我们就称 Z(t), t∈T是一个随机过程
• 定义 如果马尔科夫链的一步转移概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}与时间t无关，则称马尔科夫链是平稳的。以 后我们提到的马尔科夫链都是平稳的马尔科夫链。 并记一步转移概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}=为pij
➢ 一步转移概率矩阵
• 定义 设 Zt , t∈T 是一平稳的马尔科夫链， 其中T={0，1，2，··· }； S={1，2， ···，n
0.425
0.255 0.26 0.2625
0.315
0.3
0.3125
所以，购买C品牌的顾客在未来第二个月购买A
品牌、B品牌的概率分别为0.42初始分布与绝对分布 ➢ 初始分布与绝对分布
• 定义 设马尔科夫链Zt , t∈T={0,1,2, ···} 的状态 空间为 S={1，2， ···，n }，则Z0的概率分布
➢ “无后效性”
• 定义 “无后效性”是指时间序列将来处于什么状 态只与它现在所处的状态有关，与它过去处于什么 状态无关。
马尔可夫预测方法
马尔科夫预测方法就是根据某些变量的现在 状态及其变化趋向，来预测它在未来某一特 定期间可能出现的状态，从而提供某种决策 的依据。 马尔科夫预测基本方法是用转移概率矩阵进 行预测和决策。
1A 2B
1A 0.4 0.3 2B 0.4 0.2 3C 0.5 0.25
2B
0.3
0.4
0.25
0.4 0.3 0.3 0.4 0.3 0.3
② 因为 P(2) P2 0.4 0.2
0.4
0.4
0.2
0.4
0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25
0.43
0.44
• 类型 随机过程可分为以下四类： ① 连续型随 机过程； ② 离散型随机过程；③ 连续型随机 序列；④ 离散型随机序列，离散型随机序列也 称时间序列。
6.1.2 马尔科夫链
➢ 马尔科夫链
• 定义 具有“无后效性”的时间序列 Z(t) ，t∈T称 为马尔科夫链。马尔科夫链的时间参数空间通常取 T={0，1，2，··· }， Z(t) 习惯上记为Zt , Zt的所有 可能取值构成的集合称为时间序列的状态空间，记 为S。通常设S是一个整数集合。
}步,则转称移由概一率步矩转阵移。概率pij构成的矩阵Pjn1 p为ij 一
• 性质 一步转移概率矩阵P具有如下两条性
质：⑴ pij≥0；⑵
n
pij 1
j 1
• 含义 一步转移概率矩阵P的第i 行元素描述
了t 时刻状态 i 向t+1 时刻系统内各状态转移
的可能性。
6.1.4 k步转移概率矩阵
➢ K步转移概率矩阵
• 定义 设 Zt , t∈T 是一平稳的马尔科夫链，状态 空间为 S={1，2， ···，n },称pij （k）=P{Zt+k= j｜ Zt = i} 为马尔科夫链的k步转移概率，由pij （k）， i=1,2, ···，n , j=1,2, ···，n 构成的矩阵P(k)为马尔 科夫链的k步转移概率矩阵。即
p10 P{Z0 1}, p20 P{Z0 2},
称为马尔科夫链Zt , t∈T的初始分布； Zt的概率 分布
p1t P{Zt 1}, p2t P{Zt 2},
称为马尔科夫链Zt , t∈T在t时刻的绝对分布。初始 分布和t时刻的绝对分布分别用行向量
p0 ( p10 , p20 ,, pn0 ) 和 pt ( p1t , p2t ,, pnt )
0.6 0.1 0.3
（1）若初始分布为（0.2，0.2，0.6），求t = 1 时的 绝对分布。 （2）初始分布为（0.5，0.25，0.25），求任意时 刻t 时的绝对分布。
解：（1） 因为
P11k
Pk
P21
k
PN1 k
P12 k P22 k
PN2 k
P1N k P2N k
PNN k
其中P(k)的第i 行元素描述的是在t 时刻Zt 处于i 状态的条件下，t+k 时刻Zt 处于各状
态的概率。 • 性质 设P是马尔科夫链的一步转移概率矩
阵， P(k)是马尔科夫链的K步转移概率矩 阵， 则
表示。并称概率分布构成的行向量为概率向量。 • 结论 马尔科夫链Zt , t∈T在t 时刻的绝对分布等
于初始分布与一步转移概率矩阵t次幂的乘积，即
pt p0Pt
其中P是一步转移概率矩阵。
• 举例 例6.8（133页）设马尔科夫链的一步转移概率矩阵 为
0.4 0.3 0.3 P 0.6 0.3 0.1
➢ 举例
• 例6.7（130页） 为了解顾客对A，B，C三种 不同品牌洗衣粉的购买倾向，市场调查小组进 行了购买倾向调查。在本月购买A，B，C品牌 的顾客中分别调查了100人，150人和120人， 了解他们在下月的购买倾向。调查结果用矩阵 表示如下：
1A 2B 2B
1A 40 30 30 2B 60 30 60 3C 60 30 30
其中，第一行表示在本月购买A品牌的100 人中有40人在下月仍打算购买A品 牌，而打 算转向购买B和C品牌的人都是30。第二行 ，第三行类同。要求: ① 写出状态转移概率矩阵； ② 求购买 C品牌的顾客在未来第二个月购 买A品牌和B品牌的概率。 解：① 题中所给的矩阵也称状态转移频数矩阵， 用频数矩阵的各行频数分别除以各行频数之 和，得状态转移概率矩阵如下：
6.1.3 一步转移概率矩阵
➢ 一步转移概率
• 定义 设 Zt , t∈T 是一马尔科夫链，其中T={0，1 ，2，··· }； S={1，2， ···，n },则称在Zt = i的条 件下， Zt+1 = j的条件概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}称为由 状态i到状态j的一步转移概率。
➢ 平稳的马尔科夫链
第六章 马 尔 科 夫 预 测 法
• 马尔科夫链及转移概率 • 转移概率矩阵的固定点 • 马尔科夫链在经济预测
等方面的应用 • 吸收态马尔科夫链及其应用
6.1 马尔科夫链及转移概率
6.1.1 随机过程 ➢ 随机过程
• 定义 如果对每个给定的时间 t∈T，Z(t) 都是一 随机变量，我们就称 Z(t), t∈T是一个随机过程
• 定义 如果马尔科夫链的一步转移概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}与时间t无关，则称马尔科夫链是平稳的。以 后我们提到的马尔科夫链都是平稳的马尔科夫链。 并记一步转移概率P{Zt+1 = j｜ Zt = i}=为pij
➢ 一步转移概率矩阵
• 定义 设 Zt , t∈T 是一平稳的马尔科夫链， 其中T={0，1，2，··· }； S={1，2， ···，n
0.425
0.255 0.26 0.2625
0.315
0.3
0.3125
所以，购买C品牌的顾客在未来第二个月购买A
品牌、B品牌的概率分别为0.42初始分布与绝对分布 ➢ 初始分布与绝对分布
• 定义 设马尔科夫链Zt , t∈T={0,1,2, ···} 的状态 空间为 S={1，2， ···，n }，则Z0的概率分布
➢ “无后效性”
• 定义 “无后效性”是指时间序列将来处于什么状 态只与它现在所处的状态有关，与它过去处于什么 状态无关。
马尔可夫预测方法
马尔科夫预测方法就是根据某些变量的现在 状态及其变化趋向，来预测它在未来某一特 定期间可能出现的状态，从而提供某种决策 的依据。 马尔科夫预测基本方法是用转移概率矩阵进 行预测和决策。
1A 2B
1A 0.4 0.3 2B 0.4 0.2 3C 0.5 0.25
2B
0.3
0.4
0.25
0.4 0.3 0.3 0.4 0.3 0.3
② 因为 P(2) P2 0.4 0.2
0.4
0.4
0.2
0.4
0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25
0.43
0.44
• 类型 随机过程可分为以下四类： ① 连续型随 机过程； ② 离散型随机过程；③ 连续型随机 序列；④ 离散型随机序列，离散型随机序列也 称时间序列。
6.1.2 马尔科夫链
➢ 马尔科夫链
• 定义 具有“无后效性”的时间序列 Z(t) ，t∈T称 为马尔科夫链。马尔科夫链的时间参数空间通常取 T={0，1，2，··· }， Z(t) 习惯上记为Zt , Zt的所有 可能取值构成的集合称为时间序列的状态空间，记 为S。通常设S是一个整数集合。
}步,则转称移由概一率步矩转阵移。概率pij构成的矩阵Pjn1 p为ij 一
• 性质 一步转移概率矩阵P具有如下两条性
质：⑴ pij≥0；⑵
n
pij 1
j 1
• 含义 一步转移概率矩阵P的第i 行元素描述
了t 时刻状态 i 向t+1 时刻系统内各状态转移
的可能性。
6.1.4 k步转移概率矩阵
➢ K步转移概率矩阵
• 定义 设 Zt , t∈T 是一平稳的马尔科夫链，状态 空间为 S={1，2， ···，n },称pij （k）=P{Zt+k= j｜ Zt = i} 为马尔科夫链的k步转移概率，由pij （k）， i=1,2, ···，n , j=1,2, ···，n 构成的矩阵P(k)为马尔 科夫链的k步转移概率矩阵。即
p10 P{Z0 1}, p20 P{Z0 2},
称为马尔科夫链Zt , t∈T的初始分布； Zt的概率 分布
p1t P{Zt 1}, p2t P{Zt 2},
称为马尔科夫链Zt , t∈T在t时刻的绝对分布。初始 分布和t时刻的绝对分布分别用行向量
p0 ( p10 , p20 ,, pn0 ) 和 pt ( p1t , p2t ,, pnt )
0.6 0.1 0.3
（1）若初始分布为（0.2，0.2，0.6），求t = 1 时的 绝对分布。 （2）初始分布为（0.5，0.25，0.25），求任意时 刻t 时的绝对分布。
解：（1） 因为
P11k
Pk
P21
k
PN1 k
P12 k P22 k
PN2 k
P1N k P2N k
PNN k
其中P(k)的第i 行元素描述的是在t 时刻Zt 处于i 状态的条件下，t+k 时刻Zt 处于各状
态的概率。 • 性质 设P是马尔科夫链的一步转移概率矩
阵， P(k)是马尔科夫链的K步转移概率矩 阵， 则
表示。并称概率分布构成的行向量为概率向量。 • 结论 马尔科夫链Zt , t∈T在t 时刻的绝对分布等
于初始分布与一步转移概率矩阵t次幂的乘积，即
pt p0Pt
其中P是一步转移概率矩阵。
• 举例 例6.8（133页）设马尔科夫链的一步转移概率矩阵 为
0.4 0.3 0.3 P 0.6 0.3 0.1