2015年天津高考数学试题及图片答案

2015年天津市高考数学试卷（理科）及解析2015年天津市高考数学试卷(理科)一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1((5分)(2015•天津)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A??B=( ) UA({2 ，5} B( {3，6} C( {2，5，6} D({2 ，3，5，6，8}2((5分)(2015•天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( )A( B( C( D( 3 4 18 403((5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A(, 10 B( C( D( 6 14 1824((5分)(2015•天津)设x=R，则“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的( ) A(充分而不必要条件 B( 必要而不充分条件C( 充要条件 D(既不充分也不必要条件5((5分)(2015•天津)如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为( ) 第1页(共21页)A( B( C( D( 36((5分)(2015•天津)已知双曲线,=1 (a,0，b,0)的一条渐近线过点(2，)，2且双曲线的个焦点在抛物线y=4x的准线上，则双曲线的方程为( ) A( B(,=1 ,=1C( D(,=1 ,=1,|xm|((5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2,1(m为实数)为偶函数，7记a=f(log3)，b=f(log5)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) 0.52 A(a ,b,c B( a,c,b C( c,a,b D(c ,b,a8((5分)(2015•天津)已知函数f(x)=，函数g(x)=b,f(2,x)，?R，若函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( ) 其中bA( B( C( D( (，+?) (,?，) (0，) (，2)二.填空题(每小题5分，共30分)9((5分)(2015•天津)i是虚数单位，若复数(1,2i)(a+i)是纯虚数，则实数a 的值为 (10((5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)，则该几何体的体积为 3m(第2页(共21页)211((5分)(2015•天津)曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 (6212((5分)(2015•天津)在(x,)的展开式中，x的系数为 (13((5分)(2015•天津)在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(已知?ABC的面积为3，b,c=2，cosA=,，则a的值为 (14((5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB?DC，AB=2，BC=1，?ABC=60?(动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为 (三.解答题(本大题共6小题，共80分)2215((13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sinx,sin(x,)，x?R( (?)求f(x)的最小正周期;(?)求f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值(16((13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛( (?)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求该情况发生的概率;(?)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望( 17((13分)(2015•天津)如图，在四棱柱ABCD,ABCD中，侧棱AA?底面ABCD，11111AB?AC，AB=1，AC=AA=2，AD=CD=，且点M和N分别为BC和DD的中点( 111(?)求证:MN?平面ABCD(?)求二面角D,AC,B的正弦值; 11第3页(共21页)(?)设E为棱AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段AE111的长(*18((13分)(2015•天津)已知数列{a}满足a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，nn+2n1a=2且a+a，a+a，a+a成等差数列(1)求q的值和{a}的通项公式; 2233445n*(2)设b=，n?N，求数列{b}的前n项和( nn19((14分)(2015•天津)已知椭圆,=1(a,b,0)的左焦点为F(,c，0)，离心22，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x率为+y=截得的线段的长为c，|FM|=((?)求直线FM的斜率;(?)求椭圆的方程;(?)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围(n•20((14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx,x，x?R，其中n?N，且n?2( (?)讨论f(x)的单调性;(?)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的焦点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证:对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x);(?)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x，x，求证:|x,x|,+2( 1221第4页(共21页)2015年天津市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一.选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1((5分)(2015•天津)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A??B=( ) UA({2 ，5} B( {3，6} C( {2，5，6} D({2 ，3，5，6，8}考点:交、并、补集的混合运算(专题:集合(分析:由全集 U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可; 解答:解: ?全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，??B={2，5，8}， U则A??B={2，5}( U故选:A(点评:此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键(2((5分)(2015•天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z=x+6y的最大值为( )A( B( C( D( 3 4 18 40考点:简单线性规划(专题:不等式的解法及应用(分析:作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定 z的最大值(解答:解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)(由z=x+6y得y=,x+z，平移直线y=,x+z，由图象可知当直线y=,x+z经过点A时，直线y=,x+z的截距最大，此时z最大(由，解得，即A(0，3)将A(0，3)的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18(即z=x+6y的最大值为18(第5页(共21页)故选:C(点评:本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法(3((5分)(2015•天津)阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A(, 10 B( C( D( 6 14 18考点:程序框图(专题:图表型;算法和程序框图(分析:模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 i，S的值，当i=8时满足条件i,5，退出循环，输出S的值为6(解答:解:模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i,5，i=4，S=14不满足条件i,5，i=8，S=6满足条件i,5，退出循环，输出S的值为6(故选:B(点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S 的值是解题的第6页(共21页)关键，属于基础题(24((5分)(2015•天津)设x=R，则“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的( ) A(充分而不必要条件 B( 必要而不充分条件 C( 充要条件 D(既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断(专题:简易逻辑(分析:根据不等式的性质，结婚充分条件和必要条件的定义进行判断即可( 解答:解:由“|x,2|,1”得1,x,3，2由x+x,2,0得x,1或x,,2，2即“|x,2|,1”是“x+x,2,0”的充分不必要条件，故选:A(点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础(5((5分)(2015•天津)如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE 分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为( )A( B( C( D( 3考点:与圆有关的比例线段(专题:选作题;推理和证明(分析:由相交弦定理求出 AM，再利用相交弦定理求NE即可( 解答:解:由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，?2×4=AM•2AM，?AM=2，?MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，?3×NE=4×2，?NE=(故选:A(点评: 本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础(6((5分)(2015•天津)已知双曲线,=1 (a,0，b,0)的一条渐近线过点(2，)，2且双曲线的个焦点在抛物线y=4x的准线上，则双曲线的方程为( )第7页(共21页)A( B(,=1 ,=1C( D(,=1 ,=1考点:双曲线的标准方程(专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析:由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在 x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程(解答: 解:由题意，=，22?抛物线y=4x的准线方程为x=,，双曲线的一个焦点在抛物线y=4x的准线上，?c=，222?a+b=c=7，?a=2，b=，?双曲线的方程为(故选:D(点评:本题主要考查双曲线和抛物线的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题(,|xm|7((5分)(2015•天津)已知定义在R上的函数f(x)=2,1(m为实数)为偶函数，记a=f(log3)，b=f(log5)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为( ) 0.52 A(a ,b,c B( a,c,b C( c,a,b D(c ,b,a考点:函数单调性的性质(专题:函数的性质及应用(|x|分析: 根据f(x)为偶函数便可求出m=0，从而f(x)=2,1，这样便知道f(x)在[0，+?)上单调递增，根据(fx)为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+?)上:a=f(|log3|)，0.5b=f(log5)，c=f(0)，然后再比较自变量的值，根据f(x)在[0，+?)上的单调性2即可比较出a，b，c的大小(解答:解: ?f(x)为偶函数;?f(,x)=f(x); ,,,|xm||xm|?2,1=2,1;?|,x,m|=|x,m|;22(,x,m)=(x,m);?mx=0;?m=0;|x|?f(x)=2,1;第8页(共21页)?f(x)在[0，+?)上单调递增，并且a=f(|log3|)=f(log3)，b=f(log5)，c=f0.522(0);?0,log3,log5; 22?c,a,b(故选:C(点评:考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，+?)上，根据单调性去比较函数值大小(对数的换底公式的应用，对数函数的单调性，函数单调性定义的运用(8((5分)(2015•天津)已知函数f(x)=，函数g(x)=b,f(2,x)，其中b?R，若函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是( ) A( B( C( D( (，+?) (,?，) (0，) (，2)考点:根的存在性及根的个数判断(专题:函数的性质及应用(分析:求出函数 y=f(x),g(x)的表达式，构造函数h(x)=f(x)+f(2,x)，作出函数h(x)的图象，利用数形结合进行求解即可(解答: 解:?g(x)=b,f(2,x)，?y=f(x),g(x)=f(x),b+f(2,x)，由f(x),b+f(2,x)=0，得f(x)+f(2,x)=b，设h(x)=f(x)+f(2,x)，若x?0，则,x?0，2,x?2，2则h(x)=f(x)+f(2,x)=2+x+x，若x?0，则,x?0，2,x?2，2则h(x)=f(x)+f(2,x)=2+x+x，若0?x?2，则,2?x?0，0?2,x?2，则h(x)=f(x)+f(2,x)=2,x+2,|2,x|=2,x+2,2+x=2，若x,2，,x,0，2,x,0，22则h(x)=f(x)+f(2,x)=(x,2)+2,|2,x|=x,5x+8(即h(x)=，作出函数h(x)的图象如图:22当x?0时，h(x)=2+x+x=(x+)+?，22当x,2时，h(x)=x,5x+8=(x,)+?，故当b=时，h(x)=b，有两个交点，当b=2时，h(x)=b，有无数个交点，第9页(共21页)由图象知要使函数y=f(x),g(x)恰有4个零点，即h(x)=b恰有4个根，则满足,b,2，故选:D(点评:本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键(二.填空题(每小题5分，共30分)9((5分)(2015•天津)i是虚数单位，若复数(1,2i)(a+i)是纯虚数，则实数a 的值为 ,2 (考点: 复数的基本概念(专题:数系的扩充和复数(分析:由复数代数形式的乘除运算化简，再由实部等于 0且虚部不等于0求得a的值( 解答:解:由( 1,2i)(a+i)=(a+2)+(1,2a)i为纯虚数，得，解得:a=,2(故答案为:,2(点评: 本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数为纯虚数的条件，是基础题(10((5分)(2015•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m)，则该几何体的体积为3 m(第10页(共21页)考点:由三视图求面积、体积(专题:计算题;空间位置关系与距离(分析:根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积(解答:解:根据几何体的三视图，得;该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1;?该几何体的体积为22V=2×π•1×1+π•1•2 几何体=π(故答案为:π(点评:本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目(211((5分)(2015•天津)曲线y=x与y=x所围成的封闭图形的面积为 (考点:定积分在求面积中的应用(专题:计算题;导数的概念及应用(分析:先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分下限为 0，积分上限为1，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可( 解答:解: 先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0212直线y=x与曲线y=x所围图形的面积S=?(x,x)dx 0211而?(x,x)dx=()|=,= 00?曲边梯形的面积是(故答案为:(第11页(共21页)点评:本题主要考查了学生会求出原函数的能力，以及考查了数形结合的思想，同时会利用定积分求图形面积的能力，解题的关键就是求原函数(6212((5分)(2015•天津)在(x,)的展开式中，x的系数为 (考点:二项式定理的应用(专题:计算题;二项式定理(2分析: 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得x的系数( 解答: ,66rrr6解:(x,)的展开式的通项公式为T=•(x)•(,)=(,)••xr+1,2r，2令6,2r=2，解得r=2，?展开式中x的系数为×=，故答案为:(点评:本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题(13((5分)(2015•天津)在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(已知?ABC的面积为3，b,c=2，cosA=,，则a的值为 8 (考点: 余弦定理(专题:解三角形(分析: 由cosA=,，A?(0，π)，可得sinA=(利用S==，?ABC222化为bc=24，又b,c=2，解得b，c(由余弦定理可得:a=b+c,2bccosA即可得出( 解答: 解:?A?(0，π)，?sinA==(?S==bc=，化为bc=24， ?ABC又b,c=2，解得b=6，c=4(第12页(共21页)222由余弦定理可得:a=b+c,2bccosA=36+16,48×=64(解得a=8(故答案为:8(点评:本题考查了余弦定理、同角三角函数基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题(14((5分)(2015•天津)在等腰梯形ABCD中，已知AB?DC，AB=2，BC=1，?ABC=60?(动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为 (考平面向量数量积的运算(点:专平面向量及应用(题:分利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于λ的代数式，根据具体的析:形式求最值(解解:由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=()•()=()答:•()==2×1×cos60?+λ1×1×cos60?+×2×1+×1×1×cos120?=1++,?+=(当且仅当时等号成立);故答案为:(点本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关键是评: 正确表示所求，利用基本不等式求最小值(三.解答题(本大题共6小题，共80分)2215((13分)(2015•天津)已知函数f(x)=sinx,sin(x,)，x?R( (?)求f(x)的最小正周期;(?)求f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值(考点: 两角和与差的正弦函数;三角函数的周期性及其求法;三角函数的最值( 专题:三角函数的求值(分析: (?)由三角函数公式化简可得f(x)=,sin(2x,)，由周期公式可得;(?)由x?[,，]结合不等式的性质和三角函数的知识易得函数的最值(第13页(共21页)解答: 22解:(?)化简可得f(x)=sinx,sin(x,)=(1,cos2x),[1,cos(2x,)]=(1,cos2x,1+cos2x+sin2x)=(,cos2x+sin2x)=sin(2x,)?f(x)的最小正周期T==π;(?)?x?[,，]，?2x,?[,，]，?sin(2x,)?[,1，]，?sin(2x,)?[,，]，?f(x)在区间[,，]内的最大值和最小值分别为，, 点评:本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的周期性和最值，属基础题(16((13分)(2015•天津)为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛( (?)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求该情况发生的概率;(?)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望( 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列(专题:概率与统计(分析:( ?)利用组合知识求出基本事件总数及事件A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案;(?)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望(解答:解:(?)由已知，有P(A)=，?事件A发生的概率为;(?)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4(P(X=k)=(k=1，2，3，4)(?随机变量X的分布列为:P 1 2 3 4第14页(共21页)X随机变量X的数学期望E(X)=( 点评:本题主要考查古典概型及其概率计算公式，互斥事件、离散型随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力，是中档题( 17((13分)(2015•天津)如图，在四棱柱ABCD,ABCD中，侧棱AA?底面ABCD，11111AB?AC，AB=1，AC=AA=2，AD=CD=，且点M和N分别为BC和DD的中点( 111(?)求证:MN?平面ABCD(?)求二面角D,AC,B的正弦值; 11(?)设E为棱AB上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段AE111的长(考点:二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;直线与平面所成的角( 专题:空间位置关系与距离;空间角(分析: (?)以A为坐标原点，以AC、AB、AA所在直线分别为x、y、z轴建系，通过平1面ABCD的一个法向量与的数量积为0，即得结论;(?)通过计算平面ACD的法向量与平面ACB的法向量的夹角的余弦值及平方关11系即得结论;(?)通过设=λ，利用平面ABCD的一个法向量与的夹角的余弦值为，计算即可(解答: (?)证明:如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA所在直线分别为x、y、z1轴建系，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，,2，0)，A(0，0，2)，B(0，1，2)，C(2，0，2)，D(1，,2，2)， 1111又?M、N分别为BC、DD的中点，?M(1，，1)，N(1，,2，1)( 11由题可知:=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，=(0，,，0)，?•=0，MN?平面ABCD，?MN?平面ABCD;第15页(共21页)(?)解:由(I)可知:=(1，,2，2)，=(2，0，0)，=(0，1，2)，设=(x，y，z)是平面ACD的法向量， 1由，得，取z=1，得=(0，1，1)，设=(x，y，z)是平面ACB的法向量， 1由，得，取z=1，得=(0，,2，1)，?cos,，,==,，?sin,，,==，?二面角D,AC,B的正弦值为; 11(?)解:由题意可设=λ，其中λ?[0，1]， ?E=(0，λ，2)，=(,1，λ+2，1)，又?=(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量，?cos,，,===，2整理，得λ+4λ,3=0，解得λ=,2或,2,(舍)， ?线段AE的长为,2( 1第16页(共21页)点评:本题考查直线与平面平行和垂直、二面角、直线与平面所成的角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理能力，注意解题方法的积累，属于中档题(*18((13分)(2015•天津)已知数列{a}满足a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，nn+2n1a=2且a+a，a+a，a+a成等差数列(1)求q的值和{a}的通项公式; 2233445n*(2)设b=，n?N，求数列{b}的前n项和( nn考点:数列的求和(专题:等差数列与等比数列(分析: (1)通过a=qa、a、a，可得a、a、a，利用a+a，a+a，a+a成等差数列，n+2n12354233445计算即可;*(2)通过(1)知b=，n?N，写出数列{b}的前n项和T、2T的表达式，nnnn 利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可(*解答: 解:(1)?a=qa(q为实数，且q?1)，n?N，a=1，a=2， n+2n122?a=q，a=q，a=2q， 354又?a+a，a+a，a+a成等差数列，2334452?2×3q=2+3q+q，2即q,3q+2=0，解得q=2或q=1(舍)，?a=; n*(2)由(1)知b===，n?N， n记数列{b}的前n项和为T， nn则T=1+2•+3•+4•+…+(n,1)•+n•， n?2T=2+2+3•+4•+5•+…+(n,1)•+n•， n两式相减，得T=3++++…+,n• n=3+,n•=3+1,,n•=4,(第17页(共21页)点评:本题考查求数列的通项与前 n项和，考查分类讨论的思想，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题(19((14分)(2015•天津)已知椭圆,=1(a,b,0)的左焦点为F(,c，0)，离心22率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，|FM|=((?)求直线FM的斜率;(?)求椭圆的方程;(?)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP(O为原点)的斜率的取值范围(考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程(专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程(分析: 2222(?)通过离心率为，计算可得a=3c、b=2c，设直线FM的方程为y=k(x+c)，利用勾股定理及弦心距公式，计算可得结论;(?)通过联立椭圆与直线FM的方程，可得M(c，c)，利用|FM|=计算即可;(?)设动点P的坐标为(x，y)，分别联立直线FP、直线OP与椭圆方程，分x?(,，,1)与x?(,1，0)两种情况讨论即可结论(解答:解:(?)?离心率为，?==，222222?2a=3b，?a=3c，b=2c，设直线FM的斜率为k(k,0)，则直线FM的方程为y=k(x+c)，22?直线FM被圆x+y=截得的线段的长为c，?圆心(0，0)到直线FM的距离d=，22?d+=，即()+=，解得k=，即直线FM的斜率为;(?)由(I)得椭圆方程为:+=1，直线FM的方程为y=(x+c)，第18页(共21页)22联立两个方程，消去y，整理得3x+2cx,5c=0，解得x=,c，或x=c， ?点M 在第一象限，?M(c，c)，?|FM|=，?=，2222解得c=1，?a=3c=3，b=2c=2，即椭圆的方程为+=1;(?)设动点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，?F(,1，0)，?t=，即y=t(x+1)(x?,1)，222联立方程组，消去y并整理，得2x+3t(x+1)=6，又?直线FP的斜率大于，?,，解得,,x,,1，或,1,x,0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx(x?0)，2联立方程组，消去y并整理，得m=,(?当x?(,，,1)时，有y=t(x+1),0，因此m,0， ?m=，?m?(，);?当x?(,1，0)时，有y=t(x+1),0，因此m,0，?m=,，?m?(,?，,);综上所述，直线OP的斜率的取值范围是:(,?，,)?(，)(点评:本题考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程和圆的方程、直线与圆的位置关系、一元二次不等式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、以及用函数与方程思想解决问题的能力，属于中档题( n•20((14分)(2015•天津)已知函数f(x)=nx,x，x?R，其中n?N，且n?2( (?)讨论f(x)的单调性;第19页(共21页)(?)设曲线y=f(x)与x轴正半轴的焦点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g(x)，求证:对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x);(?)若关于x的方程f(x)=a(a为实数)有两个正实数根x，x，求证:|x,x|,+2( 1221考点:利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程( 专题:压轴题;导数的概念及应用;导数的综合应用(n分析: (?)由f(x)=nx,x，可得f′(x)，分n为奇数和偶数两种情况利用导数即可得函数的单调性(2(?)设点P的坐标为(x，0)，则可求x=n，f′(x)=n,n，可求g(x)000,n1=f′(x)(x,x)，F′(x)=f′(x),f′(x)(由f′(x)=,nx+n在(0，000+?)上单调递减，可求F(x)在?(0，x)内单调递增，在(x，+?)上单调递减，00即可得证((?)设x?x，设方程g(x)=a的根为，由(?)可得x?(设曲线y=f(x)122在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=nx，设方程h(x)=a的根为，可,n1n得,x，从而可得:x,x,,=，由n?2，即2=(1+1)121,1?1+=1+n,1=n，推得:2=x，即可得证( 0解答: (本题满分为14分),,nn1n1•解:(?)由f(x)=nx,x，可得f′(x)=n,nx=n(1,x)，其中n?N，且n?2( 下面分两种情况讨论:(1)当n为奇数时，令f′(x)=0，解得x=1，或x=,1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表:(,?，,1) (,1，1) (1，+?) xf′(x) , , +f(x)所以，f(x)在 (,?，,1)，(1，+?)上单调递减，在(,1，1)单调递增( (2)当n为偶数时，当f′(x),0，即x,1时，函数 f(x)单调递增;当f′(x),0，即x,1时，函数 f(x)单调递减;所以，f(x)在(,?，1)单调递增，在(1，+?)上单调递减;2(?)证明:设点P的坐标为(x，0)，则x=n，f′(x)=n,n， 000曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f′(x)(x,x)，即g(x)=f′(x)(x000,x)， 0令F(x)=f(x),g(x)，即F(x)=f(x),f′(x)(x,x)，则F′(x)=f′00(x),f′(x)( 0第20页(共21页),n1由于f′(x)=,nx+n在(0，+?)上单调递减，故F′(x)在(0，+?)上单调递减，又因为F′(x)=0，所以当x?(0，x)时，F′(x),0，当x?(x，+?)时，000F′(x),0，所以F(x)在?(0，x)内单调递增，在(x，+?)上单调递减， 00所以对应任意的正实数x，都有F(x)?F(x)=0， 0即对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x)((?)证明:不妨设x?x， 122由(?)知(gx)=(n,n)(x,x)，设方程(gx)=a的根为，可得=，0由(?)知g(x)?f(x)=a=g()，可得x?( 222类似地，设曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=h(x)，可得h(x)=nx，当x?n(0，+?)，f(x),h(x)=,x,0，即对于任意的x?(0，+?)，f(x),h(x)，设方程h(x)=a的根为，可得=，因为h(x)=nx在(,?，+?)上单调递增，且h()=a=f(x),h(x)，因此,x， 111由此可得:x,x,,=， 21,,n1n1因为n?2，所以2=(1+1)?1+=1+n,1=n，故:2=x( 0所以:|x,x|,+2( 21点评:本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质、证明不等式等基础知识和方法，考查分类讨论思想、函数思想和化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力(第21页(共21页)。

2015年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，2．（5分）（2015•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最，解得，即3．（5分）（2015•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）5．（5分）（2015•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且22﹣=1 B﹣=1﹣y2=1=1a b==16．（5分）（2015•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）B．7．（5分）（2015•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，1=，8．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2015•天津）i是虚数单位，计算的结果为﹣i．==10．（5分）（2015•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．×π故答案为：π11．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为3．lnx+12．（5分）（2015•天津）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为4时，log2a•log2（2b）取得最大值．==413．（5分）（2015•天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．==，=•（+++）（+）•+•+•+++××=故答案为：14．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．=）x+，ω≤x+，可x=，从而可求sin x+﹣，的单调递增区间为：[①②x+=k，可解得函数x=，可解得：．故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2015•天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．=，×=3××=2P==16．（13分）（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．2A+，，32A+=cos2Acos﹣sin2Asin=17．（13分）（2015•天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．BN==18．（13分）（2015•天津）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．，然后利用错位相减法求得数列由已知有，消去的通项公式为（Ⅱ）由（Ⅰ）有两式作差得：19．（14分）（2015•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．、﹣，计算即得结论；）通过=|PM||BP|=ca=k==2+﹣x+2c，，及=；）∵=，∴=，即|PQ|=|PM|，∴BQP=c|BP|=c=∴椭圆的方程为：+20．（14分）（2015•天津）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，．，可得由此可得。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）文科数学一、选择题(每小题5分,共40分)1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{2,3,5}A =,集合{1,3,4,6}B =,则集合A U B =（）ð（ ）(A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}2.设变量,y x 满足约束条件2020280x x y x y ì-?ïï-?íï+-?ïî,则目标函数3y z x =+的最大值为（ ）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)143.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出i 的值为（ ）(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D)54.设x R Î,则“12x <<”是“|2|1x -<”的（ ）(A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D) 2213y x -= 6. 如图,在圆O 中,M ,N 是弦AB 的三等分点,弦CD ,CE 分别经过点M ,N ,若CM =2,MD =4,CN =3,则线段NE 的长为（ ）(A)83 (B) 3 (C) 103 (D) 527. 已知定义在R上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a <<8. 已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî,函数()3(2)g x f x =--,则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为（ ）(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5 二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9. i 是虚数单位,计算12i2i-+ 的结果为 ． 10. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积为 3m .11. 已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞ ,其中a 为实数,()f x '为()f x 的导函数,若()13f '= ,则a 的值为 ．12. 已知0,0,8,a b ab >>= 则当a 的值为 时()22log log 2a b ⋅取得最大值. 13. 在等腰梯形ABCD 中,已知AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且21,,36BE BC DF DC ==则AE AF ⋅ 的值为 ．14. 已知函数()()sin cos 0,,f x x x x ωωω=+>∈R 若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且函数()f x 的图像关于直线x ω=对称,则ω的值为 ． 三、解答题：本大题共6小题,共80分.15. （本小题满分13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18,先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛. （I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（II ）将抽取的6名运动员进行编号,编号分别为123456,,,,,A A A A A A ,从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到”,求事件A 发生的概率.16. （本小题满分13分）△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为12,cos,4b c A-==-（I）求a和sin C的值；（II）求cos26Aπ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.17. （本小题满分13分）如图,已知1AA⊥平面ABC,11,BB AAAB=AC=3,1BC AA==1BB=点E,F分别是BC,1AC的中点.（I）求证：EF 平面11A B BA；（II）求证：平面1AEA⊥平面1BCB.（III）求直线11A B与平面1BCB所成角的大小.18. （本小题满分13分）已知{}n a是各项均为正数的等比数列,{}n b是等差数列,且112331,2a b b b a==+=,5237a b-=.（I）求{}n a和{}n b的通项公式；（II）设*,n n nc a b n N=?,求数列{}n c的前n项和.19. （本小题满分14分） 已知椭圆22221(a b 0)x y a b+=>>的上顶点为B ,左焦点为F ,离心率为5, （I ）求直线BF 的斜率；（II ）设直线BF 与椭圆交于点P （P 异于点B ）,故点B 且垂直于BF 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线PQ 与x 轴交于点M ,||=||PM MQ l . （i ）求l 的值；（ii ）若||sin PM BQP Ð求椭圆的方程.20. （本小题满分14分）已知函数4()4,,f x x x x R =-? （I ）求()f x 的单调性；（II ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £;（III ）若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <,求证：1321-43a x x <-+.参考答案1. 【答案】B【解析】试题分析：{2,3,5}A =,{2,5}U B =ð,则{}A 2,5U B =（）ð,故选B. 考点：集合运算 2.【答案】C 考点：线性规划 3.【答案】C【解析】试题分析：由程序框图可知：2,8;3,S 5;4, 1.i S i i S ====== 故选C. 考点：程序框图. 4. 【答案】A【解析】试题分析：由2112113x x x -<⇔-<-<⇔<<,可知“12x <<”是“|2|1x -<”的充分而不必要条件,故选A. 考点：1.不等式；2. 充分条件与必要条件. 5. 【答案】D考点：圆与双曲线的性质. 6.【答案】A【解析】试题分析：由相交弦定理可18,33CM MD CM MD CN NE AB AB NE CN ⨯⨯=⨯=⨯⇒== 故选A. 考点：相交弦定理7. 【答案】B【解析】试题分析：由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点：1.函数奇偶性；2.对数运算. 8. 【答案】A考点：函数与方程. 9.【答案】-i【解析】试题分析：()2i i 212i i 2i i 2i 2i 2i-+---===-+++. 考点：复数运算. 10. 【答案】8π3【解析】试题分析：该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2圆柱组合而成,所以该几何体的体积为318π2π1π2(m )33⨯⨯⨯+⨯= . 考点：1.三视图；2.几何体的体积. 11.【答案】3【解析】试题分析：因为()()1ln f x a x '=+ ,所以()13f a '==. 考点：导数的运算法则. 12. 【答案】4【解析】试题分析：()()()()22222222log log 211log log 2log 2log 164,244a b a b ab +⎛⎫⋅≤=== ⎪⎝⎭当2a b =时取等号,结合0,0,8,a b ab >>=可得4, 2.a b == 考点：基本不等式. 13.【答案】2918【解析】试题分析：在等腰梯形ABCD 中,由AB DC ,2,1,60,AB BC ABC ==∠= 得12AD BC ⋅= ,1AB AD ⋅= ,12DC AB = ,所以()()AE AF AB BE AD DF ⋅=+⋅+22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点：平面向量的数量积.14. 【解析】试题分析：由()f x 在区间(),ωω-内单调递增,且()f x 的图像关于直线x ω=对称,可得π2ωω≤,且()222πsin cos sin 14fωωωω⎛⎫=+=⇒+= ⎪⎝⎭,所以2ππ42ωω+=⇒= 考点：三角函数的性质.三、解答题：本大题共6小题,共80分.15. 【答案】（I ）3,1,2；（II ）（i ）见试题解析；（ii ）35【解析】试题分析：（I ）由分层抽样方法可知应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2；（II ）（i ）一一列举,共15种；（ii ）符合条件的结果有9种,所以()93.155P A ==. 试题解析：（I ）应从甲、乙、丙这三个协会中分别抽取的运动员人数分别为3,1,2； （II ）（i ）从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛,所有可能的结果为{}12,A A ,{}13,A A ,{}14,A A ,{}15,A A ,{}16,A A ,{}23,A A ,{}24,A A ,{}25,A A ,{}26,A A ,{}34,A A ,{}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共15种.（ii ）编号为56,A A 的两名运动员至少有一人被抽到的结果为{}15,A A ,{}16,A A ,{}25,A A ,{}26,A A , {}35,A A ,{}36,A A ,{}45,A A ,{}46,A A ,{}56,A A ,共9种,所以事件A 发生的概率()93.155P A == 考点：分层抽样与概率计算.16. 【答案】（I ）a=8,sin 8C =（II）16. 【解析】考点：1.正弦定理、余弦定理及面积公式；2三角变换.17.【解析】试题分析：（I ）要证明EF 平面11A B BA , 只需证明1EF BA且EF ⊄ 平面11A B BA ；（II ）要证明平面1AEA ⊥平面1BCB ,可证明AE BC ⊥,1BB AE ⊥；（III ）取1BC中点N,连接1A N ,则11A B N ∠ 就是直线11A B 与平面1BCB 所成角,Rt △11A NB 中,由11111sin ,2A N AB N A B ∠==得直线11A B 与平面1BCB 所成角为30 . 试题解析：（I ）证明：如图,连接1A B ,在△1A BC 中,因为E 和F 分别是BC ,1AC 的中点,所以1EF BA ,又因为EF ⊄ 平面11A B BA , 所以EF 平面11A B BA .（II ）因为AB =AC ,E 为BC 中点,所以AE BC ⊥,因为1AA ⊥平面ABC ,11,BB AA 所以1BB ⊥平面ABC ,从而1BB AE ⊥,又1BC BB B = ,所以AE ⊥平面1BCB ,又因为AE ⊂平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1BCB .考点：1.空间中线面位置关系的证明；2.直线与平面所成的角18. 【答案】（I ）12,n n a n -*=∈N ,21,n b n n *=-∈N ；（II ）()2323nn S n =-+【解析】试题分析：（I ）列出关于q 与d 的方程组,通过解方程组求出q ,d ,即可确定通项；（II ）用错位相减法求和.试题解析：（I ）设{}n a 的公比为q ,{}n b 的公差为d ,由题意0q > ,由已知,有24232,310,q d q d ⎧-=⎨-=⎩消去d 得42280,q q --= 解得2,2q d == ,所以{}n a 的通项公式为12,n n a n -*=∈N ,{}n b 的通项公式为21,n b n n *=-∈N .（II ）由（I ）有()1212n n c n -=- ,设{}n c 的前n 项和为n S ,则()0121123252212,n n S n -=⨯+⨯+⨯++-⨯ ()1232123252212,n n S n =⨯+⨯+⨯++-⨯两式相减得()()2312222122323,nnnn S n n -=++++--⨯=--⨯-所以()2323nn S n =-+ .考点：1.等差、等比数列的通项公式；2.错位相减法求和.19. 【答案】（I ）2；（II ）（i ）78 ；（ii ）22 1.54x y += 【解析】试题分析：（I）先由5c a =及222,a b c =+得,2a b c ==,直线BF 的斜率()020b bk c c-===--；（II ）先把直线BF ,BQ 的方程与椭圆方程联立,求出点P ,Q 横坐标,可得PM MQλ=7.8M P PQ MQ x x x x x x -===-（ii ）先由||sin =9PM BQP Ð得=||sin BP PQ BQP Ð=15||sin 7PM BQP?由此求出c =1,故椭圆方程为22 1.54x y += 试题解析：（I ）(),0F c - ,由已知5c a =及222,a b c =+可得,2a b c = ,又因为()0,B b ,故直线BF 的斜率()020b bk c c-===-- .（II ）设点()()(),,,,,P P Q Q M M P x y Q x y M x y ,（i ）由（I ）可得椭圆方程为22221,54x y c c+=直线BF 的方程为22y x c =+ ,两方程联立消去y 得2350,x cx += 解得53P cx =-.因为BQ BP ⊥,所以直线BQ 方程为122y x c =-+ ,与椭圆方程联立消去y 得221400x cx -= ,解得4021Q cx = .又因为PM MQ λ= ,及0M x = 得7.8M P P Q M Q x x x x x x λ-===- （ii ）由（i ）得78PMMQ =,所以777815PM PM MQ ==++,即157PQ PM = ,又因为||sin PM BQP Ð所以=||sin BP PQ BQP Ð=15||sin 7PM BQP ?. 又因为4223P P y x c c =+=-, 所以BP ==,因此1,33c == 所以椭圆方程为22 1.54x y += 考点：直线与椭圆.20. 【答案】（I ）()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞；（II ）见试题解析；（III ）见试题解析. 【解析】试题解析：（I ）由4()4f x x x =-,可得3()44f x x ¢=-,当()0f x '> ,即1x < 时,函数()f x单调递增；当()0f x '< ,即1x > 时,函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递增区间是(),1-∞ ,单调递减区间是()1,+∞.（II ）设()0,0P x ,则1304x = ,()012,f x '=- 曲线()y f x = 在点P 处的切线方程为()()00y f x x x '=- ,即()()()00g x f x x x '=-,令()()()F x f x g x =- 即()()()()0F x f x f x x x '=-- 则()()()0F x f x f x '''=-.由于3()44f x x =-在(),-∞+∞ 单调递减,故()F x '在(),-∞+∞ 单调递减,又因为()00F x '=,所以当()0,x x ∈-∞时,()0F x '>,所以当()0,x x ∈+∞时,()0F x '<,所以()F x 在()0,x -∞单调递增,在()0,x +∞单调递减,所以对任意的实数x ,()()00F x F x ≤= ,对于任意的正实数x ,都有()()f x g x £.考点：1.导数的几何意义；2.导数的应用.。

2015年天津市高考数学试卷（理科）一.选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B=（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8}2．（5分）（2015•天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+6y的最大值为（）A．3B．4C．18 D．403．（5分）（2015•天津）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．﹣10 B．6C．14 D．184．（5分）（2015•天津）设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．6．（5分）（2015•天津）已知双曲线﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）（2015•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=b﹣f（2﹣x），其中b∈R，若函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，）C．（0，）D．（，2）二.填空题（每小题5分，共30分）9．（5分）（2015•天津）i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为．10．（5分）（2015•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积m3．11．（5分）（2015•天津）曲线y=x2与y=x所围成的封闭图形的面积为．12．（5分）（2015•天津）在（x﹣）6的展开式中，x2的系数为．13．（5分）（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，14．b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为．14．（5分）（2015•天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且=λ，=，则•的最小值为．三.解答题（本大题共6小题，共80分）15．（13分）（2015•天津）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．16．（13分）（2015•天津）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．（Ⅰ）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．（13分）（2015•天津）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD（Ⅱ）求二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值；（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E 的长．18．（13分）（2015•天津）已知数列{a n}满足a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，且a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列（1）求q的值和{a n}的通项公式；（2）设b n=，n∈N*，求数列{b n}的前n项和．19．（14分）（2015•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，|FM|=．（Ⅰ）求直线FM的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于，求直线OP（O为原点）的斜率的取值范围．20．（14分）（2015•天津）已知函数f（x）=nx﹣x n，x∈R，其中n∈N•，且n≥2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，求证：|x2﹣x1|＜+2．答案：1、解：∵全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={2，3，5，6}，集合B={1，3，4，6，7}，∴∁U B={2，5，8}，则A∩∁U B={2，5}．故选：A．2、解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+6y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（0，3）将A（0，3）的坐标代入目标函数z=x+6y，得z=3×6=18．即z=x+6y的最大值为18．故选：C．3、解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1i=2，S=18不满足条件i＞5，i=4，S=14不满足条件i＞5，i=8，S=6满足条件i＞5，退出循环，输出S的值为6．故选：B．4、解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，由x2+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，即“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的充分不必要条件，故选：A．5、解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．故选：A．6、解：由题意，=，∵抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，∴c=，∴a2+b2=c2=7，∴a=2，b=，∴双曲线的方程为．故选：D．7、解：∵f（x）为偶函数；∴f（﹣x）=f（x）；∴2|﹣x﹣m|﹣1=2|x﹣m|﹣1；∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|；（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2；∴mx=0；∴m=0；∴f（x）=2|x|﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上单调递增，并且a=f（|log0.53|）=f（log23），b=f（log25），c=f （0）；∵0＜log23＜log25；∴c＜a＜b．故选：C．8、解：∵g（x）=b﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣b+f（2﹣x），由f（x）﹣b+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=b，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤﹣x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当x≤0时，h（x）=2+x+x2=（x+）2+≥，当x＞2时，h（x）=x2﹣5x+8=（x﹣）2+≥，故当b=时，h（x）=b，有两个交点，当b=2时，h（x）=b，有无数个交点，由图象知要使函数y=f（x）﹣g（x）恰有4个零点，即h （x ）=b 恰有4个根， 则满足＜b ＜2，故选：D ．9、解：由（1﹣2i ）（a+i ）=（a+2）+（1﹣2a ）i 为纯虚数， 得，解得：a=﹣2．故答案为：﹣2．10.解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1； ∴该几何体的体积为 V 几何体=2×π•12×1+π•12•2 =π．故答案为：π．12、解：（x ﹣）6的展开式的通项公式为T r+1=•（x ）6﹣r•（﹣）r =（﹣）r••x6﹣2r，令6﹣2r=2，解得r=2，∴展开式中x 2的系数为×=，故答案为：．13、解：∵A ∈（0，π），∴sinA==．∵S △ABC ==bc=，化为bc=24，又b ﹣c=2，解得b=6，c=4．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2﹣2bccosA=36+16﹣48×=64．解得a=8．11、 解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0直线y=x 与曲线y=x 2所围图形的面积S=∫01（x ﹣x 2）dx 而∫01（x ﹣x 2）dx=（）|01=﹣=∴曲边梯形的面积是． 故答案为：．故答案为：8．14、解：由题意，得到AD=BC=CD=1，所以•=（）•（）=（）•（）==2×1×cos60°+λ1×1×cos60°+×2×1+×1×1×cos120°=1++﹣≥+=（当且仅当时等号成立）；故答案为：．15、解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）=（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x）=（﹣cos2x+sin2x）=sin（2x﹣）∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣16、解：（Ⅰ）由已知，有P（A）=，∴事件A发生的概率为；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4．P（X=k）=（k=1，2，3，4）．∴随机变量X的分布列为：X 1 2 3 4P随机变量X的数学期望E（X）=．17、（Ⅰ）证明：如图，以A为坐标原点，以AC、AB、AA1所在直线分别为x、y、z轴建系，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，﹣2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，﹣2，2），又∵M、N分别为B1C、D1D的中点，∴M（1，，1），N（1，﹣2，1）．由题可知：=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，=（0，﹣，0），∵•=0，MN⊄平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；（Ⅱ）解：由（I）可知：=（1，﹣2，2），=（2，0，0），=（0，1，2），设=（x，y，z）是平面ACD1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，1，1），设=（x，y，z）是平面ACB1的法向量，由，得，取z=1，得=（0，﹣2，1），∵cos＜，＞==﹣，∴sin＜，＞==，∴二面角D1﹣AC﹣B1的正弦值为；（Ⅲ）解：由题意可设=λ，其中λ∈[0，1]，∴E=（0，λ，2），=（﹣1，λ+2，1），又∵=（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量，∴cos＜，＞===，整理，得λ2+4λ﹣3=0，解得λ=﹣2或﹣2﹣（舍），∴线段A1E的长为﹣2．18、解：（1）∵a n+2=qa n（q为实数，且q≠1），n∈N*，a1=1，a2=2，∴a3=q，a5=q2，a4=2q，又∵a2+a3，a3+a4，a4+a5成等差数列，∴2×3q=2+3q+q2，即q2﹣3q+2=0，解得q=2或q=1（舍），∴a n=；（2）由（1）知b n===，n∈N*，记数列{b n}的前n项和为T n，则T n=1+2•+3•+4•+…+（n﹣1）•+n•，∴2T n=2+2+3•+4•+5•+…+（n﹣1）•+n•，两式相减，得T n=3++++…+﹣n•=3+﹣n•=3+1﹣﹣n•=4﹣．19、解：（Ⅰ）∵离心率为，∴==，∴2a2=3b2，∴a2=3c2，b2=2c2，设直线FM的斜率为k（k＞0），则直线FM的方程为y=k（x+c），∵直线FM被圆x2+y2=截得的线段的长为c，∴圆心（0，0）到直线FM的距离d=，∴d2+=，即（）2+=，解得k=，即直线FM的斜率为；（Ⅱ）由（I）得椭圆方程为：+=1，直线FM的方程为y=（x+c），联立两个方程，消去y，整理得3x2+2cx﹣5c2=0，解得x=﹣c，或x=c，∵点M在第一象限，∴M（c，c），∵|FM|=，∴=，解得c=1，∴a2=3c2=3，b2=2c2=2，即椭圆的方程为+=1；（Ⅲ）设动点P的坐标为（x，y），直线FP的斜率为t，∵F（﹣1，0），∴t=，即y=t（x+1）（x≠﹣1），联立方程组，消去y并整理，得2x2+3t2（x+1）2=6，又∵直线FP的斜率大于，∴＞，解得﹣＜x＜﹣1，或﹣1＜x＜0，设直线OP的斜率为m，得m=，即y=mx（x≠0），联立方程组，消去y并整理，得m2=﹣．①当x∈（﹣，﹣1）时，有y=t（x+1）＜0，因此m＞0，∴m=，∴m∈（，）；②当x∈（﹣1，0）时，有y=t（x+1）＞0，因此m＜0，∴m=﹣，∴m∈（﹣∞，﹣）；综上所述，直线OP的斜率的取值范围是：（﹣∞，﹣）∪（，）．20、（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由f（x）=nx﹣x n，可得f′（x）=n﹣nx n﹣1=n（1﹣x n﹣1），其中n∈N•，且n≥2．下面分两种情况讨论：（1）当n为奇数时，令f′（x）=0，解得x=1，或x=﹣1，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，﹣1）（﹣1，1）（1，+∞）f′（x）﹣+ ﹣f（x）所以，f（x）在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调递减，在（﹣1，1）单调递增．（2）当n为偶数时，当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减；所以，f（x）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减；（Ⅱ）证明：设点P的坐标为（x0，0），则x0=n，f′（x0）=n﹣n2，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x﹣x0），令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．由于f′（x）=﹣nx n﹣1+n在（0，+∞）上单调递减，故F′（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为F′（x0）=0，所以当x∈（0，x0）时，F′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，所以F（x）在∈（0，x0）内单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以对应任意的正实数x，都有F（x）≤F（x0）=0，即对于任意的正实数x，都有f（x）≤g（x）．（Ⅲ）证明：不妨设x1≤x2，由（Ⅱ）知g（x）=（n﹣n2）（x﹣x0），设方程g（x）=a的根为，可得=，由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（），可得x2≤．类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=nx，当x∈（0，+∞），f（x）﹣h（x）=﹣x n＜0，即对于任意的x∈（0，+∞），f（x）＜h（x），设方程h（x）=a的根为，可得=，因为h（x）=nx在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（）=a=f（x1）＜h（x1），因此＜x1，由此可得：x2﹣x1＜﹣=，因为n≥2，所以2n﹣1=（1+1）n﹣1≥1+=1+n﹣1=n，故：2=x0．所以：|x2﹣x1|＜+2．。

2015年天津卷高考数学试卷（文科）一、选择题1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集{}2,3,5A =，集合{1,3,4,6}B =，则集合A U C B = (A) {3} (B) {2,5} (C) {1,4,6} (D){2,3,5}2.20x ì-?ïïy+3.4.5.(D)2x 6.，(A)3 (B) 3 (C) 3 (D) 27.已知定义在R上的函数||()21(m )x m f x -=-为实数为偶函数，记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==，则,b,c a ,的大小关系为(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a <<8.已知函数22||,2()(2),2x x f x x x ì-?ï=í->ïî，函数()3(2)g x f x =--，则函数y ()()f x g x =-的零点的个数为(A) 2 (B) 3 (C)4 (D)5二：填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9.i 是虚数单位，计算122ii-+ 的结果为 ．10.11.f '12.13.14.15.（13分）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛。

（I ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；（II ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为123456,,,,,A A A A A A ，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛。

（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设A 为事件“编号为56,A A 的两名运动员至少有1人被抽到”，求事件A 发生的概率。

16.（13分）△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为，12,cos ,4b c A -==-（I ）求a 和sinC 的值；（17.点E （I （（18.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.(1)(2)异 (i)(1)(2)对于任意的正实数x ，都有()()f x g x £;(3)若方程()=()f x a a 为实数有两个正实数根12x x ，，且12x x <，求证：1321-43a x x <-+.答案一.选择题：本题考查基本知识和基本运算。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合U A B =ð（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8 【答案】A【解析】试题分析：{2,5,8}U B =ð,所以{2,5}U A B =ð，故选A. 考点：集合运算.（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40 【答案】C考点：线性规划.（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为 （A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18【答案】B 【解析】试题分析：模拟法：输入20,1S i ==； 21,20218,25i S =⨯=-=>不成立； 224,18414,45i S =⨯==-=>不成立 248,1486,85i S =⨯==-=>成立 输出6,故选B.考点：程序框图. （4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A考点：充分条件与必要条件.（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为（A ）83 （B ）3 （C ）103（D ）52【答案】A 【解析】试题分析：由相交弦定理可知，,AM MB CM MD CN NE AN NB ⋅=⋅⋅=⋅，又因为,M N 是弦AB 的三等分点，所以AM MB AN NB CN NE CM MD ⋅=⋅∴⋅=⋅，所以24833CM MD NE CN ⋅⨯===，故选A.考点：相交弦定理. （6）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=【答案】D考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.（7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<【答案】C 【解析】试题分析：因为函数()21x m f x -=-为偶函数，所以0m =，即()21x f x =-，所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<，故选C.考点：1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭（C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩，即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知72b <<.考点：1.求函数解析式；2.函数与方程；3.数形结合. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 . 【答案】2-【解析】试题分析：()()()12212i a i a a i -+=++-是纯度数，所以20a +=，即2a =-. 考点：1.复数相关定义；2.复数运算.（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为3m .【答案】83π【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是中间为一个底面半径为1，高为2的圆柱，两端是底面半径为1，高为1的圆锥，所以该几何体的体积22181221133V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.考点：1.三视图；2.旋转体体积.（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . 【答案】16【解析】试题分析：两曲线的交点坐标为(0,0),(1,1)，所以它们所围成的封闭图形的面积()1122300111236S x x dx x x ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭⎰.考点：定积分几何意义. （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . 【答案】1516考点：二项式定理及二项展开式的通项.（13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .【答案】8【解析】试题分析：因为0A π<<，所以sin 4A ==又1sin 2428ABC S bc A bc ∆===∴=，解方程组224b c bc -=⎧⎨=⎩得6,4b c ==，由余弦定理得 2222212cos 64264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以8a =.考点：1.同角三角函数关系；2.三角形面积公式；3.余弦定理.（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【解析】试题分析：因为1,9D FD C λ=12D CA B=，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==， AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918.BA考点：1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.基本不等式.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈(I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p-上的最大值和最小值. 【答案】(I)π; (II) max ()f x =,min 1()2f x =-.考点：1.两角和与差的正余弦公式；2.二倍角的正余弦公式；3.三角函数的图象与性质.16. 为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A发生的概率；(II)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.;【答案】(I) 635(II) 随机变量X的分布列为()2E X =【解析】试题分析：(I)由古典概型计算公式直接计算即可； (II)先写出随机变量X 的所有可能值，求出其相应的概率，即可求概率分布列及期望.试题解析：(I)由已知，有22222333486()35C C C C P A C +==所以事件A 发生的概率为635. (II)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4()45348(1,2,3,4)k kC C P X k k C -===所以随机变量X 的分布列为所以随机变量X 的数学期望()1512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 考点：1.古典概型；2.互斥事件；3.离散型随机变量的分布列与数学期望. 17.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,AC AA AD CD ===且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD 平面； (II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长【答案】(I)见解析； (II)10； (III)2-. 【解析】试题分析：以A 为原点建立空间直角坐标系(I)求出直线MN 的方向向量与平面ABCD 的法向量，两个向量的乘积等于0即可；(II)求出两个平面的法向量，可计算两个平面所成二面角的余弦值的大小，再求正弦值即可；(III) 设111A E A B λ=，代入线面角公式计算可解出λ的值，即可求出1A E 的长.试题解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，1111(0,0,2),(0,1,2),(2,0,2),(1,2,2)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,1,(1,2,1)2M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由此可得，0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD (II)1(1,2,2),(2,0,0)AD AC =-=，设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，则1110n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =， 设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量，则2120n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =，得 2020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-因此有121212cos ,n n n n n n ⋅==-⋅，于是123sin,n n = 所以二面角11D AC B --. (III)依题意，可设111A E A B λ=，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+，又(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，由已知得1cos ,3(NE n NE n NE n⋅===⋅-，整理得2430λλ+-=，又因为[0,1]λ∈，解得2λ=， 所以线段1A E 的长为2.考点：1.直线和平面平行和垂直的判定与性质；2.二面角、直线与平面所成的角；3.空间向量的应用.18. 已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和.【答案】(I) 1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数; (II) 1242n n n S -+=-.【解析】试题分析：(I)由()()()()34234534a a a a a a a a +-+=+-+得4253a a a a -=- 先求出q ，分n 为奇数与偶数讨论即可；(II)求出数列{}n b 的通项公式，用错位相减法求和即可. 试题解析：(I) 由已知，有()()()()34234534a a a a a a a a +-+=+-+，即4253a a a a -=-， 所以23(1)(1)a q a q -=-，又因为1q ≠，故322a a ==，由31a a q =，得2q =， 当21(*)n k n N =-∈时，1122122n k n k a a ---===，当2(*)n k n N =∈时，2222n kn k a a ===，所以{}n a 的通项公式为1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数考点：1.等差中项定义；2.等比数列及前n 项和公式.3.错位相减法.19. 已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为F -c （,0）,点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c，.(I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP OP （O 为原点）的斜率的取值范围.【答案】(I) 3； (II) 22132x y += ；(III) 22,,333⎛⎛-∞- ⎝⎭⎝⎭.【解析】试题分析：(I) 由椭圆知识先求出,,a b c 的关系，设直线直线FM 的方程为()y k x c =+，求出圆心到直线的距离，由勾股定理可求斜率k 的值； (II)由(I)设椭圆方程为2222132x y c c +=，直线与椭圆方程联立，求出点M 的坐标，由3FM =可求出c ，从而可求椭圆方程.(III)设出直线FP ：(1)y t x =+，与椭圆方程联立，求得t =>x 的范围，即可求直线OP 的斜率的取值范围. 试题解析：(I) 由已知有2213c a =，又由222a b c =+，可得223a c =，222b c =，设直线FM 的斜率为(0)k k >，则直线FM 的方程为()y k x c =+，由已知有22222c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得k =(II)由(I)得椭圆方程为2222132x y c c+=，直线FM 的方程为()y k x c =+，两个方程联立，消去y ，整理得223250x cx c +-=，解得53x c =-或x c =，因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由3FM ==，解得1c =，所以椭圆方程为22132x y += (III)设点P 的坐标为(,)x y ，直线FP 的斜率为t ，得1yt x =+，即(1)y t x =+(1)x ≠-,与椭圆方程联立22(1)132y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=，又由已知，得t =>解得312x -<<-或10x -<<， 设直线OP 的斜率为m ，得ym x=，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-. ①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+<，因此0m >，于是m =m ∈⎝⎭ ②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+>，因此0m <，于是m =，得,3m ⎛∈-∞- ⎝⎭ 综上，直线OP的斜率的取值范围是22,,3⎛⎛-∞ ⎝⎭⎝⎭考点：1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式. 20.已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21ax x n<+- 【答案】(I) 当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.试题解析：(I)由()n f x nx x =-，可得，其中*n N ∈且2n ≥， 下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时：令()0f x '=，解得1x =或1x =-，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增. (2)当n 为偶数时，当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增； 当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.所以，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)证明：设点P 的坐标为0(,0)x ，则110n x n-=，20()f x n n '=-，曲线()y f x =在点P 处的切线方程为()00()y f x x x '=-，即()00()()g x f x x x '=-，令()()()F x f x g x =-，即()00()()()F x f x f x x x '=--，则0()()()F x f x f x '''=-由于1()n f x nx n -'=-+在()0,+∞上单调递减，故()F x '在()0,+∞上单调递减，又因为0()0F x '=，所以当0(0,)x x ∈时， 0()0F x '>，当0(,)x x ∈+∞时，0()0F x '<，所以()F x 在0(0,)x 内单调递增，在0(,)x +∞内单调递减，所以对任意的正实数x 都有0()()0F x F x ≤=，即对任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤.(III)证明：不妨设12x x ≤，由(II)知()()20()g x n n x x =--，设方程()g x a =的根为2x '，可得202.ax x n n'=+-，当2n ≥时，()g x 在(),-∞+∞上单调递减，又由(II)知222()()(),g x f x a g x '≥==可得22x x '≤.类似的，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当(0,)x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-<，即对任意(0,)x ∈+∞，()().f x h x <设方程()h x a =的根为1x '，可得1ax n'=，因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.绝密★启用前2015年普通高等学校招生全套统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一、选择题：本题考查基本知识和基本运算。

2015年高考天津市理科数学真题一、选择题1．已知全集，集合，集合，则集合（ {1,2,3,4,5,6,7,8}U =A={2,3,5,6}B={1,3,4,6,7}U A C B= ）A ．B ．C ．D ．{}2,5{}3,6{}2,5,6{}2,3,5,6,82．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（,x y 20.30.230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩6z x y =+）A ．B ．C ．D ．3418403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）S A ．B ．C ．D ．10-614184．设，则“”是“”的（ ）x R ∈|2|1x -＜220x x +-＞A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆中，是弦的三等分点，弦，分别经过点O N M ，AB CD CE ，若，，，则线段的长为（ ）N M ，2CM =4MD =3CN =NE A ．B ．3C ．D ．83103526．已知双曲线（）的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线22221x y a b-=0b 0a ＞，＞ ）A ．B ．C ．D ．2212128x y -=2212821x y -=22134x y -=22143x y -=7．已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，R ()21x mf x -=-m 0.5(log 3)a f =，，则的大小关系为（ ）2(log 5)b f =(2)c f m =b c a ，，A ．B ．C ．D ．a b c ＜＜a cb ＜＜c a b ＜＜c b a ＜＜8．已知函数函数，其中，若函数恰22||()22x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，2，（），＞，()(2)g x b f x =--b R ∈()()y f x g x =-有个零点，则的取值范围是（ ）4b A ．B ．C ．D ．7()4+∞，7()4-∞，7(0)4，7(2)4，二、填空题9．是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数i (12)()i a i -+的值为 ．a 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 ．3m 11．曲线与直线所围成的封闭图形的面积为2y x =y x =．12．在的展开式中，的系数为 ．61()4x x-2x 13．在中，内角所对的边分别为.已知的面积为ABC ∆,,A B C ,,a b c ABC ∆，则的值为 ．12,cos 4b c A -==-a 14．在等腰梯形中，已知。

2015年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3}B．{2，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}2．（5分）（2015•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．143．（5分）（2015•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．2B．3C．4D．54．（5分）（2015•天津）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）（2015•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣=16．（5分）（2015•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．7．（5分）（2015•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2015•天津）i是虚数单位，计算的结果为．10．（5分）（2015•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．11．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为．12．（5分）（2015•天津）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为时，log2a•log2（2b）取得最大值．13．（5分）（2015•天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．14．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2015•天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．16．（13分）（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．17．（13分）（2015•天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．18．（13分）（2015•天津）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．19．（14分）（2015•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q （Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．20．（14分）（2015•天津）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．2015年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015•天津）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={2，3，5}，集合B={1，3，4，6}，则集合A∩∁U B=（）A．{3}B．{2，5}C．{1，4，6}D．{2，3，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合B的补集，然后求解交集即可．解答：解：全集U={1，2，3，4，5，6}，集合B={1，3，4，6}，∁B={2，5}，又集合A={2，U3，5}，则集合A∩∁U B={2，5}．故选：B．点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）（2015•天津）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（）A．7B．8C．9D．14考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．即目标函数z=3x+y的最大值为9．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分）（2015•天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．2B．3C．4D．5考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=0时满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=10，i=0i=1，S=9不满足条件S≤1，i=2，S=7不满足条件S≤1，i=3，S=4不满足条件S≤1，i=4，S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i的值为4．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i，S的值是解题的关键，属于基础题．4．（5分）（2015•天津）设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件．专题：简易逻辑．分析：求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．解答：解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选：A点评：本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．5．（5分）（2015•天津）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F（2，0），且双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，则双曲线的方程为（）A．﹣=1B．﹣=1C．﹣y2=1D．x2﹣=1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出a，b的关系，结合焦点为F（2，0），求出a，b的值，即可得到双曲线的方程．解答：解：双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，∵双曲线的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=3相切，∴，∴b=a，∵焦点为F（2，0），∴a2+b2=4，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为x2﹣=1．故选：D．点评：本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出a，b的值，是解题的关键．6．（5分）（2015•天津）如图，在圆O中，M、N是弦AB的三等分点，弦CD，CE分别经过点M，N，若CM=2，MD=4，CN=3，则线段NE的长为（）A．B．3C．D．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：由相交弦定理求出AM，再利用相交弦定理求NE即可．解答：解：由相交弦定理可得CM•MD=AM•MB，∴2×4=AM•2AM，∴AM=2，∴MN=NB=2，又CN•NE=AN•NB，∴3×NE=4×2，∴NE=．故选：A．点评：本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）（2015•天津）已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a考点：对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性得出f（x）=2|x|﹣1=，利用单调性求解即可．解答：解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），m=0，∵f（x）=2|x|﹣1=，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，∵a=f（）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，0＜log23＜log25，∴c＜a＜b，故选：B点评：本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．8．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为（）A．2B．3C．4D．5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：开放型；函数的性质及应用．分析：求出函数y=f（x）﹣g（x）的表达式，构造函数h（x）=f（x）+f（2﹣x），作出函数h（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．解答：解：∵g（x）=3﹣f（2﹣x），∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x），由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3，设h（x）=f（x）+f（2﹣x），若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，若0≤x≤2，则﹣2≤x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：当y=3时，两个函数有2个交点，故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，故选：A．点评：本题主要考查函数零点个数的判断，根据条件求出函数的解析式，利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）（2015•天津）i是虚数单位，计算的结果为﹣i ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的除法运算法则化简求解即可．解答：解：i是虚数单位，===﹣i．故答案为：﹣i．点评：本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．10．（5分）（2015•天津）一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为2，圆锥底面圆的半径为1，高为1；∴该几何体的体积为V几何体=2×π•12×1+π•12•2=π．故答案为：π．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．11．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=a x lnx，x∈（0，+∞），其中a为实数，f′（x）为f（x）的导函数，若f′（1）=3，则a的值为 3 ．考点：导数的乘法与除法法则．专题：导数的综合应用．分析：由题意求出f'（x），利用f′（1）=3，求a．解答：解：因为f（x）=a x lnx，所以f′（x）=f（x）=lna•a x lnx+a x，又f′（1）=3，所以a=3；故答案为：3．点评：本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．12．（5分）（2015•天津）已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为 4 时，log2a•log2（2b）取得最大值．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，loga•log2（2b）取得最大值，2从而得出结论．解答：解：由题意可得当loga•log2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，2故有a＞1．再利用基本不等式可得log2a•log2（2b）≤===4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2a•log2（2b）取得最大值，故答案为：4．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．13．（5分）（2015•天津）在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB=2，BC=1，∠ABC=60°，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则•的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．解答：解：∵AB=2，BC=1，∠ABC=60°，∴BG==，CD=2﹣1=1，∠BCD=120°，∴•=（+）•（+）=（+）•（+）=•+•+•+•=2×1×cos60°+×2×1×cos0°+×1×1×cos60°+××1×1×cos120°=1+=，故答案为：点评：本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．14．（5分）（2015•天津）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，则ω的值为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由两角和的正弦函数公式化简解析式可得f（x）=sin（ωx+），由2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0，又由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，结合已知可得：ω2=，从而可求ω的值．解答：解：∵f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间为：[，]，k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，∴可解得：k=0，又∵由ωx+=kπ+，可解得函数f（x）的对称轴为：x=，k∈Z，∴由函数y=f（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω2=，可解得：ω=．故答案为：．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）（2015•天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6，现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．（i）用所给编号列出所有可能的结果；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，求事件A发生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（Ⅱ）（i）列举可得从6名运动员中随机抽取2名的所有结果共15种；（ii）事件A包含上述9个，由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为=，27×=3，9×=1，18×=2，∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、2；（Ⅱ）（i）从6名运动员中随机抽取2名的所有结果为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，A5），（A1，A6），（A2，A3），（A2，A4），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A4），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6），共15种；（ii）设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，则事件A包含：（A1，A5），（A1，A6），（A2，A5），（A2，A6），（A3，A5），（A3，A6），（A4，A5），（A4，A6）），（A5，A6）共9个基本事件，∴事件A发生的概率P==点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．16．（13分）（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．（Ⅰ）求a和sinC的值；（Ⅱ）求cos（2A+）的值．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b，c，利用正弦定理求解sinC的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（2A+），然后直接求解即可．解答：解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，咋地了一余弦定理的应用，考查计算能力．17．（13分）（2015•天津）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2，AA1=，BB1=2，点E和F分别为BC和A1C的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接AB，易证EF∥A1B，由线面平行的判定定理可得；1（Ⅱ）易证AE⊥BC，BB1⊥AE，可证AE⊥平面BCB1，进而可得面面垂直；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，易证∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，解三角形可得．解答：（Ⅰ）证明：连接AB，在△A1BC中，1∵E和F分别是BC和A1C的中点，∴EF∥A1B，又∵A1B⊂平面A1B1BA，EF⊄平面A1B1BA，∴EF∥平面A1B1BA；（Ⅱ）证明：∵AB=AC，E为BC中点，∴AE⊥BC，∵AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AE，又∵BC∩BB1=B，∴AE⊥平面BCB1，又∵AE⊂平面AEA1，∴平面AEA1⊥平面BCB1；（Ⅲ）取BB1中点M和B1C中点N，连接A1M，A1N，NE，∵N和E分别为B1C和BC的中点，∴NE∥B1B，且NE=B1B，∴NE∥A1A，且NE=A1A，∴A1N∥NE，且A1N=NE，又∵AE⊥平面BCB1，∴A1N⊥平面BCB1，∴∠A1B1N即为直线A1B1与平面BCB1所成角，在△ABC中，可得AE=2，∴A1N=AE=2，∵BM∥AA1，BM=AA1，∴A1M∥AB且A1M=AB，又由AB⊥BB1，∴A1M⊥BB1，在RT△A1MB1中，A1B1==4，在RT△A1NB1中，sin∠A1B1N==，∴∠A1B1N=30°，即直线A1B1与平面BCB1所成角的大小为30°点评：本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．18．（13分）（2015•天津）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1=b1=1，b2+b3=2a3，a5﹣3b2=7．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设出数列{a}的公比和数列{b n}的公差，由题意列出关于q，d的方程组，求解n方程组得到q，d的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得到，然后利用错位相减法求得数列{c n}的前n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列{a}的公比为q，数列{b n}的公差为d，由题意，q＞0，n由已知有，消去d整理得：q4﹣2q2﹣8=0．∵q＞0，解得q=2，∴d=2，∴数列{a n}的通项公式为，n∈N*；数列{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设{c n}的前n项和为S n，则，，两式作差得：=2n+1﹣3﹣（2n﹣1）×2n=﹣（2n﹣3）×2n﹣3．∴．点评：本题主要考查等差数列、等比数列及其前n项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．19．（14分）（2015•天津）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的上顶点为B，左焦点为F，离心率为．（Ⅰ）求直线BF的斜率．（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B），过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q （Q异于点B），直线PQ与y轴交于点M，|PM|=λ|MQ|．（i）求λ的值．（ii）若|PM|sin∠BQP=，求椭圆的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过e=、a2=b2+c2、B（0，b），计算即得结论；（Ⅱ）设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），M（x M，y M）．（i）通过（I），联立直线BF与椭圆方程，利用韦达定理可得x P=﹣，利用BQ⊥BP，联立直线BQ与椭圆方程，通过韦达定理得x Q=，计算即得结论；（ii）通过=可得|PQ|=|PM|，利用|PM|sin∠BQP=，可得|BP|=，通过y P=2x P+2c=﹣c计算可得c=1，进而可得结论．解答：解：（Ⅰ）设左焦点F（﹣c，0），∵离心率e=，a2=b2+c2，∴a=c，b=2c，又∵B（0，b），∴直线BF的斜率k===2；（Ⅱ）设点P（x P，y P），Q（x Q，y Q），M（x M，y M）．（i）由（I）知a=c，b=2c，k BF=2，∴椭圆方程为+=1，直线BF方程为y=2x+2c，联立直线BF与椭圆方程，消去y并整理得：3x2+5cx=0，解得x P=﹣，∵BQ⊥BP，∴直线BQ的方程为：y=﹣x+2c，联立直线BQ与椭圆方程，消去y并整理得：21x2﹣40cx=0，解得x Q=，又∵λ=，及x M=0，∴λ===；（ii）∵=，∴==，即|PQ|=|PM|，又∵|PM|sin∠BQP=，∴|BP|=|PQ|sin∠BQP=|PM|sin∠BQP=，又∵y P=2x P+2c=﹣c，∴|BP|==c，因此c=c，即c=1，∴椭圆的方程为：+=1．点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．20．（14分）（2015•天津）已知函数f（x）=4x﹣x4，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设曲线y=f（x）与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y=g（x），求证：对于任意的实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）若方程f（x）=a（a为实数）有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x2﹣x1≤﹣+4．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（Ⅱ）设出点p的坐标，利用导数求出切线方程g（x）=f′（x0）（x﹣x0），构造辅助函数F（x）=f（x）﹣g（x），利用导数得到对于任意实数x，有F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，求出方程g（x）=a的根，由g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，得到x2≤x2′．同理得到x1′≤x1，则可证得．解答：（Ⅰ）解：由f（x）=4x﹣x4，可得f′（x）=4﹣4x3．当f′（x）＞0，即x＜1时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0，即x＞1时，函数f（x）单调递减．∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞）．（Ⅱ）证明：设点p的坐标为（x0，0），则，f′（x0）=﹣12，曲线y=f（x）在点P处的切线方程为y=f′（x0）（x﹣x0），即g（x）=f′（x0）（x ﹣x0），令函数F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0），则F′（x）=f′（x）﹣f′（x0）．∵F′（x0）=0，∴当x∈（﹣∞，x0）时，F′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，F′（x）＜0，∴F（x）在（﹣∞，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，∴对于任意实数x，F（x）≤F（x0）=0，即对任意实数x，都有f（x）≤g（x）；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，，设方程g（x）=a的根为x2′，可得．∵g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知g（x2）≥f（x2）=a=g（x2′），因此x2≤x2′．类似地，设曲线y=f（x）在原点处的切线方程为y=h（x），可得h（x）=4x，对于任意的x∈（﹣∞，+∞），有f（x）﹣h（x）=﹣x4≤0，即f（x）≤h（x）．设方程h（x）=a的根为x1′，可得，∵h（x）=4x在（﹣∞，+∞）上单调递增，且h（x1′）=a=f（x1）≤h（x1），因此x1′≤x1，由此可得．点评：本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．参与本试卷答题和审题的老师有：qiss；w3239003；sdpyqzh；刘长柏；maths；742048；changq；caoqz；lincy；sxs123；cst（排名不分先后）菁优网2015年6月15日。

2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数 学（理工类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，{}2,3,5,6A = ，{}1,3,4,6,7B = ，则集合 为（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩ ，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3（B ）4（C ）18（D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10- （B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ，则线段NE 的长为 （A ）83 （B ）3（C ）103 （D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -=（7）已知定义在R 上的函数()21x m f x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52log 3,log 5,2a b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭（D ）7,24⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 . （12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . （13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r 则AE AF ⋅u u u r u u u r 的最小值为 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期； (II)求()f x 在区间[,]34p p -上的最大值和最小值. 16. （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率； (II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17. （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12,5AC AA AD CD ====,且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证：MN ABCD P 平面； (II)求二面角11D -AC B -的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长 18. （本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式；(II)设*2221log ,n n n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和. 19. （本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为F -c （,0）,离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，43|FM|=3. (I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20. （本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21a x x n<+-。

2015 年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：每题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（ 5 分）（ 2015?天津）已知全集U={1 ，2，3，4，5，6} ，集合 A={2 ，3，5} ，集合 B={1 ，3， 4， 6} ，则集合 A ∩?U B= （）A ．{ 3}B． {2，5}C．{ 1，4，6}D．{ 2，3，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出集合 B 的补集，然后求解交集即可．解答：解：全集 U={1 ，2，3，4，5，6} ，集合 B={1 ，3，4，6} ，?U B={2 ，5} ，又集合 A={2 ，3，5} ，则集合 A ∩?U B={2 ， 5} ．故选： B．点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，基本知识的考查．2．（ 5 分）（ 2015?天津）设变量x， y 满足约束条件则目标函数z=3x+y 的最大值为（）A ． 7B． 8C． 9D． 14考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y 得 y= ﹣ 3x+z，平移直线 y= ﹣ 3x+z ，由图象可知当直线 y= ﹣ 3x+z 经过点 A 时，直线 y= ﹣3x+z 的截距最大，此时z 最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=3x+y 得 z=3×2+3=9 ．即目标函数z=3x+y 的最大值为9．故选： C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5 分）（ 2015?天津）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A ．2B． 3C．4D．5考点：循环结构．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S 的值，当 S=0 时满足条件S≤1，退出循环，输出i 的值为 4．解答：解：模拟执行程序框图，可得S=10 ， i=0i=1 ，S=9不满足条件S≤1，i=2 ， S=7不满足条件S≤1，i=3 ， S=4不满足条件S≤1，i=4 ， S=0满足条件S≤1，退出循环，输出i 的值为 4．故选： C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的i ， S 的值是解题的关键，属于基础题．4．（ 5 分）（ 2015?天津）设 x ∈R ，则 “1＜ x ＜2”是 “|x ﹣2|＜ 1”的（ ） A ．充 分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充要条件 D ． 既不充分也不必要条件考点 ：充要条件． 专题 ：简易逻辑．分析：求解： |x ﹣2|＜ 1，得出 “1＜ x ＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可． 解答：解：∵|x ﹣ 2|＜ 1，∴1＜ x ＜ 3， ∵“1＜ x ＜ 2”∴根据充分必要条件的定义可得出： “1＜ x ＜ 2”是 “|x ﹣ 2|＜ 1”的充分不必要条件．故选： A点评：本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．5．（ 5 分）（ 2015?天津）已知双曲线﹣ =1（a ＞ 0，b ＞ 0）的一个焦点为F （ 2，0），且双曲线的渐近线与圆（ x ﹣ 22）2） +y =3 相切，则双曲线的方程为（A ．B ．C ． =1D ．﹣ =1﹣ ﹣ y 2x 2﹣=1=1考点 ：双曲线的简单性质．专题 ：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得双曲线的渐近线方程，根据圆心到切线的距离等于半径得，求出 a ， b 的关系，结合焦点为F （2， 0），求出 a ， b 的值，即可得到双曲线的方程．解答：解：双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0 ，22∵双曲线的渐近线与圆（ x ﹣2） +y =3 相切，∴，∴b=a ，∵焦点为 F （ 2， 0），22∴a +b =4，∴a=1， b= ，∴双曲线的方程为 x 2﹣=1．故选： D ．点评：本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出 a ， b 的值，是解题的关键．6．（ 5 分）（ 2015?天津）如图，在圆 O 中， M 、N 是弦 AB 的三等分点，弦 CD ，CE 分别经过点 M ， N ，若 CM=2 ， MD=4 ， CN=3 ，则线段 NE 的长为（ ）A ．B ．3C ．D ．考点 ：与圆有关的比例线段． 专题 ：选作题；推理和证明． 分析：由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE 即可．解答：解：由相交弦定理可得CM ?MD=AM ?MB ，∴2×4=AM ?2AM ， ∴AM=2 ， ∴MN=NB=2 ，又 CN ?NE=AN ?NB ， ∴3×NE=4 ×2，∴NE= ．故选： A ．点评：本题考查相交弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．7．（ 5 分）（ 2015?天津）已知定义在 R 上的函数 f （ x ） =2|x ﹣m|﹣1（ m 为实数）为偶函数，记 a=f （ log 0.5 2）3）， b=f （ log 5）， c=f （ 2m ），则 a ，b ， c 的大小关系为（A ． a ＜b ＜ cB ． c ＜ a ＜bC ． a ＜ c ＜ bD ． c ＜ b ＜ a考点 ：对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合． 专题 ：函数的性质及应用．分析：根据函数的奇偶性得出f （ x ） =2|x|﹣ 1=，利用单调性求解即可．|x ﹣ m|解答：解：∵定义在 R 上的函数 f （ x ） =2﹣ 1（m 为实数）为偶函数，m=0 ，∵f（ x） =2 |x|﹣ 1=，∴f（ x）在（ 0， +∞）单调递增，∵a=f （ log0.53） =f （ log 23），b=f （ log 25）， c=f （ 2m） =f （ 0） =0，0＜ log 23＜ log25，∴c＜ a＜ b，故选： B点评：本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．8．（ 5 分）（ 2015?天津）已知函数 f（ x）=，函数 g（ x）=3 ﹣ f（2﹣ x），则函数 y=f （x）﹣ g（ x）的零点个数为（）A ． 2B． 3C． 4D． 5考点：根的存在性及根的个数判断．专题：开放型；函数的性质及应用．分析：求出函数 y=f （ x）﹣ g（ x）的表达式，构造函数h（x） =f（ x）+f（ 2﹣ x），作出函数h（ x）的图象，利用数形结合进行求解即可．解答：解：∵g（x） =3﹣ f （ 2﹣ x），∴y=f （ x）﹣ g（ x） =f （ x）﹣ 3+f （ 2﹣ x），由f（ x）﹣ 3+f （2﹣ x）=0 ，得 f （ x） +f （ 2﹣ x）=3，设 h（ x）=f （ x） +f （ 2﹣x），若 x≤0，则﹣ x≥0，2﹣ x≥2，则h（ x）=f （ x） +f （ 2﹣x） =2+x+x 2，若 x≤0，则﹣ x≥0，2﹣ x≥2，则h（ x）=f （ x） +f （ 2﹣x） =2+x+x 2，若 0≤x≤2，则﹣ 2≤x≤0， 0≤2﹣ x≤2，则h（ x）=f （ x） +f （ 2﹣x） =2﹣ x+2﹣ |2﹣ x|=2﹣ x+2 ﹣ 2+x=2 ，若 x＞ 2，﹣ x＜ 0，2﹣ x＜0，则h（ x）=f （ x） +f （ 2﹣x） =（ x﹣2）2+2﹣ |2﹣ x|=x2﹣ 5x+8 ．即 h（ x）=，作出函数h（ x）的图象如图：当 y=3 时，两个函数有 2 个交点，故函数 y=f （ x）﹣ g（ x）的零点个数为 2 个，故选： A．点评：本题主要考查函数零点个数的判断， 根据条件求出函数的解析式， 利用数形结合是解决本题的关键．二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9．（ 5 分）（ 2015?天津） i 是虚数单位，计算的结果为﹣ i ．考点 ：复数代数形式的乘除运算． 专题 ：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的除法运算法则化简求解即可． 解答：解： i 是虚数单位，===﹣ i ．故答案为：﹣ i ．点评：本题考查复数的乘除运算，基本知识的考查．10．（ 5 分）（ 2015?天津）一个几何体的三视图如图所示（单位： m ），则该几何体的体积为m 3．考点 ：由三视图求面积、体积．专题 ：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底面相同的圆柱与两个圆锥的组合体，且圆柱底面圆的半径为1，高为 2，圆锥底面圆的半径为1，高为 1；∴该几何体的体积为22V 几何体 =2× π?1 ×1+π?1 ?2=π．故答案为：π．点评：本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题，是基础题目．x11．（ 5 分）（ 2015?天津）已知函数f（ x）=a lnx ， x∈（ 0，+∞），其中f （ x）的导函数，若f′（ 1） =3，则 a 的值为 3．考点：导数的乘法与除法法则．专题：导数的综合应用．分析：由题意求出 f'（ x），利用 f′（ 1）=3，求 a．解答：x x x，又解：因为 f（ x）=a lnx ，所以 f′（ x）=f（x）=lna?a lnx+a故答案为： 3．点评：本题考查了求导公式的运用；熟练掌握求导公式是关键．a为实数， f′（ x）为f′（ 1）=3，所以 a=3；12．（ 5 分）（ 2015?天津）已知 a＞0， b＞0， ab=8，则当 a 的值为 4 时， log2a?log2（ 2b）取得最大值．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：由条件可得a＞ 1，再利用基本不等式，求得当从而得出结论．解答：解：由题意可得当log2 a?log2（2b）最大时，故有 a＞ 1．再利用基本不等式可得log 2a?log 2（ 2b）a=4 时， log 2a?log 2（ 2b）取得最大值，log2a 和 log 2（2b）都是正数，≤===4，当且仅当 a=2b=4 时，取等号，即当 a=4 时， log2a?log2（ 2b）取得最大值，故答案为： 4．点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．13．（5 分）（ 2015?天津）在等腰梯形ABCD 中，已知 AB ∥DC，AB=2 ，BC=1 ，∠ABC=60 °，点E和F分别在线段BC和DC上，且=，=，则?的值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量数量积的公式和应用，进行运算求解即可．解答：解：∵AB=2 ，BC=1 ，∠ABC=60 °，∴BG== ， CD=2 ﹣ 1=1 ，∠BCD=120 °，∵=，=，∴?=（+）?（ +）=（ +）?（ +）=?+?+? +?=2 ×1×cos60°+×2×1×cos0°+ ×1×1×cos60°+× ×1×1×cos120°=1+=，故答案为：点评：本题主要考查向量数量积的应用，根据条件确定向量的长度和夹角是解决本题的关键．14．（5 分）（ 2015?天津）已知函数 f（ x） =sinωx+cosωx（ω＞ 0），x∈R，若函数f（ x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数 y=f（ x）的图象关于直线x= ω对称，则ω的值为．考点：由 y=Asin （ωx+ φ）的部分图象确定其解析式．专题：开放型；三角函数的图像与性质．分析：由两角和的正弦函数公式化简解析式可得 f （ x） =sin（ωx+），由 2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+，k∈Z可解得函数f（ x）的单调递增区间，结合已知可得：﹣ω≥①，ω≤②，k∈Z，从而解得k=0 ，又由ωx+=k π+，可解8得函数 f （ x）的对称轴为： x=2， k∈Z，结合已知可得：ω= ，从而可求ω的值．解答：解：∵f （ x） =sinωx+cosωx=sin（ωx+），∵函数 f（ x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，ω＞ 0∴2kπ﹣≤ωx+≤2kπ+ ，k∈Z 可解得函数 f（ x）的单调递增区间为： [，] ， k∈Z，∴可得：﹣ω≥①，ω≤②， k∈Z ，∴可解得： k=0，又∵由ωx+=k π+，可解得函数 f （ x）的对称轴为： x=， k∈Z ，∴由函数 y=f （ x）的图象关于直线2，可解得：ω=．x= ω对称，可得：ω =故答案为：．点评：本题主要考查了由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k 的值是解题的关键，属于中档题．三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（ 13 分）（ 2015?天津）设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27， 9， 18，先采用分层抽取的方法从这三个协会中抽取 6 名运动员组队参加比赛．（Ⅰ）求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；（Ⅱ）将抽取的 6 名运动员进行编号，编号分别为 A 1，A 2， A 3， A4， A 5， A 6，现从这 6 名运动员中随机抽取 2 人参加双打比赛．（i ）用所给编号列出所有可能的结果；（ii ）设 A 为事件“编号为 A 5和 A 6的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，求事件 A 发生的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意可得抽取比例，可得相应的人数；（Ⅱ）（ i）列举可得从 6 名运动员中随机抽取 2 名的所有结果共 15种；（ ii ）事件 A 包含上述9 个，由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）由题意可得抽取比例为=，27× =3， 9× =1 ，18× =2，∴应甲、乙、丙三个协会中分别抽取的运动员的人数为3、1、 2；（Ⅱ）（ i）从 6 名运动员中随机抽取 2 名的所有结果为：（A1，A 2），（ A 1，A 3），（ A 1，A 4），（ A 1，A 5），（ A 1，A 6），（A2，A 3），（ A 2，A 4），（ A 2，A 5），（ A 2，A 6），（ A 3，A 4），（A3，A 5），（ A 3，A 6），（ A 4，A 5），（ A 4，A 6）），（ A 5，A 6），共 15种；（ ii ）设 A 为事件“编号为 A5和 A6的两名运动员中至少有 1 人被抽到”，则事件 A 包含：（ A 1， A 5），（ A 1， A 6），（ A 2， A5），（ A 2，A 6），（A3，A 5），（ A 3，A 6），（ A 4，A 5），（ A 4，A 6）），（ A 5，A 6）共 9个基本事件，∴事件 A 发生的概率 P= =点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及分层抽样，属基础题．16．（ 13 分）（2015?天津）在△ABC 中，内角 A ，B ，C 所对的边分别为a，b，c，已知△ABC 的面积为 3， b﹣c=2， cosA= ﹣．（Ⅰ）求 a 和 sinC 的值；（Ⅱ）求 cos（ 2A+）的值．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）通过三角形的面积以及已知条件求出b， c，利用正弦定理求解 sinC 的值；（Ⅱ）利用两角和的余弦函数化简cos（ 2A+），然后直接求解即可．解答：解：（Ⅰ）在三角形 ABC 中，由 cosA= ﹣，可得 sinA=，△ABC 的面积为 3，可得：，可得 bc=24，又 b﹣c=2，解得 b=6， c=4，由 a 2=b2+c2﹣2bccosA，可得 a=8，，解得 sinC=；（Ⅱ） cos（ 2A+） =cos2Acos ﹣sin2Asin==．点评：本题考查同角三角函数的基本关系式，二倍角公式，咋地了一余弦定理的应用，考查计算能力．17．（ 13 分）（ 2015?天津）如图，已知AA 1⊥平面 ABC ， BB 1∥AA 1，AB=AC=3 ， BC=2，AA 1= ，BB 1=2，点 E 和 F 分别为 BC 和 A1C 的中点．（Ⅰ）求证： EF∥平面 A 1B1BA ；（Ⅱ）求证：平面AEA 1⊥平面 BCB 1；（Ⅲ）求直线A 1B1与平面 BCB 1所成角的大小．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接 A 1B，易证 EF∥A1B ，由线面平行的判定定理可得；（Ⅱ）易证 AE ⊥BC ， BB 1⊥AE ，可证 AE ⊥平面 BCB 1，进而可得面面垂直；（Ⅲ）取 BB 1中点 M 和 B1C 中点 N，连接 A 1M ， A 1N ，NE ，易证∠A 1B1N 即为直线A 1B1与平面 BCB 1所成角，解三角形可得．解答：（Ⅰ）证明：连接 A 1B，在△A 1BC 中，∵E 和 F 分别是 BC 和 A 1C 的中点，∴EF∥A 1B，又∵A 1B ? 平面 A 1B1BA ， EF? 平面 A 1B1BA ，∴EF∥平面 A1B1BA ；（Ⅱ）证明：∵AB=AC ， E 为 BC 中点，∴AE ⊥BC，∵AA 1⊥平面 ABC ， BB 1∥AA 1，∴BB 1⊥平面 ABC ，∴BB 1⊥AE ，又∵BC ∩BB 1=B，∴AE ⊥平面 BCB 1，又∵AE ? 平面 AEA 1，∴平面 AEA 1⊥平面 BCB 1；（Ⅲ）取 BB1中点 M 和 B1C 中点 N，连接 A1M，A1N，NE，∵N 和 E 分别为 B 1C 和 BC 的中点，∴NE 平行且等于B1B，∴NE 平行且等于 A 1A ，∴四边形 A 1AEN 是平行四边形，∴A 1N 平行且等于 AE ，又∵AE ⊥平面 BCB 1，∴A 1N⊥平面 BCB 1，∴∠A 1B1N 即为直线 A 1B1与平面 BCB 1所成角，在△ABC 中，可得 AE=2 ，∴A 1N=AE=2 ，∵BM ∥AA 1，BM=AA 1，∴A 1M∥AB 且 A 1M=AB ，又由 AB ⊥BB 1，∴A 1M ⊥BB 1，在 RT△A 1MB 1中， A 1B1==4，在 RT△A 1NB 1中， sin∠A 1B1N==，∴∠A 1B 1N=30 °，即直线 A 1B 1 与平面 BCB 1 所成角的大小为30°点评：本题考查线面垂直与平行关系的证明，涉及直线与平面所成的角，属中档题．18．（ 13 分）（ 2015?天津）已知 {a n } 是各项均为正数的等比数列， {b n } 是等差数列， 且 a 1=b 1=1， b 2+b 3=2a 3， a 5﹣ 3b 2=7．（Ⅰ）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（Ⅱ）设 c n =a n b n ，n ∈N *，求数列 {c n } 的前 n 项和．考点 ：等差数列与等比数列的综合． 专题 ：等差数列与等比数列．分析：（ Ⅰ）设出数列 {a n } 的公比和数列 {b n } 的公差，由题意列出关于 q ， d 的方程组，求解方程组得到 q ， d 的值，则等差数列和等比数列的通项公式可求；（Ⅱ）由题意得到 ，然后利用错位相减法求得数列{c n } 的前 n项和．解答：解：（Ⅰ）设数列 {a n } 的公比为 q ，数列 {b n } 的公差为 d ，由题意， q ＞ 0，由已知有，消去 d 整理得： q 4﹣ 2q 2﹣ 8=0．∵q ＞ 0，解得 q=2 ，∴d=2，∴数列 {a n } 的通项公式为， n ∈N * ；数列 {b n } 的通项公式为 b n =2n ﹣ 1， n ∈N *．（Ⅱ）由（Ⅰ）有，设 {c n } 的前 n 项和为 S n ，则，，两式作差得：n+1 n=2 ﹣ 3﹣（ 2n ﹣ 1）×2 =﹣（ 2n ﹣3） ×2n﹣ 3．∴．点评：本题主要考查等差数列、 等比数列及其前 n 项和，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，是中档题．19．（ 14 分）（ 2015?天津）已知椭圆 + =1（ a ＞ b ＞ 0）的上顶点为 B ，左焦点为 F ，离心率为 ．（Ⅰ）求直线 BF 的斜率．（Ⅱ）设直线 BF 与椭圆交于点（Q 异于点 B ），直线 PQ 与（i ）求 λ的值．P （P 异于点 B ），过点 B 且垂直于 BP 的直线与椭圆交于点 Q y轴交于点 M ， |PM|= λ|MQ|．（ii ）若 |PM|sin ∠BQP=，求椭圆的方程．考点 ：直线与圆锥曲线的综合问题．专题 ：开放型；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： （Ⅰ）通过 e= 2 2 2、a =b +c 、 B （ 0， b ），计算即得结论； （Ⅱ）设点 P （ x P ，y P ）， Q （ x Q ， y Q ），M （ x M ，y M ）．（ i ）通过（ I ），联立直线 BF 与椭圆方程，利用韦达定理可得 x P =﹣ ，利用 BQ ⊥BP ，联立直线 BQ 与椭圆方程，通过韦达定理得 x Q = ，计算即得结论； （ ii ）通过= 可得 |PQ|= |PM|，利用|PM|sin ∠BQP= ，可得 |BP|=，通过 y P =2x P +2c= ﹣ c 计算可得 c=1，进而可得结论．解答：解：（Ⅰ）设左焦点 F （﹣ c ， 0），∵离心率 e=2 22，∴a=c ， b=2c ，， a =b +c又∵B （0， b ），∴直线 BF 的斜率 k= = =2；（Ⅱ）设点 P （ x P ， y P ）， Q （x Q ， y Q ）， M （ x M ， y M ）． （ i ）由（ I ）知 a= c ， b=2c ， k BF =2，∴椭圆方程为+=1，直线 BF 方程为 y=2x+2c ，联立直线 BF 与椭圆方程，消去 y 并整理得： 3x 2P，+5cx=0 ，解得 x =﹣∵BQ ⊥BP ，∴直线 BQ 的方程为： y= ﹣ x+2c ，联立直线 BQ 与椭圆方程，消去y 并整理得： 21x 2﹣ 40cx=0，解得 x Q =，又∵λ=，及 x M =0，∴λ= = = ；（ ii ）∵= ，∴ = = ，即 |PQ|= |PM|，又∵|PM|sin ∠BQP=，∴|BP|=|PQ|sin ∠BQP= |PM|sin ∠BQP=，又∵y P =2x P +2c= ﹣ c ，∴|BP|==c ，因此c= c ，即 c=1，∴椭圆的方程为：+ =1．点评：本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、两条直线垂直等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质， 考查运算求解能力以及用方程思想和化归思想解决问题的能力，属于中档题．420．（ 14 分）（ 2015?天津）已知函数 f （ x ）=4x ﹣ x ，x ∈R ．（Ⅱ）设曲线 y=f （ x ）与 x 轴正半轴的交点为 P ，曲线在点 P 处的切线方程为 y=g （ x ），求证：对于任意的实数 x ，都有 f （x ） ≤g （ x ）；（Ⅲ）若方程 f （ x ）=a （ a 为实数） 有两个实数根 x 1，x 2，且 x 1＜ x 2，求证： x 2﹣ x 1≤﹣ +4．考点 ：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题 ：开放型；导数的综合应用．分析：（ Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性； （Ⅱ）设出点 p 的坐标，利用导数求出切线方程g （ x ） =f ′（ x 0）（ x ﹣ x 0），构造辅助函数 F （ x ） =f （ x ）﹣ g （ x ），利用导数得到对于任意实数 x ，有 F （x ） ≤F （x 0） =0，即对任意实数 x ，都有 f （ x ） ≤g （x ）； （Ⅲ）由（Ⅱ）知，，求出方程 g （ x ）=a 的根，由 g （ x ）在（﹣ ∞， +∞）上单调递减，得到x 2≤x 2′．同理得到 x 1′≤x 1，则可证得．解答：（ Ⅰ）解：由 f （ x ） =4x ﹣ x 4，可得 f ′（x ） =4﹣4x 3．当 f ′（ x ）＞ 0，即 x ＜1 时，函数 f （ x ）单调递增；当 f′（ x）＜ 0，即 x＞1 时，函数 f （ x）单调递减．∴f（ x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1， +∞）．（Ⅱ）证明：设点p 的坐标为（ x0， 0），则，f′（x0）=﹣12，曲线 y=f （x）在点 P 处的切线方程为 y=f ′（ x0）（ x﹣ x0），即 g（ x）=f ′（ x0）（ x﹣x0），令函数 F（ x） =f （ x）﹣ g（ x），即 F（ x） =f （ x）﹣ f′（x0）（ x﹣x0），则 F′（x） =f ′（ x）﹣ f ′（x0）．∵F′（ x0） =0，∴当 x∈（﹣∞， x0）时， F′（ x）＞ 0；当 x∈（ x0， +∞）时， F′（ x）＜0，∴F（ x）在（﹣∞， x0）上单调递增，在（ x0，+∞）上单调递减，∴对于任意实数x， F（ x）≤F（ x0） =0，即对任意实数 x，都有 f（ x）≤g（ x）；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ ）知，，设方程g（ x） =a 的根为 x2′，可得．∵g（ x）在（﹣∞， +∞）上单调递减，又由（Ⅱ）知 g（ x2）≥f（x2） =a=g（x2′），因此 x2≤x2′．类似地，设曲线 y=f （ x）在原点处的切线方程为y=h （ x），可得 h（ x） =4x ，对于任意的 x∈（﹣∞，+∞），有 f（ x）﹣ h（ x） =﹣x 4≤0，即 f （ x）≤h（ x）．设方程 h（ x） =a 的根为 x1′，可得，∵h（ x） =4x 在（﹣∞， +∞）上单调递增，且h（ x1′） =a=f （ x1）≤h（ x1），因此 x1′≤x1，由此可得．点评：本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识．考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．。

2015 年一般高等学校招生全国一致考试（天津卷）数学（理工类）一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的.（ 1）全集U1,2,3,4,5,6,7,8， A2,3,5,6， B 1,3,4,6,7，则会集为（ A）2,5（ B）3,6（C）2,5,6（D）2,3,5,6,8x20（ 2）设变量x, y满足拘束条件x y 3 0，则目标函数 z x 6 y 的最大值为2x y 30（A） 3（ B） 4（ C） 18（ D） 40（ 3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A）10（ B） 6（C） 14（ D） 18（ 4）设x R ，则“ x 2 1 ”是“x2x 2 0 ”的（A）充分而不用要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不用要条件（ 5）如图，在圆O中，M , N是弦AB 的三均分点，弦CD ,CE分别经过点 M,N .若CM2, MD4,CN 3，则线段 NE 的长为（A）8（B） 3（ C）10（D）5 332（ 6）已知双曲线x2y21a0, b0的一条渐近线过点2,3，且双曲线的a2b2一个焦点在抛物线y247x的准线上，则双曲线的方程为（A） x2y21（B） x2y21（C） x2y21（D） x2y 21212828213443（ 7）已知定义在R上的函数f x2 x m 1 （m为实数）为偶函数，记 a log0.5 3,b f log 2 5 , c f2m，则 a,b, c的大小关系为（ A）a b c（ B）a c b（C）c a b（ D）c b a2x ,x2,（ 8）已知函数f xx2,x函数 g x b f2x，其中 b R ，若函数 y f x g x恰有22,4 个零点，则b的取值范围是（A）7,（ B）,7（C）0,7（D）7,2 4444二、填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分.（ 9）i是虚数单位，若复数12i a i是纯虚数，则实数 a 的值为.（ 10）一个几何体的三视图以下列图（单位：m ），则该几何体的体积为m3 .（ 11）曲线y x2与直线y x 所围成的封闭图形的面积为.（ 12）在x 16的张开式中，x2的系数为. 4x（）在ABC中，内角 A, B,C所对的边分别为a, b, c ，已知ABC的面积为315， b c2,cos A1则13a4的值为.（ 14）在等腰梯形ABCD 中,已知AB/ /DC, AB2, BC1,ABC60o,动点E和F分别在线段 BC和 DC上, 且,uuur uuur uuur1uuur uuur uuur. BE BC,DF9DC ,则 AE AF的最小值为三、解答题：本大题共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. （本小题满分13 分）已知函数f x sin 2 x sin 2x， x R6(I)求 f (x) 最小正周期；(II)求 f ( x) 在区间 [-p,p] 上的最大值和最小值. 3416.（本小题满分13 分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛赞同不同样协会的运动员组队参加. 现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名；乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名 . 从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛 .(I)设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”求事件 A 发生的概率；(II)设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学希望 .17.（本小题满分13分）如图，在四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，侧棱A1A底面 ABCD ,AB AC,AB =1,AC = AA1=2,AD =CD = 5 ,且点M和N分别为B1C和D1D的中点.(I)求证： MN P平面 ABCD ；(II)求二面角 D 1 -AC - B1的正弦值；(III)设 E 为棱A1B1上的点，若直线NE和平面 ABCD所成角的正弦值为1，求线段A1E的长318.（本小题满分13 分）已知数列{a n }满足 an 2qa(q 为实数，且 q1)， n N * , a1,a 2 ，且n12a2 + a3 , a3 + a4 , a4 + a5成等差数列.(I)求 q 的值和{ a n}的通项公式；(II) 设b n log2a2n , n N *，求数列｛ b n｝的前n项和. a2 n 119. （本小题满分14 分）已知椭圆x2+y2=1(a>b>0)F（-c,0 ）3，点 M在椭圆上且位于a b3第一象限，直线FM被圆x2+y2=b4截得的线段的长为c，|FM|=43 .43(I)求直线FM的斜率；(II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP（ O为原点）的斜率的取值范围.20.（本小题满分14 分）已知函数 f (x)n x x n , x R ，其中n N * ,n2.(I) 谈论 f (x) 的单调性；(II)设曲线y = f ( x) 与x 轴正半轴的交点为P，曲线在点P 处的切线方程为y = g( x), 求证：关于任意的正实数x ，都有 f ( x)g( x) ；(III)若关于x 的方程 f ( x)=a(a为实数) 有两个正实根x1， x2，求证：| x2 -x1|<a1- n+2。

2015年天津市高考数学真题（理科）一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合A={2,3,5,6}，集合B={1,3,4,6,7}，则集合U A C B=I （ ）A ．{}2,5B ．{}3,6C ．{}2,5,6D ．{}2,3,5,6,82．设变量,x y 满足约束条件20.30.230.x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．10-B ．6C ．14D ．184．设x R ∈，则“|2|1x -＜”是“220x x +-＞”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，N M ，是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点N M ，，若2CM =，4MD =，3CN =，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221x y a b-=（0b 0a ＞，＞）的一条渐近线过点（23，），且双曲线的一个焦点在抛物线247y x =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -= B ．2212821x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 7．已知定义在R 上的函数()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则b c a ，，的大小关系为（ ）A ．a b c ＜＜B ．a c b ＜＜C ．c a b ＜＜D ．c b a ＜＜8．已知函数22||()22x x f x x x -≤⎧=⎨-⎩，2，（），＞，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7()4+∞，B ．7()4-∞，C ．7(0)4， D ．7(2)4，二、填空题9．i 是虚数单位，若复数(12)()i a i -+是纯虚数，则实数a 的值为 ． 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m ．11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 ．12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为 ． 13．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为 ． 14．在等腰梯形ABCD 中，已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠=︒。

天津市2015年高考理科数学试题与答案（word 版）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I 卷参考公式：如果事件 A ，B 互斥，那么 如果事件 A ，B 相互独立， P(A ∪B)=P(A)+P(B)． P(AB)=P(A) P(B)． 柱体的体积公式V 柱体=Sh 锥体的体积公式V = V=1/3Sh 其中 S 表示柱体的底面积 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示柱体的高． h 表示锥体的高．一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ，集合{}2,3,5,6A = ，集合{}1,3,4,6,7B = ，则集合 A ∩=（A ）{}2,5 （B ）{}3,6 （C ）{}2,5,6 （D ）{}2,3,5,6,8（2）设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数6z x y =+的最大值为（A ）3 （B ）4 （C ）18 （D ）40（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）10-（B ）6（C ）14（D ）18（4）设x R ∈ ，则“21x -< ”是“220x x +-> ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）如图，在圆O 中，,M N 是弦AB 的三等分点，弦,CD CE 分别经过点,M N .若2,4,3CM MD CN === ， 则线段NE 的长为 （A ）83（B ）3 （C ）103（D ）52（6）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -= （D ）22143x y -= （7）已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- （m 为实数）为偶函数，记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ，则,,a b c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）c a b << （D ）c b a <<（8）已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈ ，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭第II 卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（9）i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 . （10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .（11）曲线2y x = 与直线y x = 所围成的封闭图形的面积为 .（12）在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .（13）在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为 ，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .（14）在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且1,9BE BC DF DC λλ==，则A E A F 的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分13分）已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.（16） （本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(I)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”求事件A 发生的概率；(II)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.（17） （本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD ⊥底面,AB AC ⊥,1AB =,12AC AA ==，AD CD =且点M 和N 分别为11C D B D 和的中点.(I)求证： MN ∥平面ABCD(II)求二面角11D AC B --的正弦值；(III)设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1E A 的长（18）（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和.（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b >>的左焦点为F -c （,0）,点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆422+4b x y =截得的线段的长为c ，|FM|=3.(I)求直线FM 的斜率； (II)求椭圆的方程；(III)设动点P 在椭圆上，若直线FP OP （O 为原点）的斜率的取值范围.（20）（本小题满分14分）已知函数()n ,n f x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证： 21|-|21ax x n<+-.参考解答一、选择题（1）A （2）C （3）B （4）A （5）A （6）D （7）C （8）D 二、填空题（9）-2 （10）83π （11）16（12）1516 （13）8 （14）2918三、解答题（15） （I ）解：由已知，有1cos(2)1cos 23()22x x f x π---=-=111cos 22cos 2222x x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭112cos 2sin 24426x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以，()f x 的最小正周期T=22ππ= (II)解：因为()f x 在区间,36ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数，在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，134f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，162f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，4f π⎛⎫=⎪⎝⎭所以，()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，最小值为12-.（16）（I ）解：由已知，有22222333486()35C C C C P A C +== 所以，事件A 发生的概率为635. （II ）解：随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.45348()(1,2,3,4).k kC C P X k k C -=== 所以，随见变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()1331512341477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯= （17）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0)A ,(0,1,0),B (2,0,0)C ,(1,2,0)D -,1(0,0,2)A ,1(0,1,2),B 1(2,0,2),C (1,2,2)D -.又因为M,N 分别为1B C 和1D D 的中点， 得11,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(1,2,1)N -.(I)证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由此可得，0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD (II)1(1,2,2),(2,0,0)AD AC =-=，设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，则1110n AD n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22020x y z x -+=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =，设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量，则2120n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =，得2020y z x +=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =- 因此有12121210cos ,n n n n n n ⋅==-⋅，于是123sin,n n =， 所以二面角11D AC B --. (III)依题意，可设111A E A B λ=，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+，又(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，由已知得1cos ,3(NE n NE n NE n⋅===⋅-，整理得2430λλ+-=，又因为[0,1]λ∈，解得2λ=，所以线段1A E 2.(18) （I ）解：由已知，有()()()()34234534a a a a a a a a +-+=+-+，即4253a a a a -=-，所以()()2311a q a q -=-.又因为1q ≠，故322a a ==，由31a a q =，得2q =. 当21()n k k N *=-∈时，1122122n k n k a a ---===；当2()n k k N *=∈时，2222n kn k a a ===.所以，{}n a 的通项公式为1222,2n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数，，为偶数.（II ）解：由（I ）得221212n n n n log a nb a --==.设{}n b 的前n 项和为n S ，则 ()0122111111123...122222n n n S n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ，()1231111111123 (1222222)n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯， 上述两式相减，得21111111221 (212222222212)n n n n n n n n n n S --=+++-=-=---， 整理得，1242n n n S -+=-. 所以，数列{}n b 的前n 项和为1242n n -+-，n N *∈. （19）（I ）解：由已知有2213c a =，又由222+a b c =，可得22223,2a c b c ==.设直线FM 的斜率为(0)k k，则直线FM 的方程为()y k x c =+.由已知，有2⎛⎫+2222c b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得k =. （II ）解：由（I ）得椭圆方程为2222132x y c c +=，直线FM的方程为)y x c =+，两个方程联立，消去y ，整理得223250x cx c +-=，解得53x c =-，或x c =.因为点M 在第一象限，可得M的坐标为c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.有FM ==，解得1c =，所以椭圆的方程为22132x y +=. （III ）解：设点P 的坐标为(),x y ，直线FP 的斜率为t ，得1yt x =+，即()1y t x =+()1x ≠-， 与椭圆方程联立22(1),1,32y t x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得22223(1)6x t x ++=.又由已知，得2t =，解得312x --，或10x -.设直线OP 的斜率为m ，得ym x=，即(0)y mx x =≠，与椭圆方程联立，整理可得22223m x =-. ①当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，有(1)0y t x =+，因此0m，于是m =，得m ∈⎝⎭. ②当()1,0x ∈-时，有(1)0y t x =+，因此0m，于是m =,3m ⎛∈-∞- ⎝⎭. 综上，直线OP的斜率的取值范围是,3⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭33⎛ ⎝⎭.（20）（I ）解：由()f x =n nx x -，可得'()f x =1n n nx --=()11n n x --，其中n N *∈，且2n ≥. 下面分两种情况讨论：当n 为奇数时，()f x 在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调递增；当n 为偶数时，()f x 在(,1)-∞-上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减.（II ）证明：设点P 的坐标为()0,0x ，则011n x n-=，'20()f x n n =-.曲线y =()f x 在点P处的切线方程为()'00()y f x x x =-，即'00()()()g x f x x x =-.令()()()F x f x g x =-，即()()F x f x ='00()()f x x x --，则''()()F x f x ='0()f x -.由于'1()n f x nx n -=-+在()0,+∞上单调递减，故'()F x 在()0,+∞上单调递减.又因为'0()0F x =，所以当()00,x x ∈时，'()0F x ，当()0,x x ∈+∞时，'()0F x ，所以()F x 在()00,x 内单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以对于任意的正实数x ，都有0()()0F x F x ≤=，即对于任意的正实数x ，都有()f x ()g x ≤.（III ）证明：不妨设12x x ≤.由（II ）知()()()20g x n n x x =--.设方程()g x a =的根为'2x ，可得'202a x x n n=+-，当2n ≥时，在(),-∞+∞上单调递减.又由（II ）知()()()'222g x f x a g x ≥==，可得'12x x ≤.类似地，设曲线()y f x =在原点处的切线方程为()y h x =，可得()h x nx =，当()0,x ∈+∞，()()0n f x h x x -=-，即对于任意的()0,x ∈+∞，()()f x h x .设方程()h x a =的根为'1x ，可得'1a x n =.因为()h x nx =在(),-∞+∞上单调递增，且()()()'111h x a f x h x ==，因此'11x x . 由此可得''212101a x x x x x n --=+-. 因为2n ≥，所以()1111211111n n n C n n ---=+≥+=+-=，故0112n x n -≥=. 所以，2121a x x n-+-.。

数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页）数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2．本卷共8小题，每小题5分，共40分. 参考公式：·如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+. ·如果事件A ，B 相互独立，()()()P AB P A P B =.·柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高.·椎体的体积公式13V Sh =.其中S 表示椎体的底面面积，h 表示椎体的高.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}U =，集合{2,3,5,6}A =，集合{1,3,4,6,7}B =，则集合A U B =ð（ ）A ．{2,5}B ．{3,6}C ．{2,5,6}D ．{2,3,5,6,8}2．设变量,x y 满足约束条件2030230x x y x y ≥，≥，≤，+⎧⎪-+⎨⎪+-⎩则目标函数6z x y =+的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．18D ．403．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（ ）A ．－10B ．6C ．14D ．18 4．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“220x x +->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N .若CM =2，MD =4，CN =3，则线段NE 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．526．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线过点（，且双曲线的一个焦点在抛物线2y =的准线上，则双曲线的方程为（ ）A ．2212128x y -=B ．2212821x y -=C ．22134x y -=D ．22143x y -=7．已知定义在R 上的函数||()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3)a f =，2(log 5)b f =，(2)c f m =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<8．已知函数22|| ,2()(2) ,2x xf x x x ≤，＞，-⎧=⎨-⎩函数2g x b f x （）（）=--，其中b R ∈.若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是（ ）A ．7,4（）+∞ B ．7,4（）-∞ C ．70,4（）D ．7,24（）--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页）数学试卷 第5页（共18页）数学试卷 第6页（共18页）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2．本卷共12小题，共计110分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上. 9．i 是虚数单位，若复数()()12i i a -+是纯虚数，则实数a 的值为___________. 10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为___________3m .11．曲线2y x =与直线y x =所围成的封闭图形的面积为___________.12．在61()4x x-的展开式中，2x 的系数为_________.13．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为，2b c -=，1cos 4A =-，则a 的值为_________.14．在等腰梯形ABCD 中，已知AB DC ∥，2AB =，1BC =，ABC ∠=60.动点E 和F分别在线段BC 和DC 上，BE BC 且λ=，19DF DC λ=，则 AE AF 的最小值为_________.三、 解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）已知函数22sin sin 6f x x x （）（）π=--，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]34ππ-上的最大值和最小值.16．（本小题满分13分）为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.（Ⅰ）设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；（Ⅱ）设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望.17．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ABCD 底面⊥，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，AD CD ==M 和N 分别为11C D B D 和的中点.（Ⅰ）求证：MN ∥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角11D AC B --的正弦值.（III ）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1EA 的长.18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足2()n n n a qa q q *N 为实数，且1，+=≠∈，11a =，22a =，且23a a +，34a a +，45a a +成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2221log ,nn n a b n a *N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和.19．（本小题满分14分）已知椭圆2222+=1(0)x y a b a b>>的左焦点为0F c （-,）,离心率为3，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆222+4bx y =截得的线段的长为c，|FM（Ⅰ）求直线FM 的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（III ）设动点P 在椭圆上，若直线FP，求直线OP （O 为原点）的斜率的取值范围.20．（本小题满分14分）已知函数(),n f x nx x x R =-∈，其中,2n n *N ≥∈.（Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；（III ）若关于x 的方程()=f x a （a 为实数）有两个正实数根1x ，2x ，求证：21|-|21ax x n<+-.数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页）数学试卷 第9页（共18页）2015年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】{2,5,8}U B =ð，所以{2,5}U A B =ð，故选A ．【提示】由全集U 及B ，求出B 的补集，找出A 与B 补集的交集即可． 【考点】集合的运算 2.【答案】C【解析】不等式组2030230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩所表示的平面区域如图所示，当6z x y =+所表示直线经过点(0,3)B 时，z 有最大值18．【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值．【考点】线性规划的最值求解问题第2题图 3.【答案】B【解析】模拟法：输入20S =，1i =；21i =⨯，20218S =-=，25>不成立；224i =⨯=，18414S =-=，45>不成立；248i =⨯=，1486S =-=，85>成立；输出6，故选B ．【提示】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i ，S 的值，当8i =时满足条件5i >，退出循环，输出S 的值为6． 【考点】程序框图．AM MB CM MD =，CN NE AN NB =，又因为AM MB AN NB =，所以CN NE CM MD =， 2833CM MD CN ⨯=，故选A ． 【提示】由相交弦定理求出AM ，再利用相交弦定理求NE 即可． 4数学试卷 第10页（共18页）数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）19D F D λ=，1DC AB =，1191999CF DF DC DC DC DC AB λλλλ--=-=-==AE AB BE AB BCλ=+=+19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， 22191919()1181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19194121cos1201818λλλλλλ++=⨯+++⨯⨯⨯︒ 117218λλ+=时，AE AF 有最小值，18数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）可得(0,0,1)n =为平面的一个法向量，0,MN ⎛=- 由此可得，0MN n =， ⊄平面ABCD MN ∥平面ABCD ．（Ⅱ）1(1,AD =-，(2,0,0)AC =，设(,n x y =1110n AD n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即0=，不妨设1z =，可得(0,1,1)n =设2(,,)n x y z =为平面2120n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，又1(0,1,2)AB =20x =⎩不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =-，121210,10||||n n n n n n ==-2310,10n n =， 所以二面角1D AC -10（Ⅲ）依题意，可设11AE A B λ=，其中从而(1,NE =-，又(0,0,1)n =为平面,||||(1)NE n NE n NE n ==-30λ-=，72-，所以线段1A E 的长为72-．为坐标原点，以的一个法向量与MN 的数量积为（Ⅲ）通过设AE A B λ=，利用平面的一个法向量与NE 的夹角的余弦值为22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝（Ⅰ）由已知有2213c a =数学试卷 第16页（共18页）数学试卷 第17页（共18页）数学试卷 第18页（共18页）22,33⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝。

第1页，总15页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2015年高考理数真题试卷（天津卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共8题)1. （2015·天津）已知全集，集合，集合，则集合( ) A . B .C .D .2. （2015·天津）已知函数函数,其中，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A .B .C .D .3. （2015·天津）已知定义在上的函数(为实数）为偶函数，记,则的大小关系为（）A .B .C .D .4. (2015·天津)如图，在圆中，，是弦的三等分点，弦,分别经过点,.若，则线段的长为()答案第2页，总15页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A .B . 3C .D .5. （2015·天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )A . -10B . 6C . 14D . 186. （2015·天津）设变量,满足约束条件，则目标函数的最大值为( )A . 3B . 4C . 18D . 407. （2015·天津）设，则“”是“”的( )A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件。