北师大版高中数学选修2-2第一章章末总结.docx

选修2-2 本章小结建议第一章推理与证明一、学习要求1.合情推理的意义与应用（1）会利用归纳进行简单的推理与猜想；（2）会利用类比进行简单的推理与猜想。

2.演绎推理的意义与应用（1）体会演绎推理的重要性，并能进行简单的推理；（2）了解数学证明的几种基本方法：综合法、分析法、反证法，并能运用这些方法进行一些简单的数学证明；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系、差异和各自所起的作用。

二、复习建议1.依据课本、笔记及作业总结本章的基本知识，掌握本章的基本思想方法，使知识有条理、有层次地呈现。

2.按照学习要求中的两个部分，做出本章小结。

3.本章复习时，可供参考的思考问题：（1）日常和数学学习中有哪些合情推理的方式？举例说明；（2）如何运用合情推理进行数学和其他学科的学习？如何避免合情推理的局限性？（3）分析法与综合法各自有何特点？在解决问题时各自有何作用？（4）归纳推理与数学归纳法有何关系？（选修1-2无）（5）与其它证明方法相比，反证法的思考过程有何特点？4.请同学们相互交流学习本章的感受，特别是本章所学的常用的思维方式在日常学习和生活中的应用。

第二章变化率与导数一、学习要求1.导数的概念通过具体情境，感受在现实世界和生活实际中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义。

2.导数运算（1）会利用导数定义计算一些简单的函数的导数。

（2）会利用导数公式表求出给定函数的导数。

（3）掌握求导的四则运算法则，并会利用导数的四则运算法则求出函数的导函数。

（4）了解简单复合函数的求导法则，并会利用导数公式表求出一些简单的复合函数的导数。

二、复习建议1.依据课本、笔记及作业总结本章的基本知识，掌握本章的基本思想方法，使知识有条理、有层次地呈现。

2.按照学习要求中的两个部分，以适当形式做出本章小结。

3.本章复习时，可供参考的思考问题：（1）实际生活中经常会涉及变化快慢的问题，你是否有体会？（2）什么是导数？如何利用定义求函数的导数？怎样解释导数的实际意义？能否举例说明？（3）是否会用导数的四则运算法则求函数的导数？（4）复合函数的中间变量的意义是什么？如何寻找中间变量？怎样求复合函数的导数？4.请同学们相互交流学习本章的感受与体会。

数学归纳法常见错误剖析初学数学归纳法常出现下面的错误，剖析如下：1、不用假设致误例1用数学归纳法证明：1++++ 22232)12).(1(612++=n n n n 。

错证：①当1=n 时，左边＝1，右边＝)112()11(161+⨯⨯+⨯⨯＝1， 所以等式成立。

②假设当n k =时等式成立。

即22221123(1)(21)6k k k k ++++=++。

那么当1+=k n 时，222221123(1)(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k ++++++=+++++ 1(1)(2)(23)6k k k =+++， 也就是说当1+=k n 时，等式成立。

由①②知：对任何n N *∈等式都成立。

剖析：用数学归纳法证明第②步骤时，在从“k ”到“"1+k 的过程中，必须把n k =的命题作为已给定的条件，要在这个条件基础上去导出1+=k n 时的命题所以在推导过程中。

故必须把n k =时的命题用上，本解法错因是对假设设而不用。

正解：①当1=n 时，左边＝1，右边＝)112()11(161+⨯⨯+⨯⨯＝1， 所以等式成立。

②假设当n k =时等式成立。

即22221123(1)(21)6k k k k ++++=++。

那么当1+=k n 时，22222)1(321++++++k k ＝2)1()12)(1(61++++k k k k(1)k =+)]!()12(61[+++k k k 211(1)(276)(1)(2)(23)66k k k k k k =+++=+++1(1)[(1)1][2(1)1]6k k k =+++++。

即当1+=k n 时，等式成立。

由①②知：对任何n N *∈等式都成立。

2、盲目套用数学归纳法中的两个步骤致误例2当n 为正奇数时，17+n 能否被8整除？若能用数学归纳法证明。

若不能请举出反例。

证明：⑴当n=1时，7＋1＝8能被8整除。

命题成立。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§2 综合法与分析法2．1 综合法2．2 分析法 课时目标 1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法从命题的________出发，利用________________________________，通过______________，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这称思维方法称为综合法．2．分析法从______________出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的____________，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种思维方法称为分析法．3．综合法是“由因导果”，分析法是“执果索因”．一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．等价条件2．已知a ，b ，c 为三角形的三边且S ＝a 2＋b 2＋c 2，P ＝ab ＋bc ＋ca ，则( )A ．S ≥2PB ．P <S <2PC ．S >PD ．P ≤S <2P3．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，则方程f (x )＝0的根的情况为( )A ．至多有一个实根B ．至少有一个实根C ．有且只有一个实根D ．无实根4．若a ＝ln 22，b ＝ln 33，c ＝ln 55，则( ) A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c5．若f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n，n ∈N ＋，则f (n )、g (n )、φ(n )的大小关系为( )A ．f (n )<g (n )<φ(n )B ．f (n )<φ(n )<g (n )C ．g (n )<φ(n )<f (n )D ．g (n )<f (n )<φ(n )6．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足什么条件( )A ．a 2<b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2>b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2二、填空题7．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．8．设a 、b 、u 都是正实数且a 、b 满足1a ＋9b＝1，则使得a ＋b ≥u 恒成立的u 的取值范围是____________．9．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a 、b 的大小关系为________．三、解答题10．设a ，b >0，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.11.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c.能力提升12.如图所示，在直四棱柱A1B 1C 1D 1—ABCD 中，当底面四边形ABCD满足条件________时，有A 1C ⊥B 1D 1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形)13．已知函数f (x )＝1＋x 2，若a ≠b ，求证：|f (a )－f (b )|<|a －b |.分析法的思路是执果索因，综合法的思路是由因导果．在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法表述解答或证明过程，有时要分析和综合结合起来交替使用，从两边向中间靠拢．答 案知识梳理1．条件 定义、公理、定理及运算法则 演绎推理2．求证的结论 充分条件作业设计1．A2．D [∵S －P ＝a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca ＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0， ∴S ≥P .2P ＝2ab ＋2bc ＋2ca＝(ab ＋bc )＋(ab ＋ca )＋(bc ＋ca )＝b (a ＋c )＋a (b ＋c )＋c (b ＋a )>b 2＋a 2＋c 2，即2P >S .]3．A [由于函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，因此图像与x 轴的交点最多就是一个．]4．C [利用函数单调性．设f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2， ∴0<x <e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；x >e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．又a ＝ln 44，∴b >a >c .] 5．B [f (n )、g (n )可用分子有理化进行变形，然后与φ(n )进行比较．f (n )＝1n 2＋1＋n <12n ，g (n )＝1n ＋n 2－1>12n， ∴f (n )<φ(n )<g (n )．]6．C [由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc<0，得b 2＋c 2<a 2.] 7．a ≠b 解析 ∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )．∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a .8．(0,16]解析 u ≤(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b 恒成立，而(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥10＋6＝16， 当且仅当b a ＝9a b 且1a ＋9b＝1时，上式取“＝”． 此时a ＝4，b ＝12.∴0<u ≤16.9．a <b 解析 a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，明显6<7，故a <b .10．证明 方法一 分析法要证a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2成立．只需证(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )成立，又因a ＋b >0，只需证a 2－ab ＋b 2>ab 成立，只需证a 2－2ab ＋b 2>0成立，即需证(a －b )2>0成立．而依题设a ≠b ，则(a －b )2>0显然成立．由此命题得证．方法二 综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab .注意到a ，b ∈R ＋，a ＋b >0，由上式即得(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )．∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.11．证明 要证原式，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c＝3， 即证c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 即只需证bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc＝1， 而由题意知A ＋C ＝2B ，∴B ＝π3， ∴b 2＝a 2＋c 2－ac ，∴bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＝bc ＋c 2＋a 2＋ab ab ＋a 2＋c 2＋bc＝1， ∴原等式成立，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c. 12．AC ⊥BD解析 从结论出发，找一个使A 1C ⊥B 1D 1成立的充分条件．因而可以是：AC ⊥BD 或四边形ABCD 为正方形．13．证明 原不等式即|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b |，要证此不等式成立，即证1＋a 2＋1＋b 2－21＋a 2·1＋b 2<a 2＋b 2－2ab .即1＋ab <1＋a 2·1＋b 2.当1＋ab <0时不等式恒成立，当1＋ab ≥0时，即要证1＋a 2b 2＋2ab <(1＋a 2)(1＋b 2)，即2ab <a 2＋b 2，由a ≠b 知此式成立，而上述各步都可逆，因此命题得证．。

数学归纳法在证明恒等式中的应用数学归纳法是直接证明的一种重要方法，是证明与正整数n 有关的数学命题的一种重要方法，也是高考的热点问题之一．不但要求能用数学归纳法证明现成的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查．既要求善于发现、归纳结论，又要求能证明结论的正确性．数学归纳法的应用十分广泛．下面就数学归纳法在证明恒等式中的应用问题加以规律总结与实例剖析．1．证明恒等式中的规律数学归纳法可以证明与正整数有关的恒等式问题，其一般规律及方法： 关键在于第二步，它有一个基本格式，不妨设命题为：P （n ）：f （n ）=g （n ）， 其第二步相当于做一道条件等式的证明题：已知：f （k ）=g （k ），求证：f （k+1）=g （k+1）．通常可采用的格式分为三步：（1）找出f （k+1）与f （k ）的递推关系；（2）把归纳假设f （k ）=g （k ）代入；（3）作恒等变形化为g （k+1）．示意图为：当然递推关系不一定总是象f （k+1）=f （k ）+a k 这样的表达式，因此更为一般性的示意图为：f （k+1）=F[f （k ），k ，f （1）]=F[g （k ），k ，g （1）]=g （k+1）． 2．证明恒等式中的应用 （1）代数恒等式的证明例1．用数学归纳法证明：1+4+7+…+（3n －2）=21n （3n －1）（n ∈N*）． 分析：在第二步的证明过程中通过利用归纳假设，结合等式的变换与因式分解、变形，从而得以证明．证明：（1）当n=1时，左边=1，右边=1，所以当n=1时，命题成立；（2）假设当n=k （k ∈N*）时命题成立，即1+4+7+…+（3k －2）=21k （3k －1）， 则当n=k+1时，1+4+7+…+（3k －2）+[3（k+1）－2]=21k （3k －1）+（3k+1）=21（3k 2+5k+2）=21（k+1）（3k+2）=21（k+1）[3（k+1）－1]， 即当n=k+1时，命题成立；根据（1）、（2）可知，对一切n ∈N*，命题成立．点评：数学归纳法的证明过程非常讲究“形式”，归纳假设是必须要用到的，假设是起到桥梁作用的，桥梁不用或是断了，数学归纳就通不过去了，递推性无法实现．在由n=k 时结论正确证明n=k+1时结论也正确的过程中，一定要用到归纳假设的结论，即n=k 时结论．变形练习1：已知n ∈N*，证明：1－21+31－41+…+121-n －n 21=11+n +21+n +…+n21． 答案：（1）当n=1时，左边=1－21=21，右边=21，等式成立； （2）假设当n=k 时等式成立，即有1－21+31－41+…+121-k －k 21=11+k +21+k +…+k21， 那么当n=k+1时，左边=1－21+31－41+…+121-k －k 21+1)1(21-+k －)1(21+k =11+k +21+k +…+k 21+121+k －)1(21+k =21+k +31+k +…+121+k +[11+k －)1(21+k ]=1)1(1++k +2)1(1++k +…+k k ++)1(1+)1()1(1+++k k =右边， 所以当n=k+1时等式也成立；综合（1）、（2）知对一切n ∈N*，等式都成立． （2）三角恒等式的证明例2．用数学归纳法证明：tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan （n －1）xtannx=xnxtan tan －n （n ≥2，n ∈N*）．分析：本题在由假设当n=k 时等式成立，推导当n=k+1时等式也成立时，要灵活应用三角公式及其变形公式．本题中涉及到两个角的正切的乘积，联想到两角差的正切公式的变形公式：tan αtan β=)tan(tan tan βαβα--－1，问题就会迎刃而解．证明：（1）当n=2时，左边=tanxtan2x=tan x·x x 2tan 1tan 2-=x x 22tan 1tan 2-，右边=x xtan 2tan －2=x x x tan )tan 1(tan 22-－2=x2tan 12-－2=x x 22tan 1tan 2-，等式成立； （2）假设当n=k （k ≥2，k ∈N*）时，等式成立，即tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan （k －1）xtankx=xkxtan tan －k ， 则当n=k+1时，tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan （k －1）xtankx+tankxtan （k+1）x=xkxtan tan －k+tankxtan （k+1）x ， （*） 由tanx=tan[（k+1）x －kx]=kxx k kxx k tan )1tan(1tan )1tan(++-+，可得tankxtan （k+1）x=xkxx k tan tan )1tan(-+－1，代入（*）式，可得右边=x kx tan tan －k+x kx x k tan tan )1tan(-+－1=xxk tan )1tan(+－（k+1），即tanxtan2x+tan2xtan3x+…+tan （k －1）xtankx+tankxtan （k+1）x=x xk tan )1tan(+－（k+1），即当n=k+1时，等式也成立；由（1）、（2）知等式对任何n ∈N*都成立．点评：数学归纳法在第二步的证明中，“当n=k 时结论正确”这一归纳假设起着已知的作用，“当n=k+1时结论正确”则是求证的目标．在这一步中，一般首先要先凑出归纳假设里给出的形式，以便利用归纳假设，然后再进一步凑出n=k+1时的结论．要正确选择与命题有关的知识及变换技巧．变形练习2：用数学归纳法证明：cos2x ·cos 22x ·cos 32x ·…·cos n x 2=nn xx2sin 2sin ⋅（n ∈N*）．答案：（1）当n=1时，左边=cos 2x ，右边=112sin 2sin x x ⋅=2sin 22cos 2sin 2x x x =cos 2x ，等式成立；（2）假设当n=k 时等式成立，即有cos2x ·cos 22x ·cos 32x ·…·cos k x 2=kk xx2sin 2sin ⋅ 则当n=k+1时，cos 2x ·cos 22x ·cos 32x ·…·cos k x 2·cos 12+k x =k k x x2sin 2sin ⋅·cos 12+k x=112cos 2sin 22sin ++⋅k k k x x x ·cos 12+k x =112sin 2sin ++⋅k k x x，即当n=k+1时，等式也成立；由（1）、（2）知等式对任何n ∈N*都成立．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§4 数学归纳法 课时目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．数学归纳法是用来证明______________________的数学命题的一种方法．2．数学归纳法的基本步骤：(1)________________________________；(2)在假设当n ＝k (k ≥1)时命题成立的前提下，推出____________________． 根据(1)(2)可以断定命题对______________都成立．一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(a ≠1，n ∈N ＋)，在验证n ＝1时，等号左边的项是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 32．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( )A ．2B ．3C ．5D ．63．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是( )A ．2k －1项B ．2k ＋1项C ．2k 项D ．以上都不对4．用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n ＋1)(n ∈N ＋)，从“k 到k ＋1”左端需增乘的代数式为( )A ．2k ＋1B ．2(2k ＋1)C.2k ＋1k ＋1D.2k ＋3k ＋15．用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第一步验证n ＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )A ．假设n ＝2k ＋1(n ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋3时命题正确B ．假设n ＝2k －1(k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝2k ＋1时命题正确C ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确D ．假设n ≤k (k ∈N ＋)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确6．用数学归纳法证明不等式“1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1324 (n >2)”时的过程中，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，不等式的左边( )A ．增加了一项12(k ＋1)B ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)C ．增加了两项12k ＋1，12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1D ．增加了一项12(k ＋1)，又减少了一项1k ＋1二、填空题7．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22时，则n ＝k ＋1时的左端应在n ＝k 时的左端加上____________________________．8．用数学归纳法证明：1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1 (n ∈N ＋)的过程如下：(1)当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k 时等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k ＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1.所以当n ＝k ＋1时等式也成立．由此可知对于任何n ∈ N ＋，等式都成立．上述证明的错误是________________________．9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N ＋)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．三、解答题10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N ＋)，并用数学归纳法证明你的结论．11．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝a n 2a n ＋1(n ＝1,2,3，…) (1)求a 2，a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．能力提升12．已知f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9，存在正整数m ，使得对任意n ∈N ＋都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为多少？并证明之．13．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N ＋，点(n ，S n )均在函数y ＝b x ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝2(log 2a n ＋1)(n ∈N ＋)，证明：对任意的n ∈N ＋，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1成立．1．数学归纳法在证明与正整数n 有关的等式、不等式、整除问题及数列问题中有广泛的应用．2．在证明n ＝k ＋1时的命题中，怎样变形使之出现n ＝k 时的命题的形式是解决问题的关键，要找清n ＝k ＋1时式子结构或几何量的改变．答 案知识梳理1．某些与正整数n 有关2．(1)验证：n ＝1时，命题成立 (2)当n ＝k ＋1时，命题成立 一切正整数n 作业设计1．C [当n ＝1时，a n ＋1＝a 2.∴等号左边的项是1＋a ＋a 2.]2．C [当n 取1、2、3、4时2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5.]3．C [观察f (n )的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f (2k )＝1＋12＋…＋12k ， 而f (2k ＋1)＝1＋12＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋2k. 因此f (2k ＋1)比f (2k )多了2k 项．]4．B [当n ＝k 时左端为(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )，当n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋1＋k －1)·(k ＋1＋k )(k ＋1＋k ＋1)，即(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )·(2k ＋1)(2k ＋2)．观察比较它们的变化知增乘了(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)．] 5．B [因n 为正奇数，所以否定C 、D 项；当k ＝1时，2k －1＝1,2k ＋1＝3，故选B.]6．C [当n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k . 当n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋⎝⎛⎭⎫12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1.] 7．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)28．没有用到归纳假设，不是数学归纳法9．S n ＝2n n ＋1解析 S 1＝1，S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1. 10．证明 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1，当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，当n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2 (n ∈N ＋)成立．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．②假设n ＝k 时(k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2.要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k 2－2≥(k ＋1)2，即证k 2－2k －3≥0，即证(k ＋1)(k －3)≥0.又∵k ＋1>0，k －3≥0，∴(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N ＋，2n ＋2>n 2.11．解 (1)a 2＝a 12a 1＋1＝122×12＋1＝14，a 3＝a 22a 2＋1＝142×14＋1＝16. (2)猜想a n ＝12n，下面用数学归纳法证明此结论正确． 证明：①当n ＝1时，结论显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立，即a k ＝12k， 那么a k ＋1＝a k 2a k ＋1＝12k 2×12k＋1＝12k ＋2＝12(k ＋1). 也就是说，当n ＝k ＋1时结论成立．根据①②可知，结论对任意正整数n 都成立，即a n ＝12n. 12．解 ∵f (1)＝36，f (2)＝108＝3×36，f (3)＝360＝10×36， ∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除． 证明：n ＝1,2时，由上得证，假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥2)时，f (k )＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则n ＝k ＋1时，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋9)·3k ＋1－(2k ＋7)·3k＝(6k ＋27)·3k －(2k ＋7)·3k＝(4k ＋20)·3k ＝36(k ＋5)·3k －2(k ≥2)．∴f (k ＋1)能被36整除．因此，对任意n ∈N ＋，f (n )都能被36整除．又∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求最大的m 值等于36.13．(1)解 由题意：S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r .所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)，由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列．又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ，解得r ＝－1. (2)证明 当b ＝2时，由(1)知a n ＝2n －1，因此b n ＝2n (n ∈N ＋)，所证不等式为2＋12·4＋14·…·2n ＋12n >n ＋1. ①当n ＝1时，左式＝32，右式＝ 2. 左式>右式，所以结论成立，②假设n ＝k (k ∈N ＋)时结论成立，即2＋12·4＋14·…·2k ＋12k >k ＋1， 则当n ＝k ＋1时，2＋12·4＋14·…2k ＋12k ·2k ＋32(k ＋1)>k ＋1·2k ＋32(k ＋1)＝2k ＋32k ＋1. 要证当n ＝k ＋1时结论成立， 只需证2k ＋32k ＋1≥k ＋2， 即证2k ＋32≥(k ＋1)(k ＋2)， 由基本不等式2k ＋32＝(k ＋1)＋(k ＋2)2≥(k ＋1)(k ＋2)成立， 故2k ＋32k ＋1≥k ＋2成立， 所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N ＋时，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n>n ＋1成立．。

复习课教案科目：数学教师：授课时间：第 2 周星期5 年2月24日归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理．虽然猜想是否正确还有待严格的证明，但是这个猜想可以为我们的研究提供一种方向．1 观察下列等式：cos 2α＝2cos2α－1；cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1；精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。