高中数学学习材料
马鸣风萧萧*整理制作
章末总结
知识点一合情推理
归纳和类比是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体，个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理．
例1在平面上有n条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面分成多少部分？
例2已知点O是△ABC内任意一点，连接AO、BO、CO并延长交边于A′、B′、C′，
则
OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＝1，这是一道平面几何题，其证明常采用“面积法”：OA ′AA ′＋OB ′
BB ′＋OC ′CC ′＝S △OBC S △ABC ＋S △OCA S △ABC ＋S △OAB S △ABC ＝S △ABC S △ABC ＝1，那么在空间四面体A —BCD 中存在怎样的结论？并证明．
知识点二 演绎推理
合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确．从二者在认识事物的过程中所发挥作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的．合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路．
例3 已知函数f (x )＝a
x
＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，确定f (x )的单调区间，并
证明在每个单调区间上的增减性．
知识点三 综合法与分析法
综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法既可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法和综合法可相互转换，相互渗透，充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．
例4 已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，
求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫
1c －1≥8.
知识点四 反证法
反证法是间接证明的一种基本方法，它不去直接证明结论，而是先否定结论，在否定结论的基础上，运用正确的推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性．在证明一些否定性命题、唯一性命题或含有“至多”、“至少”等字句的命题时，正面证明较难，可考虑反证法，即“正难则反”．
例5 已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于1
4
.
例6 如图所示，已知两直线l ∩m ＝O ，l ⊂α，m ⊂α，l ⊄β，m ⊄β，
α∩β＝a .求证：l 与m 中至少有一条与β相交．
知识点五 数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．
例7 数列|a n |满足S n ＝2n －a n (n ∈N ＋)．
(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
答 案
重点解读
例1 解 设n 条直线分平面为S n 部分，先实验观察特例有如下结果：
n 1 2 3 4 5 6 … S n 2 4 7 11 16 22 …
n 与S n 之间的关系不太明显，但S n －S n －1有如下关系：
n 1 2 3 4 5 6 … S n 2 4 7 11 16 22 …
S n －S n －1 2 3 4 5 6 …
观察上表发现如下规律：S n －S n －1＝n (n ＝2,3，…)．
这是因为在n －1条直线后添加第n 条直线被原(n －1)条直线截得的n 段中的任何一段都将它所在的原平面一分为二，相应地增加n 部分，所以S n ＝S n －1＋n ，即S n －S n －1＝n .
从而S 2－S 1＝2，S 3－S 2＝3，S 4－S 3＝4，…，S n －S n －1＝n . 将上面各式相加有S n －S 1＝2＋3＋…＋n ，
∴S n ＝S 1＋2＋3＋…＋n ＝2＋2＋3＋…＋n ＝1＋n (n ＋1)
2
.
例2 解 在四面体A —BCD 内，任取一点O ，连接AO 、BO 、CO 、DO ，并延长交对面于A ′、B ′、C ′、D ′，
则有OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′＝1.
证明如下：
在四面体O —BCD 与A —BCD 中，OA ′AA ′＝V O —BCD
V A —BCD
，
同理有OB ′BB ′＝V O —ACD V B —ACD ，OC ′CC ′＝V O —ABD V C —ABD ，OD ′DD ′＝V O —ABC
V D —ABC
，
∴OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′
＝V O —BCD V A —BCD ＋V O —ACD V B —ACD ＋V O —ABD V C —ABD ＋V O —ABC V D —ABC ＝V O —BCD ＋V O —ACD ＋V O —ABD ＋V O —ABC V A —BCD
＝1，
即OA ′AA ′＋OB ′BB ′＋OC ′CC ′＋OD ′DD ′
＝1. 例3 解 f (x )的单调区间为⎝⎛⎦⎤0，a b 和⎣⎡⎭
⎫a b ，＋∞， 证明：设0f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫a x 1＋bx 1－⎝⎛⎭⎫a x 2＋bx 2＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫a x 1x 2－b 当0b 时，
则x 2－x 1>0,0x 1x 2
>b ，
∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，
∴f (x )在⎝
⎛⎦⎤
0，a b 上是减函数．
当x 2>x 1≥a
b
时，
则x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，a
x 1x 2
∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)∴f (x )在⎣⎡⎭
⎫a b ，＋∞上是增函数． 例4 证明 方法一 (综合法) ⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭
⎫1c －1 ＝⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c a －1·⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c b －1·⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋c c －1 ＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )abc
