大涡模拟

扬州大学
大涡模拟理论及应用
紊流力学

大涡模拟理论及应用
一、概述
实际水利工程中的水流流动几乎都是湍流。 湍流是空间上不规则和时间上无秩序 的一种非线性的流体运动，这种运动表现出非常复杂的流动状态，是流体力学中有名 的难题。100 多年来无数科学家投身到它的研究当中，从 1883 年 Reynolds 开始的层 流过渡到湍流的著名圆管实验到现在，对湍流的基础理论研究呈现出多个分支，其主 要方向有：湍流稳定性理沦、湍流统计理论、湍流模式理论、湍流实验、切变湍流的 逆序结构、湍流的大涡模拟和湍流的直接数值模拟。在这些方向当中，比较有代表性 的是湍流模式理论。 但它的平均运算却将脉动运动的全部行为细节一律抹平，丢失了 包含在脉动运动中的大量有重要意义的信息，而且各种湍流模型都有一定的局限性、 对经验数据非常依赖、预报程度较差。近代计算机技术的飞速发展给人们提供了解决 湍流问题的新途径， 公认比较有前途的是大涡模拟和直接数值模拟。但由于受到计算 机速度和容量的限制，直接数值模拟还仅限于低雷诺数的流动，对于高雷诺数的完全 数值模拟目前还不可能。 而大涡模拟是介于直接数值模拟和湍流模式理论之间的折衷 物，由于其具有较少的计算消耗和较高的计算精度，正显示出越来越强的生命力。
d d 32 ( Sij Sij ) µt = ρ Ls d d 54 ( Sij Sij )5 2 + (Sij Sij )
2
d 其中： Ls 和 Sij 在 WALE 模型中分别定义如下：
Ls = min(kd , CωV 1 3 )
∂ui 1 2 1 d 2 Sij = ( gij + g2 ji ) − δ ij g kk , g ij = 2 3 ∂x j
在 FLUENT 中，默认的 WALE 常数 Cω 是 0.325，发现将它用于流量范围跨度大 的地方能取的很满意的效果。 其余符号的含义与 Smagorinsky-Lilly 模型相同。 结合这 个，WALE 模型返回了正确的壁墙界流动的渐进行为。 （4）动态动能亚网格模型 原来的和动态的 Smagorinsky-Lilly 模型，如前所述，本质上是代数模型，在这里 亚格子尺度应力已经参数化应用解析的尺度。 其基本假设是平衡通过电网过滤器能量 传递的规模和小亚网格尺度耗散的动能， 亚网格尺度湍流能够较好的模拟亚格子尺度 湍流动能的输送。在 FLUENT 中，动态亚格子尺度动能模型引用了 Kim 和 Menon 的 模型。亚网格尺度动能定义如下：
偏应力 正应力
亚网格偏应力张量可仿照压缩的 Smagorinsky 模型，公式如下：
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1 1 Tij − Tllδ ij =2µt (δ ij − δ iiδ ij ) 3 3
对于不可压缩流动，涉及 Tll 的项可长期添加到过滤压力或干脆忽略。事实上， 这 一项可被重新写为 Tll =γ M 2 aga p ，这里 M aga 是亚格子的马赫数，当湍流马赫数流动的 数量很少时，这个亚格子马赫数比预期的要小。 FLUENT 中提供了四个关于 µt 的模型： Smagorinsky-Lilly 模型、动态 Smagorinsky-Lilly 模型、WALE 模型和动态动能亚 网格模型。亚格子尺度湍流通量的一个标量， φ ，是仿照使用 S 亚格子尺度湍流的普 朗特数
µt = ρ Ls 2 S
其中： Ls 为网格的混合长度，并且 S ≡ 2 Sij Sij 。 在 FLUENT 中， Ls 的计算公式为： Ls = min(kd , CsV 1 3 ) ，其中 k 为 von Ka ′rma ′n d 为到最近的壁面的距离， Cs 为 Smagorinsky 常数， V 为计算单元的体积。 Lilly 常数， 通过在惯性区域的类似湍流计算得到 Cs 值为 0.17，然而这个值在平均剪切力出现时 或流场过渡区引起很大的阻尼振动，简而言之， Cs 不是一个简单的常数。尽管如此，
φ(x)= ∫ φ (x ' )G (x, x ' )dx '
D
其中：D 为流场区域，G 为决定过滤尺寸的函数。 在 FLUENT 中有限体积离散化本身就提供了过滤操作，定义如下：
φ(x)=
其中： V 为计算单元的体积。 过滤函数 G (x, x ' ) 定义如下：
1 φ (x ' )dx ' , x ' ∈υ ∫ Vυ
二、大涡模拟
1、大涡模拟的发展历史 1963 年 Smagorinsky 首次提出了大涡模拟模型。 此方法第一次用于解决工程水流 问题是由气象学家 Deardorff 在 1970 年完成的， 他用大涡模拟法模拟了槽道中的流体 流动。在 70 年代，Ferziger 引入类同于时均处理方法中的湍动能和耗散率概念，计入 涡尺度对涡粘性系数的影响，改正了 Smagorinsky 的计算公式。1991 年， Germano 等提出动态模型，使 Smagorinsky 模型具有自率定效应。1995 年，Ghosal 等提出动态 局部模型，解决了 Germano 模型中非均匀各向同性应用中数学不一致的问题，进一 步发展了涡粘性模型。我国虽然在这方面起步较晚，但也取得了一定的成果。我国学 者苏铭德在 1986 年提出了大涡模拟中的代数应力模型，并用其计算了平直槽道和弯 曲槽道内的湍流流动。 2、大涡模拟的基本思想 我们知道， 湍流运动是由许多大小不同的旋涡组成的。那些大旋涡对于平均流动
τ ij 为亚网格应力，定义为： τ ij ≡ ρ ui u j − ρ ui u j
很明显，这几个方程是类似的，其不同之处在于所依赖的变量为过滤后的量， 而 不是平均量，同时张力表达式不同。 4、大涡模拟的亚格子模型 FLUENT 中的亚格子湍流模型与雷诺平均(RANS)模型一样，采用了 Boussinesq 假定，计算亚格子应力可以采用下面的公式：
在上述的方程组中， 模型常数 Ck 和 Cε是动态的， σ k 规定为 1.0。 该模型在 FLUENT 中的实施细节已由 Kim 给出。 5、LES 模型的边界条件 有随机扰动理论，在指定速度进口的边界处，流动的速度组成可表示为：
ui =< ui > + Iψ u
其中：I 为波动强度；
ψ 为 Gaussion 随机数，定义为：ψ =0 和 ψ ' = 1 。
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∂ρ ∂ + ( ρ ui ) = 0 ∂t ∂xi
∂σ ∂ ∂ ∂ ∂p ∂τ ij ( ρ ui ) + ( ρ ui u j ) = ( µ ij ) − − ∂t ∂x j ∂x j ∂x j ∂xi ∂x j
⎡ ∂u ∂u j ⎤ 2 ∂ui 其中： σ ij 为应力张量，由分子粘度定义为： σ ij ≡ ⎢ µ ( i + )⎥ − µ δ ij ； ∂ x ∂ x 3 ∂ x ⎢ ⎥ j i i ⎣ ⎦
Cs = 0.1 对大部分流动来说是一个理想的值，目前 FLUENT 采用这个值。
（2）动态 Smagorinsky-Lilly 模型 Germano 等 和 Lilly 先 后 提 出 并 发 展 了 动 态 亚 格 子 模 型 ， 在 这 个 模 型 里
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G (x, x ' ) = ⎨
' ⎧ ⎪ 1/ V , x ∈υ
⎪ ⎩0,
x ' ∈ otherwise
但是用 LES 去计算可压缩流体还不现实，这个理论主要用于不可压缩流体，可 以认为，FLUENT 将采用 LES 模型来解决不可压缩流体。过滤不可压缩 N-S 方程， 将得到以下方程：
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如果网格划分得很好， 则可由薄壁面应力——张力间的关系得到如下的壁面剪切 力方程：
u ρ uτ y = uτ µ
如果网格划分很粗糙，则不能解决薄壁面的流动情况，可以假定与壁面相邻的网 格单元的质心处于边界层的对流区域，其方程可表达为：
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有比较明显的影响， 而那些小旋涡通过非线性作用对大尺度运动产生影响。大量的质 量、热量、动量、能量交换是通过大涡实现的，小涡的作用表现为耗散。流场的形状， 阻碍物的存在，对大旋涡有比较大的影响，使它具有更明显的各向异性。小旋涡则不 然，它们有更多的共性，更接近各向同性，因而较易于建立有普遍意义的模型。基于 上述物理基础， 人们形成了大涡模拟思想：把湍流运动分成大尺度和小尺度两部分运 动， 小尺度量通过模型建立与大尺度量的关系， 大尺度量通过数值计算得到。 很明显， 只要尺度足够小，小尺度量模型将会具有更多的普遍性，大涡模拟更加有效。 3、大涡模拟的滤波函数 大涡模拟第一步就是把一切流动变量划分成大尺度量和小尺度量， 这一过程称之 为滤波。滤波运算相当于在一定区间内按一定条件对函数进行加权平均，其目的是滤 掉高波数而只保留低波数，截断波数的最大波长由滤波函数的特征尺度决定。目前较 为常用的滤波函数主要有以下三种：Deardorff 的盒式(BOX)滤波函数、富氏截断滤波 函数和高斯(Gauss)滤波函数。 过滤的 N-S 方程 LES 方程通过傅立叶或空间域 N-S 方程滤掉时间项得到，筛选过程，可以有效 的滤掉比过滤网格小的漩涡，从而得到大涡的动量方程。经过过滤的变量定义为：
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其中： ∆ f 是过滤器的尺寸，定义为： ∆ f ≡ V 1 3 。 则亚格子尺度应力可写成下式：
2 2 τ ij − ksgsδ ij = −2Ck k 1 ∆ f Sij sgs 3
这里 ksgs 通过求解其输运方程得到，如下：
32 k sgs ∂ksgs ∂u j ksgs ∂ui ∂ µt ∂ksgs + = −τ ij −C + ( ) ε ∂t ∂x j ∂x j ∆ f ∂x j σ k ∂x j
1 2 ksgs = (uk − uk2 ) 2
这是获得收缩公式 τ ij ≡ ρ ui u j − ρ ui u j 的亚格子尺度应力。 亚网格尺度涡粘度 µt ，作为计算 ksgs 使用，如下式：
2 µt = Ck k 1 ∆f sgs
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φ=
ρφ ρ
过滤过的 N-S 方程的密度加权公式在形式上与过滤不可压缩 N-S 方程得到的方 程相同，压缩形式的亚格子应力张量定义为：
Tij = − ρ ui u j + ρ ui u j
亚格子应力张量可分为正应力和偏应力两项，如下式所示：
1 1 Tij = Tij − Tllδ ij + Tllδ ij 3 � ��� 3 �� ��
qj = −
其中： q j 为亚网格尺度通量。
µt ∂φ σ t ∂x j
在动态模型中， 亚格子尺度湍流普朗特数或施密特数，通过运用由格尔曼诺提出 的亚格子尺度通量得到。 （1）Smagorinsky-Lilly 模型 这个简单的模型首次由 Smagorinsky 提出， 在 Smagorinsky-Lilly 模型中涡粘度定 义如下：
1 τ ij − τ kkδ ij = −2µt sij 3
其中： µt 为亚网格湍流粘性力；
τ kk 为亚网格尺度各向同性的一部分； sij 为应力张量的速率，定义为： sij ≡
1 ∂ui ∂u j ( + )。 2 ∂x j ∂xi
对于可压缩流动，可以很方便地引入密度加权(Favre)的过滤操作，如下式：
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Smagorinsky 模型常数 Cs 是根据运动解析尺度提供的信息动态计算的。这样的动态亚 格子模型消除了用户需要预先指定的模型常数 Cs 。在 FLUENT 中使用该模型的详细 资料和该模型的验证信息都可以找到。 使用动态 Smagorinsky-Lilly 模型获得的 Cs 常数在时间和空间变化较大。为了避 免在 FLUENT 的数值不稳定， Cs 在零点截断，并且默认为 0.23。 （3）壁挂式本地涡粘度（ WALE）模型 在 WALE 模型中，涡粘度由下式计算：