2019-2020学年山西省吕梁市孝义市八年级(上)期末数学试卷 及答案解析

2019-2020学年山西省吕梁市孝义市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）
1.有下列长度的三条线段，能组成三角形的是()
A. 2cm，3cm，4cm
B. 1cm，4cm，2cm
C. 1cm，2cm，3cm
D. 6cm，2cm，3cm
2.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1=()
A. 90°
B. 100°
C. 105°
D. 135°
3.如图，MB=ND，∠MBA=∠D，下列添加条件中，不能判定△ABM≌△CDN的是()．
A. ∠M=∠N
B. AB=CD
C. AM=CN
D. AM//CN
4.点M(−4,5)关于y轴对称点的坐标为()
A. (4,5)
B. (4,−5)
C. (−4,−5)
D. (−5,−4)
5.下列四种汽车标志中，不是轴对称图形的是()
A. B.
C. D.
6.下列运算正确的是()
A. (ab)5=ab5
B. a8÷a2=a6
C. (a2)3=a5
D. (a−b)5=a5−b5
7.下列各式中正确的是()
A. a+b ab =1+b b
B. x−y x+y =x 2−y 2(x+y)2
C. x+3x 2−9=1x+3
D. −x+y
2=−x+y
2
8. 一艘轮船在静水中的最大航速为35km/ℎ，它以最大航速沿江顺流航行120km 所用时间，与以最
大航速逆流航行90km 所用时间相等．设江水的流速为v km/ℎ，则可列方程为( )
A. 120v+35=90v−35
B. 12035−v =9035+v
C. 120v−35=90v+35
D. 12035+v =90
35−v 9. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ，CE 是△ABC 的两条中线，P 是AD 上
一个动点，则下列线段的长度等于BP +EP 最小值的是( )
A. BC
B. CE
C. AD
D. AC
10. 如图，AB//FC ，DE =EF ，AB =15，CF =8，则BD 等于( )
A. 8
B. 7
C. 6
D.
5 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 因式分解：5a 2−20a +20=______．
12. 据相关数据统计，大多数动植物细胞的直径在20微米到30微米之间，已知某动物细胞直径为
25微米，即为0.000025米，请将0.000025用科学记数法表示为 ．
13. 一根钢筋长am ，第一次用去了全长的13，第二次用去了余下的1
2，则剩余部分的长度为 m.
14. 如图，四边形ABCD 中，若∠A +∠B =180°，则∠C +∠D =______°.
15. 如图，已知AB =DE ，∠A =∠D ，AC =DC ，若∠ACD =15°，则
∠BCE =______°．
三、解答题（本大题共7小题，共55.0分）
16.先化简，再求值：a+1
a−3−a−3
a−2
÷a2−6a+9
a2−4
，其中a=(1
2
)−1−√12+(π−3.14)0+2cos30°．
17.解方程：2(x+1)
x−1−x−1
x+1
=1
18.如图，△AOC≌△BOD.求证：AC//BD．
19.尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)：已知∠α、∠β，求作一个角，使它等于∠α−∠β．
20.在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于
点O，△ADE的周长为6cm．
(1)求BC的长；
(2)分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．
21.某车行经销的A型自行车去年6月份销售总额为1.6万元，今年由于改造升级每辆车售价比去年
增加200元，今年6月份与去年同期相比，销售数量相同，销售总额增加25%．
(1)求今年A型车每辆售价多少元？
(2)该车行计划7月份用不超过4.3万元的资金新进一批A型车和B型车共50辆，应如何进货才
能使这批车售完后获利最多？
今年A，B两种型号车的进价和售价如下表：
A型车B型车
进价(元/辆)800950
售价(元/辆)今年售价1200
22.如图，四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝
形．
(1)试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论；
(2)在筝形ABCD中，若AB=2BC，∠ABC=90°，用尺规过点D作DE⊥AB于点E，交AC于
点F，连接BF，并直接判断四边形BCDF的形状，不必证明．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析：解：根据三角形任意两边的和大于第三边，得
A中，3+2>4，能组成三角形；
B中，1+2<4，不能组成三角形；
C中，1+2=3，不能够组成三角形；
D中，2+3<6，不能组成三角形．
故选：A．
根据三角形的三边关系进行分析判断．
本题考查了能够组成三角形三边的条件：用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条线段就能够组成三角形．
2.答案：C
解析：解：如图所示：由题意可得，∠2=45°，
则∠1=∠2+60°=45°+60°=105°．
故选：C．
直接利用一副三角板的内角度数，再结合三角形外角的性质得出答案．
此题主要考查了三角形的外角以及三角尺的特征，正确利用三角形外角的性质是解题关键．
3.答案：C
解析：
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理.本题根据普通三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种，逐条验证即可．
解：A.∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故A选项不符合题意；
B.AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；
C.根据条件AM=CN，MB=ND，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故C选项符合题意；
D.AM//CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．
故选C.
4.答案：A
解析：
本题考查关于y轴对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
解：点(−4,5)关于y轴的对称点的坐标是(4,5)，
故选A．
5.答案：C
解析：
本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的概念逐一判断即可．
解：A、是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项正确；
D、是轴对称图形，故此选项错误．
故选C．
6.答案：B
解析：解：A、(ab)5=a5b5，故本选项错误；
B、a8÷a2=a8−2a6，故本选项正确；
C、(a2)3=a2×3=a6，故本选项错误；
D、(a−b)5=(a−b)(a⁴+a3b+a2b2+ab3+b⁴)，故本选项错误；
故选：B．
根据积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方计算法则进行解答即可．
本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．7.答案：B
解析：
本题考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．
根据分式的分子分母同时乘以或除以一个不等于0的数或整式，分式的值不变，逐一判断即可得答案．
解：A．a+b
ab =1+
b
a
b
，本选项错误；
B.x−y
x+y =x2−y2
(x+y)2
，本选项正确；
C.x+3
x2−9=1
x−3
，本选项错误；
D.−x+y
2=−x−y
2
，本选项错误．
故选B．
8.答案：D
解析：
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，表示出顺水和逆水行驶速度，找出题目中等量关系，然后列出方程．
根据题意可得顺水速度为(35+v)km/ℎ，逆水速度为(35−v)km/ℎ，根据题意可得等量关系：以最大航速沿江顺流航行120km所用时间，与以最大航速逆流航行90km所用时间相等，根据等量关系列出方程即可．
【解得】
解：设江水的流速为vkm/ℎ，根据题意得：
120 35+v =90
35−v
，
故选D．
9.答案：B
解析：
本题考查轴对称−最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E 共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．
解：如图连接PC，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD垂直平分BC，
∴PB=PC，
∴PB+PE=PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，
故选B．
10.答案：B
解析：解：∵AB//FC，
∴∠ADE=∠F．
又∵DE=EF，∠AED=∠CEF，
∴△ADE≌△CFE．
∴AD=CF=8．
∴BD=AB−AD=15−8=7．
故选B．
根据AB//FC ，DE =EF 可以证明△ADE≌△CFE ，易证AD =CF ，进而就可求得BD 的值．
本题考查了全等三角形的判定及性质；根据条件证明两个三角形的全等是解决本题的关键，本题比较简单．
11.答案：5(a −2)2
解析：
原式提取5，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 解：原式=5(a 2−4a +4)=5(a −2)2，
故答案为：5(a −2)2．
12.答案：2.5×10−5
解析：
本题主要考查了科学记数法，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10−n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000025=2.5×10−5．
故答案为2.5×10−5．
13.答案：13a
解析：
本题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系．
剩余部分的长度=第一次剩下的长度×12．
解：可先求第一次剩下了(1−13)a 米，
再求第二次用去了余下的12后剩下：(1−13)a ×12=13a.
故答案为：1
3
a.
14.答案：180
解析：
根据四边形内角和等于360°可得答案．
此题主要考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握四边形内角和等于360°的知识点．解：∵∠A+∠B=180°，
∴∠C+∠D=360°−180°=180°．
故答案为：180．
15.答案：15
解析：
根据SAS证明△ACB与△CDE全等，再利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ACB与△CDE全等．
解：在△ACB与△CDE中，
{AB=DE ∠A=∠D AC=DC
，
∴△ACB≌△DCE(SAS)，
∴∠ACB=∠DCE，
即∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE=15°，
故答案为15．
16.答案：解：原式=a+1
a−3−a−3
a−2
⋅(a+2)(a−2)
(a−3)2
=
a+1
−
a+2
=−1
a−3
，
当a=2−2√3+1+√3=3−√3时，
原式=
3−√3−3=
−√3
=√3
3
．
解析：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据实数的运算法则求出a的值，代入计算可得．
17.答案：解：2(x+1)2−(x−1)2=x2−1
6x=−2
x=−1
，
3
是原方程的根，
经检验，x=−1
3
．
所以原方程的解为：x=−1
3
解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
18.答案：证明：∵△AOC≌△BOD，
∴∠C=∠D，
∴AC//BD．
解析：本题考查全等三角形的性质，以及平行线的判定，掌握性质和判定的应用是解题关键.首先根据全等三角形的对应角相等得出∠C=∠D，再根据平行线的判定方法判定即可．
19.答案：解：如图，∠AOB为所作．
解析：先作∠AOC=α，再作∠BOC=β，则△AOB为所作．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本
性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
20.答案：解：(1)∵l1、l2分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴AD=BD，AE=CE，
∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，
∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，
∴BC=6cm；
(2)∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，
∴OA=OC=OB，
∵△OBC的周长为16cm，
即OC+OB+BC=16，
∴OC+OB=16−6=10，
∴OC=5，
∴OA=OC=OB=5cm．
解析：本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．(1)先根据线段垂直平分线的性质得出AD=BD，AE=CE，再根据AD+DE+AE=BD+DE+ CE=BC即可得出结论；
(2)先根据线段垂直平分线的性质得出OA=OC=OB，再由△OBC的周长为16cm求出OC的长，进而得出结论．
21.答案：解：(1)设今年A型车每辆售价为x元，则去年A型车每辆售价为(x−200)元，
根据题意得：16000
x−200=16000×(1+25%)
x
，
解得：x=1000，
经检验，x=1000是原分式方程的解．答：今年A型车每辆售价为1000元．
(2)设购进A型车m辆，则购进B型车(50−m)辆，
根据题意得：800m+950(50−m)≤43000，
解得：m≥30．
销售利润为(1000−800)m+(1200−950)(50−m)=−50m+12500，
∵−50<0，
∴当m=30时，销售利润最多．
答：当购进A型车30辆、购进B型车20辆时，才能使这批车售完后获利最多．
解析：(1)设今年A型车每辆售价为x元，则去年A型车每辆售价为(x−200)元，根据数量=总价÷单价结合今年6月份与去年同期相比销售数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设购进A型车m辆，则购进B型车(50−m)辆，根据总价=单价×数量结合总费用不超过4.3万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据销售利润=单辆利润×购进数量即可得出销售利润关于m的函数关系式，利用一次函数的性质解决最值问题即可．
本题考查了分式方程的应用、一次函数的最值以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据数量关系，找出销售利润关于m的函数关系式．
22.答案：解：(1)猜想：筝形对角线之间的位置关系是垂直，即AC⊥BD．
证明：连接AC，BD，
因为AB=AD，CB=CD，AC=AC，
所以△ABC≌△ADC(SSS)，
所以∠BAC=∠DAC．
因为AB=AD，
所以AC⊥BD．
(2)如图所示，
四边形BCDF是菱形．
解析：本题考查了全等三角形的判断和性质，菱形的判断和性质．
(1)筝形对角线之间的位置关系是垂直，连接AC，BD，因为AB=AD，CB=CD，AC=AC，所以△ABC≌△ADC(SSS)，所以∠BAC=∠DAC.因为AB=AD，所以AC⊥BD；
(2)若AB=2BC，∠ABC=90°，用尺规过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，连接BF，如图所示，四边形BCDF是菱形．。