（1） 通过实际操作寻找题目中蕴含的数学规律
（2） 在操作过程中，体会数学规律的并且设计最优的策略和方案 （3） 熟练掌握通过简单操作、染色、数论等综合知识解决策略问题
实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。
一、 探索与操作
【例 1】 在纸上写着一列自然数1，2，…，98，99．一次操作是指将这列数中最前面的三个数划去，然
后把这三个数的和写在数列的最后面．例如第一次操作后得到4，5，…，98，99，6；而第二次操作后得到7，8，…，98，99，6，15．这样不断进行下去，最后将只剩下一个数，则最后剩下的数是 ．
【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】2008年，迎春杯
【解析】 第一轮：分33次划1～9，后面写上6，15，24，…，294共33个数．第二轮：分11次划去这33
个数，后面写上45，126，207，…，855，共11个数．之后的操作一次减少2个数，故还需操作5次．
设这11个数为：1a ，2a ，…，11a ．则接下去的数是：123()a a a ++，456()a a a ++，789()a a a ++，1011123()a a a a a ++++，4567891011123()a a a a a a a a a a a ++++++++++．
因此最后一数为：1231112994950a a a a +++
+=++
+=．
例题精讲
重难点
知识框架
游戏与策略
【答案】4950
【巩固】在1，9，8，9后面写一串这样的数字：先计算原来这4个数的后两个之和8+9=17，取个位数字7写在1，9，8，9的后面成为1，9，8，9，7；再计算这5个数的后两个之和9+7=16；取个位数字6写在1，9，8，9，7的后面成为1，9，8，9，7，6；再计算这6个数的后两个之和7+6=13，取个位数字3写在1，9，8，9，7，6的后面成为1，9，8，9，7，6，3. 继续这样求和，这样添写，成为数串1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4…那么这个数串的前398个数字的和是________.
【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】填空
【关键词】第六届，迎春杯，决赛
【解析】前16个数字是1，9，8，9，7，6，3，9，2，1，3，4，7，1，8，9
可见除去前2个数字1、9后，每12个数字一组重复出现.因此前398个数字的和是
1+9+（8+9+7+6+3+9+2+1+3+4+7+1）?3982
12
-
=10+60?33=1990
【答案】1990
【例2】一个盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各200枚，我们对这些棋子做如下操作：每次拿出2枚棋子，如果颜色相同，就补1枚黑色棋子回去；如果颜色不同，就补1枚白色的棋
子回去．这样的操作，实际上就是每次都少了1枚棋子，那么，经过399次操作后，最后剩下
的棋子是颜色(填黑或者白)
【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】填空
【关键词】2008年，北大附中，资优博雅杯
【解析】由于起初白子200枚是偶数，若同色，补黑子1枚，白子仍为偶数；若异色，补白子1枚，白子仍为偶数．因此最后1枚不可能是白子，故应是黑子．
【答案】黑
【巩固】在黑板上写上1、2、3、4、……、2008，按下列规定进行“操怍”：每次擦去其中的任意两个数a
和b，然后写上它们的差(大数减小数)，直到黑板上剩下一个数为止．问黑板上剩下的数是奇数还是偶数？为什么？
【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】解答
【解析】根据等差数列求和公式，可知开始时黑板上所有数的和为123200820091004
++++=?是一个偶数，而每一次“操作”，将a、b两个数变成了()
-，它们的和减少了2b，即减少了一个偶数．那
a b
么从整体上看，总和减少了一个偶数，其奇偶性不变，还是一个偶数．所以每次操作后黑板上剩下的数的和都是偶数，那么最后黑板上剩下一个数时，这个数是个偶数．
【答案】偶数
【例3】有20堆石子，每堆都有2006粒石子．从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作．经过不足20次操作后，某一堆中有石子1990粒，另一堆石子数在2080到2100之间．这一堆石
子有粒．
【考点】操作找规律【难度】2星【题型】填空
【关键词】2005年，第4届，走美杯，5年级，决赛
【解析】根据题意可以得出，某一堆石子，如果被取一次，则数量减少1，如果被放入一次，则数量增加19。考虑有1990粒石子的那一堆，如果至少一次被放，则最多19次被取，最后石子数肯定不少于原来的2006粒。则该石子一次也没被放入过，则总共操作了16次。由于另一堆石子数在2008与2100之间，则只被放入过5次，被取11次，剩下石子19×5-11+2006=2090粒。
【答案】2090粒
【巩固】桌上有一堆石子共1001粒。第一步从中扔去一粒石子，并把余下的石子分成两堆。以后的每一步，都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把某一堆分作两堆。问：能否在若干步之后，桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？
【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】解答
【解析】不可能．事实上，如果可能的话，那么假定最后在桌上剩下了n堆石子，每堆3粒，则在此之前
一共进行了(1)n -次操作（开始时只有一堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作1n -次后分成n 堆）．而每操作一次，都扔去一粒石子，所以一共扔去(1)n -粒石子．因此，3(1)1001n n +-=，
得到41002n =，但1002不是4的倍数，说明n 不是整数，导致矛盾．所以不可能．
【答案】不可能
【例 4】 今有101枚硬币，其中有100枚同样的真币和1枚伪币，伪币和真币的重量不同．现需弄清楚
伪币究竟比真币轻还是重、但只有一架没有砝码的天平，那么怎样利用这架天平称两次，来达到目的？
【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略
【答案】101枚硬币，如果进行称重的话应该保证天平两边的硬币数相等．因此应该首先拿掉一个，把剩
下的100枚硬币在天平两边各放50个．如果这时天平两边重量相等的话，就说明剩下的那个是伪币．只要任意拿出一个真币和这个伪币再称一次就可以知道真币和伪币那种比较重了． 如果天平两边重量不相等的话，就是说伪币还在这100个硬币中．可以拿出其中比较轻的50个．这时同样还是把他们分成两个25枚，分到天平两边称重．
如果两边重量相等，说明这50个硬币都是真的．伪币在比较重的那50个中，因此伪币就应该比真币重．如果两边重量不相等，说明伪币就在这50个比较轻的硬币中，显然伪币就应该比真币轻．同样道理，也可以把比较重的那50个硬币分成两个25进行称重，同样也可以得出结论
【巩固】 你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量
一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？
【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 略.
【答案】第一瓶拿一个药丸，第二瓶拿两个药丸，第三瓶拿三个，第四瓶拿四个，称一下比标准的10个
药丸重多少，重多少就是第几个瓶子里的药丸被污染
【例 5】 一个数列有如下规则：当数n 是奇数时，下一个数是1n +；当数n 是偶数时，下一个数是
2
n
．如果这列数的第一个数是奇数，第四个数是11，则这列数的第一个数是 ．
【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 本题可以进行倒推．11的前一个数只能是偶数22，22的前一个数可以是偶数44或奇数21，44的
前一个是可以是偶数88或奇数43，而21的前一个只能是偶数42．
由于这列数的第一个是奇数，所以只有43满足．故这列数的第一个数是43．
也可以顺着进行分析．假设第一个数是a ，由于a 是奇数，所以第二个数是1a +，是个偶数，那么第三个数是
12a +，第四个数是11，11只能由偶数22得来，所以1
222
a +=，得到43a =，即这列数的第一个数是43．
【答案】43
【巩固】 对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2；如果是奇数则加1. 如此进行直到为1操作停止.
求经过9次操作变为1的数有多少个？
【考点】游戏与策略 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】第七届，华杯赛，决赛
【解析】 可以先尝试一下，得出下面的图：其中经1次操作变为1的1个，即2，经2次操作变为1的1
个，即4，经3次操作变为1的2个，即3，8，…，经6次操作变为1的有8个，即11，24，10，28，13，30，64，31.
于是，经1、2、…次操作变为1的数的个数依次为
1，1，2，3，5，8，… ① 这一串数中有个特点：自第三个开始，每一个等于前两个的和，即 2=1+1，3=2+1，5=3+2，8=5+3，… 如果这个规律正确，那么8后面的数依次是
8+5=13，13+8=21，21+13=34，… 即经过9次操作变为1的数有34个. 为什么上面的规律是正确的呢？
道理也很简单. 设经过n 次操作变为1的数的个数为n a ,则1a =1，2a =1，3a =2，…
102411
12
5
13
283031
64
32
15
14
16
7
6
3
8
4
2
1
从上面的图看出，1n a +比n a 大. 一方面，每个经过n 次操作变为1的数，乘以2，就得出一个偶数，经过1n +次操作变为1；反过来，每个经过1n +次操作变为1的偶数，除以2，就得出一个经过n 次操作变为1的数. 所以经过n 次操作变为1的数与经过1n +次操作变为1的偶数恰好一样多.
前者的个数是n a ,因此后者也是n a 个.
另一方面，每个经过n 次操作变为1的偶数，减去1，就得出一个奇数，它经过1n +次操作变为1，反过来.每个经过1n +次操作变为1的奇数，加上1，就得出一个偶数，它经过n 次操作变为1. 所以经过n 次操作变为1的偶数经过1n +次操作变为1的奇数恰好一样多.而由上面所说，前者的个数就是1n a -,因此后者也是1n a -.
经过n +1次操作变为1的数，分为偶数、奇数两类，所以
11n n n a a a +-=+ ②
即上面所说的规律的确成立.
满足规律②，并且12a a ==1的一串数 ①称为裴波那契数列，斐波那契（Fibonacci ,约1175—1250）是意大利数学家，以他的名字命名的这种数列有很广泛的应用.
【答案】34
二、染色与操作（证明）
【例6】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫作它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗？为什
么？
【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】解答
【解析】建议建议教师在本讲可以以游戏的形式激发学生自主解决问题．划一个57
?的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格坐到白格．但实际上图中有17个黑格，18个白格，黑格与白格的个数不相等，故不能办到．
【答案】不能
【巩固】有一次车展共6636
?=个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?
【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】解答
【解析】如右图，对每个展室黑白相间染色，那么每次只能从黑格到白格或从白格到黑格．由于入口处和出口处都是白格，而路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．
【答案】不可能
【例7】如右图，在55
?方格的A格中有一只爬虫，它每次总是只朝上下左右四个方向爬到相邻方格中．那么它能否不重复地爬遍每个方格再回到A格中?
A
【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】解答
【解析】由小虫的爬法，仍可黑白相间对方格自然染色，于是小虫只能由黑格爬到白格或由白格爬到黑格．所以，它由A出发回到A，即黑格爬到黑格，必须经过偶数步．而小方格为5525
?=个，每格爬过一次，就应该为25步，不是偶数．于是这只爬虫不可能不重复地爬遍每格再回到A格．【答案】不可能
【巩固】一只电动老鼠从右图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转．当这只电动老鼠又回到A点时，甲说它共转了81次弯，乙说它共转了82次弯．如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？
【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】解答
【解析】如右图所示:格点黑白相间染色，因为老鼠遇到格点必须转弯，所以经过多少个格点就转了多少次弯．如右上图所示，老鼠从黑点出发，到达任何一个黑点都转了奇数次弯，所以甲正确．
【答案】甲正确
三、染色与操作（剪拼）
【例8】有7个苹果要平均分给12个小朋友，园长要求每个苹果最多分成5份．应该怎样分？
【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】解答
【解析】显然每人应该分
7
12
＝
4
12
+
3
12
＝
1
3
+
1
4
．
于是，拿4个苹果，每个苹果3等分；拿3个苹果，每个苹果4等分.
【答案】拿4个苹果，每个苹果3等分；拿3个苹果，每个苹果4等分
【巩固】 右图是由40个小正方形组成的图形，能否将它剪裁成20个相同的长方形？
【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 将40个小正方形剪裁成20个相同的长方形，就是将图形分割成20个12?的小长方形，将图形黑
白相间染色后，发现有21黑，19白，黑、白格数目不等，而12?的小长方形覆盖的总是黑白格各一个，所以不可能做到．
【答案】不可能
【例 9】 用9个14?的长方形能不能拼成一个66?的正方形？请说明理由．
【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 本题若用传统的自然染色法，不能解决问题．因为要用14?来覆盖，我们对66?正方形用四种颜
色染色．为了方便起见，这里用1、2、3、4分别代表四种颜色．为了使每个14?长方形在任何位置盖住的都一样，我们采用沿对角线染色，如下图．
44
4444433
33333322222
222
2111
1111143
21
这样，可以发现无论将14?长方形放于何处，盖住的必然是1、2、3、4各一个．要不重叠地拼
出66
?，需9个14
?长方形，则必然盖住1、2、3、4各9个．但实际上图中一共是9个1、10个
?正方形．
2、9个
3、8个4，因而不可能用9个14
?长方形拼出66
【答案】不可能
【巩固】能否用9个所示的卡片拼成一个66
?的棋盘？
【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】解答
【解析】不能．将66
?的棋盘黑白相间染色（见右图），有18个黑格．而每张卡片盖住的黑格数只能是1或者3，所以每张卡片盖住的黑格数是个奇数，9张卡片盖住的黑格数之和也是奇数，不可能盖住18个黑格．
【答案】不可能
【例10】有一批商品，每一件都是长方体形状，尺寸是124
??．现有一批现成的木箱，内空尺寸是??，问：为什么不能用这些商品将木箱装满?
666
【考点】游戏与策略【难度】3星【题型】解答
【解析】略．
【答案】采用如右图的染色方法．
每件124
??的??的商品必占4个白的小立方体和4个黑的小立方体．在整个大正方体中，222黑正方体共有54514
++=(个)．故111
???=(个)．白正方体共：
??的黑正方体共：14222112
666112104??-=(个)．可见，111??的小立方体黑白总数不等，而每件124??的商品能占的黑
白小立方体个数相同，故不可能用这种商品装满木箱而没有空隙
四、
模块四、操作问题（计算）
【例 11】 观察下列正方形数表：表1中的各数之和为1，表2中的各数之和为17，表3中的各数之和为
65，…（每个正方形数表比前一个正方形数表多一层方格，增加的一层方格中所填的数比前一数表的最外层方格的数大1）．如果表n 中的各数之和等于15505，那么n 等于_________．
…
123222222
22
2
2
2
22223333
3
3
33
3
33333311
表 3
表 2
表 1
【考点】操作找规律 【难度】4星 【题型】填空 【关键词】2007年，迎春杯，高年级，初赛
【解析】 表n 比表1n -多()81n -个n ，也就是表n 的数字总和比表1n -的数字总和大()81n n -．表n 的数
字和是()()()181223118113n n n n n +?+?+
+-?=+?-+÷????．
因为()()1811315505n n n +?-+÷=，
所以()()1119383191023171819n n n -+=?=??=??，所以18n =．
【答案】18n =
【巩固】 对于表⑴，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上
的数可以不同），变为表⑵？为什么？
1010001
01
(2)
(1)
9
87
654321
【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过一次变化后，等于
原来的总和加上或减去那个数的2倍， 因此总和的奇偶性没有改变．原来九个数的总和为
12945+++=，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，而表⑵中九个数的总和是4，
是个偶数．奇数不可能等于偶数，所以不可能变成表⑵．
【答案】不可能
【例 12】 在左下表中，在有公共边的两格内的数同时加上1或同时减去1叫做一次操作．经过有限次操
作后由左下表变为右下表，那么右下表中A 处的数是 ．
【考点】操作找规律 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2010年，迎春杯，三年级，初赛
【解析】 之后两两加1操作（除去左上角的数字5）即可使余下的格内数字均为2010.所以，A 处的数字是
5.
101010101换成211010101换成311110101
换成311121101换成311131111
换成301121111换成411121111换成411011111换成511
111111
【答案】5
【巩固】 在图⑴的方格表中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算一次操作，经过
若干次操作后变为图⑵，问：图⑵中的A 格中的数字是几？
111111
1A 11111
1
1
1(2)
(1)0000
000
11
11
11110
【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 将44?的方格进行黑白相间染色，如右图所示
每个小格同时加1或减1，因黑白格数相等，那么操作中不变的应该是黑格数字和与白格数字和之差，由图⑴知这个差是8，由图⑵可知：白格数之和-黑格数之和(7)88A =+-=，所以9A =．
【答案】9A =
【巩固】 如图，图1的88?方格中交替填满了0和1，图2是从图1
中任意位置截取的、、
三种图形，并对每种图形进行操作：每个小方格同时加1或同时减1，如此反复多次，再
将这三种图形不重叠地拼成的．问：图2中的A 格中的数字应该是多少？
00
0000
0000000
00
0000000000000000图1
1
1
1111111111111111
1
111111111111
111
11
1
1
1111111
11
1
111111*********
1图2
1
1
11
1A 11111111111
11111111
1111111
【考点】游戏与策略 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 此题似乎脱离了染色问题，问的是数字，但注意到图1中0和1的交替，想到将88?方格自然染色
(如右图
)
则黑格里全为1，白格里全为0．而题中的三种图形，22?方格必占2白2黑，23?的方格必占
3
五年级奥数一半模型教 师版 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
一半模型 知识结构 一、三角形当中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。 在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2 ?? ??? 特别地如图2，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2 ? 在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2 二、平行四边形中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2， 平行四边行的面积公式S=底×高 所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！
同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半： ?? ?? ?? 【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“√”，不是打“×”。 （）（）（）（） （）（） 三、梯形中的一半模型 在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。 如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2 ? 如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。
? 四、任意四边形中的一半模型 如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2 ? 【能力提升】
【 巩固练习】 【例1】如图，已知长方形ABCD 的面积为 24平方厘米，且线段EF,GH 把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。 24÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。 6×4÷2=12（平方厘米） 答：阴影部分的面积是12平方厘米。 例题精讲 4
工程问题 一：基本类型 工程问题中的某项工程一般不给出具体的数量，首先，在解题时关键要把“一项工程”看作单位“1”，工作效率就用完成单位“1”所需的工作时间的倒数来表示；其次，在解答时要抓住三个基本数量：工作效率、工作时间和工作总量，并结合有关工程问题的三个基本数量关系式来列式解答。 模型一：工作效率（和）×工作时间=工作总量 模型二：工作总量÷工作效率（和）=工作时间 模型三：工作总量÷工作时间=工作效率（和） （一）先合作，后独作 例1、一条公路，甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成。甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成，乙队修了多少天？（A） 例2、修一条公路，甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完。现两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完。乙队休息了几天？（B级）
（二）丙先帮甲，再帮乙 例3、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲搬运了几小时？（B级） （三）甲乙合作，中途有人休息 例4、一项工程，如果单独做，甲需10天完成，乙需15天完成，丙需20天完成。现在三人合作，中途甲先休息1天，乙再休息3天，而丙一直工作到完工为止。这样一共用了几天时间？（B级）
（四）独做化合做 例5、甲乙合做一项工程，24天完成。如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的1/5，两队单独做完成任务各需多少天？（B级） （五）合做变独做 例6、一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全工程的一半。已知甲、乙工作效率的比是2：3。如果由乙单独做，需要多少天才能完成？（B）
1、五年级奥数等量代换教师版 2、通过等量代换思想学习图文算式,培养学生的逆向思维和发散思维 3、在代换中锻炼学生的分析问题能力和推理判断能力 生活中有很多相等的量,如平衡的天平、平衡的跷跷板两边的重量相等.我们可以根据这些相等的关系进行推理,进而可以等量代换,找到答案.这一节课我们就引导学生来学习等量代换中推理的方法,让学生能对较复杂的物体进行代换,在代换的过程中培养学生的思维能力. 模块一、看的见的等量代换 【例 1】看下图,右边要站几只小鸟跷跷板才能平衡. 【考点】等量代换 【难度】1星 【题型】解答 【解析】1只小兔的重量等于6只鸟的重量,右边要放6只鸟,跷跷板才能保持平衡. 【答案】6 【巩固】下图中第三个盘子应放几个小方块才能保持平衡? 【考点】等量代换 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 1个香蕉的重量=3个方块的重量,右边要放3个方块天平才能保持平衡. 【答案】3 【巩固】下图中0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个兄弟玩跷跷板,8和6先坐在一头,让哪两个兄弟坐在另一头,才能使跷跷板平衡？ 知识精讲 教学目标 等量代换
【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答 【解析】右边8+6=14,左边只能放9和5,9+5=14. 【答案】14 【巩固】一个苹果等于（）个草莓. 【考点】等量代换【难度】1星【题型】解答 【解析】一个苹果等于4个草莓. 【答案】4 【巩固】第三个盘子应放几个玻璃球才能保持平衡． 【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答 【解析】第三个盘子应放6个玻璃球才能保持平衡． 【答案】6个 【巩固】巳知＝60克,求＝？克． 【考点】等量代换【难度】2星【题型】解答 【解析】从左边的图可得：3个白球=2个黑球的重量,也就是等于6060120 +＝（克）,120340 ÷=（克）,所以每个白球的重量等于40克．从右图可得：1个正方体=4个白球的重量,一个白球的重量等于40克,1个正方体的重量就是：?=（克）． 404160 【答案】160克 【巩固】第三个盘子应放几个玻璃球才能保持平衡？
1、25除以一个数的2倍,商是3余1,求这个数．[4] 2、学校今年绿化面积1800平方米,比去年的绿化面积的2倍还多40平方米,去年绿化面积是多少平方米? [3] 3、洗衣机厂今年每日生产洗衣机260台,比去年平均日产量的2．5倍少40台,去年平均日产洗衣机多少台? [3] 4、化肥厂用大、小两辆汽车运47吨化肥,大汽车运了8次,小汽车运了6次正好运完,大汽车每次运4吨,小汽车每次运多少吨? [3] 5、一匹布长36米,裁了10件大人衣服和8件儿童衣服,每件大人衣服用布2．4米,每件儿童衣服用布多少米? 6、甲车每小时行48千米,乙车每小时行56千米,两车从相距12千米的两地同时背向而行,几小时后两车相距272千米? [4] 7、饲养场共养4800只鸡,母鸡只数比公鸡只数的1．5倍还多300只,公鸡、母鸡各养了多少只? 8、哥哥和弟弟的年龄相加为35岁,哥哥比弟弟大3岁,哥哥和弟弟各多少岁? [4] 9、甲、乙两车同时从相距528千米的两地相向而行,6小时后相遇,甲车每小时比乙车快6千米,求甲、乙两车每小时各行多少千米? 10、小张买苹果用去7．4元,比买2千克橘子多用0．6元,每千克橘子多少元? [4] 11、学校图书馆购买的文艺书比科技书多156本,文艺书的本数比科技书的3倍还多12本,文艺书和科技书各买了多少本? [4] 12、甲有书的本数是乙有书的本数的3倍,甲、乙两人平均每人有82本书,求甲、乙两人各有书多少本. [4] 13、一只两层书架,上层放的书是下层的3倍,如果把上层的书搬60本到下层,那么两层的书一样多,求上、下层原来各有书多少本．[4] 14、有甲、乙两缸金鱼,甲缸的金鱼条数是乙缸的一半,如从乙缸里取出9条金鱼放人甲缸,这样两缸鱼的条数相等,求甲缸原有金鱼多少条．[4] 15、汽车从甲地到乙地,去时每小时行60千米,比计划时间早到1小时；返回时,每小时行40千米,比计划时间迟到1小时．求甲乙两地的距离．[5] 16、同学们种向日葵,五年级种的棵数比四年级种的3倍少10棵,五年级比四年级多种62棵,两个年级各种多少棵? 17、电视机厂生产一批电视机,如果每天生产40台,要比原计划多生产6天,如果每天生产60台,可以比原计划提前4天完成,求原计划生产时间和这批电视机的总台数．[5] 19、一把直尺和一把小刀共1．9元,4把直尺和6把小刀共9元,每把直尺和每把小刀各多少元? 20、甲、乙两个粮仓存粮数相等,从甲仓运出130吨、从乙仓运出230吨后,甲粮仓剩粮是乙粮仓剩粮的3倍,原来每个粮仓各存粮多少吨? 21、甲、乙两堆煤共100吨,如从甲堆运出10吨给乙堆,这时甲堆煤的质量正好是乙堆煤质量的1．5倍,求甲、乙两堆煤原来各有多少吨? 22、甲仓存粮32吨乙仓存粮57吨以后甲仓每天存人4吨,乙仓每天存人9吨,几天后乙仓存粮是甲仓的2倍? 23、两根电线同样长短,将第一根剪去2米后,第二根长是第一根的1.8倍,原来两根电线各长多少米? [4] 24、一批香蕉,卖掉140千克后,原来香蕉的质量正好是剩下香蕉的5倍,这批香蕉共有多少千克? 25、小明去爬山,上山花了45分钟,原路下山花了30分钟,上山每分钟比下山每分钟少走9米,
一．知识的回顾 1.工厂原有职工128人，男工人数占总数的1 4 ，后来又调入男职工若干人，调入后男工人数占总人数的 2 5 ，这时工厂共有职工 人． 【解析】 在调入的前后，女职工人数保持不变．在调入前，女职工人数为1 128(1)964 ?-=人， 调入后女职工占总人数的23155-=，所以现在工厂共有职工3 961605 ÷=人． 2.有甲、乙两桶油，甲桶油的质量是乙桶的5 2 倍，从甲桶中倒出5千克油给乙桶后，甲桶油的质量是乙桶的 4 3 倍，乙桶中原有油 千克． 【解析】 原来甲桶油的质量是两桶油总质量的55 527 =+，甲桶中倒出5千克后剩下的油的 质量是两桶油总质量的44 437 =+，由于总质量不变，所以两桶油的总质量为 545()3577÷-=千克，乙桶中原有油2 35107 ?=千克． 【例 2】 （1）某工厂二月份比元月份增产10％，三月份比二月份减产10％．问三月份比 元月份增产了还是减产了？（2）一件商品先涨价15％，然后再降价15％，问现在的价格和原价格比较升高、降低还是不变？ 【解析】 （1）设二月份产量是1，所以元月份产量为： ()10 11+10%= 11 ÷，三月份产量为：110%=0.9-，因为 10 11 ＞0.9，所以三月份比元月份减产了 （2）设商品的原价是1，涨价后为1+15%=1.15，降价15%为： ()1.15115%=0.9775?-，现价和原价比较为：0.9775＜1，所以价格比较后是价 降低了。
【巩固】 把100个人分成四队，一队人数是二队人数的1 13倍，一队人数是三队人数的11 4 倍，那么四队有多少个人? 【解析】 方法一：设一队的人数是“1”，那么二队人数是：1 3 113 4 ÷= ，三队的人数是：141145÷=，345114520++= ，因此，一、二、三队之和是：一队人数51 20 ?，因为人数是整数，一队人数一定是20的整数倍，而三个队的人数之和是51?(某一整 数)， 因为这是100以内的数，这个整数只能是1．所以三个队共有51人，其中一、二、三队各有20，15，16人．而四队有：1005149-=(人)． 方法二：设二队有3份，则一队有4份；设三队有4份，则一队有5份.为统一一队所以设一队有[4,5]20=份，则二队有15份，三队有16份，所以三个队之和为 15162051++=份，而四个队的份数之和必须是100的因数，因此四个队份数之和是100份，恰是一份一人，所以四队有1005149-=人(人). 【例 3】 新光小学有音乐、美术和体育三个特长班，音乐班人数相当于另外两个班人数的 25，美术班人数相当于另外两个班人数的3 7，体育班有58人，音乐班和美术班各有多少人？ 【解析】 条件可以化为：音乐班的人数是所有班人数的22 527 =+，美术班的学生人数是所 有班人数的33 7310 =+，所以体育班的人数是所有班人数的2329171070--=，所以所 有班的人数为295814070 ÷=人，其中音乐班有2 140407?=人，美术班有 3 1404210 ?=人.
小学六年级奥数教案—01比较分数的大小 同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。 1.“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。 如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。 2.化为小数。 这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。 3.先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。 4.根据倒数比较大小。 5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，
6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。 （2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。 前一个差比较小，所以m＜n。 （3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。 注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。 （4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。 利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。
《五年级奥数题》 1.推理问题： ABCDE五人进行乒乓球单循环赛，此赛进行一段时间之后，对已赛的场次做一个小统计，a赛4场，b赛3场，c赛2场，d赛1场，这时e赛了几场？到此赛结束还需要几场比赛？ 2.盈亏问题 妈妈买回一筐苹果，按计划天数数，如果每天吃5个，则多出45个苹果，如果每天吃7个则有少了9个苹果，问妈妈买了多少个苹果？ 3.鸡兔同笼问题（1） 小红在电视中得知新疆地区发生了雪灾，她想把平时节约的零花钱全部捐给灾区的小朋友，数了数，二角的纸币比五角的纸币多42张，可按钱数反而是五角的比二角的多6元，另外还有80元的硬币，问小红一共捐了多少钱？ (2)数学竞赛抢答题共10道，规定答对一道得15分，答错一道倒扣10分（不答按答错计算）小明回答了所有的问题，结果共得100分，问答对和答错各几道？ （3）某农民养鸡兔若干只，已知鸡比兔多13只，鸡的脚比兔的脚多16只。鸡和兔各有多少只？
（4）某班50名同学为灾区人民捐款，平均每个女同学捐8元，每个男同学捐5元，已知全班女同学共比男同学多捐101元，求这个班男、女生个多少人？（设男女生各25人） （5）有面值分别为十元、五元、二元的人民币34张，共值178元，十元的张数和五元的张数同样多，十元、五元、和二元的人名币各多少张？（假设都是二元的） （6）一群公猴、母猴和小猴共38只，每天共摘桃266个，已知每只公猴每天摘桃10个，一只母猴每天摘桃8个，一只小猴每天摘桃5个，已知公猴比母猴少4只，那么这群猴子中，小猴有多少只？（假设公猴和母猴一样多） 4植树问题 有48名学生在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等，四个顶点都有人，每边各有几个学生？ 5、有一个两位数，十位数字是个位数字的3倍，如果把这个两位的两个数字对调位置，组成一个新的两位数，已知这两个两位数的差是54，求原来的两位数？ 6、如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为对称数，例如33 242 1661 30803 等都是对称数，求在1---1000中共有多少个对称数？ 7、有一个三位数，如果把数字6添在它前面可以得到一个四位数，添在它的后面也可以得到一个四位数，这两个四位数的差是1611.求原来的三位数。
五年级奥数测试题 一、解方程 (5×6=30) 1.512424=-÷x 2.x x 644762-=- 3.x x +=-03.123.7 4.)2(10)2(8-=+x x 5.5)2(40=-÷x 6.)6(237+=-x x 二、解答题（22） 1、如果a ☆b=(a-2)×b,则3☆4=(3-2)×4=4,那么当C ☆8=32时，C 等于多少？（5分） 2、对于任意的数a,b,定义：f(a)=4a-1,k(b)=b 2；(6分) (1)求f(4)＋k(3)的值；(2)求f(k(2))＋k(f(2))的值。
3、计算 15 131131111191971751531311?+?+?+?+?+?+?（6分） 4、根据下面的两个算式，求▲与□各代表多少？（5分） ▲＋▲＋▲＋□＋□=44 ▲＋▲＋□＋□＋□=46 三、应用题（6×8=48） 1、小王骑自行车从单位到局里开会，每小时行16千米。他出发0.8小时后，小张有急事要通知小王，乘汽车从单位出发，经过0.2小时追上小王。汽车每小时行多少千米？
2、某班学生合买一件纪念品，如果每人出6元则多48元，如果每人出5元，则少3元。这个班有学生多少人？ 3、妈妈买来一些桃子，分给全家人吃。如果每人分4个，则多12个，如果每人分6个，则多2个。妈妈买来多少桃子？全家共有几人？ 4、五（1）班同学为汶川地震灾区捐款。中队长数了数，发现面值是5元，10元的人民币共40张，合计325元。面值是5元、10元的人民币各多少张？
5．有一篮苹果，第一天吃了一半又一个，第二天吃了余下的一半又一个，这样每天吃前一天余下的一半又一个，第五天吃了以后只剩下一个苹果了。原来苹果有多少个？ 6、如下图：请根据正方形的面积8平方厘米，计算出阴影部分的面积。 7、六一儿童节，那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的书法作品，其中有26幅不是五年级的，有23幅不是六年级的，五六年级参展的作品共有9幅，其他年级参展的作品共有多少幅？ 8、甲乙两船分别从相距680千米的A、B两港相向开出，甲船每小时行驶40千米，出发3小时后，乙船从B港开出，速度每小时驶30千米。求乙船开出后几小时与甲船相遇？
乐享教育小学六年级奥数题 1. 某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格的人数比 不低于80分的人数多22人，恰是不及格人数的6倍，求参赛的总人数？ 2. 电影票原价每张若干元,现在每张降低3元出售,观众增加一半,收入增加五分之一,一张电影票原价多 少元？ 3.甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40%，再从甲存款中提120元给乙。这时两人 钱相等，求乙的存款 4. 由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60%。再增加30颗巧克 力糖后，巧克力糖占总数的75%,那么原混合糖中有奶糖多少颗？巧克力糖多少颗？ 5. 小明和小亮各有一些玻璃球，小明说：“你有球的个数比我少1/4！”小亮说：“你要是能给我你的 1/6，我就比你多2个了。”小明原有玻璃球多少个？ 6. 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A 仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？ 7. 一件工作,若由甲单独做72天完成,现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后,丙也一起工作,三人 再一起工作4天,完成全部工作的1/3,又过了8天,完成了全部工作的5/6,若余下的工作由丙单独完成,还需要几天? 8.股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的1％和2％分别交纳印花税和佣金（通常所说的 手续费）。老王10月8日以股票10.65元的价格买进一种科技股票3000股，6月26日以每月13.86元的价格将这些股票全部卖出，老王卖出这种股票一共赚了多少钱？ 9. 某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2.8元出售，很快售完。 第二次购书时，每本的批发价比第一次增多了0.5元，用去150元，所购数量比第一次多10本，当这批书售出4/5时出现滞销，便以定价的5折售完剩余图书。试问该老板第二次售书是赔钱还是赚钱，若赔，赔多少，若赚，赚多少 10.一件工程原计划40人做,15天完成.如果要提前3天完成,需要增加多少人？ 11.育才小学原来体育达标人数与未达标人数比是3：5，后来又有60名同学达标，这时达标人数是未达标 人数的9/11，育才小学共有学生多少人？
第三讲 等积变形 1.等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 2.鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 3.蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +． 4.相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A
1. 五年级奥数进制的计算教师版 2. 会将十进制数转换成多进制； 3. 会将多进制转换成十进制； 4. 会多进制的混合计算； 5. 能够判断进制. 一、数的进制 1.十进制： 我们常用的进制为十进制,特点是“逢十进一”。在实际生活中,除了十进制计数法外,还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制,八进制,十六进制等。 2.二进制： 在计算机中,所采用的计数法是二进制,即“逢二进一”。因此,二进制中只用两个数字0和 1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……,二进制数也可以写做展开式的形式,例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”,乘法口诀是：零零得零,一零得零,零一得零,一一得一。 注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。 3.k 进制： 一般地,对于k 进位制,每个数是由0,1,2,,1k -（） 共k 个数码组成,且“逢k 进一”．1k k >（）进位制计数单位是0k ,1k ,2k ,．如二进位制的计数单位是02,12,22,,八进位制的计数单位是08,18,28,． 4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式 1110110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=?+?++?+（） 十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=++ +； 二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++； 为了区别各进位制中的数,在给出数的右下方写上k ,表示是k 进位制的数 如：8352（）,21010（）,123145（）,分别表示八进位制,二进位制,十二进位制中的数． 5.k 进制的四则混合运算和十进制一样 先乘除,后加减；同级运算,先左后右；有括号时先计算括号内的。 二、进制间的转换： 一般地,十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数,一直除到被除数小于k 为止,余数由下到上按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来,k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开,然后按十进制数相加即可得结果． 知识点拨 教学目标 5-8-1.进制的计算
1.有一些糖，每人分5块多10块；如果现有的人数增加到原人数的 1.5倍，那么每人4块就少2块.问这些糖共有多少块? 【分析与解】方法一：设开始共有x人，两种分法的糖总数不变，有5x+10=4×1.5x-2，解得x=12，所以这些糖共有12×5+10=70块． 方法二：人数增加 1.5倍后，每人分4块，相当于原来的人数，每人分 1.5×4=6块． 有这些糖，每人分5块多10块，每人分6块少2块，所以开始总人数为(10+2)÷(6-5)=12人，那么共有糖12×5+10=70块． 2.甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖不到20粒.如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖就是乙的糖 粒数的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖就是乙的糖粒数的3倍.那么，甲、乙两个小朋友 共有糖多少粒? 【分析与解】由题意知糖的总数应该是3的倍数，还是4的倍数.即为12的倍数，因为两袋糖每袋 都不超过20粒，所以总数不超过40粒.于是糖的总数只可能为12、24或36粒． 如果糖的总数为12的奇数倍，那么“乙给甲同样数量的糖后”，甲的糖为12÷（3+1)×3=9的奇数倍.那么在甲给乙两倍“同样的数量糖”后，甲的糖为12÷(2+1)×2=8的奇数倍． 也就是说一个奇数加上一个偶数等于偶数，显然不可能．所以糖的总数不能为12的奇数倍． 那么甲、乙两个小朋友共有的糖只能为12的偶数倍，即为24粒． 3.甲班有42名学生，乙班有48名学生.已知在某次数学考试中按百分制评卷，评卷结果各班的数学 总成绩相同，各班的平均成绩都是整数，并且平均成绩都高于80分.那么甲班的平均成绩比乙班高多 少分? 【分析与解】方法一：因为每班的平均成绩都是整数，且两班的总成绩相等，所以总成绩既是42的倍数，又是48的倍数，所以为[42，48]=336的倍数． 因为乙班的平均成绩高于80分，所以总成绩应高于48×80=3840分． 又因为是按百分制评卷，所以甲班的平均成绩不会超过100分，那么总成绩应不高于42×100=4200分．
小学六年级奥数测试题及答案 1、2009＋200.9＋20.09＋2.009＋991＋99.1＋9.91＋0.991＝（）。 2、2009×2009×2009×2009×2009×2009×2009×2009的积的个位数是（）。 3、99999×7＋11111×37＝（）。 4、观察前三个算式，找出规律，在最后的式子中的括号内填入合适的数。 123456789×9＝1111111101；123456789×18＝2222222202； 123456789×27＝3333333303；123456789×（）＝8888888808 5、在2008年北京奥运会上，中国运动健儿勇夺金、银、铜牌100枚。其中，金牌数比银牌数的2倍多9枚，铜牌数比银牌数多7枚。请算一算：中国运动健儿获得金牌（）枚，银牌（）枚，铜牌（）枚。 6、列车通过420米长的海底隧道用16秒；通过一座120米长的桥梁用10秒。列车的车身长（）米。 7、4条直线最多能把一个长方形割成（）块。 8、有5位同学参加数学比赛，比赛分数都为整数。5人中最高分数100分，最低分数是60分，且每人所得分数不相同，5人的平均分数是85分。请估算一下，排在第三的那位同学最少得（）分。 9、箱子里有红球30个，白球20个，黄球15个，蓝球25个。那么最少要从箱子里摸出（）个球，才能保证摸出的球有红球，白球，黄球，和蓝球。 10、开学前打扫教室，小明30分钟能打扫完毕；小芬却要50分钟才能打扫完毕。现在小明先打扫6分钟，然后小芬也来参加一起打扫，那么，还要（）分钟就可以打扫完毕。11、科学家进行一项科学实验，每隔2小时做一次记录，做第六次记录时，挂钟时针指向“11”，做第一次记录时，时针指向（）。 12、一辆客车和一辆货车从a，b两地同时相向开出。出发后2小时，两车相距282千米；出发后5小时，两车相遇。请回答：a，b两地相距（）千米。 13、把19个棱长为1厘米的正方体重叠起来，如右图，拼成 一个立体图形，求这个立体图形的表面积是（）平 方厘米。 15、100名学生当上全区儿童运动会的“志愿者”，男同学2人一组，女同学3人一组，刚好41组。男志愿者有（）名，女志愿者有（）名。 奥数答案 1. 3333 2. 1 3. 1111100 4. 72 5. 51 21 28 6. 380 7. 11 8. 84 9. 76 10. 15 11. 1
六年级奥数分数百分数 应用题教师版精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
第六讲：分数百分数应用题 教学目标 1.分析题目确定单位“1” 2.准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题 3.抓住不变量，统一单位“1” BJ03-Y0355 知识点拨： 一、知识点概述 分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键． 关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系 例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”． （2）甲比乙多1 8 ，乙比甲少几分之几？ 方法一：可设乙为单位“1”，则甲为 19 1 88 +=，因此乙比甲少 191 889 ÷=.
方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少 1 19 9÷=. 二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数 在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。 例如： 我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。 解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。 （二）、两种数量比较 分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。 例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”）， 解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。 （三）、原数量与现数量
小学奥数基础教程(五年级) 第1讲数字迷(一) 第16讲巧算24 第2讲数字谜(二) 第17讲位置原则 第3讲定义新运算(一) 第18讲最大最小 第4讲定义新运算(二) 第19讲图形得分割与拼接 第5讲数得整除性(一) 第20讲多边形得面积 第6讲数得整除性(二) 第21讲用等量代换求面积 第7讲奇偶性(一) 第22讲用割补法求面积 第8讲奇偶性(二) 第23讲列方程解应用题 第9讲奇偶性(三) 第24讲行程问题(一) 第10讲质数与合数第25讲行程问题(二) 第11讲分解质因数第26讲行程问题(三) 第12讲最大公约数与最小公倍数(一) 第27讲逻辑问题(一) 第13讲最大公约数与最小公倍数(二) 第28讲逻辑问题(二) 第14讲余数问题第29讲抽屉原理(一) 第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理(二) 第1讲数字谜(一) 数字谜得内容在三年级与四年级都讲过,同学们已经掌握了不少方法。例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。数字谜涉及得知识多,思考性强,所以很能锻炼我们得思维。 这两讲除了复习巩固学过得知识外,还要讲述数字谜得代数解法及小数得除法竖式问题。 例1 把+,-,×,÷四个运算符号,分别填入下面等式得○内,使等式成立(每个运算符号只准使用一次):(5○13○7)○(17○9)=12。 分析与解:因为运算结果就是整数,在四则运算中只有除法运算可能出现分数,所以应首先确定“÷”得位置。 当“÷”在第一个○内时,因为除数就是13,要想得到整数,只有第二个括号内就是13得倍数,此时只有下面一种填法,不合题意。(5÷13-7)×(17+9)。 当“÷”在第二或第四个○内时,运算结果不可能就是整数。 当“÷”在第三个○内时,可得下面得填法:(5+13×7)÷(17-9)=12。 例2 将1～9这九个数字分别填入下式中得□中,使等式成立:□□□×□□=□□×□□=5568。 解:将5568质因数分解为5568=26×3×29。由此容易知道,将 5568分解为两个两位数得乘积有两种:58×96与64×87,分解为一个两位数与一个三位数得乘积有六种: 12×464, 16×348, 24×232, 29×192, 32×174, 48×116。
小学五年级经典奥数题 题1、营业员把一张5元的人民币和一张5角的人民币换成了28张票面为1元和1角的人民币，求换来的这两种人民币各多少张？ 题2、有一元，二元，五元的人民币共50张，总面值为116元，已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各多少张？ 题3、有3元，5元和7元的电影票400张，一共价值1920元，其中7元和5元的张数相等，三种价格的电影票各多少张？ 题4、用大、小两种汽车运货，每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12箱，现在有18车货，价值3024元，若每箱便宜2元，则这批货价值2520元，问：大、小汽车各有多少辆？ 题5、一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次，它一共运了112次，平均每天运14次，这几天中有几天是雨天？ 题6、运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖这批西瓜共值290元，如果每千克西瓜降价0.05元，这批西瓜只能卖250元，问：有多少千克大西瓜？ 题7、甲、乙二人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶每次倒扣6分，两人各投10次，共得152分，其中甲比乙多得16分，问：两人各中多少次？ 题8、某次数学竞赛共有20条题目，每答对一题得5分，错了一题不仅不得分，而且还要倒扣2分，这次竞赛小明得了86分，问：他答对了几道题？ 答案： 1.解：设有1元的x张，1角的(28-x)张
x+0.1(28-x)=5.5 0.9x=2.7 x=3 28-x=25 答：有一元的3张，一角的25张。 2.解：设1元的有x张，2元的（x-2)张，5元的(52-2x) x+2(x-2)+5(52-2x)=116 x+2x-4+260-10x=116 7x=140 x=20 x-2=18 52-2x=12 答：1元的有20张，2元18张，5元12张。 3.解：设有7元和5元各x张，3元的(400-2x)张 7x+5x+3(400-2x)=1920 12x+1200-6x=1920 6x=720
小学六年级奥数测试题 1、2009＋200.9＋20.09＋2.009＋991＋99.1＋9.91＋0.991＝( )。 2、2009×2009×2009×2009×2009×2009×2009×2009的积的个位数是( )。 3、99999×7＋11111×37＝( )。 4、观察前三个算式，找出规律，在最后的式子中的括号内填入合适的数。123456789×9＝1111111101；123456789×18＝2222222202； 123456789×27＝3333333303；123456789×( )＝8888888808 5、在2008年北京奥运会上，中国运动健儿勇夺金、银、铜牌100枚。其中， 金牌数比银牌数的2倍多9枚，铜牌数比银牌数多7枚。请算一算：中国运动 健儿获得金牌( )枚，银牌( )枚，铜牌( )枚。 6、列车通过420米长的海底隧道用16秒；通过一座120米长的桥梁用10秒。 列车的车身长( )米。 7、4条直线最多能把一个长方形割成( )块。 8、有5位同学参加数学比赛，比赛分数都为整数。5人中最高分数100分，最 低分数是60分，且每人所得分数不相同，5人的平均分数是85分。请估算一下， 排在第三的那位同学最少得( )分。 9、箱子里有红球30个，白球20个，黄球15个，蓝球25个。那么最少要从箱 子里摸出( )个球，才能保证摸出的球有红球，白球，黄球，和蓝球。 10、开学前打扫教室，小明30分钟能打扫完毕；小芬却要50分钟才能打扫完 毕。现在小明先打扫6分钟，然后小芬也来参加一起打扫，那么，还要( )分钟就可以打扫完毕。
11、科学家进行一项科学实验，每隔2小时做一次记录，做第六次记录时，挂钟时针指向“11”，做第一次记录时，时针指向( )。 12、一辆客车和一辆货车从a，b两地同时相向开出。出发后2小时，两车相距282千米；出发后5小时，两车相遇。请回答：a，b两地相距( )千米。 13、把19个棱长为1厘米的正方体重叠起来，如右图，拼成 一个立体图形，求这个立体图形的表面积是( )平 方厘米。 15、100名学生当上全区儿童运动会的“志愿者”，男同学2人一组，女同学3人一组，刚好41组。男志愿者有( )名，女志愿者有( )名。
第十九讲排列组合 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素 P． 的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做m n 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(1 n-)种方法； n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1
…… 步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有 11n m n m --=-+（）(种)方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是 121n n n n m ?-?-??-+L （）（）（） ，即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． 二、排列数 一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-????L （ ）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-????L L （）（） ． 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算． 三、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取 出m 个不同元素的组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?．
五年级奥数长方体与正方体（二） 教师版 如右图,长方体共有六个面(每个面都是长方形),八个顶点,十二条棱． c b a H G F E D C B A ①在六个面中,两个对面是全等的,即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体． ③正方体是各棱相等的长方体,它是长方体的特例,它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ,那么：26S a =正方体,3V a =正方体． 长方体与正方体的体积 立体图形 示例 体积公式 相关要素 长方体 V abh = V Sh = h 、b 、a 三要素： h 、S 二要素： 正方体 3 V a = V Sh = a 一要素： h 、S 二要素： 不规则形体的体积常用方法： ①化虚为实法 ②切片转化法 例题精讲 长方体与正方体（二）
③先补后去法 ④实际操作法 ⑤画图建模法 【例 1】一个长方体的棱长之和是28厘米,而长方体的长宽高的长度各不相同,并且都是整厘米数,则长方体的体积等于立方厘米。 【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空 【关键词】希望杯, 6年级,第16题,6分 【解析】由题意知长、宽、高的和为2847 ÷=,又根据题意长、宽、高各不相同,且是整数,所以只能是1、2、4,所以体积为8立方厘米 【答案】8 【例 2】将几个大小相同的正方体木块放成一堆,从正面看到的视图是图（a）,从左向右看到的视图是图（b）,从上向下看到的视图是图（c）,则这堆木块最多共有 ___________块。 【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】填空 【关键词】希望杯,4年级,初赛,8题 【解析】对于图c来说,每个小方块都摞了2层,最多有6块。 【答案】6 【例 3】一根长方体木料,体积是0.078立方米．已知这根木料长1.3米．宽为3分米,高该是多少分米?孙健同学把高错算为3分米．这样,这根木料的体积要比0.078立方米 多多少? 【考点】长方体与正方体【难度】2星【题型】解答 【关键词】小数报,决赛 【解析】0.078(1.30.3)0.2 ÷?=(米)． 0.2米=2分米． ??-=(立方米)． 1.30.30.30.0780.039 所以这根木料的高是2分米；算错后,这根木料的体积比0.078立方米多0.039立方 米． 【答案】0.039 【例 4】如图,两个同样的铁环连在一起长28厘米,每个铁环长16厘米。8个这样的铁环依此连在一起长厘米。 【考点】长方体与正方体【难度】3星【题型】填空 【关键词】希望杯,四年级,复赛,第10题,4分 【解析】两个铁环连在一起,重叠的部分长16×2-28＝4厘米,8个这样的铁环依此连在一起长16×8-4×7＝100厘米。 【答案】100 【例 5】某工人用薄木板钉成一个长方体的邮件包装箱,并用尼龙编织条(如图所示)在三