第二章统计量、参数估计与区间估计

（2）先计算平均值 x ，再由 S。
S ( xi x) 2 ，求
习题
某标准水样中氯化物含量为110 mg/L，银含量法测
定5次的结果分别为112，115，114，113，115 mg/L。
（1）计算平均值的绝对误差和相对误差 ；
（2）计算样本的差方和、方差、标准偏差和相对标 准偏差。
第三节
（7）若 x 和
y 是两个互相独立的随机变量 ,如:
＜x y＞ ＜x＞ ＜y＞ ＜xy＞ ＜x＞＜y＞
即对于相互独立的随机变量，各变量之和（或差）
的期望值，都等于各变量的期望值之和(或差)。
（8） σ 2 ( xi) σ 2( xi) σ 2 ( x) nσ 2 ( x)
已知随机变量分布函数为正态分布，而表 示其分布特性的参数有μ、σ2，为总体的参数。
确定了μ、σ2，就可以预测和估计任何测量值
落在某一区间的概率，了解总体分布的基本 特征。
参数的点估计
实际分析测试中，对样本进行的是有限次的 测定，只能得到样本的平均值 x 和样本方差s2， 那么，能否用样本平均值 x 和样本方差s2来分别 估计总体均值μ和总体方差σ2，如果理论上证明 是可行的，就可将求总体均值μ和总体方差σ2简 化为求样本的平均值 和样本方差 s2。 x
＜( x a) 2 ＞ ＜（x ＜x＞ ＜x＞ a) 2 ＞
2 ＜［ ( x ＜x＞ (a ＜x＞) ］ ＞
＜( x ＜x＞) 2 (a ＜x＞) 2 2( x ＜x＞)(a ＜x＞)＞ ＝＜( x ＜x＞) 2 ＞ ＜(a ＜x＞) 2 ＞ 2＜( x ＜x＞)＞＜(a ＜x＞)＞
5.
x y x1 y1 x2 y2 ... xn yn
i i
6.
7. 8.
a xi a xi
a na
（a为常数）
1 x n x（ x n xi 当样本一定，
1 1 ( n xi) n n xi xi
x 为常数）
即
x n x xi
2
1 ( xi) 2 n
∴
Sn σ（x) xi
1 ( xi ) 2 n
由上可见。S是由平均值计算出来的。但 通常并不是有限小数，绝大多数都按数字修约 规则获得的近似值，于是各偏差也都是近似值， 其平方再加和，会把舍入误差累积起来，使 S、 s2、s受影响。为了消除上述弊病，同时为了计 算机编程方便起见，可由样本值按上式直
∵
＜( x ＜x＞)＞ 0
2 2 2 2 ＜ ( x ＜ x ＞ ) ＞ ＜（ a ＜ x ＞ ) ＞ （ x ) ( a ＜ x ＞ ) σ ∴ 上式
2 2 2 ＜ x ＞ ( x ) ＜ x ＞ ∴ 若 a0 则
＜x ＞ ( x) ＜x＞
x
（指各测量值的方差都相等的等精度
1 1 1 ＜x＞ ＜ xi＞ ＜ xi ＞ μ ＝μ n n n
（1） 平均值 x 是总体均值μ的无偏估计量，这是 因为参数μ的估计量的期望值等于被估参数，即 ＜x＞ μ 无偏估计量是说由测定值计算的估计值 x 离被估 参数μ很近，由不同样本得到的估计值 在被估参数 μ附近波动。
x
（2） x 是出现概率最大的值p23 在正态总体中，随机抽出容量为 n 的样本，独立 进行测定，得到 n 个测定值 x1 , x 2 , xn 测定值 x i出 现的概率 Fi 是指随机变量出现在 xi △x
区间的概率（即具有各种大小偏差的样本值出现的概
率）。
F
i
1 σ 2 π
e
a 2 1 i ( ） 2 σ
（ 9）
1 2 1 2 1 2 xi 1 2 σ ( x) σ ( ) 2 σ ( xi) 2 σ ( x) 2 .nσ ( x) σ （x) n n n n n
2 2
平均值的方差，等于各别测量值的方差的
1 n
（10）
证明：
σ 2 ( x y) σ 2 ( x) σ 2 ( y)
∴
2
则
x x a
S ( xi x) ( xi a) ( x a) ( xi x) S
2 2


1 2 S xi ( xi ) S n
2
各样本值同乘以一个数 b ，其差方和增大 b 2倍 令
xi bxi
2. 差方和（离差平方和）S 方差
(x
x ) i
2
s
2
S n 1
标准差
S s n 1
S的计算方法： （1） 由样本值直接求: S xi 利用简化计算法
2
1 ( xi ) 2 n
xi b( xi a)
S
与 S 的关系：
各样本值同减去一个数 a，其差方和不变 令 xi xi a
＜ xi ＞＝ ＜ xi ＞＝ nμ
n
（5） 2 ( xi ) 2 ( x) ＜( xi ＜x＞) 2＞ ＜( xi ) 2＞ 1 ( xi ) 2
σ
2
(ax)
a σ （x）
2
2
（ 6）
σ
2
(ax)
a σ （x）
2
2
2 2 2 2 证明： （ ax ) ＜（ ax ＜ ax ＞ ) ＞ ＜ ( x ＜ x ＞ ) ＞ a2σ 2 （x) a σ
＜( x ＜x＞)＞ 0
1 (＜( x μ )＞ ( xi μ ) 0) n
由于随机变量相对于它们的平均值的偏差的加和等于 零。所以: σ 2 ( x y) σ 2 ( x) σ 2 ( y)
（11）
＜( x a) ＞ σ（x) (a ＜x＞)2
2
2
证明：
1 1 2 2 S xi ( xi ) 70 10 50 n 5
2
5
10 66.60 102 66.62 5
S＝
50
2
∴
RSD
100
＝0.005
S 0.005 n 百度文库 1 100% 4 100% 0.053% 66.62 x
一、参数的点估计
参数的点估计
点估计：用样本的统计量作为总体参数的估计值， 叫做总体参数的点估计。 表示测定值集中趋势的参数: 均值、中位值等，
^
～ ^
x μ
表示测定值离散特性: 算术平均偏差、极差、方 差和标准差。 2 2
x μ
s
s
二、参数μ的点估计值
1 .算术平均值 的测量）
二、一些统计量的计算
1.平均值 数）
1 x xi n编码变换（大的变小，小数变整 简化计算法----
（1）x x a i i ( a 表示一个数)
(2) x 1 xi (3) x x a n
注意：当测定精密度好，可多保留一位；当 离散度大时，位数与测量值相同或少一位。
2 2
2
2 i
整理得：
∵ ∴
2 （ x ) ＜ ＞ ＜ x ＞ x σ
2
2
x
n
(
x )
n
i 2
S ( xi μ ）
2
σ
2
2
S ( x) n
2 ( μ ） xi
n
nσ（x ) ( xi μ ) S
2
又∵ 由上式得：
nσ （x)
2
2
xi2
所以，参数估计是根据样本数据估计总体参
数的值，如估计总体均值、总体方差，称为
参数的点估计。估计值不正好等于待估参数，
而只是其近似值。
参数的区间估计
它包括参数存在的区间，同时也给出此区
间包含待估参数真值的概率，常以置信区间的
形式给出 。
第一节 加和号和期望值的运算
一、加和号的运算 1. 2. 3. 4.
S s 解：RSD 100%＝ n 1 100% x x
xi
66.64 4
xi
xi
2
16
66.56
66.65 66.62 66.63
-4
5 2 3 10
16
25 4 9 70
编码公式: xi ( xi 66.60) 100

x x 66.60 10
i
2
9. 10.
( xi a) xi na
(x
i
x) x i n x 0
（ 即一组随机样本值对于样本平均值的偏差的加
和等于零。 xi n 1 xi n x ）
n
二、期望值及其运算
1.定义 对于一个测量值来说，其期望值就是总体的平 均值（在无系统误差时）。 期望值就是理想值-真值。即我们并不期望在一次给 定的试验中， x 会取它的期望值，然而在大量的试验 中，我们可合理地预料， 值的附近。
x 的平均值将在 x 的期望
2. 表示符号 ： ＜ ＞，对于方差σ2（ ）表示
3. 运算规则
（1） a 为常数，＜ a ＞＝ a ；
（2） 若 x i 是随机变量的随机样本值 ＜ x i ＞＝＜ x＞ ＝μ＝总体均值＝ （ 3） （ 4）
1 xi n
＜ ax ＞＝＜ a ＞＜ x ＞＝ a ＜ x ＞＝ aμ

2 ［（ a ) ( 2 1
x
2 a ) ( 2
x
2 a ) ］ n
而在一组测量中，最佳值或最可信赖值乃是当总 概率 P 最大时所求出的那个值。 由指数关系可知， 当 F 最大时，则
( x1 a) ( x2 a) ＋（xn a) ( xi a)
2
x b x
2 2
S ( xi x) (bx i b x) b
(x
i
x) b S
2
2
∴
S S 2 b
例2－1 用K2Cr2O7法测定某赤铁矿中铁的含量，数 据如下：
66.64， 66.56， 66.65， 66.62， 66.63
计算方法的精密度。
第二章 统计量、参数估计与区间估计
分析测试都采取抽样检验，通过样本测试对总体的 某个或某些特征进行估计与作出推断。
统计推断: 参数估计、假设检验
参数估计：随机变量分布函数已知，须通过样本值
估计分布的参数
假设检验：假设随机变量分布具有某种函数分布形 式, 根据样本值通过检验分布参数来推断其假设是否正 确。
选定一个概率（置信概率），并在真值
统计量的两边，各定出一个界限（置信限）， 由此画出的区间——置信区间，然后才能断 然说，这个区间包含真值在内的概率是多少， 这叫做区间估计 而被推断出物理量真值的某个统计量叫 做参数的点估计。例如，样本平均值 作为 x 总体均值μ的估计值，记做 。
σ
2
2 ( x y) ＜［( x y) ＜x y＞］ ＞ ＜（x y ＜x＞ ＜y＞) 2＞
2 ＜［（x ＜x＞) ( y ＜y＞)］ ＞ ＜（x ＜x＞) 2 ( y ＜y＞) 2
2( x ＜x＞)( y ＜y＞)＞ ＜（x ＜x＞) 2＞ ＜（y ＜y＞) 2＞ 2＜（x ＜x＞)＞＜( y ＜y＞)
x
假设最佳值为 a ，则 xi a 为各次测量值所
对应的误差 ( x1 a), ( x2 a),( xn a), 由于
各次测量值独立进行 ，所以在
总概率 F 为：
n
x
次测定中，
F F ( x1) F ( x2) F ( xn) ( 12 )
n
e

1 2
接求出方差和S、s2、s 。
第二节
一 、统计量
统计量
1.定义 将样本值经过加工运算得到的 样本函数值，称为统计量。 它可以把关于总体的有用信息更明确更集 中地反映出来, 如 x 、R、s2、s、S 等，这些 数值都是由随机变量的随机样本值 x i 得到 的。所以，统计量也是随机变量。 2. 作用 利用统计量可以对被测物理量的 数值作出统计意义的推断
x
i 1
nm i m i
n
i
x1 x2 xn
n n 1
x x x
n
... xn m
2 xi i 1
2 2 , 或 x1 x2 ... xn 2
2 xi i 1
n
2 xi
i 1
n
( xi) 2 ( x1 x2 ... xn) 2