一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M 沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．
（1）P点的坐标为多少（用含x的代数式表示）；
（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；
（3）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？简要说明理由．
【答案】（1）P点坐标为（x，3﹣x）．
（2）S的最大值为，此时x=2．
（3）x=，或x=，或x=．
【解析】
试题分析：（1）求P点的坐标，也就是求OM和PM的长，已知了OM的长为x，关键是求出PM的长，方法不唯一，①可通过PM∥OC得出的对应成比例线段来求；
②也可延长MP交BC于Q，先在直角三角形CPQ中根据CQ的长和∠ACB的正切值求出PQ的长，然后根据PM=AB﹣PQ来求出PM的长．得出OM和PM的长，即可求出P点的坐标．
（2）可按（1）②中的方法经求出PQ的长，而CN的长可根据CN=BC﹣BN来求得，因此根据三角形的面积计算公式即可得出S，x的函数关系式．
（3）本题要分类讨论：
①当CP=CN时，可在直角三角形CPQ中，用CQ的长即x和∠ABC的余弦值求出CP的表达式，然后联立CN的表达式即可求出x的值；
②当CP=PN时，那么CQ=QN，先在直角三角形CPQ中求出CQ的长，然后根据QN=CN﹣CQ求出QN的表达式，根据题设的等量条件即可得出x的值．
③当CN=PN时，先求出QP和QN的长，然后在直角三角形PNQ中，用勾股定理求出PN 的长，联立CN的表达式即可求出x的值．
试题解析：（1）过点P作PQ⊥BC于点Q，
有题意可得：PQ∥AB，
∴△CQP∽△CBA，
∴
∴
解得：QP=x，
∴PM=3﹣x，
由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），P点坐标为（x，3﹣x）．
（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC=4﹣x，NC边上的高为，其中，0≤x≤4．
∴S=（4﹣x）×x=（﹣x2+4x）
=﹣（x﹣2）2+．
∴S的最大值为，此时x=2．
（3）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．
①若NP=CP，
∵PQ⊥BC，
∴NQ=CQ=x．
∴3x=4，
∴x=．
②若CP=CN，则CN=4﹣x，PQ=x，CP=x，4﹣x=x，∴x=；
③若CN=NP，则CN=4﹣x．
∵PQ=x，NQ=4﹣2x，
∵在Rt△PNQ中，PN2=NQ2+PQ2，
∴（4﹣x）2=（4﹣2x）2+（x）2，
∴x=．
综上所述，x=，或x=，或x=．
考点：二次函数综合题．
2．如图，四边形ABCD 中，∠BCD =∠D =90°，E 是边AB 的中点.已知AD =1，AB =2. （1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；
（2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数；
（3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长.
【答案】（1）()22303y x x x =
-++<<；（2）∠AEC =105°；（3）边BC 的长为2或1172
. 【解析】
试题分析：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，得到四边形ADCH 为矩形．在△BAH 中，由勾股定理即可得出结论．
（2）取CD 中点T ，连接TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，
∠AET =∠B =70°．
又AD =AE =1，得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，即可得到结论．
（3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 解△ABH 即可得到结论．
②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ．由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形． 在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，∴22221y x =+-， 则()22303y x x x =-++<<
（2）取CD中点T，联结TE，则TE是梯形中位线，得ET∥AD，ET⊥CD，
∴∠AET=∠B=70°．
又AD=AE=1，∴∠AED=∠ADE=∠DET=35°．由ET垂直平分CD，得∠CET=∠DET=35°，
∴∠AEC=70°＋35°=105°．
（3）分两种情况讨论：①当∠AEC=90°时，易知△CBE≌△CAE≌△CAD，得∠BCE=30°，则在△ABH中，∠B=60°，∠AHB=90°，AB=2，得BH=1，于是BC=2．
②当∠CAE=90°时，易知△CDA∽△BCA，又2224
AC BC AB x
=-=-，
则
2
2
4117
4
AD CA x
x
AC CB x
-±
=⇒=⇒=
-
（舍负）
易知∠ACE<90°，所以边BC的长为117
+
．
综上所述：边BC的长为2或117
2
+
．
点睛：本题是四边形综合题．考查了梯形中位线，相似三角形的判定与性质．解题的关键是掌握梯形中常见的辅助线作法．
3．已知Rt△ABD中，边AB=OB=1，∠ABO=90°
问题探究：
（1）以AB为边，在Rt△ABO的右边作正方形ABC，如图（1），则点O与点D的距离为．
（2）以AB为边，在Rt△ABO的右边作等边三角形ABC，如图（2），求点O与点C的距离．
问题解决：
（3）若线段DE=1，线段DE的两个端点D，E分别在射线OA、OB上滑动，以DE为边向外作等边三角形DEF，如图（3），则点O与点F的距离有没有最大值，如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
