2018高考数学模拟试题（2）
数学I
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．
2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．
4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：
球体的体积公式：V ＝3
3
4R π，其中
为球体的半径．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在
答题纸的指定位置上）
1．已知集合},02/{2
R x x x x M ∈=+=，},02/{2
R x x x x N ∈≤-=， 则=N M ▲ ．
2．已知复数z 满足z
3＋2i
＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为 ▲ ．
3．某校共有400名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示．成绩分组为[50，60)，[60，70)，…，[90，100]，则在本次竞赛中，得分不低于80分的人数为 ▲ ．
4．在标号为0，1，2，4的四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为 奇数的概率是 ▲ ．
0.030 0.025 0.015
频率
组距 0
50
60 70 80 90 100
成绩
(第3题)
5．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是 ▲ ．
6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 10的值为▲________． 7．已知()y f x =是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =，则不等式2()(0)f x x f -<的 解集为 ▲ ． 8．在直角坐标系xOy 中，双曲线
x 2－
y 2
3
＝1的左准线为l ，则以l 为准线的抛物线的标准方程是 ▲ ．
9．四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且1cm AB BC CD ===，则四面
体ABCD 的外接球的表面积为 ▲ 2cm .
10. 已知0πy x <<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3
x y =，则x y -= ▲ .
11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切， 且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为 ▲ ．
12．正五边形ABCDE
的边长为AE AC ⋅的值为 ▲ ．
13．设0a ≠，e 是自然对数的底数，函数2,0,
(),0
x ae x x f x x ax a x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩有零点，且所有零点的
和不大于6，则a 的取值范围为 ▲ ．
14．若对任意实数x 和任意θ∈[0，π2]，恒有(x +2sin θcos θ)2+(x +a sin θ+a cos θ)2
≥1
8， 则实数a 的取值范围是 ▲ ．
（第5题）
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，
请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)
如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππ
α∈. 将角α的终边按逆时针方向旋转3
π
，
交单位圆于点B ，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). （1）若11
3
x =
，求2x ； （2）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ， 记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，若122S S =， 求角α的值. .
16.（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，BC =BB 1，D 为AB 的中点. （1）求证：BC 1∥平面A 1CD ； （2）求证：BC 1⊥平面AB 1C .
17．(本小题满分14分)
某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为n
E cv T
=，其中v为探测器在静水中行进时的速度，T为行进时的时间（单位：小时），c为常数，n为能量次级数．如果水的速度为4 km/h，该生物探测器在水中逆流行进200 km．
（1）求T关于v的函数关系式；
（2）(i)当能量次级数为2时，求该探测器消耗的最少能量；
(ii)当能量次级数为3时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少．
18．(本小题满分16分)
如图，椭圆
22
:1
43
x y
C+=的右焦点为F，右准线为l，过点F且与x轴不重合的直线交椭
圆于A，B两点，P是AB的中点，过点B作BM⊥l于M，连AM交x轴于点N，连PN.
（1）若
16
5
AB=，求直线AB的倾斜角；
（2）当直线AB变化时，求PN长的最小值.
19．(本小题满分16分)
设函数()e ()x f x ax a a =-+∈R ，其图象与x 轴交于1(0)A x ，，2(0)B x ，两点，且x 1＜x 2． （1）求a 的取值范围； （2
）证明：0f '
<（()f x '为函数()f x 的导函数）
； （3）设点C 在函数()y f x =的图象上，且△ABC
t =， 求(1)(1)a t --的值．
20．(本小题满分16分)
已知数列{n a }满足*
111,||,.n
n n a a a p n N +=-=∈
（1）若{n a }是递增数列，且12,3,23a a a 成等差数列，求p 的值； （2）若1
2
p =，且{21n a -}是递增数列，{2n a }是递减数列，求数列{n a }的通项公式．
