2019-2020年中考数学二轮复习-代数几何综合题(附答案)

C ．△ DEF由△ ABC绕 O点顺时针旋转 60○得到 ; D ．△ DEF由△ ABC绕 O点顺时针旋转 120○得到 2．如图 2－ 5－9, 已知直线 y=2x ＋1 与 x 轴交于 A 点，与 y 轴交
于 B 点，直线 y=2x — 1 与 x 轴交于 C点， 与 y 轴交于 D 点，试 判断四边形 ABCD的形状．
动点 P 从点 A 开始在线段 AO上以每秒 1 个单位长度的速度向点 O移动，同时动点 Q从点 B
开始在线段 BA上以每秒 2 个单位长度的速度向点 A 移动 , 设点 P、 Q移动的时间为 t 秒．
(1) 求直线 AB的解析式； (2) 当 t 为何值时，△ APQ与△ AOB相似？ (3) 当 t 为何值时，△ APQ的面积为 24 个平方单位？
⑴ 写出顶点 C 的坐标和矩形 ABCD的中心 P 点的坐标（用含 m的代数式表示）
⑵ 若一次函数 y=kx － 1 的图象 l 把矩形 ABCD分成面积相等的两部分，求此一次函数的解 析式（用含 m的代数式表示）
⑶ 在⑵的前提下， l 又与半径为 1 的⊙ M相切，且点 M （ 0， 1），求此矩形 ABCD的中心 P 点的坐标．
故பைடு நூலகம்
PE
PC ，即 PE
10 x , PE
8
4 x.
AB AC
8 10
5
∴⊿ PBC面积＝
1 PE 2
BC
24 12 x. 5
又⊿ PCD面积＝⊿ PBC面积＝ 24
12 x.
5
24
即 y 48 5 x ， x 的取值范围是 0＜ x＜ 10．
（ 2）这个判断是正确的．
理由：
由（ 1）可得，⊿
PAD面积＝
1、如图 2－ 5－ 8 所示，在直角坐标系中，△ ABC各顶点坐标分别为
A （ 0， 3 ）， B（－ 1， 0）、 C（ 0， 1）中，若△ DEF各顶点坐
标分别为 D（ 3 ， 0）、 E（ 0， 1）、 F（ 0，－ 1），则下列判断
正确的是（ ） A ．△ DEF由△ ABC绕 O点顺时针旋转 90○得到 ; B ．△ DEF由△ ABC绕 O点逆时针旋转 90○得到 ;
【例 1】（温州， 12 分）如图，已知四边形 ABCD内接于⊙ O， A 是 BDC 的中点， AE⊥AC 于 A，与⊙Ｏ 及 CB的延长线分别交于点 F、 E，且 BF AD ，EM切⊙Ｏ 于 M。
1 ⑴ △ADC∽△ EBA; ⑵ AC2＝ 2 BC·CE； ⑶如果 AB＝ 2， EM＝3，求 cot ∠CAD的值。 解 : ⑴∵四边形 ABCD内接于⊙ O，∴∠ CDA＝∠ ABE，
求直线 l 的解析式；
⑶ 若过 C点的直线 l 将矩形 ABCD的面积分为 4：3 两部分，并与 y 轴交于点 M，求过点 C、
D、 M三点的抛物线的解析式．
8．（ 10 分）已知矩形 ABCD在平面直角坐标系中，顶点 A、B、D 的坐标分别为 A（ 0，0）， B（ m，0）， D（0， 4）其中 m≠ 0．
2019-2020 年中考数学二轮复习 - 代数几何综合题（附答案）
Ⅰ、综合问题精讲： 代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的
综合题大多以代数几何综合题的形式出现， 其解题关键点是借助几何直观解题， 运用方程、 函数的思想解题， 灵活运用数形结合， 由形导数， 以数促形， 综合运用代数几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析
必写出解题过程）
6．（ 12 分）如图 2－ 5－13 所示，已知 A 由两点坐标分另为（ 28，0）和（ 0， 28），动点 P 从 A 点开始在线段 AO上以每秒 3 个长度单位的速度向原点 O运动，动直线 EF 从 x 轴开 始以每秒 1 个长度单位的速度向上平行移动 ( 即 EF∥ x 轴 ) 并且分别交 y 轴，线段 AB 交于 E、
判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．
7．（ 12 分）如图 2－ 5－ 14 所示，在直角坐标系中，矩形 5
0) ，对角线的交点 P 的坐标为（ 2 ，1） ⑴ 写出 B、 C、 D 三点的坐标；
ABCD的顶点， A 的坐标为 (1 ，
⑵ 若在 AB上有一点 E 作，’入过 E 点的直线‘将矩形 ABCD的面积分为相等的两部分，
9．（ 10 分）如图 2－ 5－15 所示，等边三角形 ABC的边长为 6，点 D、 E 分别在边 AB，AC 上， 且 AD=AE=2，若点 F 从点 B 开始以每秒二个单位长度的速度沿射线 BC方向运动， 设点 F 运动的时间为 t 秒，当 t ＞ 0 时，直线 FD与过点 A 且平行于 BC的直线相交于点 G，GE的 延长线与 BC的延长线相交于点 H， AB与 GH相交于点 O． ⑴ 设△ EGA的面积为 S，写出 S 与 t 的函数解析式； ⑵ 当 t 为何值时， AB⊥ GH； ⑶ 请你证明△ GFH的面积为定值．
12 x.
5
⊿ PBC面积与⊿ PAD面积之和＝ 24．
点拨 ：由矩形的两边长 6,8 ．可得它的对角线是 10，这样 PC＝ 10－ x，而面积 y 是
一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形：△
PBC、△ PCD．这样问题
就非常容易解决了 .
Ⅲ、综合巩固练习
（ 100 分 90 分钟）
所以
t
10 2t
＝ 10
6
30
解得 t ＝ 11 ( 秒 )
2° 当∠ AQP＝∠ AOB 时，△ AQP∽△ AOB．
所以 t ＝ 10 2t
10
6
解得 t ＝ 50 ( 秒 )
13
（ 3）过点 Q作 QE垂直 AO于点 E．
在 Rt△AOB中， Sin ∠BAO＝ BO ＝ 4
AB 5
在 Rt△AEQ 中， QE＝AQ·Sin ∠BAO＝ (10-2 t ) · 4 ＝8 － 8 t 所以， S△APQ＝ 1 AP·QE＝
①
∵
AC2＝
1 2
BC·CE，BC·CE＝
8
②
①＋②得： EC(EB＋ BC)＝ 17，∴ EC2＝ 17
∵EC2＝ AC2＋AE2，∴ AE＝ 17－22＝ 13
∵△ CAD∽△ ABE，∴∠ CAD＝∠ AEC，
AE 13 ∴cot ∠CAD＝cot ∠AEC＝ AC＝ 2
点拨 ：此题的关键是树立转化思想， 将未知的转化为已知的． 此题表现的非常突出． 如，
（ 2）有人提出一个判断：“关于动点 P，⊿ PBC面积与⊿ PAD面积之和为常数”．请你说
明此判断是否正确，并说明理由．
解 ：（ 1）过动点 P作 PE⊥ BC于点 E．
在 Rt⊿ ABC中， AC＝10， PC＝ AC－ AP＝ 10－ x．
∵ PE⊥ BC， AB⊥ BC，∴⊿ PEC∽⊿ ABC．
10. (10 分 ) 如图 2－ 5-16 ，在矩形 ABCD中，AB=10。cm，BC=8cm．点 P 从 A 出发，沿 A→B→C→Ｄ 路线运动，到 D 停止；点 Q从 D出发，沿 D→C→B→Ａ 路线运动，到 A 停止，若点 P、 点 Q 同时出发，点 P 的速度为 1cm/s ，点 Q的速度为 2cm/s ， a s 时点 P、点 Q同时改 变速度，点 P 的速度变为 bcm/s ，点 Q的速度变为 d cm/s ，图 2 －5－ 17 是点 P 出发 x
F 点．连接 FP，设动点 P 与动直线 EF 同时出发，运动时间为 t 秒． ⑴ 当 t ＝ 1 秒时，求梯形 OPFE的面积， t 为何值时，梯形 OPFE的面积最大，最大面积
是多少？ ⑵ 当梯形 OPFE的面积等于△ APF的面积时，求线段 PF 的长． ⑶ 设 t 的值分别取 t 1，t 2 时（ t 1≠ t 2），所对应的三角形分别为△ AF1P1 和△ AF2P2 ，试
5
5
2
1 t ·(8 － 8 t )
2
5
＝－
4 5
2
t
＋
4t
＝
24
5
解得 t ＝ 2（秒）或 t ＝ 3（秒）．
（注：过点 P 作 PE垂直 AB于点 E 也可，并相应给分）
点拨 ：此题的关键是随着动点 P 的运动，△ APQ的形状也在发生着变化，所以应分情况：
①∠ APQ＝∠ AOB＝ 90○②∠ APQ＝∠ ABO．这样，就得到了两个时间限制．同时第（
将∠ CAD转化为∠ AEC就非常关键 .
【例 2】（自贡）如图 2 －5－ 2 所示，已知直线 y=2x+2 分别与 x 轴、 y 轴交于点 A、 B， 以线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC，∠ BAC=90○ 。过 C 作 CD⊥ x 轴， D 为垂足．
（ 1）求点 A 、 B 的坐标和 AD的长；
3）问
也可以过 P 作 PE ⊥AB．
【例 4】（南充， 10 分）如图 2－ 5－ 7，矩形 ABCD中， AB＝ 8，
BC＝ 6，对角线 AC上有一个动点 P（不包括点 A 和点 C）．设
AP＝ x，四边形 PBCD的面积为 y．
（ 1）写出 y 与 x 的函数关系，并确定自变量 x 的范围．
（ 2）求过 B、 A、 C三点的抛物线的解析式。 解 ：（ 1）在 y=2x+2 中 分别令 x=0， y=0．
得 A （ l ， 0）， B（0， 2）． 易得△ ACD≌△ BAO，所以 AD=OB=2． （ 2）因为 A(1 ， 0）， B（ 0， 2），且由（ 1），得 C（ 3,l ）．
设过过 B、 A、 C 三点的抛物线为
y
2
ax
bx
c
a5
abc0
6
所以 c 2
，解得 b 17
6
9a 3b c 1
c2
所以 y 5 x 2 17 x 2
6
6
点拨 ：此题的关键是证明△ ACD≌△ BAO．
【例 3】（重庆， 10 分）如图，在平面直角坐标系内，已知点
A（ 0， 6）、点 B（8， 0），
4 4．（ 10 分）如图 2－ 5－ 11 所示，直线 y=－ 3 x+ 4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M、 N．
（ 1）求 M、 N 两点的坐标；
12
4
（ 2）如果点 P 在坐标轴上，以点 P 为圆心， 为半径的圆与直线 y=－ x+ 4 相切，
5
3
求点 P 的坐标．
5．（ 10 分）如图 2－5-12 所示，已知等边三角形 ABC中， AB=2，点 P 是 AB边上的任意一 点（点 P 可以与点 A 重合，但不与点 B 重合），过点 P 作 PE⊥ BC．垂足为 E；过点 E 作 EF⊥AC，垂足为 F；过点 F 作 FQ⊥ AB，垂足为 Q．设 BP=x， AQ=y． ⑴ 写出 y 与 x 之间的函数关系式； ⑵ 当 BP 的长等于多少时，点 P 与点 Q重合； ⑶ 当线段 PE、FQ相交时，写出线段 PE、EF、 FQ所围成三角形的周长的取值范围（不
∵ BF AD ，∴∠ DCA＝∠ BAE，
∴△ CAD∽△ AEB
⑵ 过 A 作 AH⊥BC 于 H(如图 )
1
∵Ａ是 BDC 中点，∴ HC＝ HB＝2 BC，
0
2
1
∵∠ CAE＝ 90 ，∴ AC ＝CH·CE＝ 2 BC·CE
⑶∵Ａ 是 BDC 中点， AB＝ 2，∴ AC＝ AB＝2，
∵EM是⊙Ｏ 的切线，∴ EB·EC＝ EM2
3．如图 2－ 5－ 10 所示，在矩形 ABCD中， BD=20，AD＞ AB，设∠ ABD=α ，已知 sin α 是方 程 25z 2－35z+ 12=0 的一个实根．点 E、 F 分别是 BC、 DC上的点， EC+CF=8，设 BE=x， △ AEF面积等于 y.
⑴ 求出 y 与 x 之间的函数关系式； ⑵ 当 E、 F 两点在什么位置时 y 有最小值？并求出这个最小值．
5
解 ：（ 1）设直线 AB的解析式为 y＝ kx＋b
由题意，得
b=6 8k b 0
3
解得 k 4
b6
所以，直线 AB的解析式为 y＝－ 3 x＋ 6． 4
（ 2）由 AO＝ 6， BO＝ 8 得 AB＝ 10
所以 AP＝ t ， AQ＝ 10－ 2t
1° 当∠ APQ＝∠ AOB 时，△ APQ∽△ AOB．