精品文档-信号与系统(第四版)(陈生潭)-第3章

改平变方c误12差的定大义小为，：如果E使eEe为最t1t2小时fe相(t应)的2dc1t2＝0，称 f 1(t)
和 f 2(t)在区间（t1 ,t2)上正交。
判定两信号正交的条件：
t2 t1
f1(t)
f
* 2
(t
)dt
0
2 信号的正交分解
*正交函数集：设一函数集 g(t) g1(t), g2 (t),..., gN (t),
mn mn
完备性：无穷函数集。
(2)指数函数集：
e jnt n0,1,2....
基本周期：T=2л/Ω, 正交区间（t0 ，t0+T）。 是完备的正交函数集。
正交性 e t0T jnt e jmt *dt t0
t0 T e jnmt dt
t0
0 T
mn mn
完备性：无穷函数集
3.2 周期信号的傅立叶级数分解
c1V 1
V
c
os
1,
c 1
V
c os 1
V1
V V1 V 1 V 1
cV 2
2
V
c
os
2,
c 2
V
cos 2
V2
V V 2 V 2 V 2
同样，对于一个三维的空间矢量，要精
确地表示它，就必须用一个三维的正交
矢量集。如左图，三维矢量空间可精确
地表示为：V=c1V1+c2V2+c3V3
推广到n维空间，则有
* 脉冲幅度一定时,振幅谱幅值(τ/T)与τ成正比,与T成反比.
当T趋近于无穷大时,各谐波分量振幅均趋近于无穷小,但它们之
间仍有一定比例关系.在非周期信号频谱中将用频谱密度这一概
念来描述这种相对比例关系.
3.3.2 fT(t)的功率
设fT(t)为实信号在1欧姆电阻上消耗的平均功率为:
T
P
1 T
2
3.4 非周期信号的分解
3.4.1 傅立叶变换
周期信号分解的数学工具是傅立叶级数;
非周期信号分解的数学工具是傅立叶变换.
对周期信 号来说:
f (t ) Fne jnt
n
改写为:
T
Fn
1 T
E
0
T2 T
4E
2 cosntdt
T0
4E 1
4 E n
T
n
s in
nt
2
0
T
n
sin(
2
)
4 T sin( n ) 2E sin( n )
T n 2
2 n
2
1
Fn T
2
E e jnt dt
2
E T
1 jnt
e jnt
2
2
2E e j
n 2
(
Tn
e
j
n 2
2j
)
2E
s
in(
例：周期性矩形脉冲信号，求其三角型、指数型傅立叶级数。
fT (t)
周期：T T＝2π/Ω
E
幅度：E
宽度：τ
T
0
T
t
2
2
解：因为fT(t)为偶函数，所以bn=0展开式仅含直流与余弦分量
a0
2 an
12 2T
2 T
2
E
2
2
E
2
cosntdt c os ntdt
2 T
2 Edt
2 E
会含 sin nt分量
3.2.2 指数形式傅立叶级数分解
1.复指数函数集 fT
t
e jnt n 0, 1, 2...
该函数在（t0，t0）上为完备的正交函数集。
T 2
2.正交展开：
将任一周期信号展开为
fT (t) ci gi (t) Fne jnt
Fn
t0 T t0
An cos(nt n )
Fne jnt
n 1
n
F0 2 Fn cos(nt n )
其中：
n 1
an
2 T
t0 T t0
fT (t )cosntdt
bn
2 T
t0 T t0
fT (t )sin ntdt
n0,1,2...
1
n1,2...
Fn
T
t0 T t0
fT (t)e jnt dt
2.收敛性：振幅包络线按Sa(ωτ/ 2)规律变化，总趋势为0。 * 能量集中于低频分量：当nΩτ/ 2=kπ(k=正负1,正负2…..), 即nΩ=2kπ/τ时,包络线振幅为零.定义信号频带宽度(带宽):
0 ~ 第一零点 B
2
Bf
1
(rad / s) ( Hz)
* 带宽与脉冲成反比:τ愈小,Bw愈大.
2 T
t0 T t0
fT (t)sin ntdt
t0
n 1,2...
将a0包含在an中则有：
fT (t)
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
A0 2
n1
An
cos(nt
n )
其中an
2 T
t0 T t0
fT (t) cosntdt
n 0,1,2...
2
bn T
t0 T t0
(第 一 零 点 ）
2
谱线数
2
2 T
T
4
4
Ω
双边振幅谱： Fn ~ n
单边振幅谱： 频谱特点：
An
2
Fn
n 0,1,2.... n 0,1,2......
1.离散性、谐波性：仅在0、正负Ω、正负2Ω。。处出现，
与相应谐波分量对应。谱线间隔Ω＝2π/T ，当T增加，Ω减小
当T趋近于无穷大时，周期函数变为非周期函数，离散谱变为连 续谱。
的模
最小，（此时的C12称为最佳），当C12＝0时，Ve的
模最小，此时V1和V2正交。
2.矢量分解
在平面空间里，相互正交的矢量
V1和V2构成一个正交矢量集，而且为
完备的正交矢量集。平面空间中的任
一矢量V都可表示为V1和V2的线性组合 （如上图）。即：
V=C1V1+C2 V2。式中V1、V2为单位矢量，且V1·V2＝0。其中：
T 2
fT 2 (t)dt
fT(t)为实函数
T
T
PT1
2 T2
fT 2 ( t ) dtT1
2 T2
2 fT (t ) dt
T
2
1 T
2 T2
Fne jnt n
dt
1 T
n
Fn 2
T 2
T2
e j ( ntn ) 2 dt
1 T
Fn 2
n
所以,周期信号时域功率=频域
信号功率之和-------帕塞瓦尔恒等式
此时， c12V2 V1 cos
所以最佳系数为
c12
V 1 cos
V2
V 1 V 2 cos
V2V2
V1V 2 V 2 V 2
随着角的增加，直至V1 V2时，＝90，cos＝0，c12 0
结论：给定两矢量V1和V2,若用与V2成比例的矢量C12 V2近
似V1，要求误差矢量
Ve
V 1
c V 12 2
fT (t)
Fne jnt
F e j (nt n ) n
F0
2 Fn cos(nt n )
n
n
n1
各谐波分量的角频率nΩ 是基波角频率Ω的n倍且有不同的
振幅和相位，均有傅立叶系数 Fn Fn e jn 反映出来。
为揭示各谐波振幅、初相随角频率变化情况，特画出振幅
及相位随w变化的曲线称其为频谱图。
n 2
)
E
sin(
n 2
)
E
Sa( n
)
T n
其中：Sa(x) sin x
T
n 2
T
2
如下图 称为“取样”函数
x
其性质：① 偶函数 lim Sa(x) 1 Sa(k ) 0, k 1,2...
②
x0
③ Sa(x)
0
Sa(x)dx Sa(x)dx
0
2
3.3 周期信号的频谱与功率
3.3.1 fT(t)的频谱 fT(t)可分解为一系列虚指数信号或正弦信号的线性组合。
fT (t)gi*(t)dt
t0 T t0
gi (t)
2 dt
t0 T t0
fT (t)e jntdt
t0 T
e jnt
2
dt
1 T
t0
n
t0 T t0
fT (t)e jntdt
fT (t) Fne jnt n
Fn
1 T
t0 T t0
fT (t)e jnt dt
称为周期信号的指数型傅立叶级数展开式或复系数傅立 叶级数
区间（t0 ，t0+T）。是完备的
cosnt, sin nt n0,1,2... 正交函数集。
正交性：t0T cosnt cosmtdt t0
0 T /2
mn mn
t0T sin nt sin mtdt t0
0 T /2
mn mn
t0T cosnt sin ntdt t0
0 0
其中，Ci =
n
V c1V 1 c2V 2 cnVn ciVi
3.V1·.2Vi/信Vi号·的V正i 交分解
i 1
1.正交信号（函数）
*定义:设 f 1(t)和 f 2(t)为定义在（t1 ,t2 )区间上的两 个函
数f ，表1(现t)在，要其用误与差信f 号2(为t)成fe比(t例)的一个f1函(t数)C12cf122(ft)2近(t似) 地代
n0
n1
该函数系数
an
t0 T t0
fT (t) cos* ntdt
t0 T cosnt 2 dt
1 t0T
T t0 2 t0T T t0
fT (t )dt fT (t )cosntdt
n0 n 1,2..
t0
bn
f t0 T
t0
T
t0 T
(t) sin* ntdt sin nt 2 dt
i 1
这种近似所产生的平方误差为：
Ee
t2 t1
N
2
f (t) ci gi (t) dt
i 1
同样可以求出，欲使Ee达到最小，其第r个函数的加权系数Cr为
cr
t2 t1
f (t) gr* (t)dt
t2 t1
gr (t) 2 dt
此时的平方误差为下式所示：
Ee
t2 t1
2
N
f (t) dt
i 1
2
t2 t1
ci gi (t)
dt
如果对于某一类f(t),所选择的正交函数集满足Ee等于零， 则称正交函数集对于f(t)这一类函数是完备的正交函数集。
一个完备的正交函数集通常是一个无穷函数集。 关于完备的正交函数集，有两个重要定理。见课本P91。
3 两个完备的正交函数集
（1）三角函数集
基本周期：T=2л/Ω,正交
t (t1, t2 )
若
t2 t1
gi
(t
)g
* j
(t
)dt
0 ki
i i
jji,
j
1,2,3 N
则称g(t)为正交函数集，t (t1, t2 )
当Ki=1时，称为归一化正交函数集。
*信号的分解：用上述正交函数集近似地表示信号f (t)，即：
N
f (t) c1g1(t) c2 g2 (t) ... cN g N (t) ci gi (t)
3.2.3 傅立叶系数关系
比较两种展开式，得：A0 a0 2F0
An 2 Fn
n n
令An＝Ane jn 考虑到Fn Fn e jn
统一表示为A 2Fn
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例题：周期性矩形脉冲的傅立叶系数计算。P94
结论：
fT (t)
a0 2
(an cos nt bn sin nt)
n 1
A0 2
fT (t)
E
以前节周期信号为例：
Fn
T
Sa( n
2
)
n 0,1,2....
T
0
2
2
T
t
若令T 4 ,则有
Fn
1 4
Sa( n
2 T
2
)
1 4
Sa( n
4
)
振幅谱Fn
1 4
Sa(
n 4
)
Fn
Fn
相位谱n
0
(rad )
n
n
0
(rad )
2 T
2 4
2
(谱线间隔）
n 2
k
n
2
3.2.1 三角形式傅立叶级数分解
1.三角函数集
fT t
cosnt,sin nt
n0,1,2...
,T
2
该函数在（t0，t0）上为完备的正交函数集。
2.正交展开 将任一周期函数信号展开为：
fT (t) ci gi (t) (an cos nt bn sin nt) a0 (an cos nt bn sin nt)
上是指两矢量相互垂直（如右图所示）。
两矢量相互垂直时的夹角为90度，即：
V1V 2 V1 V 2 cos90 0 该式可为两矢量正交的定义式。
另外一种理解 V1与V2不正交，现在要求寻求一个与V2 成比例的矢量C12 V2，使得当用C12V2近 似表示V1时，其误差矢量Ve 的模最小。
Ve V1 c12V2 这个问题的实质 就是找一个最佳系数C12，使Ve的模最 小。如左上图所示，知V1垂直于V2时，Ve的模才能最小。
fT (t)sin ntdt
A0 a0 An an2 bn2
n 1,2...
n
arctg
bn an
说明：1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。
2.物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍
和正（余）弦函数或分量的线性组合。具体有：
a0 A0 直流分量cost, sin t 基波分量 22
cos nt,sin nt n次谐波分量
该周期函数可以视为由直流、基波和无穷多谐波分量组成。
3。 an , An为n的偶函数，bn ,n为n的奇函数。
an an , An An;bn bn ,n n.
4.当该周期函数为偶函数时，bn＝0，展开式只含直
流及 cosnt分量
当该周期函数为奇函数时，a0＝an＝0，展开式只
第三章 连续信号与系统的频域分析
3.1 信号的正交分解 3.2 周期信号的连续时间的傅立叶级数 3.3 周期信号的频谱 3.4 非周期信号的连续时间傅立叶变换 3.5 傅立叶变换的性质 3.6 连续信号的抽样定理 3.7 连续系统的频域分析
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3.1 信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分析 1.正交矢量 数学定义 两矢量正交，在几何意义