2018年天津市河北区中考数学一模试卷

2018年天津市河北区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（﹣6）+2 的结果等于（）
A．﹣8B．﹣4C．4D．8
2．（3分）sin60°的值等于（）
A．B．C．D．1
3．（3分）如图图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
4．（3分）据统计，至2017年末，天津市常住人口总量为15568700人，将15568700用科学记数法表示为（）
A．0.155687×108B．1.55687×107C．15.5687×106D．15568.7×103
5．（3分）用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的俯视图为（）
A．B．C．D．
6．（3分）估计的值在（）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
7．（3分）计算+（）
A．B．C．1D．﹣1
8．（3分）方程组的解是（）
A．B．C．D．
9．（3分）如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（）
A．﹣3≤y≤3B．0≤y≤2C．1≤y≤3D．0≤y≤3 10．（3分）已知反比例函数y=，当﹣3≤x≤﹣1时，y的最小值是（）A．﹣9B．﹣3C．﹣1D．1
11．（3分）如图，两个三角形的面积分别是7和3，对应阴影部分的面积分别是m、n，则m﹣n等于（）
A．4B．3C．2D．不能确定12．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）
A．2a﹣b=0
B．a+b+c＞0
C．3a﹣c=0
D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案答在试卷后面
的答题纸的相应位置）
13．（3分）计算2a（a+3b）的结果等于．
14．（3分）分解因式：x2﹣9=．
15．（3分）在不透明口袋内有形状、大小、质地完全一样的5个小球，其中黑色球3个，白色球2个，随机抽取一个小球是白色球的概率是．16．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．17．（3分）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为．
18．（3分）如图，在由小正方形组成的网格中，点A、B 均在格点上．
（1）在图 1 中画出一个直角△ABC，使得点 C 在格点上且tan∠BAC=；（Ⅱ）在图 2 中画出一个△ABD，使得点 D 在格点上且tan∠BAD=，请在图
2 所示的网格中，用无刻度的直尺，画出△ABD，并简要说明理由．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证
明过程，请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置）
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答：
（I）解不等式（1），得；
（Ⅱ）解不等式（2），得；
（Ⅲ）把不等式（1）和（2）解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为．
20．（8分）某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了统计图，请你根据统计图给出的信息回答：
（I）在这20个家庭中，收入为1.1万元的有个；
（Ⅱ）求样本中的平均数、众数和中位数．
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点．
（I）如图1，过P作⊙O的切线PC，切点为C．作AD⊥PC于点D，求证：∠PAC=∠DAC；
（II）如图2，过P作⊙O的割线，交点为M、N，作AD⊥PN于点D，求证：∠PAM=∠DAN．
22．（10分）如图，某数学兴趣小组测量位于某山顶的一座雕像AB高度，已知山坡面与水平面的夹角为30°，山高BC为285米，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进540米后到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．
23．（10分）某公司计划组装A、B两种型号的健身器材共40套，用于公司职工的锻炼．组装一套A型健身器材甲种部件7个和乙种部件4个，组装一套B 型健身器材甲种部件3个和乙种部件6个．公司现有甲种部件228个，乙种部件194个，设组装A型器材的套数为x（x为正整数）．
（Ⅰ）根据题意，填写下表
组装A型器材的套数为x组装B型器材的套数为（40﹣x）需用甲种部件7x
需用乙种部件
（Ⅱ）公司在组装A、B两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案？
（Ⅲ）组装一套A型健身器材需费用50元，组装一套B型健身器材需费用68元，求总组装费用最少的组装方案，最少总组装费用是多少？
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A′OB′，点A、B旋转后的对应点为A′、B′，记旋转角为α．
（I）如图1，若α=30°，求点B′的坐标；
（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA′和直线BB′交于点P，求证：AA′⊥BB′；（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
25．（10分）如图，抛物线y=ax2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，B（1，0）．第二象限内有一点P在抛物线上运动，OP 交线段AC于点E．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及点A、C的坐标；
（Ⅱ）设△PAC的面积为S．当S最大时，求点P的坐标及S的最大值；
（Ⅲ）是否存在点P，使点E是OP的中点．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
2018年天津市河北区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（﹣6）+2 的结果等于（）
A．﹣8B．﹣4C．4D．8
【分析】绝对值不等的异号加法，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．依此即可求解．
【解答】解：（﹣6）+2=﹣4．
故选：B．
【点评】考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
2．（3分）sin60°的值等于（）
A．B．C．D．1
【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．
【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：sin60°=．
故选：C．
【点评】此题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答．
3．（3分）如图图形中，是轴对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
4．（3分）据统计，至2017年末，天津市常住人口总量为15568700人，将15568700用科学记数法表示为（）
A．0.155687×108B．1.55687×107C．15.5687×106D．15568.7×103
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将15568700用科学记数法表示为：1.55687×107．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的
形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．（3分）用5个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的俯视图为（）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【解答】解：该几何体的主视图为：
俯视图为：
左视图为：
故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
6．（3分）估计的值在（）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【分析】估算确定出范围即可．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
则的值在3和4之间，
故选：B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及算术平方根，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
7．（3分）计算+（）
A．B．C．1D．﹣1
【分析】先根据同分母分式的加法计算，再约分即可得．
【解答】解：原式===﹣1，
故选：D．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
8．（3分）方程组的解是（）
A．B．C．D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②，得：4x=8，
解得：x=2，
将x=2代入①，得：2+y=6，
解得：y=4，
所以方程组的解为，
故选：A．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代
入消元法与加减消元法．
9．（3分）如果两个变量x、y之间的函数关系如图所示，则函数值y的取值范围是（）
A．﹣3≤y≤3B．0≤y≤2C．1≤y≤3D．0≤y≤3
【分析】根据图象，找到y的最高点是（﹣2，3）及最低点是（1，0），确定函数值y的取值范围．
【解答】解：∵图象的最高点是（﹣2，3），
∴y的最大值是3，
∵图象最低点是（1，0），
∴y的最小值是0，
∴函数值y的取值范围是0≤y≤3．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是会观察图象，找到y的最高点及最低点．
10．（3分）已知反比例函数y=，当﹣3≤x≤﹣1时，y的最小值是（）A．﹣9B．﹣3C．﹣1D．1
【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象，即可得到y的取值范围．
【解答】解：∵k=3＞0，
∴在每个象限内y随x的增大而减小，
又∵当x=﹣3时，y=﹣1，
当x=﹣1时，y=﹣3，
∴当﹣3≤x≤﹣1时，﹣3≤y≤﹣1，
∴y的最小值是﹣3．
故选：B．
【点评】本题主要考查反比例函数的性质：当k＞0时，在每一个象限内，y随x 的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．
11．（3分）如图，两个三角形的面积分别是7和3，对应阴影部分的面积分别是m、n，则m﹣n等于（）
A．4B．3C．2D．不能确定
【分析】设重叠部分的面积为x．由题意，m=7﹣x，n=3﹣x，由此即可解决问题；【解答】解：设重叠部分的面积为x．
由题意，m=7﹣x，n=3﹣x，
∴m﹣n=（7﹣x）﹣（3﹣x）=4，
故选：A．
【点评】本题考查整式的加减，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
12．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）
A．2a﹣b=0
B．a+b+c＞0
C．3a﹣c=0
D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形
【分析】由于抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，得到对称轴为直线x=1，则﹣=1，即2a+b=0，得出，选项A错误；
当x=1时，y＜0，得出a+b+c＜0，得出选项B错误；
根据a＞0，c＜0，可得到3a与c的关系，得出选项C错误；
由a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，先求出顶点D的坐标，由三角形边的关系得出△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，得出选项D 正确；即可得出结论．
【解答】解：∵抛物线与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1，3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，则﹣=1，
∴2a+b=0，
∴选项A错误；
∴当自变量取1时，对应的函数图象在x轴下方，
∴x=1时，y＜0，则a+b+c＜0，
∴选项B错误；
∵a＞0，c＜0，
∴3a＞0，﹣c＞0．
∴3a﹣c＞0，
∴选项C错误；
当a=，则b=﹣1，c=﹣，对称轴x=1与x轴的交点为E，如图，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣，
把x=1代入得y=﹣1﹣=﹣2，
∴D点坐标为（1，﹣2），
∴AE=2，BE=2，DE=2，
∴△ADE和△BDE都为等腰直角三角形，
∴△ADB为等腰直角三角形，
∴选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系：当a＞0，抛物线开口向上；抛物线的对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案答在试卷后面
的答题纸的相应位置）
13．（3分）计算2a（a+3b）的结果等于2a2+6ab．
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算可得．
【解答】解：2a（a+3b）=2a2+6ab，
故答案为：2a2+6ab．
【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解题的关键是掌握单项式乘多项式的运算法则．
14．（3分）分解因式：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9=（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
15．（3分）在不透明口袋内有形状、大小、质地完全一样的5个小球，其中黑色球3个，白色球2个，随机抽取一个小球是白色球的概率是．
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【解答】解：由于袋子中共有5个小球，其中白色小球有2个，
所以随机抽取一个小球是白色球的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
16．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为6．
【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，
720÷180+2=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
17．（3分）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为0．
【分析】由两根互为相反数可知两根之和为0，再由根与系数的关系可得到关于a的方程，即可求得a的值．
【解答】解：
∵方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，
∴a2﹣2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程为x2+1=0，该方程无实数根，舍去，
∴a=0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，由条件得出两根和为0是解题的关键．
18．（3分）如图，在由小正方形组成的网格中，点A、B 均在格点上．
（1）在图 1 中画出一个直角△ABC，使得点 C 在格点上且tan∠BAC=；（Ⅱ）在图 2 中画出一个△ABD，使得点 D 在格点上且tan∠BAD=，请在图
2 所示的网格中，用无刻度的直尺，画出△ABD，并简要说明理由．
【分析】（Ⅰ）依据点 C 在格点上且tan∠BAC=，即可得到直角△ABC；（Ⅱ）依据点 D 在格点上且tan∠B=，即可得到△ABD，利用平行线分线段成
比例定理，即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）如图，选取点C，连接AC、BC，则点C即为所求．（答案不唯一）
（Ⅱ）如图，选取点D，连接AD，BD，点D即为所求．
理由：如图，∵DE∥AB且ED=AB，
∴，
∴BF=BE，
由图可得，AB=EB，BE⊥AB，
∴tan∠BAD=．
【点评】本题主要考查了应用与设计作图以及解直角三角形，首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．
三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答应写出文字说明，演算步骤或证
明过程，请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置）
19．（8分）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答：
（I）解不等式（1），得x≤1；
（Ⅱ）解不等式（2），得x≥﹣2；
（Ⅲ）把不等式（1）和（2）解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，表示在数轴上找出解集的公共部分确定出不等式组的解集即可．
【解答】解：（I）解不等式（1），得x≤1；
（Ⅱ）解不等式（2），得x≥﹣2；
（Ⅲ）把不等式（1）和（2）解集在数轴上表示出来，如下图所示：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．
故答案为：（I）x≤1；（Ⅱ）x≥﹣2；（Ⅳ）﹣2≤x≤1．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，准确求出每个不等式的解集是解本题的关键．
20．（8分）某同学进行社会调查，随机抽查了某个地区的20个家庭的收入情况，并绘制了统计图，请你根据统计图给出的信息回答：
（I）在这20个家庭中，收入为1.1万元的有3个；
（Ⅱ）求样本中的平均数、众数和中位数．
【分析】（Ⅰ）利用条形图提供的数据完成所给表，并计算平均数；
（Ⅱ）根据平均数、中位数和众数的定义求解即可；
【解答】解：（Ⅰ）根据条形图填表如下：
年收入（万元）0.60.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.49.7户数11234531
在这20个家庭中，收入为1.1万元的有3个；
（Ⅱ）平均收入为（20×0.05×0.6+20×0.05×0.9+20×0.1×1.0+20×0.15×
1.1+20×0.2×1.2+20×0.25×1.3+20×0.15×1.4+20×0.05×9.7）÷20=32÷
20=1.6（万元），
数据中的第10和11个数据的平均数为1.2（万元），所以中位数是1.2（万元）；众数是最高的条形图的数据1.3（万元）；
故答案为：3；
【点评】本题考查的是平均数、众数和中位数的概念和其意义．要注意：当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．
21．（10分）已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一点．
（I）如图1，过P作⊙O的切线PC，切点为C．作AD⊥PC于点D，求证：∠PAC=∠DAC；
（II）如图2，过P作⊙O的割线，交点为M、N，作AD⊥PN于点D，求证：∠PAM=∠DAN．
【分析】（Ⅰ）根据切线的性质和平行线的性质证明即可；
（Ⅱ）连接BM．利用直径和内接四边形的性质解答即可．
【解答】证明：（Ⅰ）如图1，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠1=∠2，
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∵AD⊥PC，
∴AD∥OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
即∠PAM=∠DAN；
（Ⅱ）如图2，连接BM，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠1+∠2=90°，
∵AD⊥PN，
∴∠AND+∠3=90°，
∵ABMN时⊙O的内接四边形，
∴∠AND=∠2，
∴∠1=∠3，
即∠PAM=∠DAN．
【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质和平行线的性质证明．
22．（10分）如图，某数学兴趣小组测量位于某山顶的一座雕像AB高度，已知山坡面与水平面的夹角为30°，山高BC为285米，组员从山脚D处沿山坡向着雕像方向前进540米后到达E点，在点E处测得雕像顶端A的仰角为60°，求雕像AB的高度．
【分析】作EF⊥AC于F，EG⊥DC于G，根据直角三角形的性质求出EG，根据题意求出BF，根据正切的定义求出AF，计算即可．
【解答】解：作EF⊥AC于F，EG⊥DC于G，
在Rt△DEG中，EG=DE=270，
∴BF=BC﹣CF=285﹣270=15，
EF==15，
∵∠AEF=60°，
∴∠A=30°，
∴AF==45，
∴AB=AF﹣BF=30（米），
答：雕像AB的高度为30米．
【点评】此题是解直角三角形﹣仰角俯角问题，主要考查了锐角三角函数的意义，解本题的关键是构造直角三角形．
23．（10分）某公司计划组装A、B两种型号的健身器材共40套，用于公司职工的锻炼．组装一套A型健身器材甲种部件7个和乙种部件4个，组装一套B 型健身器材甲种部件3个和乙种部件6个．公司现有甲种部件228个，乙种部件194个，设组装A型器材的套数为x（x为正整数）．
（Ⅰ）根据题意，填写下表
组装A型器材的套数为x组装B型器材的套数为（40﹣x）需用甲种部件7x3（40﹣x）
需用乙种部件4x6（40﹣x）
（Ⅱ）公司在组装A、B两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案？
（Ⅲ）组装一套A型健身器材需费用50元，组装一套B型健身器材需费用68元，求总组装费用最少的组装方案，最少总组装费用是多少？
【分析】（Ⅰ）依据组装一套A型健身器材甲种部件7个和乙种部件4个，组装一套B型健身器材甲种部件3个和乙种部件6个，可得代数式；
（Ⅱ）根据题中已知条件列出不等式组，解不等式租得出整数即可解得组装方案；（Ⅲ）根据组装方案的费用y关于x 的一次函数，解得当x=27时，组装费用y 最小为2234．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得，组装B型器材需用甲种部件3（40﹣x）个，需用乙种部件6（40﹣x）个；组装A型器材需用乙种部件4x个；
故答案为：3（40﹣x），6（40﹣x），4x；
（Ⅱ）依题意得，，
解得23≤x≤27，
∵x为正整数，
∴x的取值为23，24，25，26，27，
∴组装A、B两种型号的健身器材时，共有5种组装方案；
（Ⅲ）总组装费用y=50x+68（40﹣x）=﹣18x+2720，
∵k=﹣18＜0，
∴y随着x的增大而减小，
∴当x=27时，y有最小值2234，
此时的组装方案为：组装A型健身器材27套，组装B型健身器材13套．最小组装费用为2234元．
【点评】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式组的实际应用，解决问题的关键是掌握一次函数的性质．
24．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．△AOB绕着O顺时针旋转，得△A′OB′，点A、B旋转后的对应点为A′、B′，记旋转角为α．
（I）如图1，若α=30°，求点B′的坐标；
（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA′和直线BB′交于点P，求证：AA′⊥BB′；（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）设A'B'与x轴交于点H，依据旋转的性质得出BO∥A'B'，即可得到OH=OB'=，B'H=3，进而得出点B'的坐标为（，3）；
（Ⅱ）依据旋转的性质可得∠BOB'=∠AOA'=α，OB=OB'，OA=OA'，即可得出∠OBB'=∠OA'A=（180°﹣α），再根据∠BOA'=90°+α，四边形OBPA'的内角和为360°，即可得到∠BPA'=90°，即AA'⊥BB'；
（Ⅲ）作AB的中点M（1，），连接MP，依据点P的轨迹为以点M为圆心，以MP=AB=2为半径的圆，即可得到当PM∥y轴时，点P纵坐标的最小值为﹣2．
【解答】解：（Ⅰ）如图1，设A'B'与x轴交于点H，
∵OA=2，OB=2，∠AOB=90°，
∴∠ABO=∠B'=30°，
∵∠BOB'=α=30°，
∴BO∥A'B'，
∵OB'=OB=2，
∴OH=OB'=，B'H=3，
∴点B'的坐标为（，3）；
（Ⅱ）证明：∵∠BOB'=∠AOA'=α，OB=OB'，OA=OA'，∴∠OBB'=∠OA'A=（180°﹣α），
∵∠BOA'=90°+α，四边形OBPA'的内角和为360°，
∴∠BPA'=360°﹣（180°﹣α）﹣（90°+α）=90°，
即AA'⊥BB'；
（Ⅲ）点P纵坐标的最小值为．
如图，作AB的中点M（1，），连接MP，
∵∠APB=90°，
∴点P的轨迹为以点M为圆心，以MP=AB=2为半径的圆，除去点（2，）．∴当PM⊥x轴时，点P纵坐标的最小值为﹣2．
【点评】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，含30°角的直角三角形的性质，四边形内角和以及圆周角定理的综合运用，解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心，以MP为半径的圆．
25．（10分）如图，抛物线y=ax2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于C点，B（1，0）．第二象限内有一点P在抛物线上运动，OP 交线段AC于点E．
（Ⅰ）求抛物线的解析式及点A、C的坐标；
（Ⅱ）设△PAC的面积为S．当S最大时，求点P的坐标及S的最大值；
（Ⅲ）是否存在点P，使点E是OP的中点．若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（Ⅰ）直接把B点坐标代入进而得出函数解析式，再利用y=0，以及x=0即可得出答案；
（Ⅱ）首先求出函数解析式，进而表示出△PAC的面积为S，进而得出答案；（Ⅲ）表示出E点坐标，再利用AF=EF，进而得出答案．
【解答】解：（Ⅰ）将点B（1，0）代入y=ax2﹣2x+3，
解得：a=﹣1，
故抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3，
当y=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
故A（﹣3，0），当x=0时，y=3，
则C点坐标为：（0，3）；
（Ⅱ）如图，过点P作PD∥OC，交AC于点D，
设点P则坐标为：（m，﹣m2﹣2m+3），
由A（﹣3，0），C（0，3）可得：
直线AC的解析式为：y=x+3，
∴点D的坐标为：（m，m+3），
∴PD=﹣m2﹣3m，
∵S=PD•AO
=﹣（m+）2+，
∴当m=﹣时，点P的坐标为：（﹣，），
S的最大值为：；
（Ⅲ）如图，过点E作EF⊥OA于点F，
若点E是OP的中点，
则点E的坐标为：（，），
此时，OF=﹣，AF=3+，EF=，
由OA=OC，得AF=EF，
∴3+=，
化简得：m2+3m+3=0，
△=b2﹣4ac=﹣3＜0，
∴不存在点P，使点E是OP的中点．
【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用，正确表示出△PAC的面积是解题关键．。