2.3 空间直角坐标系典型习题

数学ⅱ北师大版2.3.2空间直角坐标系中点的坐标练习 第3.2节 空间直角坐标系中点的坐标在空间直角坐标系中， 点)3,2,1(P 关于x 轴对称的点的坐标为 〔 〕A 、（－1，2，3）B 、（1，－2，－3）C 、（－1， －2， 3）D 、（－1 ，2， －3） 2、在空间直角坐标系中， 点)1,0,1(A 与点)1,1,2(-B 之间的距离为 〔 〕A 、6B 、 6C 、3D 、 23、在空间直角坐标系中， 点)5,4,3(P 关于yoz 平面对称的点的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.4、在空间直角坐标系中，点)2,3,1(-P 在xoz 平面上的射影为'P ，'P 那么关于原点的对称点P ／的坐标为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.5、点)3,4,1(-P 与点)5,2,3(-Q 的中点坐标是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6、在长方体1111D C B A ABCD -中，假设)3,0,5(),0,4,5(),0,0,5(),0,0,0(1A B A D ，那么对角线1AC 的长为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.7、以)3,4,2(),9,1,4(),6,1,10(C B A -为顶点的三角形的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.8、点),,21,1(x x x A -- 点),2,1(x x B -， 那么A 与B 两点间距离的最小值为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.9、点)11,2,1(-A ，)3,2,4(B ， )15,,(y x C 三点共线，那么y x ,的值分别是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.10. 在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，且边长为a 2，棱PD ⊥底面ABCD ，b PD 2=，取各侧棱PD PC PB PA ,,,的中点H G F E ,,,，试建立空间直角坐标系，并写出点H G F E ,,,的坐标、参考答案：),,(),,(1z y x P z y x P x --−−−−→−轴对称关于),,(),,(1z y x P z y x P y --−−−−→−轴对称关于),,(),,(1z y x P z y x P z --−−−−→−轴对称关于答案：B2.命题意图：此题主要考察空间两点的距离公式：假设),,(),,,(222111z y x B z y x A ，那么212212212)()()(z z y y x x AB -+-+-=答案：A 3.命题意图：此题主要考察关于各坐标平面对称的两点，其坐标分量的关系。

第2章平面解析几何初步2.3 空间直角坐标系2.3.1 空间直角坐标系A级基础巩固1．点P(－2，0，3)位于()A．y轴上B．z轴上C．xOz平面内D．yOz平面内解析：由于点P在y轴上的坐标为0，所以点P位于xOz平面内．答案：C2．在空间直角坐标系中，P(2，3，4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是() A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对解析：三坐标均相反时，两点关于原点对称．答案：C3．在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)关于x轴对称的点的坐标为() A．(－1，2，3) B．(1，－2，－3)C．(－1，－2，3) D．(－1，2，－3)解析：关于x轴对称，x不变，y，z相反，故P(1，2，3)关于x轴对称点的坐标为P′(1，－2，－3)．答案：B4．点P(2，3，4)关于yOz平面对称的点的坐标为()A．(－2，3，4) B．(－2，－3，4)C．(2，－3，－4) D．(－2，3，－4)解析：关于yOz平面对称的点，在y轴上，z轴上的坐标不变，在x轴上的坐标变为原来的相反数．答案：A5．已知ABCD为平行四边形，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则点D的坐标为________．解析：连接AC，BD交于点P，则P为AC与BD的中点，由点A，C坐标求得中点P⎝⎛⎭⎪⎫72，4，－1，再由B(2，－5，1)求得点D的坐标为(5，13，－3)．答案：(5，13，－3)6．若x轴上一点A到z轴上一点B的距离为4，并且AB的中点到平面xOy 的距离为1，则点A的坐标为________．解析：设A(a，0，0)，B(0，0，c)，则AB中点P⎝⎛⎭⎪⎫a2，0，c2，所以|c|2＝1.所以|c|＝2.又a2＋c2＝16，所以a2＝12，a＝±2 3.答案：(±23，0，0)7．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标肯定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标肯定可写成(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0，0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a，0，c)．其中正确叙述的序号是________．解析：依据空间直角坐标系中坐标轴及坐标面上点的特点知②③④正确．答案：②③④8.如右图所示，空间直角坐标系中OABC-D′A′B′C′是棱长为2的正方体．其中，E，F，G，H分别为边AB，BB′，C′D′，AA′的中点，则坐标为(0，1，2)的点是________．解析：点的横坐标为0，所以点在平面yOz上，竖坐标为2.所以点在正方体的上底面上．又纵坐标为1，故点为D′C′的中点G.答案：G点9．在空间直角坐标系中，点P(2，－4，6)关于y轴对称的点P′的坐标为________．解析：点P(2，－4，6)关于y轴对称的点P′的坐标为(－2，－4，－6)．答案：(－2，－4，－6)10．点M(2，－3，1)关于点P(1，1，1)的对称点是________．解析：点M(a，b，c)关于点P(1，1，1)的对称点是(2－a，2－b，2－c)．答案：(0，5，1)B级力量提升11．如图所示，三棱锥O-ABC为一个正方体截下的一角，OA＝a，OB＝b，OC＝c，建立如图所示的坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．解析：由于A(a，0，0)，B(0，0，b)，C(0，c，0)，所以G⎝⎛⎭⎪⎫a3，c3，b3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫a3，c3，b312．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下面命题：①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，－z)；②点P关于平面yOz的对称点的坐标是(x，－y，－z)；③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)．其中正确命题的序号是________．解析：点P关于x轴、平面yOz、y轴、原点的对称点的坐标分别是(x，－y，－z)，(－x，y，z)，(－x，y，－z)，(－x，－y，－z)，故只有命题①④正确．答案：①④13．在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，全部的棱长都是1，建立适当的空间直角坐标系，并写出各点的坐标．解：如图所示，取AC的中点O和A1C1的中点O1，连接BO，OO1，可得BO⊥AC，BO⊥OO1.以OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由于各棱长均为1，所以OA ＝OC ＝O 1C 1＝O 1A 1＝12，OB ＝32.由于A ，B ，C 均在坐标轴上，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0. 由于点A 1，C 1均在yOz 平面内，所以A 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，1，C 1⎝⎛⎭⎪⎫0，12，1.由于点B 1在xOy 平面内的射影为点B ，且BB 1＝1，所以B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，1.14．如图所示，已知一长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O ，顶点A 的坐标为(－2，－3，－1)，求其他7个顶点的坐标．解：由于A (－2，－3，－1)，依据长方体各顶点的对称关系， 不难求得B (－2，3，－1)，C (2，3，－1)，D (2，－3，－1)．点A 1，B 1，C 1，D 1与点A ，B ，C ，D 分别关于平面xOy 对称，可得到A 1(－2，－3，1)，B 1(－2，3，1)，C 1(2，3，1)，D 1(2，－3，1)．。

空间直角坐标系例题于是，小明拿出他的笔记本，画了个大大的坐标系，X轴、Y轴、Z轴都清晰可见。

看着这些线条，朋友们个个眉头紧皱，心里想着：“这是什么鬼？难道我们要在这儿打坐？”小明哈哈大笑：“别担心，咱们就把这当成一个大地图，找到每一个宝藏点就行了！”听了这话，大家的紧张情绪稍微缓解了些，心想，这地图总比坐着干等要好得多。

于是，他们决定从坐标(1, 2, 3)开始。

小明指着地图，兴奋地说：“我们先往右走一格，然后向上走两格，最后再往前走三格。

”小伙伴们点点头，心里琢磨着，跟着小明的指引走，感觉就像在玩寻宝游戏一样，心里那个期待啊，简直要飞起来了。

一路上，他们嬉闹着，偶尔还会有小鸟飞过，仿佛在为他们的探险加油。

可是，事情并没有那么简单。

小明带着大家走到(1, 2, 3)时，发现眼前是一片空荡荡的地方。

哦，真是个意外，大家都愣住了。

小明耸耸肩：“没关系，这只是第一步。

我们去(4, 5, 6)看看。

”话音刚落，大家又开始朝新的坐标点进发。

这时候，小王调皮地说：“要是每个坐标都有宝藏，那我就发达了！”这话让大家都笑了，气氛一下子轻松了许多。

他们按照小明的计划继续前进。

走到(4, 5, 6)时，竟然看到了一棵巨大的老树，树下还有个破旧的箱子。

大家的心都提到了嗓子眼，难道这就是传说中的宝藏？小明激动地跑过去，打开箱子，发现里面竟然是一堆旧玩具和几本发黄的书。

虽然不是金银财宝，但大家还是围着箱子，乐呵呵地翻看起来。

小李拿起一个破损的玩具车，感慨道：“这让我想起小时候的快乐啊！”过了一会儿，大家决定继续探险，目标是(7, 8, 9)。

在路上，小王突然冒出一句：“这就像是在解密，每一个坐标点都是一个谜。

”大家纷纷点头，确实是这样。

他们就这样快乐地在坐标系中穿梭，偶尔碰到小动物，偶尔发出欢笑，仿佛整个世界都在和他们一起玩耍。

终于，他们到达了最后一个坐标点，(7, 8, 9)。

在这里，竟然发现了一片美丽的花丛，五颜六色的花朵让人目不暇接。

2．3 空间直角坐标系2．3.1空间直角坐标系及其应用基础巩固知识点一空间中点的位置的确定1．点A(0，－2,3)在空间直角坐标系的位置是在________平面上．解析：∵x A＝0，∴A在yOz平面上．答案：yOz2．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，c)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可写成(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确叙述的序号是________．解析：根据空间直角坐标系中坐标轴及坐标面上点的特点知②③④正确．答案：②③④3．如右图所示，空间直角坐标系中OABCD′A′B′C′是棱长为2的正方体．其中，E，F，G，H分别为边AB，BB′，C′D′，AA′的中点，则坐标为(0,1,2)的点是________．解析：点的横坐标为0，∴点在平面yOz 上，竖坐标为2，∴点在正方体的上底面上，又纵坐标为1，故点为D ′C ′的中点G .答案：G 点知识点二 空间中点的坐标的确定4．已知ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则点D 的坐标为________．解析：连接AC 、BD 交于P 点，则P 为AC 与BD 的中点，由A 、C 点坐标求得中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，－1，再由B (2，－5,1)求得D 的坐标(5,13，－3)．答案：(5,13，－3)5．点M (－1,2,1)在x 轴上的射影为M ′，则M ′关于原点的对称点是________．解析：M (－1,2,1)在x 轴上的射影M ′的坐标为(－1,0,0)，则M ′关于原点的对称点为(1,0,0)．答案：(1,0,0)6．若x 轴上一点A 到z 轴上一点B 的距离为4，并且AB 的中点到平面xOy 的距离为1，则A 点坐标为________．解析：设A (a,0,0)，B (0,0，c )，则AB 中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，c2，∴|c|2＝1，∴|c|＝2，又a2＋c2＝16，∴a2＝12，a＝±2 3.答案：(±23，0,0)知识点三空间中点的对称7．点(1,1,1)关于z轴的对称点为________．解析：由对称知点(x，y，z)关于z轴的对称点为(－x，－y，z)．答案：(－1，－1,1)8．点P(3,4,5)关于yOz平面的对称点的坐标为________．解析：点(a，b，c)关于yOz平面的对称点为(－a，b，c)．答案：(－3,4,5)9．点M(2，－3,1)关于点P(1,1,1)的对称点是________．解析：点M(a，b，c)关于点P(1,1,1)的对称点是(2－a,2－b,2－c)．答案：(0,5,1)能力升级综合点一求空间中点的坐标10．如右图，三棱锥OABC为一个正方体截下的一角，OA＝a，OB＝b，OC＝c，建立如图所示的坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________．解析：∵A (a,0,0)，B (0,0，b )，C (0，c,0)，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，c 3，b 3. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，c 3，b 311．已知矩形ABCD 中，AB ＝15，AD ＝10，将矩形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面BCD ⊥平面ABD .以D 为原点，射线DB 为y 轴的正半轴，建立如下图所示空间直角坐标系，此时点A 恰好在xDy 坐标平面内．试求A ，C 两点的坐标．解析：如下图，过C 作CF ⊥BD 于F ，过A 作AE ⊥BD 于E ，由面BCD ⊥面ABD ，得CF ⊥面ABD ，AE ⊥面BCD .又在Rt△BCD 中，BD ＝152＋102＝5，∴DF ＝CD 2BD ＝3，CF ＝CD ·BC BD＝6， 同理可得AE ＝6，DE ＝2，故A (6，2,0)，C (0,3，6)．综合点二空间中的对称问题12．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，给出下面命题：①点P关于x轴的对称点的坐标是(x，－y，－z)；②点P关于平面yOz的对称点的坐标是(x，－y，－z)；③点P关于y轴的对称点的坐标是(x，－y，z)；④点P关于原点的对称点的坐标是(－x，－y，－z)；其中正确命题的序号是________．解析：点P关于x轴、平面yOz，y轴、原点的对称点的坐标分别是(x，－y，－z)，(－x，y，z)，(－x，y，－z)，(－x，－y，－z)，故只有命题①④正确．答案：①④13．如图，已知一长方体ABCD—A1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，顶点A的坐标为(－2，－3，－1)，求其他7个顶点的坐标．解析：∵A(－2，－3，－1)，根据长方体各顶点的对称关系，不难求得B(－2,3，－1)，C(2,3，－1)，D(2，－3，－1)．A1、B1、C1、D1与A、B、C、D分别关于平面xOy对称，可得到A1(－2，－3,1)，B1(－2,3,1)，C1(2,3,1)，D1(2，－3,1)．。

1．若P (a ，b ，c )既在平面xOy 内，又在平面yOz 内，则一定有( ) A ．a ＝b ＝0 B ．a ＝c ＝0 C ．b ＝c ＝0 D ．a ＝b ＝c ＝0 解析：选B ．平面xOy 内的点，z 坐标为0；平面yOz 内的点，x 坐标为0.2．在空间直角坐标系中，设A (1，2，a )，B (2，3，4)，若|AB |＝3，则实数a 的值是( ) A ．3或5 B ．－3或－5 C ．3或－5 D ．－3或5 解析：选A.由已知得（1－2）2＋（2－3）2＋（a －4）2＝3，解得a ＝3或a ＝5.3．若△ABC 的顶点坐标分别为A (2，3，1)，B (4，1，－2)，C (6，3，7)，则△ABC 的重心坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫6，72，3 B ．⎝⎛⎭⎫4，73，2 C.⎝⎛⎭⎫8，143，4 D ．⎝⎛⎭⎫2，76，1 解析：选B ．设三角形的三个顶点坐标分别为A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，C (x 3，y 3，z 3)，其重心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33，z 1＋z 2＋z 33，故所求重心坐标为⎝⎛⎭⎫4，73，2. 4．已知点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 解析：选C.|AB |＝（1－4）2＋（－2－2）2＋（11－3）2＝89，|BC |＝（4－6）2＋（2＋1）2＋（3－4）2＝14，|AC |＝（1－6）2＋（－2＋1）2＋（11－4）2＝75，所以|AB |2＝|BC |2＋|AC |2.所以△ABC 为直角三角形．5．不在正方体的同一表面上的两个顶点分别是A (1，0，4)，B (3，－2，6)，则该正方体的棱长等于( )A ．1B ． 2C ．2D ． 3解析：选C.依题意，正方体的对角线的长为|AB |＝（1－3）2＋（0＋2）2＋（4－6）2＝23，设正方体的棱长为a ，则有3a ＝23，解得a ＝2.6．已知点A (－3，1，4)，B (5，－3，－6)，则点B 关于点A 的对称点C 的坐标为________． 解析：设C 点的坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋52＝－3y －32＝1z －62＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－11y ＝5z ＝14.则C 点的坐标为(－11，5，14)．答案：(－11，5，14)7．设点P 在x 轴上，它到P 1(0，2，3)的距离为到点P 2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P 的坐标为________．解析：因为点P 在x 轴上， 所以设点P 的坐标为(x ，0，0)． 由题意|PP 1|＝2|PP 2|， 所以（x －0）2＋（0－2）2＋（0－3）2 ＝2（x －0）2＋（0－1）2＋（0＋1）2，解得x ＝±1.所以所求点的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0)．答案：(1，0，0)或(－1，0，0)8．在空间直角坐标系中，点M (x ，y ，z )满足x 2＋y 2＋z 2＝1，则M 的轨迹是________________．解析：由x 2＋y 2＋z 2＝1， 得（x －0）2＋（y －0）2＋（z －0）2＝1，即动点M 到定点O (坐标原点)的距离为常数1. 所以M 的轨迹是以原点O 为球心，半径为1的球面．答案：以原点O 为球心、半径为1的球面 9．在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥AC ，且SA ＝AB ＝AC ＝a ，D 为BC的中点，E 为SD 的中点，建立适当的坐标系，求点S ，A ，B ，C ，D ，E 的坐标．解：因为在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ⊥AC ，所以以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AS 所在直线分别为x 轴，y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为SA ＝AB ＝AC ＝a ，D 为BC 的中点，所以A (0，0，0)，B (a ，0，0)，C (0，a ，0)，S (0，0，a )，D ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，连接AD ，因为SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，AB ∩AC ＝A ，所以SA ⊥平面ABC ，则有平面SAD ⊥平面ABC ，交线为AD ，过点E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，则EF ⊥平面ABC .因为E 为SD 的中点，所以F 为AD 的中点，所以EF ＝12AS ，所以E ⎝⎛⎭⎫a 4，a 4，a 2，即点S (0，0，a )，A (0，0，0)，B (a ，0，0)，C (0，a ，0)，D ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，E ⎝⎛⎭⎫a 4，a 4，a2. 10. 在河的一侧有一塔|CD |＝5 m ，河宽|BC |＝3 m ，另一侧有点A ，|AB |＝4 m ，如图，求A 与塔顶D 的距离|AD |.解：以C 点为原点，CB 、CD 、CM 所在直线为x 轴、z 轴、y 轴建立空间直角坐标系，如图，则A (3，－4，0)，D (0，0，5)．所以|AD | ＝（3－0）2＋（－4－0）2＋（0－5）2＝52，即A 到塔顶D 的距离是5 2 m.1. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCO -A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为( )A.2a B ．22a C ．aD ．12a解析：选B ．因为A ′(a ，0，a )，C (0，a ，0)， E 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2， 而F ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0. 所以|EF |＝a 24＋02＋a 24＝22a ，所以选B ． 2．已知x ，y ，z 满足方程C ：(x －3)2＋(y －4)2＋(z ＋5)2＝2，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．解析：x 2＋y 2＋z 2表示坐标原点(0，0，0)到点(x ，y ，z )的距离的平方， 则点(0，0，0)到(3，4，－5)的距离d ＝32＋42＋（－5）2＝52，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为(52－2)2＝(42)2＝32.答案：323．在空间直角坐标系中，已知A (3，0，1)和B (1，0，－3)，试问： (1)在y 轴上是否存在点M ，满足|MA |＝|MB |?(2)在y 轴上是否存在点M ，使△MAB 为等边三角形？若存在，试求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)假设在y 轴上存在点M ，满足|MA |＝|MB |. 因M 在y 轴上，可设M (0，y ，0)，由|MA |＝|MB |，可得32＋y 2＋12＝12＋y 2＋32，显然，此式对任意y ∈R 恒成立．这就是说y 轴上所有点都满足关系|MA |＝|MB |. (2)假设在y 轴上存在点M ，使△MAB 为等边三角形．由(1)可知，y 轴上任一点都有|MA |＝|MB |，所以只要|MA |＝|AB |就可以使得△MAB 是等边三角形．因为|MA|＝（3－0）2＋（0－y）2＋（1－0）2＝10＋y2，|AB|＝（1－3）2＋（0－0）2＋（－3－1）2＝20，于是10＋y2＝20，解得y＝±10.故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形，且点M坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．4. (选做题)已知直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点．如图所示，建立空间直角坐标系．(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；(2)在线段MN上是否存在一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请予以说明．解：(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等．又A(2，0，0)，B(0，4，0)，设点P坐标为(1，2，m)，由|PA|＝|AB|得，（1－2）2＋（2－0）2＋（m－0）2＝20，所以m2＝15.因为m∈，所以m＝15，故平面ABB1A1内的点P(1，2，15)使得△ABP为等边三角形．(2)设MN上的点Q(0，2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，所以|QF|＝12|AB|.又F(1，2，0)，则（0－1）2＋（2－2）2＋（n－0）2＝12＋（4－0）2＋（0－0）2，2（0－2）整理得，n2＋1＝5，所以n2＝4.因为n∈，所以n＝2.故在MN上存在点Q(0，2，2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形．。

空间直角坐标系与空间向量一、建立空间直角坐标系的几种方法 构建原如此：遵循对称性，尽可能多的让点落在坐标轴上。

作法：充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系来建立空间直角坐标系． 类型举例如下：〔一〕用共顶点的互相垂直的三条棱构建直角坐标系例1 直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，底面ABCD 是直角梯形，∠A 为直角，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝2，DC ＝1，求异面直线BC 1与DC 所成角的余弦值．解析：如图1，以D 为坐标原点，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如此C 1〔０，1，2〕、B 〔2，4，０〕， ∴1(232)BC =--，，，(010)CD =-，，．设1BC 与CD 所成的角为θ， 如此11317cos 17BC CD BC CDθ==． 〔二〕利用线面垂直关系构建直角坐标系例2 如图2，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1．2AB =，BB 1＝2，BC ＝1，∠BCC 1＝3π．求二面角A －EB 1－A 1的平面角的正切值．解析：如图2，以B 为原点，分别以BB 1、BA 所在直线为y 轴、z 轴，过B 点垂直于平面AB 1的直线为x 轴建立空间直角坐标系． 由于BC ＝1，BB 1＝2，AB ＝2，∠BCC 1＝3π，∴在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，有B 〔０，０，０〕、A 〔０，０，2〕、B 1〔０，2，０〕、31022c ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，、133022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，．设302E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，且1322a -<<，由EA ⊥EB 1，得10EAEB =，即3322022a a ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，， 233(2)2044a a a a =+-=-+=，∴13022a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12a =或32a =〔舍去〕．故31022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 由有1EA EB ⊥，111B A EB ⊥，故二面角A －EB 1－A 1的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角．因11(002)B A BA ==，，，31222EA ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，，故11112cos 3EA B A EA B A θ==，即2tan 2θ=〔三〕利用面面垂直关系构建直角坐标系例3 如图3，在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ． 〔1〕证明AB ⊥平面VAD ；〔2〕求面VAD 与面VDB 所成的二面角的余弦值．解析：〔1〕取AD 的中点O 为原点，建立如图3所示的空间直角坐标系．设AD ＝2，如此A 〔1，０，０〕、D 〔－1，０，０〕、B 〔1，2，０〕、V 〔０，０，3〕，∴AB ＝〔０，2，０〕，VA ＝〔1，０，－3〕．由(020)(103)0AB VA =-=，，，，，得AB ⊥VA ．又AB ⊥AD ，从而AB 与平面VAD 内两条相交直线VA 、AD 都垂直， ∴AB ⊥平面VAD ；〔2〕设E 为DV 的中点，如此13022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，∴33022EA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，33222EB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，，(103)DV =，，． ∴332(103)022EB DV ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，， ∴EB ⊥DV ．又EA ⊥DV ，因此∠AEB 是所求二面角的平面角． ∴21cos7EA EB EA EB EA EB==，． 故所求二面角的余弦值为217． 〔四〕利用正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例4 正四棱锥V －ABCD 中，E 为VC 中点，正四棱锥底面边长为2a ，高为h ． 〔1〕求∠DEB 的余弦值；〔2〕假如BE ⊥VC ，求∠DEB 的余弦值．解析：〔1〕如图4，以V 在平面AC 的射影O 为坐标原点建立空间直角坐标系，其中O x ∥BC ，O y ∥AB ，如此由AB ＝2a ，OV ＝h ，有B 〔a ，a ，０〕、C 〔-a ，a ，０〕、D 〔-a ，-a ，０〕、V 〔0，0，h 〕、222a a h E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴3222a h BE a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，，，3222a h DE a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，．∴22226cos 10BE DEa h BE DE a hBE DE -+==+，， 即22226cos 10a h DEB a h-+=+∠； 〔2〕因为E 是VC 的中点，又BE ⊥VC ， 所以0BEVC =，即3()0222a h a a a h ⎛⎫----= ⎪⎝⎭，，，，，∴22230222a h a --=，∴2h a =． 这时222261cos 103a h BE DE a h -+==-+，，即1cos 3DEB =-∠．引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题防止了传统方法进展繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进展向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．下面以高考考题为例，剖析建立空间直角坐标系的三条途径．〔五〕利用图形中的对称关系建立坐标系图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系〔如正三棱柱、正四棱柱等〕，利用自身对称性可建立空间直角坐标系．例5两个正四棱锥P －ABCD 与Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． 〔1〕证明：PQ ⊥平面ABCD ； 〔2〕求异面直线AQ 与PB 所成的角； 〔3〕求点P 到面QAD 的距离． 简解：〔1〕略；〔2〕由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由〔1〕，PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CADB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系〔如图1〕，易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1cos 3AQ PBAQ PB AQ PB <>==，．所求异面直线所成的角是1arccos3． 〔3〕由〔2〕知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，设n =〔x ，y ，z 〕是平面QAD 的一个法向量，如此00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==n n．点评：利用图形所具备的对称性，建立空间直角坐标系后，相关点与向量的坐标应容易得出．第〔3〕问也可用“等体积法〞求距离． 二、向量法解立体几何（一）知识点向量的数量积和坐标运算b a,是两个非零向量，它们的夹角为θ，如此数θcos ||||⋅⋅b a 叫做a 与b 的数量积〔或内积〕，记作b a ⋅，即.cos ||||θ⋅⋅=⋅b a b a 其几何意义是a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积. 其坐标运算是：假如),,(),,,(222111z y x b z y x a ==，如此①212121z z y y x x b a ++=⋅；②222222212121||,||z y x b z y x a ++=++=；③212121z z y y x x b a ++=⋅④222222212121212121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=<（二）例题讲解 题型：求角度相关1. 异面直线n m ,所成的角分别在直线n m ,上取定向量,,b a如此异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角〔如图1所示〕，如此.||||||cos b a b a⋅⋅=θ 2. 直线L 与平面α所成的角在L 上取定AB ，求平面α的法向量n 〔如图2所示〕，再求||||cos n AB n AB ⋅=θ如此θπβ-=2为所求的角.3． 二面角方法一：构造二面角βα--l 的两个半平面βα、的法向量21n n 、〔都取向上的方向，如图3所示〕，如此图1图①假如二面角βα--l 是“钝角型〞的如图3甲所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角的补角，即||||cos 2121n n n n ⋅=θ② 假如二面角βα--l 是“锐角型〞的如图3乙所示，那么其大小等于两法向量21n n 、的夹角，即||||cos 2121n n n n ⋅=θ.方法二：在二面角的棱l 上确定两个点B A 、，过B A 、分别在平面βα、内求出与l 垂直的向量21n n 、〔如图4所示〕，如此二面角βα--l 的大小等于向量21n n 、的夹角，即 ||||cos 2121n n n n ⋅=θ题型：求距离相关1. 异面直线n m 、的距离分别在直线n m 、上取定向量,,b a求与向量b a 、都垂直的向量n ，分别在n m 、上各取一个定点B A 、，如此异面直线n m 、的距离d 等于AB 在n 上的射影长，即||n n AB d=证明：设CD 为公垂线段，取b DB a CA==,||||)(n AB n CD n BD AB CA n CD BD AB CA CD ⋅=⋅∴⋅++=⋅∴++= ||||n n AB CD d ==∴设直线n m ,所成的角为θ，显然.||||||cos b a b a⋅⋅=θ 2. 平面外一点p 到平面α的距离n 图图4图1求平面α的法向量n ，在面内任取一定点A ，点p 到平面α的距离d 等于AP 在n 上的射影长，即||||n n AP d ⋅=.三、法向量 例题解析题型：求空间角1、运用法向量求直线和平面所成角设平面α的法向量为n =〔x, y, 1)，如此直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos(2π-θ) = |cos<AB , n >| =AB AB n n••2、运用法向量求二面角设二面角的两个面的法向量为12,n n ，如此<12,n n >或π-<12,n n >是所求角。

空间直角坐标系基础练习题本文档将为您提供一系列关于空间直角坐标系的基础练题，帮助您加深对该概念的理解和应用。

每道题目均包含问题和解答部分。

1. 问题一个物体在空间直角坐标系中的位置由三个坐标确定，分别为x、y和z坐标。

给定以下点和向量，请回答下列问题。

1.1 点A(3, 2, 5)和点B(-1, 4, 7)，求线段AB的长度。

1.2 向量v1(2, -3, 1)和向量v2(-5, 4, 0)，求向量v1与v2的点积。

1.3 向量v3(1, 2, 3)和向量v4(4, 5, 6)，求向量v3与v4的叉积。

2. 解答2.1 线段AB的长度可以通过计算两点之间的距离来求解。

利用以下公式计算距离：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)将点A(3, 2, 5)和点B(-1, 4, 7)的坐标代入公式，可得：d = sqrt((-1 - 3)^2 + (4 - 2)^2 + (7 - 5)^2)= sqrt((-4)^2 + 2^2 + 2^2)= sqrt(16 + 4 + 4)= sqrt(24)= 2*sqrt(6)所以，线段AB的长度为2*sqrt(6)。

2.2 两个向量的点积可以通过以下公式计算：v1 · v2 = v1x*v2x + v1y*v2y + v1z*v2z将向量v1(2, -3, 1)和向量v2(-5, 4, 0)的坐标代入公式，可得：v1 · v2 = 2*(-5) + (-3)*4 + 1*0= -10 - 12 + 0= -22所以，向量v1与v2的点积为-22。

2.3 两个向量的叉积可以通过以下公式计算：v3 × v4 = (v3y*v4z - v3z*v4y, v3z*v4x - v3x*v4z, v3x*v4y -v3y*v4x)将向量v3(1, 2, 3)和向量v4(4, 5, 6)的坐标代入公式，可得：v3 × v4 = (2*6 - 3*5, 3*4 - 1*6, 1*5 - 2*4)= (12 - 15, 12 - 6, 5 - 8)= (-3, 6, -3)所以，向量v3与v4的叉积为(-3, 6, -3)。

课后练习与提升1.P(1， 2， 3) ，过点 P作平面 xOy的垂线 PQ，则 Q的坐标为（）在空间直角坐标系中，点Ａ． (0， 2，0) Ｂ． (0， 2， 3) Ｃ． (10，， 3) Ｄ． (1， 2，0)2.已知点 A( 31，，4) ，则点 A 对于原点的对称点的坐标为（）Ａ． (1， 3， 4) Ｂ． ( 41，， 3)Ｃ． (3， 1， 4)Ｄ． (4， 1，3)3.坐标原点到以下各点的距离最小的是（）Ａ． (111)，，Ｂ． (1，2，2)Ｃ． (2， 3，5)Ｄ． (3，0，4)4.在空间直角坐标系O xyz 中， z 1的全部点组成的图形是．5.点 P( 3，2， 1) 对于平面 xOy 的对称点是，对于平面 yOz 的对称点是 ，对于平面 zOx 的对称点是，对于 x 轴的对称点是，对于 y 轴的对称点是，对于 z 轴的对称点是．6. 求证：以 A( 4， 1， 9) ， B( 101，， 6) ， C ( 2， 4， 3) 为极点的三角形是等腰直角三角形．7. 已知空间中两点 P(－１，２，－３ ) ，Ｑ ( ３，－２，－１） ，则 P 、 Q 两点间的距离是 （ ）A. ６ B ． 22C ． 36D ． 2 58.点 A(3，－ 2,4)对于点 (0,1，－ 3)的对称点的坐标是 ( )A ．(－ 3,4，－ 10)B ． (－ 3,2，－ 4)3，－ 1，1D ． (6，－ 5,11)C ．22 219.空间直角坐标系中，点A(－3,4,0) 和 B(x ，－ 1,6)的距离为 86，则 x 的值为 ()A ．2B ．－ 8C ． 2 或－ 8D ． 8 或－ 210.若 A(1,3，－ 2)、 B(－ 2,3,2)，则 A 、 B 两点间的距离为 ()A ． 61B ． 25C ． 5D ． 5711.在空间直角坐标系中，点P(3,4,5) 对于 yOz 平面的对称点的坐标为()A ．(－ 3,4,5)B ． (－ 3，－ 4,5)C ． (3，－ 4，－ 5)D ． (－ 3,4，－ 5)12.在空间直角坐标系中，P(2,3,4) 、 Q( － 2，－ 3，－ 4)两点的地点关系是 ()A ．对于 x 轴对称B ．对于 yOz 平面对称C ．对于坐标原点对称D ．以上都不对13.点 P(a ，b ， c)到坐标平面 xOy 的距离是 ()A ． a 2＋ b 2B ． |a|C ．|b|D ． |c|14. 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的表示图 (可当作是八个棱长为 12的小正方体聚积成的正方体 )．此中实圆 ?代表钠原子，空间圆 代表氯原子．成立空间直角坐标系 Oxyz 后，图中最上层中间的钠 原子所在地点的坐标是 ( )11A ． 2，2， 1B ． (0,0,1)C ． 1， 1， 1D ． 1，1， 122215.在空间直角坐标系中，点 A(1,2，－ 3)对于 x 轴的对称点为 ()A ．(1，－ 2，－ 3)B ． (1，－ 2,3)C ．(1,2,3)D ． (－ 1,2，－ 3)16.设 y ∈ R ，则点 P(1 ，y,2)的会合为 ()A ．垂直于 xOz 平面的一条直线B ．平行于 xOz 平面的一条直线C ．垂直于 y 轴的一个平面D ．平行于 y 轴的一个平面17. 已知 A(2,1,1) ，B(1,1,2) ， C(2,0,1) ，则以下说法中正确的选项是( )A ．A 、B 、C 三点能够组成直角三角形 B ．A 、 B 、 C 三点能够组成锐角三角形 C ．A 、 B 、 C 三点能够组成钝角三角形D ．A 、 B 、 C 三点不可以组成任何三角形18.已知 A(x,5－ x,2x － 1)， B(1， x ＋2,2－ x)，当 |AB |取最小值时， x 的值为 ()A ．19B ．－ 8C ． 8D ． 197 7 14219.到点 A(－ 1，－ 1，－ 1)， B(1,1,1) 的距离相等的点C(x， y， z)的坐标知足 ()A ．x＋ y＋ z＝－ 1B． x＋ y＋ z＝0C．x＋ y＋ z＝ 1D． x＋ y＋ z＝420.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D (0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为 ()A ．9B．29C． 5D． 2621.点 P(x， y， z)知足x－ 1 2＋ y－1 2＋ z＋ 1 2＝ 2，则点 P 在()A ．以点 (1,1，－ 1)为球心，以2为半径的球面上B ．以点 (1,1，－ 1)为中心，以2为棱长的正方体内C．以点 (1,1，－ 1)为球心，以 2 为半径的球面上D ．没法确立22. 点在x轴上的射影和在平面上的射影点分别为（）.A.、B.、C.、D.、23. 点分别在面（）.A.上 B .上C.上D.上24. 在空间直角坐标系中，以下说法中：①在x 轴上的点的坐标必定是；②在平面上的点的坐标必定可写成；③在 z 轴上的点的坐标可记作；④在平面上的点的坐标是.此中正确说法的序号挨次是（）.A.①②B.②③C.①④D.②③④25、连结平面上两点、的线段的中点 M的坐标为，那么，已知空间中两点、，线段的中点 M的坐标为.26、点对于原点对称的点的坐标是.27、连结平面上两点P1(x1，y1)、P2(x2， y2)的线段 P1P2的中点 M 的坐标为121＋ y2x＋ x，y，那么，已知22空间中两点 P1(x1， y1，z1)、 P2(x2， y2， z2)，线段 P1P2的中点 M 的坐标为 ____________________．28、在空间直角坐标系中，点P 的坐标为 (1，2，3)，过点 P 作 yOz 平面的垂线PQ，则垂足Q 的坐标是______．329、x 轴上的点的坐标必定是(0，b，c) ；②在 yOz 平面上的点的在空间直角坐标系中，以下说法中：①在坐标必定可写成(0，b，c)；③在 z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c)；④在 xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c)．其中正确说法的序号是________．30、在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的极点A(3，－1,2)，此中心M的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为 ________．31、已知P 3，5， z 到直线 AB 中点的距离为3，此中 A(3,5，－ 7)， B(－2,4,3) ，则 z＝ ________．2232、在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2) ，B(1，－ 3,1)，点 M 在 y 轴上，且M 到 A 与到 B 的距离相等，则M 的坐标是 ________．33. 在空间直角坐标系Oxyz 中，点 B 是点 A(1,2,3) 在座标平面yOz 内的正射影，则OB＝ ______．34.已知点 A(－ 2,3,4) ，在 y 轴上有一点B，且 |AB |＝ 3 5，则点 B 的坐标为 ________．4。