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二十七章相似
相似三角形
1
回顾与反思
判定两个三角形相似的方法：
1.定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三 角形相似。 2.平行三角形一边的直线和其他两边相交(或两边的延 长线),所构成的三角形与原三角形相似. 3.三边对应成比例的两个三角形相似。 4.两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 两角对应相等的两个三角形相似。
(2) BC是圆O的切线，切点为C.
(3) 移动点A,使AC成为⊙O的直径,你还能 得到哪些结论?
8
BF=4
结论：1、⊿ACF∽ ⊿ABC∽ ⊿CBF 2、CD²=AD×BD BC²=BD×AB AC²=AD×AB
9
用一用
（1）请在x轴上找一点D，使得⊿BDA与⊿BAC相似 （不包含全等），并求出点D的坐标；
C
DE∥BC
C
(5)
BD ∠BAD=∠C
C
A
DB
∠ACB=90°，
AB2=BD·BC
CD⊥AB
B
C
E
(6)
D
A
C B ∠D=∠C
12
问题：
如图，在正方形ABCD中,E为BC上任意一点 （与B、C不重合）∠AEF=90°.观察图形：
（（12））若△EA为BEBC与的△中E点CF，是连否结相AF似,图？中并有证哪明些你相的似结论。
即：
m 5
3 13 m 4
3 13
4
解得： m
25 9
有公共角∠B, “A”型相似
(2)当PQ⊥BD时，⊿BPQ∽ ⊿BDA
则 BP BQ
BD 即：
3
BA
m 13 m
3
13
4 5
m
4
解得： m 125
36
11
相似的基本图形
(1)
A
D
E
E
D
(2)
A
A (3)
DE
B
C
DE∥BC
A (4)
B
（2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上 的动点，连结PQ，设BP＝DQ＝m，
问：是否存在这样的m，使得⊿BPQ与⊿BDA相似？ 如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由。
y
B(-3,0) O
tan∠ABC=
A
D
C(1,0) x
3 4
（1）∵⊿BDA∽⊿BAC
∴∠CAD＝∠ABC
3
∴tan∠CAD＝∠ABC= ∵BC=4
E的则、三EA角F、=形_B_相为5_似_顶_，点_ 则的C三E角=_形__和5中_.6以寻数_或_找学E_2、或基思1C本想2、型F为顶点
D
A
A
F
C
EE
F
C B
E
E
B
16
2.已知：D为BC上一点， ∠B= ∠C= ∠EDF=60°, BE=6 , CD=3 , CF=4 ,
则AF=___7____
B
E
C
A
A
A
FF F
α66α00°°
BBB
αα6600°°
EEE
6α6α00°°
CCC
15
变1式.矩：形.直AB角C梯D中形，AB把CDFA中沿,∠ABF＝对9折0°，,C使BD=与14， CCFB=4边, 上AB的=点6, EC重F∥合A，B,若在A善注边D于意C=在分B10上复类, A找杂 讨B图 论一=形 的点8,E,使以
三角形？△ABE∽ △ECF ∽ △AEF
A
D
A
D
F
B
E
C
F
B
E
C
14
A
△ABE∽ △ECF（（2）1）点点EE为为BBCC上上任任意意一一点点，
若若∠∠BB==∠∠CC==α6,0∠°A,E∠FA=E∠F= F C∠,则C△,则A△BEAB与E△与△ECEFC的F关的
系关还系成还立成吗立？吗？说明理由
4
∴AC=BC·tan ∠ABC=3 ∴CD=AC·tan ∠CAD=3×
3 =
4
9 4
∴OD=OC+CD=1+ 9 = 13 44
∴D( 13,0)
10
4
用一用
y
PP
B(-3,0) Q O Q
tan∠ABC=
A
D
C(1,0) x
3 4
(1)当PQ∥AD时，⊿BPQ∽
⊿BAD BP BQ
则 BA BD
存在，求出点E的坐标；若不存在，
请说明理由.
18
相似基本图形 的运用
方程思想 整体思想 转化思想 分类思想
已知相似图形直接求 构造相似图形间接求
学会从复杂图形中分解出基本图形
19
A
D
例1如图，梯形ABCD中,AD∥BC，
∠ABC=90°,AD=9,BC=12，AB=10，
在线段BC上任取一点P，作射线 PE⊥PD，与线段AB交于点E.
E
（1）试确定CP=3时点E的位置； B
PH C
（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关 于自过变D量作xD的H⊥函B数C于关H系，式，并求出自 变量由x的题取意值，范得围CH.=3,
y 3又∴从P而Cx与P11E=0H3与1x重2B2合友重,情合23提x醒：158要善于构造基本图形，对你
的解题会起到事半功倍的效果！ 20
5
基本图形2
“A”字型 当∠ADE＝ ∠C 时， ⊿ADE∽ ⊿ACB.
6
基本图形2
A F
B
C
添加一个条件使得⊿⊿ABCCFF∽∽⊿⊿ABBACC..
பைடு நூலகம்
7
基本图形2
A AA
当∠BCF＝ ∠A 时， ⊿BCF∽ ⊿BAC.
F FF
.O
BB
CC
(1) 若则B⊿CA=C6F,∽AF⊿=A5B,你C∽能⊿求C出BBFF的长吗?
(2)若AE:AC=1:2,则AC:DH=2：__3_____;
若⊿ABC的周长为4,则⊿BDH的周长为_6____.
若⊿ABC的面积为4,则⊿BDH的面积为__9___.
4
相似三角形
E
E
F
M
F N
G
G
若G为BC中点,EG交AB于点F, 且EF:FG=2:3,
试求AF:FB的值.
添平行线构造相似三角形的基本图形。
2
回顾与反思
相似三角形的性质： 1.相似三角形对应角相等，对应边成比例。 2 .相似三角形对应高线比，对应中线比，对应角平分线 比等于相似比。 3.相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相 似比的平方。
3
练一练
基本图形1
E M
DN
平行法
M
N
H
过D作DH∥EC交BC延长线于点 H (1)试找出图中的相似三角形? ⊿ADE∽ ⊿ABC ∽ ⊿DBH
A
E F
B
D
C
17
如图，已知抛物线与x轴交于A、B
X=4
两点，与y轴交于C点,且A(2,0),C(0,3) y
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线上有一点P，满足 ∠PBC=90°，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，问在y轴
3
C
2
OA
P
6
B
Qx
上是否存在点E，使得以A、O、E
为顶点的三角形与⊿PBC相似？若
