1.1 集合的概念1．已知集合{}220A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为________2．已知集合{}|60A x x a =+>,若1A ∈，则实数a 的取值范围为__________． 3．设A 、B 为两个实数集，定义集合1212,{|,}x x x A x A B x x B +==+∈∈，若{1,2,3}A =，{2,3}B =，则A B +中元素的个数为________．4．集合{}22,a a a -中实数a 的取值范围是________5．设,,x y z 都是非零实数，则可用列举法将x y z xy xyzx y z xy xyz ++++的所有可能值组成的集合表示为________.6．集合{}|23,x x x Z -<<∈可用列举法表示为______.7．设集合{}|1A x Q x =∈>-_____________A （用适当符号填空）. 8．若集合2{|10,}A x ax x x =++=∈R 中仅含有一个元素，则实数a 的值是________. 9．用描述法表示被4除余3的正整数集合：______．10．设M 是由满足下列性质的函数()f x 构成的集合：在定义域内存在0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立，已知下列函数：（1）()1f x x=；（2）()2xf x =；（3）()()2lg 2f x x =+；（4）()cos f x x π=，其中属于集合M 的函数是____________.（写出所有满足要求的函数的序号） 11．已知关于x 的不等式250ax x a-≤-的解集为M .若3,5M M ∈∉,则实数a 的取值范围是__________．12．设集合{}24,21,A a a =--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9，则实数a 的值为______．13．若a∈1，a 2﹣2a+2}，则实数a 的值为___________.14．用描述法表示“平面直角坐标系内第四象限的点组成的集合”：_______. 15．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若B A ⊆，则实数m 的取值范围为________．16．设集合{}2|30A x x x a =-+=，若4A ∈，则集合A 用列举法表示为________.17．集合{}|14,A x x x N =-≤<∈可用列举法表示为__________. 18．集合{}|1A x N x =∈≤，用列举法表示为___________.19．设集合A 是由1，k 2为元素构成的集合，则实数k 的取值范围是________．20．如果具有下述性质的x 都是集合M 中的元素,其中x=a+b 2(a,b∈Q),那么下列元素不属于集合M 的个数是_____.①x=0;②x=2;③x=3-22π;④x=13-22.21．已知集合4{|}A m y N m N m==∈∈，，用列举法表示集合A=______ 22．已知集合{}112A x x =-<-<，{}3B x x =∈<Z ，则A B =______． 23．已知集合_________．24．(){,|02x y x ≤≤，02y ≤<，x ，}y N ∈中共有__个元素． 25．集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 26．集合2{|(6)20}A x ax a x =+-+=是单元素集合，则实数a =________27．实数系的结构图如图所示，其中1，2，3三个方格中的内容依次是________，________，________.28．设集合{}222(,)|2(1)2,,A x y m x y m x y R =<-+<∈，{(,)|2,,}B x y m x y m x y R =++∈，若A B ⋂≠∅，则实数m 的取值范围是_________.29．已知集合A ＝{}20,21,a a -，B ＝{5,1,9}a a --，且9∈(A∩B)，则a 的值为________．30．满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,M a a a a a =的集合M 为______．（只需要写出一个满足条件的集合即可）参考答案1．{}1,0,1-解析：由集合A 仅有两个子集，说明集合中元素只有一个，同理讨论二次项系数与0的关系，结合根与系数得到关系求m ． 详解：由题意，①当0m =时，方程为20x -=，解得0x =，满足{}0A =仅有两个子集； ②当0m ≠时，方程有两个相等实根，所以2440m ∆=-=，解得1m =±； 所以实数m 的取值构成的集合为：{}0,1,1-． 故答案为：{}0,1,1-． 点睛：本题考查了集合的子集与真子集，考查学生分类讨论思想，属于基础题．2．()6,-+∞解析：将1x =代入不等式即可求得a 的范围. 详解：1A ∈ 60a ∴+>，解得：6a >- a ∴的取值范围为()6,-+∞故答案为：()6,-+∞ 点睛：本题考查根据元素与集合关系求解参数范围问题，属于基础题. 3．4解析：依次讨论11x =,12x =,13x =时A B +中对应的元素,可得{3,4,5,6}A B +=,即可得到元素个数 详解：解:当11x =时,12123x x +=+=或12134x x +=+=； 当12x =时,12224x x +=+=或12235x x +=+=； 当13x =时,12325x x +=+=或12336x x +=+= 所以{3,4,5,6}A B +=,有4个元素 故答案为4 点睛：本题考查元素的个数,考查列举法表示集合,考查元素的互异性4．{|0a a ≠且}3a ≠解析：由22a a a ≠-得结论． 详解：由题意22a a a ≠-，0a ≠且3a ≠， 故答案为{|0a a ≠且}3a ≠. 点睛：本题考查集合中元素的性质：互异性，属于基础题．5．{}5,1,1,3--解析：由题意分类讨论实数x,y,z 的符号列表求解所给式子的值，然后确定其值组成的集合即可. 详解：分类讨论x,y,z 的符号列表求值如下：据此可得：x y z xy xyz ++++的所有可能值组成的集合表示为{}5,1,1,3--.故答案为：{}5,1,1,3--． 点睛：本题主要考查分类讨论的数学思想，集合中元素的互异性等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．1,0,1,2解析：直接利用列举法的定义解答即可. 详解：集合{}|23,x x x Z -<<∈可用列举法表示为1,0,1,2. 故答案为1,0,1,2 点睛：本题主要考查集合的表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7．∉解析：根据描述法集合的表示，得到集合A 表示由大于1-的有理数构成的集合，即可求解. 详解：由题意知，集合A 表示由大于1-的有理数构成的集合，A . 故答案为∉. 点睛：本题主要考查了集合的表示方法，以及元素与集合的关系的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8．0或14解析：分类讨论0a =和0a ≠两种情况，再根据集合中只含有一个元素进行求解a 的值. 详解：依题意得方程210ax x ++=有一个解或有两个相等的解，当0a =时，方程210ax x ++=即为10x +=，有一个解，符合题意；当0a ≠时，由140a ∆=-=时一元二次方程有两个相等的实数根，解得14a =.综上所述，a 的值是0或14. 故答案为：0或14. 点睛：本题考查了分类讨论思想，由集合中元素的个数求解参数的问题，属于一般难度的题.9．x|x ＝4n+3，n∈N}解析：设该数为x ，则该数x 满足x ＝4n+3，n∈N；再写成集合的形式. 详解：设该数为x ，则该数x 满足x ＝4n+3，n∈N；∴所求的正整数集合为x|x ＝4n+3，n∈N}． 故答案为：x|x ＝4n+3，n∈N}． 点睛：本题主要考查集合的表示方法，属于基础题.10．（2）（4）解析：根据集合M 的定义，可根据函数的解析式，()()()0011f x f x f +=+构造方程，若方程有根，说明函数符合集合M 的定义，若方程无根，说明函数不符号集合M 的定义，由此对四个函数逐一进行判断，即可得到答案． 详解：解：（1）中，若存在x ，使()()()11f x f x f +=+ 则1111x x=++ 即210x x ++=，△1430=-=-<，故方程无解．即1()f x M x=∉ （2）中，存在1x =，使()1(1)2()1x f x f x f ++==+22x =+成立，即()2x f x M=∈；（3）中，若存在x ，使()()()11f x f x f +=+ 则22[(1)2](2)3lg x lg x lg ++=++ 即22230x x -+=，△424200=-=-<，故方程无解．即2()(2)f x lg x M =+∉（4）存在13x =，使()()(1)cos (1)1f x x f x f π+=+=+cos cos x ππ=+成立，即()cos f x x M π=∈； 故答案为：（2）（4） 点睛：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，及其它方程的解法，掌握判断元素与集合关系的方法，即元素是否满足集合的性质是解答本题的关键．11．513a <≤或925a <≤ 解析：根据题意，分析可得359a a -≤-0和5525a a--＞0或25﹣a ＝0，联立两个式子解可得答案． 详解： 若3∈M，则有359a a-≤-0，① 若5∉M ，则有5525a a--＞0或25﹣a ＝0②联立①②可得：513a <≤或925a <≤； 故答案为513a <≤或925a <≤． 点睛：本题考查分式不等式的解法，关键是搞清5∉M 包含两种情况，属于易错题． 12．3-解析：先通过已知可得219a -=或29a =，解方程求出a ，然后带入集合验证，满足互异性即可. 详解：∵{}24,21,A a a =--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9，∴219a -=或29a =．当219a -=时，5a =，此时{}4,9,25A =-，{}9,0,4B =-，A ，B 中还有公共元素4-，不符合题意；当29a =时，3a =±，若3a =，{}9,2,2B =--，集合B 违背互异性． 若3,{4,7,9},{9,8,4},{9}a A B A B =-=--=-=， ∴3a =-． 故答案为：3-． 点睛：本题考查元素与集合的关系，以及集合中元素的互异性，是基础题. 13．2解析：利用集合的互异性，分类讨论即可求解 详解：因为a∈1，a 2﹣2a+2}，则：a=1或a=a 2﹣2a+2，当a=1时：a 2﹣2a+2=1，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当a≠1时：a=a 2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2； 故答案为：2 点睛：本题考查集合的互异性问题，主要考查学生的分类讨论思想，属于基础题14．(){,x y |0x >，}0y <解析：根据已知中“平面直角坐标系第四象限内的所有点”构成的集合，首先可得这是一个点集，用(),x y 表示，结合第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0，即可得到答案． 详解：解：∵第四象限的点横坐标大于0，纵坐标小于0，则描述法表示“平面直角坐标系内第四象限的点”构成的集合为(){,x y |0x >，}0y < 故答案为(){,x y |0x >，}0y <． 点睛：本题考查的知识点是集合的表示法，处理本类问题的关键有两个：一是元素是点集还是数集，二是元素满足的性质．15．(,3]-∞解析：由B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况分别讨论，进而建立不等关系，可求出答案. 详解：当121m m +>-，即2m <时，此时B =∅，满足B A ⊆； 当121m m +≤-，即2m ≥时，此时B ≠∅，由B A ⊆，可得12215m m +≥-⎧⎨-≤⎩，解得23m ≤≤.综上，实数m 的取值范围为(,3]-∞. 故答案为：(,3]-∞ 点睛：本题考查根据集合的包含关系求参数的范围，其中的易漏点在于漏掉考虑子集为空集的情况，易错点在于弄错不等关系，结合数轴依次分类讨论即可避免此类问题.16．{}1,4-解析：先将4代入，解出a 的值，然后求出方程的另外一个根并写出集合A . 详解：∵4A ∈，∴16120a -+=，∴4a =-，∴{}{}2|3401,4A x x x =--==-.故答案为：{}1,4-. 点睛：本题考查根据元素与集合的关系求解参数的值，属于简单题.17．0,1,2,3}解析：根据集合的表示确定集合中的元素后用列举法写出． 详解：由题意{0,1,2,3}A =．故答案为：{0,1,2,3}．18．{}0,1解析：解1x ≤得11x -≤≤.又x N ∈，所以0x =或1. 用列举法表示为：{}0,119．k≠±1 详解：∵1∈A，k 2∈A，结合集合中元素的互异性可知k 2≠1，解得k≠±1.点睛: 利用元素的性质求参数的方法(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．20．1解析：①当a=b=0时,x=0,①符合;②当a=0,b=1时a=3,b=-2π时,x=3-∉M,③不符合;④当a=3,b=2时=,④符合. 不属于集合M 的个数是121．1，2，4}解析：利用列举法能求出结果． 详解：解：∵集合4{|,}A m y N m N m==∈∈ ， ∴A=1，2，4}． 故答案为：1，2，4}． 点睛：本题考查集合的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22．{}0,1解析：由不等式112x -<-<求得集合A ，再用列举法表示集合B ，从而得解. 详解：{}{}11212A x x x x =-<-<=-<<，{}{}32,1,0,1,2,3,B x x =∈<=---Z ，则{}0,1A B =．故填：{}0,1. 点睛：本题考查集合的交集运算，属于基础题.23．详解： 试题分析：当，解得，此时，不满足集合的互异性，所以舍去，当时，（舍）或，当时，，满足集合的互异性，故填：. 考点：集合与元素24．6解析：根据集合的特征，利用列举法一一列举出来即可得解. 详解：(){,|02x y x ≤≤，02y ≤<，x ，}{(0,0)y N ∈=，(0,1)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，}(2,1)，故集合中共有6个元素. 故答案为：6.25．{3,0,1,2,4,5,6,9}- 解析：由已知可得63Z x ∈-，则636x -≤-≤，解得39x -≤≤且x ∈Z ，结合题意，逐个验证，即可求解. 详解：由题意，集合6|3P x Z x ⎧=∈⎨-⎩且}a Z ∈，可得63Z x ∈-，则636x -≤-≤， 解得39x -≤≤且x ∈Z ， 当3x =-时，6133Z =-∈--，满足题意； 当2x =-时，66235Z =-∉--，不满足题意； 当1x =-时，63132Z =-∉--，不满足题意； 当0x =时，6203Z =-∈-，满足题意； 当1x =时，6313Z =-∈-，满足题意； 当2x =时，6623Z =-∈-，满足题意；当3x =时，633-，此时分母为零，不满足题意； 当4x =时，6643Z =∈-，满足题意； 当5x =时，6353Z =∈-，满足题意； 当6x =时，6263Z =∈-，满足题意； 当7x =时，63732Z =∉-，不满足题意； 当8x =时，66835Z =∉-，不满足题意； 当9x =时，6193Z =∈-，满足题意； 综上可得，集合P ={3,0,1,2,4,5,6,9}-.故答案为：{3,0,1,2,4,5,6,9}-.26．0，2或18解析：集合A 是单元素集合，即方程只有一个根，分0a =和0a ≠两种情况，求出实数a 即可．详解：当0a =时，13A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意；当0a ≠时，令()2680a a ∆=--=，即220360a a -+=，解得2a =或18故答案为：0，2或1827．有理数 整数 零解析：根据已知条件，本题需要填写结构图中的空余内容，需要明确图中的从属关系，因为实数分为有理数和无理数，有理数又分为整数和分数，整数又分为正整数、零、负整数，则本题答案可知.详解：根据所学知识可知，实数包括有理数和无理数，而有理数包括整数和分数，整数又可分为正整数、零和负整数.故答案为：有理数；整数；零.点睛：本题考查的是结构图的相关知识，解答本题的关键是明确实数的基本知识，属于基础题.28．1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭ 解析：显然当222m m 时A =∅，不满足A B ⋂≠∅；再分类讨论当0m <时，集合A 表示圆222(1)2x y m -+=内部（不包括边界）所有的点，由A B ⋂≠∅，可得圆心(1,0)到直线0x y m +-=或直线20x y m +--=的距离小于半径，同理当1m 的情况，最后由点到直线的距离公式分别构建不等式求得解集即可.详解： 由题意知，当222m m ，即[0,1]m ∈时集合A =∅，不满足A B ⋂≠∅；当0m <时，集合A 表示圆222(1)2x y m -+=内部（不包括边界）所有的点，由A B ⋂≠∅，可得圆心(1,0)到直线0x y m +-=或直线20x y m +--=的距离小于半径，<<，由于0m <，解得13m <-； 当1m时，集合A 表示圆环内部（不包括边界）所有的点，由A B ⋂≠∅，可得(1,0)到直线0x y m +-=或直线20x y m +--=，<<， 由于1m ，解得1m .综上所述，实数m 的取值范围为1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系，考查集合的交运算，意在考查考生的逻辑推理能力、数形结合能力、运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于中档题.29．5或－3解析：根据元素与集合关系列方程，再代入验证，即得结果.详解：因为9∈(A∩B)，所以9∈A，即2a －1＝9或a 2＝9，解得a ＝5或a ＝±3.当a ＝5时，A ＝{0,9,25}，B ＝{0,4,9}-，A∩B＝{0,9}，9∈(A∩B)，符合题意；当a ＝3时，A ＝{0,5,9}，a －5＝1－a ＝－2，B 中有元素重复，不符合题意，舍去； 当a ＝－3时，A ＝{0,7,9}-，B ＝{8,4,9}-，A∩B＝{9}，9∈(A∩B)，符合题意，综上所述，a ＝5或a ＝－3.故答案为：5或－3点睛：本题考查根据元素与集合关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.30．12{,}a a解析：由交集的结果可知123,,a M a M a M ∈∈∉，结合已知条件即可的集合M.详解：由题意知：123,,a M a M a M ∈∈∉，又{}1234,,,M a a a a ⊆，∴当4a M ∉时，12{,}M a a =；当4a M ∈时，124{,,}M a a a =.∴集合M 为可以为12{,}a a 或124{,,}a a a .故答案为：12{,}a a .点睛：本题考查了元素与集合的关系，由交集的结果判断元素与集合关系确定集合，属于简单题.。
