第十章 曲线积分与曲面积分 例1计算曲线积分
⎰
AB
xydl ，弧AB 为圆周222R y x =+在第二象限的部
分。
解：法1取x 为积分变量，积分路径弧AB 是圆周22x R y -=
，
)0(≤≤-x R ，于是得
dx x
R R dx y dl 2
2
2
1-=
'+=，故
23
222
2
R xdx R dx x
R R
x R x xydl R R AB -==-⋅-=⎰⎰⎰--。 法2 取y 为积分变量，积分路径弧AB 是圆周22y R x --=， )0(R y ≤≤，于是dy y
R R dy x dl 2
2
21-=
'+=，故
2
)(3
2
2
2
2R ydy R dy y
R R y R y xydl R
R
AB
-=-=-⋅
--=⎰
⎰⎰
。
法3 将弧AB 化为参数方程 )2
(sin cos πθπ
θθ≤≤ ⎩⎨
⎧==R y R x ，θRd dy dx dl =+=22)()(，
⎰
⎰
⎰⎰
-===ππ
ππ
ππ
θ
θθθθθθθ2
3
2
3
2
cos cos sin cos sin cos d R
d R
Rd R R xydl AB
2]2cos [3
2
23
R R -
=-=ππθ。 例2计算
⎰
L
dl xy ||，L 是圆周222R y x =+的闭路。
解：由对称性，设1L 是第一象限的部分，则
320
32sin cos 44||1
R tdt t R xydl dl xy L L
===⎰⎰⎰
π
例3计算
⎰++ABCDA y x dy
dx ||||，ABCDA 是以A(1,0),B(0,1),C(-1,0),D(0,-1)为顶
点的正方形。（1|||:|=+y x ABCDA ）
解：在弧AB 上，y=1—x,x 从1变到0；在弧BC 上，y=1+x,x 从0变到 —1；
在弧CD 上，y=—1—x,x 从—1变到0；在弧DA 上，y=—1+x,x 从0变到
1； 于是
22)]
1([2)]1([)
1(2)1(1
10
1001100
1=+=+--++---+--+++-+-+-=+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
---dx dx x x dx x x dx dx x x dx x x dx dx DA CD BC AB ABCDA
例4计算
⎰+--+L
y
x dy
y x dx y x 22)()(，其中L 是原点为中心的单位圆，沿逆时针方向。 解：L 的参数方程为
)20(sin cos π≤≤ ⎩
⎨⎧==t t y t
x ，故
ππ2)1()()(202
2-=-=+--+⎰⎰dt y x dy
y x dx y x L 。 例5计算
⎰-++L
dy y x dx y x )()
(222
，其中L 是由A （1,1）、B （3,2）
C （3,5）三点构成三角形的边界，沿正向。
解：
y y
P
x Q 2-=∂∂-∂∂，由格林公式得 ⎰⎰⎰-=-++D L dxdy y dy y x dx y x )2()()(2
2
2
，⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+≤≤122
1
31:x y x x D 。
16
2)2()()(31
1
22
1222-=-=-=-++⎰⎰⎰⎰⎰
-+x x D
L
ydy
dx dxdy y dy y x dx y x
例6计算
⎰-++L
y dy ye x
dx x x xy )()sin 32(2
，其中L 是沿摆线
t y t t x cos 1,sin -=-=，从点（0,0）到点)2,(π的一段。
解：可以验证：
x y
P
x Q 2=∂∂=∂∂，故积分与路径无关，更换积分路径L 为折线OAB,以简化计算。因为
⎰
⎰
⎰
⎰
+==AB
OA
OAB
L
在OA 上，y=0,dy=0,x 从0变到π， 在AB 上，0,==dx x π，y 从0变到2, 于是
ππ
3sin 30
==⎰⎰
xdx x OA
，12)(222
2--=-=⎰⎰
e dy ye y AB
ππ。
故所求积分为
123)()sin 32(222--+=-++⎰
e dy ye x dx x x xy L
y ππ。
例7计算
⎰+--+L
y x dy
y x dx y x 2
2)()(，其中L 是： （1）圆周1)1()1(2
2
=-+-y x ；
（2）包围原点内的任意正向闭曲线。
解：因为有任意闭路积分问题，先验积分是否与路径无关。
