倾斜角与斜率
[学习目标] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.2.掌握求直线斜率的两种方法.3.了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素.
知识点一 直线的倾斜角 1.直线倾斜角的定义
当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角. 2.直线倾斜角的取值范围
直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x 轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. 思考 当一条直线的倾斜角为0°时，此时这条直线一定与x 轴平行吗？ 答 不一定.也可能与x 轴重合. 知识点二 直线的斜率 1.直线斜率的定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k 表示，即k ＝tan α. 思考 所有直线都有斜率吗？若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角为多少？ 答 不是.若直线没有斜率，那么这条直线的倾斜角应为90°. 2.倾斜角α与斜率k 的关系
知识点三 直线斜率的坐标公式
经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式是k ＝y 2－y 1x 2－x 1
.
思考 在同一直线(与x 轴不重合)上任意取不同的两点的坐标计算的斜率都相等吗？ 答 相等.对于一条直线来说其斜率是一个定值，与所选择点的位置无关，所以取任意不同的两点的坐标计算同一条直线的斜率一定相等.
题型一 直线的倾斜角
例1设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为()
A.α＋45°
B.α－135°
C.135°－α
D.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
答案 D
解析根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，
不合题意.通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.
跟踪训练1给出下列命题：
①任何一条直线都有惟一的倾斜角；
②一条直线的倾斜角可以为－30°；
③倾斜角为0°的直线只有一条，即x轴；
④按照倾斜角的概念，直线的倾斜角α的集合{α|0°≤α＜180°}与直线集合建立了一一映射. 其中正确命题的个数是()
A.1
B.2
C.3
D.4
答案 A
解析
题型二直线的斜率
例2已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4,2)，B(1,3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.
解 根据题中的条件可画出图形，如图所示， 又可得直线P A 的斜率k P A ＝－3
2，
直线PB 的斜率k PB ＝4
3
，
结合图形可知当直线l 由PB 变化到与y 轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞，
当直线l 由与y 轴平行的位置变化到P A 位置时，它的倾斜角由90°增大到P A 的倾斜角，故斜率的变化范围是⎝
⎛⎦⎤－∞，－3
2. 综上可知，直线l 的斜率的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫4
3，＋∞.
跟踪训练2 已知A (3,3)，B (－4,2)，C (0，－2). (1)求直线AB 和AC 的斜率；
(2)当点D 在线段BC (包括端点)上移动时，求直线AD 的斜率的变化范围. 解 (1)由斜率公式，得直线AB 的斜率k AB ＝2－3－4－3＝1
7
； 直线AC 的斜率k AC ＝－2－30－3＝5
3
.
故直线AB 的斜率为17，直线AC 的斜率为5
3
.
(2)如图，当点D 由点B 运动到点C 时，直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ， 所以直线AD 的斜率的变化范围是⎣⎡⎦⎤
17，53.
题型三 斜率公式的应用
例3 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y
x 的最大值和最小值.
解 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知
点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为(2,4)，(3,2).
由于y
x 的几何意义是直线OP 的斜率，
且k OA ＝2，k OB ＝2
3
，
所以可求得y x 的最大值为2，最小值为2
3.
跟踪训练3 已知实数x ，y 满足y ＝x 2－x ＋2(－1≤x ≤1)，试求y ＋3
x ＋2的最大值和最小值.
解 由y ＋3x ＋2的几何意义可知，它表示经过定点P (－2，－3)与曲线段AB
上任一点(x ，y )的直线的斜率k ，由图可知k P A ≤k ≤k PB ，由已知可得A (1,2)，B (－1,4). 则k P A ＝2－(－3)1－(－2)＝5
3
，
k PB ＝
4－(－3)
－1－(－2)
＝7.
∴53≤k ≤7，∴y ＋3x ＋2的最大值为7，最小值为5
3.
分类讨论思想
例4 设直线l 过点A (6,12)，B (m,13)，求直线l 的斜率k 及倾斜角α的取值范围.
分析 直线的斜率存在时，首先由斜率公式求斜率k ，然后由k 确定倾斜角α的取值范围；直线的斜率不存在时，可直接下结论.
解 (1)当m ＝6时，直线l 与x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角α＝90°. (2)当m ≠6时，k ＝13－12m －6＝1m －6.
①当m ＞6时，1
m －6
＞0，即k ＞0，
所以直线l 的倾斜角的取值范围是0°＜α＜90°； ②当m ＜6时，1m －6
＜0，即k ＜0，
所以直线l 的倾斜角的取值范围是90°＜α＜180°.
1.下列命题正确的是( )
A.两条不重合的直线，如果它们的倾斜角相等，那么这两条直线平行
B.若一条直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)
C.若α，2α，3α分别为三条直线的倾斜角，则α的度数可以大于60°
D.若α是直线l 的倾斜角，且tan α＝
2
2
，则α＝45° 2.如图，直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )
A.k 1＜k 2＜k 3
B.k 3＜k 1＜k 2
C.k 3＜k 2＜k 1
D.k 1＜k 3＜k 2 3.若－π
2＜α＜0，则经过P 1(0，cos α)，P 2(sin α，0)两点的直线的倾斜角为( )
A.α
B.－α
C.π
2
＋α D.π＋α
4.直线l 经过第二、四象限，则直线l 的倾斜角范围是( ) A.0°≤α<90° B.90°≤α<180° C.90°<α<180°
D.0°<α<180°
5.已知点A (1,2)，若在坐标轴上有一点P ，使直线P A 的倾斜角为135°，则点P 的坐标为 .
一、选择题
1.下列说法正确的是( )
A.直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角
B.直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤180°
C.和x 轴平行的直线，它的倾斜角为180°
D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率 2.斜率为
3
3
的直线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.150°
3.若过点A (a ，－1)和B (2，a )的直线的斜率为1
2，则a 的值为( )
A.4
B.0
C.－4
D.1
4.直线l 过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l 的倾斜角α的取值范围是( ) A.0°≤α≤90°
B.90°≤α<180°
C.90°≤α<180°或α＝0°
D.90°≤α≤135°
5.斜率为2的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为( ) A.4，0 B.－4，－3 C.4，－3 D.－4，3
6.若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角为45°，则y 的值为( ) A.－
32 B.3
2
C.－1
D.1 7.设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( ) A.[0，π) B.⎣⎡⎭⎫π4，π2 C.⎣⎡⎦⎤π4，3π4 D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π4，3π
4 二、填空题
8.若直线AB 与y 轴的夹角为60°，则直线AB 的倾斜角为 ，斜率为 . 9.已知点P (3,2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为 . 10.若经过点P (1－a,1＋a )和Q (3,2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围为 . 11.直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围是 . 三、解答题
12.已知A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)， (1)求直线AB 和AC 的斜率；
(2)若点D 在线段AB (包括端点)上移动时，求直线CD 的斜率的变化范围.
13.光线从点A (2,1)射到y 轴上的点Q ，经y 轴反射后过点B (4,3)，试求点Q 的坐标及入射光线的斜率.
当堂检测答案
1.答案 A
解析 ∵α∈[0,180°)，∴sin α∈[0,1]，B 错；当α＝60°时，3α＝180°，∴C 错；tan 45°＝1，∴D 错. 2.答案 D
解析 由图可知，直线l 2，l 3的倾斜角为锐角，直线l 1的倾斜角为钝角，故k 1最小.直线l 2的倾斜角大于直线l 3的倾斜角，由正切函数在⎣⎡⎭⎫0，π
2内单调递增，得k 2＞k 3.故k 1＜k 3＜k 2. 3.答案 C
解析 由斜率的计算公式，得k ＝0－cos αsin α－0＝－cot α＝tan ⎝⎛⎭⎫π2＋α，而π
2＋α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 4.答案 C
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l 经过第二、四象限，所以直线l 的倾斜角范围是90°<α<180°. 5.答案 (3,0)或(0,3)
解析 由题意知k P A ＝－1，若P 点在x 轴上，则设P (m,0)，则0－2
m －1＝－1，解得m ＝3；若P
在y 轴上，
则设P (0，n )，则n －2
0－1＝－1，解得n ＝3；故P 点的坐标为(3,0)或(0,3).
课时精练答案
一、选择题 1.答案 D
解析 直线的倾斜角为直线向上的方向与x 轴的正方向所成的角，故A 不正确；直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，故B 不正确；和x 轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故C 不正确；只有D 正确. 2.答案 A
解析 设直线的倾斜角为α，由题意，得tan α＝3
3
，所以α＝30°，故选A. 3.答案 B
解析 k AB ＝a ＋12－a ＝12，解得a ＝0.
4.答案 C
解析 倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x 轴和y 轴.
5.答案 C
解析 由题意，得⎩⎪⎨
⎪
⎧
k AC ＝2，k AB ＝2，
即⎩⎪⎨⎪⎧
b －5
－1－3＝2，7－5a －3＝2.
解得a ＝4，b ＝－3. 6.答案 C
解析 由已知，得y ＋3
4－2＝tan 45°＝1.故y ＝－1.
7.答案 C
解析 当cos θ＝0时，方程为x ＋3＝0，其倾斜角为π
2.当cos θ≠0时，由直线方程可得，斜
率k ＝－1
cos θ.∵cos θ∈[－1,1]，且cos θ≠0，∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即tan α∈(－
∞，－1]∪[1，＋∞).又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π2，3π4.综上可知，倾斜角的范围是[π4，3π
4].
二、填空题 8.答案 30°或150°
33或－3
3
解析 因为直线AB 与y 轴的夹角为60°，所以直线AB 的倾斜角为30°或150°. 当倾斜角为30°时，斜率为tan 30°＝
3
3
； 当倾斜角为150°时，斜率为tan 150°＝－33
. 9.答案 (23＋3,0)
解析 设点Q 的坐标为(x,0)，则k ＝2－03－x ＝tan 150°＝－33，解得x ＝23＋3.
10.答案 (－2,1)
解析 ∵k ＝a －1a ＋2且直线的倾斜角为钝角，∴a －1
a ＋2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a －
b ＞0，a ＋2＜0或⎩
⎪⎨⎪⎧
a －1＜0，a ＋2＞0.
解得－2<a <1.
11.答案 [0,2]
解析 如图，当直线l 在l 1位置时，k ＝tan 0°＝0；当直线l 在l 2位置时，
k ＝2－01－0＝2.故直线l 的斜率的取值范围是[0,2].
三、解答题
12.解 (1)由斜率公式得 k AB ＝
1－1
1－(－1)＝0，
k AC ＝
3＋1－12－(－1)
＝3
3. (2)如图所示. k BC ＝
3＋1－1
2－1
＝ 3.
设直线CD 的斜率为k ，当斜率k 变化时，直线CD 绕C 点旋转，当直线CD 由CA 逆时针方向旋转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎡⎦
⎤33， 3.
13.解 方法一 设Q (0，y )，则由题意得k QA ＝－k QB . ∵k QA ＝
1－y 2，k QB ＝3－y 4，∴1－y 2＝－3－y
4
. 解得y ＝5
3，即点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，53， ∴k 入＝k QA ＝1－y 2＝－1
3
.
方法二 如图，点B (4,3)关于y 轴的对称点为B ′(－4,3)，
k AB ′＝
1－32＋4
＝－13，
由题意得，A 、Q 、B ′三点共线. 从而入射光线的斜率为k AQ ＝k AB ′＝－1
3.
设Q (0，y )，则k 入＝k QA ＝1－y 2＝－1
3.
解得y ＝5
3，即点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，53.。
