2018中国数学奥林匹克希望联盟夏令营(一)

一 、 （４Ｏ分 ）如 图 １，在 圆 内接 四边 形 ＡＢＣＤ 中 ，ＡＣ 上 ＢＤ，，为 △ ＡＢＤ 的 内 心 ，
则 Ｉｚ一１ Ｉ的最小值为— — ．
上 ＢＤ于 点 Ｅ， ＝ＩＣ．证 明 ：ＥＣ＝ＥＬ
６．已知 ｆ（ ）为 定 义在 Ｒ 上 的奇 函数 ，
厂（１）＝１，且对任意 的 ＜０，均有
由单调性可得ｙ∈【一等， ］．
２（２ 一（一１） ）＝２ 一（一１） ＋３ ＝ ２ ’（２ 一 一１）＋（一１） （２一（一１） ）＋３＝Ｏ．
２．１．
设 ｔ＝Ｉ 一ａ ｌ（ｔ ｉ ＞０）． 则原问题等价于方程 ｔ 一２ａｔ＋１一ａ ：０ 有 两 根 ｔ１＝０，ｔ２＞０． 经检验 ，ａ：１．
参 考 答 案
第 一 试
３． ．
厶
如 图 ２，取 棱
Ｃ
ＡＢ 的 中 点 ，作
ＥＦ ＣＤ 亍 Ｆ
由条 件 ，知 线 段 ＥＦ 即 为 所 求 ， Ｄ
且 ＣＯＳ ／ ＣＤＥ
图 ２
旦 曼
一 ——
ＣＯＳ／ ＥＤＢ
ＣＯＳ ６０ｏ
—
—
４５ ｏ —２— ‘
ｃｏｓ
则 ＣＤＥ＝４５ Ｏ．
２０１９年第 １期
３ｌ
证 明 ：
ｓｉｎ导· ＜ ．
三 、（５０分 ）已知 ｎ∈ Ｎ，ｎ＞４，集合 Ａ＝ ｛１，２，… ，ｎ｝．设 正整 数 ｍ 与集合 ／４ ，Ａ ，… ，
具有如下性质 ：
（１ ） Ａ ＝４；
（２）ＩＡ Ｉ：４（ｉ：１，２，… ，ｍ）； （３）Ｘ ，Ｘ ，… ，Ｘｃｌ为 Ａ的所有二元子集 ， 对任 意 的 Ｘ （ｋ＝１，２，… ，Ｃ ），存 在 唯一 的 ＿『 ∈｛１，２，… ，ｍ｝，使得 Ｘ ＣＡｊ ． 求 ｎ的最小值． 四、（５０分 ）对 于 非空 集 合 ，记 ７ｒ（Ａ）为 中所有元 素 的乘 积．设 Ｐ为所有 素 数构成 的集合．求所 有可能 的集 合 Ｍ，使其满 足以下 条件 ： （１）Ｍ 尸； （２）集 合 Ｍ 至少 含有三个元素 ； （３）对 于集 合 的任何 非 空 真子集 Ｌ， ７ｒ（ ）一１的所有 素因子 均在集合 中．
一 、 填空题 （每小题 ８分 ，共 ６４分 ）
率为— — ．
１．设 函数 Ｙ＝ｓｉｎ ·ＣＯＳ （ｓｉｎ ＋ＣＯＳ ），
二 、解答题 （共 ５６分 ）
其中， ∈【一 ， ２］．则函数ｙ的值域为 ９．（１６分）设函数．厂（ ）＝３ａｘ 一２ｂｘ＋Ｃ．若
ｎ一６＋ｃ＝ｏ， ０）＞０， １）＞０，求
ＳＩ．ＤＥ＝ 澈 譬ｓｉｎ ＣＤＥ：１２．
４．１．
由Ｓ ＝２ａ ＋．÷（（一１） 一１）
＝ Ｓ ｌ＝２ａ ｌ＋ （（一１） 一 一１）（ｎ≥２）．
一
一
两式相减得 ａ ＝２ａ 一３（一１） （ｎ≥２）．
＝
． 则
一
பைடு நூலகம்
［－等，
ｂ ＝一２６ ｌ 一 ３ 一
＝ ｂ ＋１＝一２（ｂ 一ｌ＋１）
￣６（３ｘ＋ｙ）＋３ 一６
２
３
≥ ８
铮 ３ｘ ＋ｙ≥４ 一６，
且 当 戈＝，／－ｇ一１，Ｙ＝√ 一３时 ，上式等号成立．
长 为 ４，焦距为 ２ ． 又 Ｉ ｚ一１ Ｉ表 示 椭 圆上 一 点 到 中心 的距
离 ，故 Ｉ ｚ一１ Ｉ ｉ ＝ｂ＝ ．
．
＝
）．
则 丢 ）＝— ．
７．已知实数 、Ｙ满 足 ： ＞ｍａｘ｛一３，Ｙ｝，（ ＋３）（ 一Ｙ ）＝８．
则 ３ ＋Ｙ的最小值 为— — ． ８．一 只小 虫在 正 八 面体 的表 面上 爬 行 ，
——／／
．
网 １
二、（４０分 ）已知 凡∈ Ｎ，ｎ＞ １２，０＜０＜７ｔ．
令 … … ｓ
， 则
ｓｉｎ ）６ Ｅｏ， ］．
由 ｓｉｎ Ｘ￣ＣＯＳ ＝
，知
ｙ： １（￡３ 一
￡）．
＝ （一２） 一 （ｂ ＋１）＝（一２） ｊ ｂ ＝（一２） 一１ ＝＝＞ａ ＝２ 一（一１） ． 假设 存在正 整数 Ｃ，使得 ａ。、ａ 、ａｎ＋ｃ成等 差 数 列 ．则
３０
中 等 数 学
２０ １ ８中 国数学奥林 匹克希 望联 盟夏令营 （一 ）
中图分 类号 ：Ｇ４２４．７９ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１００５—６４１６（２０１９）０１—００３０—０５
第 一 试
每秒从某一个顶点 等可能地爬往 四个相邻顶 点之一．则小 虫在 第 ８秒 爬 回初始 位置 的概
５．若 复数 满 足
Ｉ厂（１）＝１，ｆ（２ ０１７）≠１．若 对 任意 的 、Ｙ∈ Ｚ 均满 足
２厂（ ＋ｙ）－ｆ（ｘ）－ｆ（Ｙ）≤ Ｉｆ（ ）一．厂（Ｙ）Ｉ， 求 ｆ（２ ０１８）的所有 可能值．
加 试
１ ｌ—ｚ—＋— ＿１ ｆｌ ＋１ｌ ——ｚ—一— １■导 ＋— Ｚ ｌ －＝４，。
显然 ，当且 仅 当 Ｃ＝１，且 ｎ为 正奇数 时 ， 上 式 成 立 ．
故 Ｐ＝ｎ，ｑ＝ｎ＋１ ｑ－ｐ：１． Ｓ．压 ．
３２
中 等 数 学
注意到 ，
代人式①得
Ｉ ｌ＋１
＝ Ｉ三一ｉ Ｉ＋Ｉ ｚ一（２一ｉ）ｌ：４＞２√２． 则 的轨迹 是 以 （０，１）、（２，一１）为 焦点 的椭 圆 ，其 中 ，椭 圆 中心 坐 标 为 （１，０），长 轴
的
２．若 函数 ）： 一２ａｘ一２ａ Ｉ ｘ一０ ｌ＋１
取值范 围． １Ｏ．（２Ｏ分 ）过抛物线 ｙ２＝４ｘ的焦点 Ｆ作
有且仅有三个零点 ，则实数 ａ的值 为— — ． 直线 Ｚ，与抛物线 交 于 Ａ、 两点 ， （４，０），延 ３．在 四面 体 ＡＢＣＤ 中 ，△ ＡＤＢ为等 腰 直 长 ＡＭ、ＢＭ，与 抛 物 线 交 于 ｃ、Ｄ 两 点．求
角三 角 形 ，ＡＤ ＝１， ＡＤＢ＝９０。， ＢＤＣ＝ ＡＤＣ＝６０。．则异面直线 ＡＢ与 ＣＤ的距离为
的值
．） ＇，
ｌ１．（２０分 ）已知 ．厂：Ｚ Ｚ为 偶 函数 ，且
４．已知数 列 ｛ａ ｝的前 ｎ项和为 Ｓ ，且
ｎｌ＝３，Ｓ ＝２ａ ＋÷（（一１） 一１）．
若 ｛ａ ｝中 存 在 三 项 ａ。、ａ 、ａ （Ｐ、ｑ∈ ｚ＋，１＜ｐ＜ｑ）成等差 数列 ，则 ｑ－ｐ＝一