梁的应力及强度条件

10 194 .4m
§8－3 梁的正应力强度条件 1、危险面与危险点分析：
最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；
M

2、正应力强度条件：
max

M max Wz


3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：
● 强度校核:
max

M max Wz
[
试选择槽钢型号。
G
A
C
G
DB
300
510 100
5.98 2.75
解：弯矩图如图。
M max 5.98kNm
max
M 2Байду номын сангаасZ

WZ

M
2
WZ

5.98103 2 130 106
23cm3
查表，应选8号槽钢两根。
§8－4 梁的剪应力和剪应力强度条件 梁的合理截面
EIz
...... (3) EI z 杆的抗弯刚度。
x
M y Iz
...... (4)
（四）最大正应力：

m a x
M Wz
...... (5)
Wz
I z ymax
抗弯截面模量。
d
d
D
圆环 ____Wz

Iz ymax
D3 (1 4 )
32
D
§8－2 平面弯曲时梁横截面上的正应力
ac
M
bd ac
b
中性层
一、 纯弯曲时梁横截面 中性轴 上的正应力
（一）变形几何规律：
1.梁的纯弯曲实验
横向线(a b、c d）
保持为直线，高度不变，
相互倾斜，仍垂直于纵
向线；纵向线变为弧线，
M
凸边伸长，凹边缩短，
中间有一纵向线长度不
变。
2:两个概念 中性层：长度不变的纵向纤维层； 中性轴：中性层与横截面的交线；
1
q=60 kN/m
A
1
1m
B 2m
1m ax

M1 Wz

60 6.48
10 7

92.6MPa
max

M max Wz

67.5 107 6.48
104 .2MPa
30
180
1 2z
120
y
x
求曲率半径
M
M1 M m a x qL²/ 8
1

EI z M1

200 5.832 60
第八章 梁的应力及其强度条件
§8–1 概述 §8–2 平面弯曲时梁横截面上的正应力 §8–3 梁的正应力强度条件 §8–4 梁的剪应力和剪应力强度条件梁的合理截面
§8－１ 概述
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段
梁的变形称为纯弯曲。
P
P
a
a
A
B
Q
x x M
h
面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的
精度要求。梁的跨高比 l 越大，误差就越小。 h
max

M (x) Wz
例 :受均布载荷作用的简支梁
1
q=60 kN/m
如图所示，试求：
A
1
（1）1——1截面上1、2两点
B
的正应力；
1m
2m
（2）此截面上的最大正应力；
（3）全梁的最大正应力；
h H
回字框____Wz

Iz ymax

BH 2
bh3
6 (1 BH 3 )
b
B
二、 纯弯曲理论的推广
横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横 截面是不仅有正应力，而且有剪应力。
梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的
假设不再成立。
l
对于跨度与截面高度之比 大于5的横力弯曲梁，横截
一、 矩形截面梁横截面上的剪应力
图a
M（x） Q（x）
Q（x）+ d Q（ x）
Ah
M（x） + d M（x）
dx
图b
1、两点假设： 剪应力与剪力平行； 矩中性轴等距离处，剪应力
相等。 2、研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b；
在微段上取一块如图c，平衡
X N1 N 1b(dx) 0
d

Ｏ
Ｏ１
x

y

...... (1)
A１
Ｂ１ x （二）、物理关系：
y
假设：纵向纤维互不挤压。于是，
任意一点均处于单项应力状态。
x

E x

Ey

...... (2)
（三）静力学关系：
Nx

AdA
A
Ey

dA
E

ydA ESz
A

0
Sz 0 z (中性)轴过形心
B 2m
求应力
Iz

bh3 12
120 180 3
12
10 12
5.832 105 m4
Wz

bh2 6
6.48 10 4 m3
30
180
1 2z
1

2

M1y Iz

60 60 5.832
10 5

61.7MPa
120
y
x
M
M1
M m a x qL²/ 8
h
S
z

yc A

h( 2 2
y) b( h 2
]
● 截面设计:
max

M max Wz
[ ]
Wz [ ]Mmax
● 载荷设计:
max

M max Wz
[ ]
Mmax [ ]Wz
例5 3 3 : 有一承受管道的悬臂梁，用两根槽钢组成，管
道上作用重物各重G 5.39kN。许用应力 130MPa。
M（x） Q（x）
N dA M
ydA

MS
z
A
I A z
Iz
图a
Q（x）+ d Q（ x）
Ah
M（x） + d M（x）
dx
图b
N1

(M
dM )Sz Iz
1

dM dx
S
z
bI z
QSz bI z
由剪应力互等定理

( y)
1

QSz bI z
M y
(dA) z
A
Eyz dA E
A

yzdA EI yz
A

对称

面
0
Mz
(dA) y
A
Ey 2
E
dA
A

y2dA EI z M
A

1 MZ
EIz
...... (3) EI z 杆的抗弯刚度。
1 M Z
3:推论
平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动， 距中性轴等高处，变形相等。
M
ac
:各纵向纤维之间无挤压 M ③:横截面上只有正应力。
b
d
4. 几何方程：
x A1B1 AB A1B1 OO1
AB
OO1
d
y ) d d y
30
180
1 2z
（4）已知E=200GPa，求1—1
120
截面的曲率半径。
y
x 解：画M图，求截面弯矩
M
M1
M m a x qL²/ 8
M1

( qLx 2

qx2 2
)
x 1

60 kNm
M max qL2 / 8 60 32 / 8 67.5kNm
1
A
1
1m
q=60 kN/m