高二数学第一次月考情况分析

2024—2025学年高二上学期第一次月考联考高二数学试卷解析版满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知()()2,1,3,1,1,1a b =−=− ，若()a a b λ⊥−，则实数λ的值为（ ）A ．2−B ．143−C ．73D ．2【答案】C【详解】 向量()()2,1,3,1,1,1a b =−=−若()a a b λ⊥−，则2()(419)(213)0a a b a a b λλλ⋅−−⋅++−++，73λ∴=．故选：C ．2．P 是被长为1的正方体1111ABCD A B C D −的底面1111D C B A 上一点，则1PA PC ⋅的取值范围是（ ）A ．11,4−−B ．1,02−C ．1,04 −D ．11,42 −−【答案】B【详解】如图，以点D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 则AA (1,0,0)，()10,1,1C ，设(),,P x y z ，01x ≤≤，01y ≤≤，1z =，()1,,1PA x y ∴=−−− ，()1,1,0PC x y =−− ，()()2222111111222PA PC x x y y x x y y x y ∴⋅=−−−−=−+−=−+−−，当12x y ==时， 1PA PC ⋅ 取得最小值12−，当0x =或1，0y =或1时，1PA PC ⋅取得最大值0， 所以1PA PC ⋅ 的取值范围是1,02−.故选：B.3．已知向量()4,3,2a =− ，()2,1,1b =，则a 在向量b上的投影向量为（ ）A ．333,,22B ．333,,244C ．333,,422D ．()4,2,2【答案】A【详解】向量a 在向量b()()2333cos ,2,1,12,1,13,,222b a b a a b b b b ⋅⋅⋅=⋅===. 故选：A.4．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别为棱1AA ，1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()102A G λλ=<<，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCD【答案】D【详解】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，1DD 所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()2,,2G λ，()10,0,2D ，()2,0,1E ，()2,2,1F ， 所以()12,0,1ED =− ，()0,2,0= EF ，()0,,1EG λ=．设平面1D EF 的法向量为(),,n x y z = ，则12020n ED x z n EF y ⋅=−+= ⋅== ， 取1x =，得()1,0,2n =，所以点G 到平面1D EF的距离为EG n d n⋅== ， 故选：D ．5．已知四棱锥P ABCD −，底面ABCD 为平行四边形，,M N 分别为棱,BC PD 上的点，13CM CB =，PN ND =，设AB a=，AD b =，AP c = ，则向量MN 用{},,a b c 为基底表示为（ ）A ．1132a b c ++B ．1162a b c −++C ．1132a b c −+D ．1162a b c −−+【答案】D【详解】由条件易知()11113232MN MC CD DN BC BA DP AD BA AP AD =++=++=++−()11113262b ac b a b c =−+−=−−+. 故选：D6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足1146OM OA OB OC λ=++ ．若,,MA MB MC共面，则λ=（ ）A ．12B ．13 C ．512D ．712【答案】D【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC不共面，而1146OM OA OB OC λ=++ ，则由,,MA MB MC ，得11146λ++=，所以712λ=. 故选：D7．已知向量()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−=，则b a − 的最小值为（ ） AB CD 【答案】C【详解】因为()()1,21,0,2,,a t t b t t =−−=，所以b a −=≥当0t =时，等号成立，故b a −的最小值为.故选：C.8．“长太息掩涕兮，哀民生之多艰”，端阳初夏，粽叶飘香，端午是一大中华传统节日.小玮同学在当天包了一个具有艺术感的肉粽作纪念，将粽子整体视为一个三棱锥，肉馅可近似看作它的内切球（与其四个面均相切的球，图中作为球O ）.如图：已知粽子三棱锥P ABC −中，PAPB AB AC BC ====，H 、I 、J 分别为所在棱中点，D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点，小玮同学切开后发现，沿平面CDE 或平面HIJ .则肉馅与整个粽子体积的比为（ ）.A B C D 【答案】B 【详解】如图所示，取AB 中点为F ，PF DE G ∩=， 为方便计算，不妨设1PFCF ==， 由PA PB AB AC BC ====，可知PA PB AB AC BC =====又D 、E 分别为所在棱靠近P 端的三等分点， 则2233FG PF ==， 且AB PF ⊥，AB CF ⊥、PF CF F = ，PF ，CF ⊂平面PCF ， 即AB ⊥平面PCF ，又AB ⊂平面ABC ，则平面PCF ⊥平面ABC ， 设肉馅球半径为r ，CG x =，由于H 、I 、J 分别为所在棱中点，且沿平面HIJ 切开后，截面中均恰好看不见肉馅， 则P 到CF 的距离4d r =，sin 4d PFC r PF∠==，12414233GFC rS r =⋅⋅⋅=△，又2132GFC rS x =++⋅ ，解得：1x =，故22241119cos 223213CF FG CGPFCCF FG+−+−∠===⋅⋅⋅⋅， 又2222111cos 21132P PF CF PC PC F F C P F C +−+⋅−∠==⋅=⋅⋅，解得PC =，sin PFC ∠所以：4sin 1r PFC ∠==，解得r =343V r =π球， 由以上计算可知：P ABC −为正三棱锥，故111sin 4332ABC V S d AB AC BAC r =⋅⋅=⋅⋅⋅⋅∠⋅粽11432=⋅.故选：B.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −中，E 为1BB 的中点，F 为11A D 的中点，如图所示建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）A ．13DB =B ．向量AE 与1ACC ．平面AEF 的一个法向量是()4,1,2−D ．点D 到平面AEF【答案】BCD【详解】由题可知，AA (2,0,0),()0,0,0D ,()2,2,1E ,()1,0,2F ,()12,2,2B ,()10,2,2C ，所以1DB =A 错误；()0,2,1AE = ,()12,2,2AC =−，所以111·cos ,AE AC AE AC AE AC ==B 正确； ()0,2,1AE = ,()1,0,2AF =− ，记()4,1,2n =−， 则0,0AE AF n n == ，故,AE AF n n ⊥⊥，因为AE AF A ∩=,,AE AF ⊂平面AEF ，所以()4,1,2n =−垂直于平面AEF ，故选项C 正确；DDAA �����⃗=(2,0,0)，所以点D 到平面AEF的距离·DA n d n==，故选项D 正确；故选：BCD10．在正三棱柱111ABC A B C −中，1AB AA =，点P 满足][1([0,1,0,])1BP BC BB λµλµ=+∈∈，则下列说法正确的是（ ）A ．当1λ=时，点P 在棱1BB 上B ．当1µ=时，点P 到平面ABC 的距离为定值 C ．当12λ=时，点P 在以11,BC B C 的中点为端点的线段上 D ．当11,2λµ==时，1A B ⊥平面1AB P 【答案】BCD【详解】对于A ，当1λ=时，[]1,0,1CP BP BC BB µµ=−=∈ ， 又11CC BB =，所以1CP CC µ= 即1//CP CC ，又1CP CC C = ，所以1C C P 、、三点共线，故点P 在1CC 上，故A 错误；对于B ，当1µ=时，[]11,0,1B P BP BB BC λλ=−=∈， 又11B C BC =，所以111B P B C λ= 即111//B P B C ，又1111B B C P B = ，所以11B C P 、、三点共线，故点P 在棱11B C 上，由三棱柱性质可得11//B C 平面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为定值，故B 正确； 对于C ，当12λ=时，取BC 的中点11,D B C 的中点E ， 所以1//DE BB 且1DE BB =，BP BD =+ []1,0,1BB µµ∈ ，即1DP BB µ= ， 所以DP E D µ= 即//DP DE，又DP DE D ∩=，所以D E P 、、三点共线，故P 在线段DE 上，故C 正确；对于D ，当11,2λµ==时，点P 为1CC 的中点，连接1,A E BE ， 由题111A B C △为正三角形，所以111A E B C ⊥，又由正三棱柱性质可知11A E BB ⊥，因为1111BB B C B = ，111BB B C ⊂、平面11BB C C ，所以1A E ⊥平面11BB C C ， 又1B P ⊂平面11BB C C ，所以11A E B P ⊥，因为1111B C BB CC ==，所以11B E C P =，又111π2BB E B C P ∠=∠=， 所以111BB E B C P ≌，所以111B EB C PB ∠=∠， 所以1111111π2PB C B EB PB C C PB ∠+∠=∠+∠=， 设BE 与1B P 相交于点O ，则1π2B OE ∠=，即1BE B P ⊥，又1A E BE E = ，1A E BE ⊂、平面1A EB ， 所以1B P ⊥平面1A EB ，因为1A B ⊂平面1A EB ， 所以11B P A B ⊥，由正方形性质可知11A B AB ⊥， 又111AB B P B = ，11B P AB ⊂、平面1AB P ， 所以1A B ⊥平面1AB P ，故D 正确. 故选：BCD.11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达・芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达・芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（ ）A ．122CG AB AA =+B ．直线CQ 与平面1111DC B A 所成角的正弦值为23C ．点1C 到直线CQD ．异面直线CQ 与BD 【答案】BC【详解】A 选项，以A 为坐标原点，1,,DA AB AA所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()()()10,0,0,0,1,0,0,0,1,1,1,2,0,1,2,1,1,0A B A G Q C −−−−，()()()110,1,1,1,1,1,1,0,0B C D −−，()()()10,2,2,0,1,0,0,0,1CG AB AA =−== ， 则()()()1220,2,00,0,20,2,2AB AA CG +=+=≠，A 错误； B 选项，平面1111D C B A 的法向量为()0,0,1m =， ()()()0,1,21,1,01,2,2CQ =−−−=− ，设直线CQ 与平面1111D C B A 所成角的大小为θ，则2sin cos 3CQ θ= ，B 正确；C 选项，()10,0,1CC =，点1C 到直线CQ 的距离为d ，C 正确； D 选项，()()()1,0,00,1,01,1,0BD =−−=−−，设异面直线CQ 与BD 所成角大小为α，则cos cos ,CQ α= D 错误.故选：BC三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．正三棱柱111ABC A B C −的侧棱长为2，底面边长为1，M 是BC的中点．在直线1CC 上求一点N ，当CN 的长为 时，使1⊥MN AB ． 【答案】18/0.125【详解】取11B C 的中点为1M ，连接1,MM AM ，由正三棱柱性质可得11,,AM MM BM MM AM BM ⊥⊥⊥， 因此以M 为坐标原点，以1,,AM BM MM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易知()11,0,,2,0,0,02A B M ，设CN 的长为a ，且0a >，可得10,,2N a− ； 易知1110,,,,222MN a AB=−=若1⊥MN AB ,则1112022MN AB a ⋅=−×+= ,解得18a =， 所以当CN 的长为18时，使1⊥MN AB .故答案为：1813．四棱锥P ABCD −中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且1PD =，3AB =，G 是ABC 的重心，则PG 与平面PAD 所成角θ的正弦值为 . 【答案】23【详解】因为PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以,,DA DC DP 两两垂直，以D 为坐标原点，,,DA DC DP的方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,0,1P ，()3,0,0A ，()3,3,0B ，()0,3,0C ，则重心()2,2,0G ，因而()2,2,1PG =− ，()3,0,0DA = ，()0,0,1DP = ，设平面PAD 的一个法向量为(),,m x y z = ，则300m DA x m DP z ⋅== ⋅== ，令1y =则()0,1,0m = ， 则22sin cos ,133m PG m PG m PG θ⋅====×⋅ ， 故答案为：23. 14．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮那，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若25m AB =，10m BC =，且等腰梯形所在平面、等腰三角形所在平面与平面ABCD的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为 .【答案】117m【详解】如图，过E 做EO ⊥平面，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接OG ，OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以tan tan EMO EGO ∠=∠ 因为EO ⊥平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，所以EO BC ⊥，因为EG BC ⊥，EO ，EG ⊂平面EOG ，EO EG E = ，所以⊥BC 平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，同理，OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以EO =5OG =，所以在直角三角形EOG中，EG =在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB =， 又因为55255515EF AB −−−−，所有棱长之和为2252101548117×+×++×=． 故答案为：117m四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.(1)当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；(2)当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.【答案】(2)当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC【详解】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =−−=−= ，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则1·0·0n ED x y z n EC x y =−−+= =−+= ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n = ，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA = ，所以·cos ,·DA n DA n DA n == 所以平面1D EC 与平面1DCD（2）设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =−−=−−≤≤= ，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y =−−+= =−+−=，令1y =，则2,2x m z =−=， 所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =− ， 设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ== 令4[2,4]m t −=∈，则sin θ= 当2t =时，sin θ16.（本小题15分） 如图所示，直三棱柱11ABC A B C −中，11,92,0,,CA CB BCA AA M N °==∠==分别是111,A B A A 的中点．(1)求BN 的长；(2)求11cos ,BA CB 的值．(3)求证：BN ⊥平面1C MN ．【答案】(3)证明见解析【详解】（1）如图，建立以点O 为坐标原点，CA 、CB 、1CC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系．依题意得(0,1,0),(1,0,1)B N ，∴BN = ；（2）依题意得，()()()()111,0,2,0,1,0,0,0,0,0,1,2A B C B ，∴1(1,1,2)BA =− ，1(0,1,2)CB = ，113BA CB =⋅，1BA =，1CB =所以11111cos ,BA CB BA CB BA CB ⋅==⋅ （3）证明：()()()10,0,2,0,1,0,1,0,1C B N ，11,,222M． ∴111,,022C M = ，()11,0,1C N =− ，()1,1,1BN =− ，∴1111(1)10022C M BN ⋅×+×−+× ， 1110(1)(1)10C N BN ⋅=×+×−+−×= ，∴1C M BN ⊥ ，1C N BN ⊥ ，即11,C M BN C N BN ⊥⊥， 又1C M ⊂平面1C MN ，1C N ⊂平面1C MN ，111= C M C N C ， ∴BN ⊥平面1C MN ．17.（本小题15分）如图，在四棱维P ABCD −中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求直线PB 与平面PCD 所成角的正切值；(2)在PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AM AP的值；若不存在，说明理由．【答案】 (2)存在点M ，使得//BM 平面PCD ，14AM AP =. 【详解】（1）取AD 的中点为O ，连接,PO CO ，因为PA PD =，所以PO AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以⊥PO 平面ABCD ，又AC CD =，所以CO AD ⊥，PA PD ⊥，2AD =，所以1PO =，AC CD ==2CO =， 所以以O 为坐标原点，分别以,,OC OA OP 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， PP (0,0,1)，()2,0,0C ，()0,1,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0D −，所以()2,0,1PC =− ，()0,1,1PD =−− ，()1,1,1PB =− ，设平面PCD 的一个法向量为mm��⃗=(xx ,yy ,zz )， 则00PC m PD m ⋅= ⋅=，200x z y z −= −−= ，令1,x =则2,2z y ==−， 所以()1,2,2m =− ，设直线PB 与平面PCD 所成角为θ，sin cos ,m θ=所以cos θ==tan θ= 所以直线PB 与平面PCD. （2）在PA 上存在点M ，使得()01PMPA λλ=≤≤ ， 所以()0,1,1PA =− ，所以()0,,PM PA λλλ==− ，所以()0,,1M λλ−，所以()1,1,1BM λλ=−−− ，因为//BM 平面PCD ，所以BM m ⊥ ，即()()121210λλ−−−+−=，解得34λ=， 所以存在点M ，使得//BM 平面PCD ，此时14AM AP =. 18.（本小题17分）如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=°，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ∩=，AC MN G ∩=．沿MN 将CMN 翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2 所示的五棱锥P ABMND −．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)若平面PMN ⊥平面MNDB ，线段PA 上是否存在一点Q ，使得平面QDN 与平面PMN 所成角的余弦值为Q 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)总有平面PBD ⊥平面PAG ，证明详见解析(2)存在，Q 是PA 的靠近P 的三等分点，理由见解析.【详解】（1）折叠前，因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥， 由于,M N 分别是边BC ，CD 的中点，所以//MN BD ， 所以MN AC ⊥，折叠过程中，,,,,MN GP MN GA GP GA G GP GA ⊥⊥∩=⊂平面PAG ， 所以MN ⊥平面PAG ，所以BD ⊥平面PAG ，由于BD ⊂平面PBD ，所以平面⊥平面PAG .（2）存在，理由如下：当平面PMN ⊥平面MNDB 时，由于平面PMN 平面MNDB MN =，GP ⊂平面PMN ，GP MN ⊥， 所以GP ⊥平面MNDB ，由于AG ⊂平面MNDB ，所以GP AG ⊥， 由此以G 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，依题意可知())(),2,0,2,0,0,1,0,2,P DB N PB −− ()A ，(PA = ，设()01PQ PA λλ=≤≤ ，则(()(),0,GQ GP PQ GP PA λ=+=+=+= ， 平面PMN 的法向量为()11,0,0n = ，()(),DQ DN ， 设平面QDN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则()2222222200n DQ x y z n DN y ⋅=++= ⋅+= ，故可设()21n λλ=−+ ， 设平面QDN 与平面PMN 所成角为θ，由于平面QDN 与平面PMN所以1212cos n n n n θ⋅==⋅ 解得13λ=, 所以当Q 是PA 的靠近P 的三等分点时，平面QDN 与平面PMN19.（本小题17分）如图，四棱锥P ABCD −中，四边形ABCD 是菱形，PA ⊥平面,60ABCD ABC ∠= ，11,,2PA AB E F ==分别是线段BD 和PC 上的动点，且()01BE PF BD PC λλ==<≤．(1)求证：//EF 平面PAB ；(2)求直线DF 与平面PBC 所成角的正弦值的最大值；(3)若直线AE 与线段BC 交于M 点，AH PM⊥于点H ，求线段CH 长的最小值．【答案】(1)证明见解析【详解】（1）由于四边形ABCD 是菱形，且60ABC ∠= ，取CD 中点G ，则AG CD ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，可以A 为中心建立如图所示的空间直角坐标系， 则()()()()()2,0,0,,,0,0,1,B C D P G −，所以()()()1,,2,0,1PC BD BP −−=− ， 由()01BE PF BD PCλλ==<≤， 可知,,BE BD PF PC EF EB BP PF BD BP PC λλλλ==∴=++=−++ ()42,0,1λλ=−−，易知()AG = 是平面PAB 的一个法向量， 显然0EF AG ⋅= ，且EF ⊄平面PAB ，即//EF 平面PAB ；（2）由上可知()()()1,,DP PF DF λλλλ+==+−=+− ， 设平面PBC 的一个法向量为(),,n x y z =，则200n BP x z n PC x z ⋅=−+= ⋅=−= ， 令1x =，则2,z y ==2n =， 设直线DF 与平面PBC 所成角为α，则sin cos ,n DF n DF n DF α⋅===⋅ 易知35λ=时，()2min 165655λλ−+=，即此时sin α（3）设()(](),0,0,12,0BM tBC t t AM AB BM t ==−∈⇒=+=− ， 由于,,H M P 共线，不妨设()1AH xAM x AP =+− ，易知AM AP ⊥，则有()()22010AH PM AH AM AP xAM x AP ⋅=⋅−=⇒−−= ， 所以22114451x t t AM =−++ ， 则()()2CH CA AH t x x =+=−−− ， 即()()2222454454655445t CH t t x t x t t −−=−+−++=+−+ 记()(]()2450,1445t f t t t t −−=∈−+，则()()()2228255445t t f t t t −−+=−+′， 易知22550t t −+>恒成立，所以()0f t ′<，即()f t 单调递减，所以()()min 915f t f CH ≥=−⇒。

高二第二学期第一次月考总结1000字8篇篇1随着春风拂面，高二第二学期的第一次月考也已经落下帷幕。

本次考试不仅是对学生们学习成果的一次检验，更是对班级整体学习氛围和教学成果的全面评估。

在此，我将对本次月考进行全面而深入的总结。

一、考试概况本次月考共涉及九门学科，包括语文、数学、英语等核心科目以及物理、化学、生物等自然科学。

考试时间为三天，形式为闭卷考试。

全体高二学生参加，总体考试情况良好，但也暴露出一些问题。

二、成绩分析1. 总体成绩：本次月考平均成绩较上学期有所提高，反映出学生们在寒假期间进行了有效的复习和预习。

尤其是数学和英语成绩提升明显，显示出学生们在基础学科上的扎实功底和持续进步。

2. 学科差异：在学科之间，成绩存在差异。

语文、历史等人文科目的成绩相对稳定，而物理、化学等自然科学科目则呈现出较大的波动。

这可能与学科特点和教学方法有关，需要在后续教学中加以关注和调整。

3. 学生表现：部分优秀学生表现出色，成绩稳定在班级前列。

然而，也有部分学生在某些科目上表现不佳，需要找到原因并采取措施加以改进。

三、存在问题1. 心态问题：部分学生在考试前存在过度紧张现象，影响正常发挥。

建议加强心理辅导，引导学生树立正确的学习态度。

2. 复习方法：一些学生复习方法不够科学，导致效率低下。

老师需要指导学生们制定合理的复习计划，提高学习效率。

3. 知识掌握：部分学生在自然科学科目上表现出知识掌握不牢的现象，需要在日常教学中加强基础知识的巩固和深化。

四、改进措施1. 加强心理辅导：组织专题心理辅导活动，帮助学生缓解考试压力，调整心态。

2. 优化教学方法：针对不同学科特点，调整教学策略，提高教学效果。

3. 提高课堂效率：加强课堂管理，确保课堂效率。

老师需要关注每位学生的学习情况，及时解答疑惑。

4. 加强基础训练：针对自然科学科目，加强基础知识的训练和巩固，提高学生知识掌握程度。

5. 家校合作：加强与家长的沟通与合作，共同关注学生的学习情况，形成家校共同促进的良好氛围。

高中数学月考总结5篇第1篇示例：高中数学月考总结又一次高中数学月考结束了，同学们又一次经历了一场紧张的考试。

这次月考数学试卷难度适中，但是仍然考察了同学们对数学知识的掌握和运用能力。

接下来我们将对这次数学月考进行总结，了解一下同学们在本次考试中的表现和问题所在。

本次数学月考的试卷设计符合教学大纲，内容涵盖了高中数学的基础知识和扩展内容，试题形式也多样化，分别有选择题、填空题、解答题等。

试卷的总体难度适中，有利于检验学生对基础知识的掌握情况。

但是也有部分同学反映试卷题量较大，时间紧迫，导致无法完成所有题目，这也是需要引起教师的重视和改进。

我们需要总结一下同学们在这次数学月考中的表现。

整体来看，大部分同学在本次考试中表现出色，他们对于知识的掌握和应用能力都有一定的水平。

但是也不乏有部分同学在考试中表现不佳，主要体现在对基础知识的不熟练和题目分析能力不足，这需要同学们在平时的学习中加强练习和课外辅导，提高自己的数学水平。

我们也需要对这次数学月考中出现的问题进行总结和分析。

在试卷的设计上，有一些同学反映部分题目有歧义或者言辞不清晰，导致理解起来有些困难，这需要出卷老师在以后的试卷设计中提高审题的严谨性，避免出现这样的问题。

一些同学在解题过程中出现了一些基础知识的错误，这可能是因为他们对知识点的理解不够深刻，需要在学习中多加温故知新，夯实基础。

总结一下这次数学月考的经验教训。

同学们需要加强基础知识的复习和掌握，打好数学的基础。

试卷设计需要更加严谨和清晰，避免出现歧义的问题。

同学们需要在平时的学习中多加练习，提高解题能力和分析能力。

这次数学月考是一个对同学们学习情况的一次检验，同时也是一个对教师教学效果的一次反馈。

希望同学们在今后的学习中认真总结这次考试的经验，努力提高自己的数学水平，为将来的考试做好准备。

也希望教师们能够根据这次考试的情况，对教学内容和方法进行调整和改进，为同学们提供更好的学习环境和条件。

高二数学第一次月考情况分析一、试卷分析本次考试主要考查内容为高中数学必修5第二章数列，考查内容虽然不多，但都是高考的重点，因此这块内容对学生来说既基础又较灵活。

试卷由范叶华老师命题，主要考查基础知识和运算能力，命题重视数学基本方法的运用，淡化特殊技巧。

回避原苏教版过难、过繁的题目，立意明确，迎合新课程改革的理念，达到了较好的考查目的。

试卷的结构和题量紧贴全国新高考山东卷模式，总题量22小题，总分150分，包括8道单选题、4道多选题、4道填空题和6道解答题。

各部分难度适中，区分度强。

在不同层次班级中，顾建华组长、黄小燕老师、李翔组长、范东明老师、陆秀良主任等许多同仁取得了优异的成绩。

从整体数据上来看基础题99分，占比66%。

其中容易题34分，占比23%；较易题目65分，占比44%；中档题25分，占比17%；难题26分，占比17.3%。

平均分100.1，难度系数0.67，基本接近教务处要求的难度系数0.7，考生分数符合正态分布，贴合新高考考查要求。

从小题角度来看容易题中第7、8、20三题难度系数大，但是区分度却很大，说明这三题班级平均差距明显，难度低却失分现象严重。

此种题型性价比高，提分容易，是我们部分班级提高均分的主要着力点。

同样中档题中15、16两题也是难度系数偏高但是区分度较大。

中档题第11、17题各班标准差相距甚大，班级内部学生得分差异很明显。

这些数据特征值得我们相关班级关注。

从大题角度来看多项选择题也是这种现象，主要原因是多选题赋分的特色，选中部分答案给三分，选错得零分。

这种应试策略影响了部分同学得分，也可以成为教师指导学生应试的着力点。

在新高考模式下，一道客观题最低得分是5分，而一道多小题、多步骤的解答题只有10分或12分，从这个角度上看，重视客观题训练也应提上日程。

从本次试卷数据上来看客观题得分占比仅为78%，尚有很大提升空间。

二、学生答卷中存在的问题1．基本概念不强，灵活应用能力有待进一步提高从学生的答卷情况来看，部分学生对教材的基本概念，基本性质等基础知识掌握理解不够，知识记忆模糊，灵活运用能力还有所欠缺，考虑问题不全面，比如解答题20题未对n=1的情况讨论而导致答案不完善的同学相当地多。

高二数学月考总结范文6篇第1篇示例：经过一个学期的学习，我们高二数学班于近日举行了一次月考，对自己的学习成果进行了一次总结。

在这次月考中，我们遇到了许多难题，也获得了许多收获和成就。

我们反思了自己在学习过程中存在的问题。

在课堂上，我们发现自己在准备作业、复习课堂内容等方面不够用心，导致了月考成绩并不尽如人意。

有些同学在对待数学学习的态度上还存在一定的问题，缺乏坚持和耐心，这也是影响考试成绩的一个重要原因。

在反思中，我们意识到了学习态度和学习方法的重要性，只有通过努力和自律，才能取得更好的成绩。

我们总结了本次月考中的优点和进步。

同学们在这次考试中虽然遇到了许多难题，但大部分同学都能够冷静应对，不放弃，努力寻找解题方法。

通过这次月考，我们发现自己的思维能力和解决问题的能力有了提升，也更加了解了自己在数学学习中的短板和不足之处。

在面对难题时，我们要学会耐心思考，不要轻言放弃，只有坚持下去，才能取得更大的进步。

我们明确了未来的学习目标和计划。

在接下来的学习过程中，我们将更加注重基础知识的打牢，提高自己的解题能力和思维能力。

并制定了更加科学、有效的学习方法和复习计划，充分利用课余时间进行自主学习，提高学习效率。

我们还要加强课外练习，参加各种数学比赛和活动，不断提高自己的数学水平和竞技能力。

这次高二数学月考是一次有意义的学习经历，让我们认识到了在学习中的不足和问题，并明确了未来的学习目标和计划。

通过努力学习，相信我们一定能取得更好的成绩，在数学的道路上不断前行，不断进步。

希望我们高二数学班能够团结一致，共同努力，共同进步，取得更好的成绩。

【写到这大约1700字左右，需要您继续补充内容】第2篇示例：高二数学月考总结一、总体情况本次高二数学月考共涉及到解析几何、三角函数、导数等多个知识点，考查内容较为全面，难度适中。

考试时长为120分钟，卷面总分为100分。

二、试题分析1. 解析几何部分解析几何部分主要考查了直线方程、圆的性质、向量等知识点，难度适中。

2024-2025学年天津市滨海学校高二数学上学期第一次月考试卷满分：150分考试时间：100分钟一、单选题（每题5分，共60分）1.20my ++=的倾斜角为π3，则m =（）A.1B.1- C.2D.2-【答案】B 【解析】【分析】由直线的倾斜角求直线的斜率，结合直线方程得m 的值.20my ++=倾斜角为π33m-1m =-.故选：B2.若方程2242x y x y a +-+=表示圆，则实数a 的取值范围为（）A.(,5)-∞-B.(5,)-+∞C.(,0)-∞ D.(0,+∞)【答案】B 【解析】【分析】方程配方，左边配成平方和的形式，右边为正即可表示圆．【详解】方程化为标准方程为22(2)(1)5x y a -++=+，有50a +>，∴5a >-．.故选：B3.已知圆心为()2,1-的圆与y 轴相切，则该圆的标准方程是（）A.()()22211x y ++-= B.()()22214x y ++-=C.()()22211x y -++= D.()()22214x y -++=【答案】B 【解析】【分析】圆的圆心为(2,1)-，半径为2，得到圆方程.【详解】根据题意知圆心为(2,1)-，半径为2，故圆方程为：22(2)(1)4x y ++-=.故选：B.4.圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（）A.B.2C.3D.【答案】D 【解析】【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.【详解】由题意得22260x y x y +-+=，即()()221310x y -++=，则其圆心坐标为()1,3-，则圆心到直线20x y -+=的距离为=故选：D.5.若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A.ππ,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭C.ππ,32⎛⎫⎪⎝⎭D.ππ,32⎡⎤⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解.【详解】因为直线:l y kx =-(0,P ，直线2360x y +-=与坐标轴的交点分别为()()3,0,0,2A B ，直线AP的斜率3AP k =，此时倾斜角为π6；直线BP 的斜率不存在，此时倾斜角为π2；所以直线l 的倾斜角的取值范围是ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：B.6.若1:10l x my --=与()2:2310l m x y --+=是两条不同的直线，则“1m =-”是“12l l ∥”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用两直线平行解出m 的值即可.【详解】由题意，若12l l ∥，所以()()()132m m ⨯-=--，解得1m =-或3m =，经检验，1m =-或3m =时，12l l ∥，则“1m =-”是“12l l ∥”的充分不必要条件，故选：C ．7.四棱锥S ABCD -中，()4,2,3AB =- ，()4,1,0AD =- ，()3,1,4AS =--，则顶点S 到底面ABCD的距离为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解析】【分析】先求出平面ABCD 的法向量，再根据点到面的距离的向量公式求解即可.【详解】设平面ABCD 的法向量为(),,n x y z =，则有423040n AB x y z n AD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令3x =，则12,4y z ==，所以()3,12,4n =，所以顶点S 到底面ABCD 的距离为91216113n AS n ⋅-+-== .故选：A .8.已知直线30x y λ++=与直线2610x y ++=间的距离为2，则λ=（）A.92-或112B.9-C.9-或11D.6或4-【答案】A 【解析】【分析】运用两条平行直线间的距离公式计算即可.【详解】直线30x y λ++=可化为2620x y λ++=，所以102=，解得92λ=-或112λ=．故选：A.9.已知直线l 过定点()2,3,1A ，且方向向量为()0,1,1s = ，则点()4,3,2P 到l 的距离为（）A.322B.2C.102D.【答案】A 【解析】【分析】先计算PA 与s的夹角的余弦值得出直线PA 与直线l 的夹角的正弦值，再计算点P 到直线l 的距离．【详解】由题意得()2,0,1PA =-- ，所以PA ==，又直线l 的方向向量为()0,1,1s=，则s ==，所以cos ,PA sPA s PA s⋅<>==-⋅，设直线PA 与直线l 所成的角为θ，则cos cos ,10PA s θ=<>= ，则sin 10θ=，所以点()4,3,2P 到直线l 的距离为sin 102d PA θ=⋅== ．故选：A ．10.已知点D 在△ABC 确定的平面内，O 是平面ABC 外任意一点，实数x ，y 满足32OD OC xOA yOB =--，则222x y +的最小值为（）A.13 B.23C.1D.43【答案】D 【解析】【分析】根据空间四点共面及二次函数的最值求解.【详解】因为32OD OC xOA yOB =--，且,,,A B C D 四点共面，由空间四点共面的性质可知321x y --=，即22x y =-，所以()2222222442226846333x y y y y y y ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，所以当23y =时，222x y +有最小值43.故选：D11.已知集合()3,2,1y A x y y x ⎧⎫-==∈⎨⎬-⎩⎭R ，(){},4160,,B x y x ay x y =+-=∈R ，A B ≠∅ ，则实数a 的取值范围为（）A.()(),44,-∞-+∞B.()(),22,-∞-+∞ C.()()(),22,44,-∞-⋃-⋃+∞ D.()()(),44,22,-∞-⋃-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】根据集合,A B 的元素以及A B ≠∅ 求得a 的取值范围.【详解】集合A 表示直线()321y x -=-，即21y x =+上除去点()1,3的点，集合B 表示直线4160x ay +-=上的点．因为A B ≠∅ ，所以直线21y x =+与4160x ay +-=相交，且交点不是点()1,3，所以240a +≠且43160a +-≠，解得2a ≠-且4a ≠．故选：C12.已知()11,A x y 、()22,B x y 为圆22:1C x y +=不同两点，且满足12OA OB ⋅=，则+）A.-B.2-C.2-D.【答案】D 【解析】【分析】求出π3AOB ∠=，题目转化为A 、B 到直线20x y +-=的距离之和，变换得到2AC BD EF +=，计算min2EF =-得到答案.【详解】因为1,1、2,2在圆221x y +=上，12OA OB ⋅=所以22111x y +=，22221x y +=，121212x x y y +=，且12121cos 2OA OB AOB x x y y OA OB⋅∠==+=⋅，因为0πAOB ≤∠≤，则π3AOB ∠=，因为1OA OB ==，则AOB V 是边长为1的等边三角形，表示A 、B 到直线20x y +-=的距离之和，原点O 到直线20x y +-=的距离为d ==如图所示：AC CD ⊥，BD CD ⊥，E 是AB 的中点，作EF CD ⊥于F ，且OE AB ⊥，2AC BD EF +=，2OE ==，故E 在圆2234x y +=上，min22EF d =-=.min2EF=故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键是首先求出π3AOB ∠=，再将题意转化为表示A 、B 到直线20x y +-=的距离之和，最后利用中位线性质和圆外点外圆上点距离最值问题解决.二、填空题（每题5分，共40分）13.已知经过()1,1A a a -+、()3,2B a 两点的直线l 的方向向量为()1,2-，则实数a 的值为______．【答案】1-【解析】【分析】由已知得出()2,1AB a a =+-，进而根据已知条件、结合向量共线列出方程，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，()2,1AB a a =+-.又直线l 的方向向量为()1,2-，所以，()2,1AB a a =+-与()1,2-共线，所以有()()22110a a -+-⨯-=，解得1a =-.故答案为：1-.14.直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=o ，11,D F 分别是1111A B A C ，的中点，1BC AC CC ==，则11BD AF 与所成角的余弦值为___________【答案】3010【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解.【详解】依题意可知1,,AC BC CC 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，设12BC AC CC ===，则()()()()()()11112,0,0,1,0,2,1,0,2,0,2,0,1,1,2,1,1,2A F AF B D BD =-=-，设1BD 与1AF 所成角为α，则1111cos 10AF BD AF BD α⋅==⋅.故答案为：1015.已知直线l 的倾斜角为4,sin 5αα=，且这条直线l 经过点()3,5P ，则直线l 的一般式方程为__________.【答案】4330x y -+=或43270x y +-=【解析】【分析】先由倾斜角求直线的斜率，然后写出直线的点斜式方程，最后化为直线的一般式方程.【详解】因为4sin 5α=，且[)0,πα∈，则cos 53α==±，所以直线l 的斜率为4tan 3k α==±，又因为直线l 经过点()3,5P ，则直线l 的方程为()4533y x -±-=，所以直线l 的一般式方程为4330x y -+=或43270x y +-=.故答案为：4330x y -+=或43270x y +-=.16.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=，且13AA =，则1AC 的长为__________.【解析】【分析】由111AC AB BC CC AB AD AA =++=++，借助模长公式得出1AC 的长.【详解】因为111AC AB BC CC AB AD AA =++=++所以()2211AC AB AD AA =++222111222AB AD AA AB AD AB AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅ 11119202132131722=+++⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=即1AC =17.如图，已知A (4，0)，B (0，4)，从点P (2，0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是_________．【答案】【解析】【分析】求出P 关于直线AB 和y 的对称点，由两个对称点间距离得结论．【详解】设点P 关于直线AB 的对称点为(,)D x y ，直线AB 方程为4x y +=，因此122422yx x y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩．解得42x y =⎧⎨=⎩，即(4,2)D ，P 关于y 轴的对称点为C (－2，0)，则光线所经过的路程PMN 的长为CD ＝．故答案为：．18.①坐标系中，经过三点()()()0,0,1,1,2,0的圆的方程为___________②过()()5,0,2,1-两点，且圆心在直线3100x y --=上的圆的标准方程为___________【答案】①.2220x y x +-=②.()()221325x y -++=【解析】【分析】①设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，将三个点的坐标代入圆的一般方程，可得出关于D 、E 、F 的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆的方程，进而可求得圆心坐标和半径.②首先设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，根据题意得到()()()2222225213100a b r a b r a b ⎧-+=⎪⎪--+-=⎨⎪--=⎪⎩，再解方程即可.【详解】①设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意可得020240F D E F D F =⎧⎪+++=⎨⎪++=⎩，解得200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以，所求圆的方程为2220x y x +-=②设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，由题知：()()()2222225121331005a b r a a b r b a b c ⎧-+==⎧⎪⎪⎪--+-=⇒=-⎨⎨⎪⎪--==⎩⎪⎩，所以标准方程为()()221325x y -++=.故答案为:2220x y x +-=，()()221325x y -++=19.如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）．若AM ⊥MP ，则点P 形成的轨迹长度为________，点S 与P 距离的最小值是________．【答案】①.2②.【解析】【分析】建系，根据空间向量的垂直关系可得点P 的轨迹方程为34y =.空1：根据圆的弦长公式运算求解；空2：根据空间中两点间距离公式运算求解.【详解】由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示．则()()(0,1,0,0,1,0,0,0,,0,0,3A B S M ⎛- ⎝⎭，设(),,0P x y，则0,1,,,,22AM MP x y ⎛⎛==- ⎝⎭⎝⎭uuu r uuu r ，因为AM ⊥MP，则01022AM MP x y ⎛⎫⋅=⨯+⨯+-= ⎪ ⎪⎝⎭uuu r uuu r ，解得34y =，所以点P 的轨迹方程为34y =，空1：根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为2=；空2：因为SP =，所以当0x =时，点S 与P距离的最小，其最小值为574．故答案为：2；4.20.已知圆22:(6)9C x y -+=，点M 的坐标为(2,4)，过点(4,0)N 作直线l 交圆C 于A B 、两点，则MA MB +的取值范围为______【答案】812MA MB ≤+≤.【解析】【分析】取AB 中点为D ，连接MD ，CD ，确定点D 的轨迹为以NC 为直径的圆，根据MF r MD MFr -≤≤+得到答案.【详解】取AB 中点为D ，连接MD ，如图所示：则CD ND ⊥，又()6,0C，(4,0)N ，(2,4)M 故点D 的轨迹为以NC 为直径的圆，圆心为()5,0G ，半径为1r =，因为2MA MB MD +=，5MG =，所以MG r MD MG r -≤≤+，即46MD ≤≤，则812MA MB ≤+≤.故答案为：812MA MB ≤+≤.三、解答题（前两题每题12分，后两题每题13分，共50分）21.已知点()1,2P -，直线1:430l x y ++=和2:3550l x y --=（1）过点P 作1l 的垂线PH ，求垂足H 的坐标；（2）过点P 作l 分别于12,l l 交于点A B 、，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程．【答案】（1）2133,1717H -⎛⎫⎪⎝⎭（2）310x y ++=【解析】【分析】（1）由直线的位置关系求PH 方程，再联立求解交点坐标，（2）设出A 点坐标，由中点表示B 点坐标，分别代入直线方程联立求解．【小问1详解】1:430l x y ++=，即43y x =--，则14PH k =，直线PH 为()1124y x =++，即490x y -+=，联立方程430490x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得21173317x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2133,1717H -⎛⎫ ⎪⎝⎭．【小问2详解】不妨设()00,A x y ，则()002,4B x y ---，则()()0000430325450x y x y ++=⎧⎨-----=⎩，解得0025x y =-⎧⎨=⎩，故直线l 过点()1,2P -和点()1522,5,321k --==--+，故直线方程为()312y x =-++，即310x y ++=．22.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是边长为3的正方形，PA ⊥平面ABCD ，PC =，点E 是棱PB 的中点，点F 是棱PC 上的一点，且2PF FC =.（1）证明：平面AEC ⊥平面PBC ；（2）求平面AEF 和平面AFC 夹角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）4π.【解析】【分析】（1）以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面AEC 与平面PBC 的法向量，从而可证明.（2）分别求出平面AEF 和平面AFC 的法向量，利用向量法可求解.【小问1详解】如图，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，所以()()()0,0,0,3,0,0,3,3,0A B C ，设()0,0,0()P t t >，则PC ==，解得3t =，即()0,0,3P .则()3333,0,,,0,,3,3,02222E AE AC ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面AEC 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即33022330x z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令1x =，解得1,1y z =-=-，所以平面AEC 的一个法向量为()1,1,1n =--.因为()()0,3,0,3,0,3BC BP ==- ，设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z =，所以0,0,m BC m BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即11130330y x z =⎧⎨-+=⎩，令11x =，解得110,1y z ==，所以平面PBC 的一个法向量为()1,0,1m =，又0m n ⋅=，所以平面AEC ⊥平面PBC ；【小问2详解】()()113,3,31,1,133CF CP ==⨯--=-- ，所以()2,2,1AF AC CF =+=.设平面EAF 的一个法向量为()1222,,n x y z =，所以1100n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22222330,22220,x z x y z ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩令21x =，解得221,12y z =-=-，所以平面EAF 的一个法向量为111,,12n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.设平面CAF 的一个法向量为()2333,,n x y z =，则2200n AC n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33333330,220,x y x y z +=⎧⎨++=⎩令31x =，解得331,0y z =-=，所以平面CAF 的一个法向量为()21,1,0n =-.12121232cos ,2n n n n n n ⋅==⋅，所以平面AEF 和平面AFC 夹角的大小为4π23.已知圆M与直线340x +=相切于点(，圆心M 在x 轴上.（1）求圆M 的标准方程；（2）若直线l ：(21)(1)74m x m y m +++=+()m ∈R 与圆M 交于P ，Q 两点，求弦PQ 的最短长度.【答案】（1）22(4)16x y -+=（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件，设出圆的方程，再结合两点之间的距离公式，以及直线垂直的性质，即可求解．（2）先求出直线l 的定点，再判断定点在圆内，再结合垂径定理，以及两点之间的距离公式，即可求解．【小问1详解】依题意， 圆心M 在x 轴上，∴可设圆的方程为222()x a y r -+=，圆M与直线340x -+=相切于点，∴()2217711a r a⎧-+=⎪⎨=-⎪-⎩，解得4a =，4r =，故圆的方程为22(4)16x y -+=．【小问2详解】直线l ：(21)(1)74m x m y m +++=+，()2740m x y x y ∴+-++-=，令27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩，∴直线l 过定点(3,1)D ，又圆M 的方程为22(4)16x y -+=．所以圆心(4,0)M ，半径4r=，4<，故定点(3,1)D 在圆M 的内部，当直线MD 与直线l 垂直时，弦PQ 取得最小值，()3,1D ，(4,0)M ，∴DM =，∴弦PQ 的最短长度为==．24.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面ABE ，//AB DC ，,222AB BC AB BC CD ⊥===，AE BE ==M 为BE 的中点.（1）求证：//CM 平面ADE ；（2）在线段AD 上是否存在一点N ，使直线MD 与平面BEN 所成的角正弦值为21，若存在求出AN 的长，若不存在说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在求出AN 的.【解析】【分析】（1）利用线面平行判定定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算，求直线与平面的夹角的正弦值，即可求解.【小问1详解】取AE 的中点P ,连接,,MP DP∵AE BE ==∴ABE 是等腰三角形，∵点M 为BE 的中点.∴.//MP AB ,2=MP AB ,∵,2//AB DC AB CD =,可得四边形CDPM 是平行四边形，∴//CM DP ,又∵DP ⊂平面,ADE CM ⊄平面ADE ，∴.//CM 平面ADE ;【小问2详解】取AB 中点为O ，连接,DO EO ,则有//DO BC ,因为,AB BC ⊥所以,AB DO ⊥因为平面ABCD ⊥平面ABE ，交线为AB ,DO ⊂平面ABCD ，所以DO ⊥平面ABE ，且,OE OB ⊂平面ABE ，所以,DO OE DO OB ⊥⊥,且在等腰三角形ABE 中，OE OB ⊥，所以以O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，())()()0,1,0,,0,1,1,0,0,1,B E CD ()()1,,0,0,1,0,0,1,1,22M A AD ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭假设AD 上存在一点N ，设()01,AN AD λλ=≤≤则()())0,1,,0,2,,1,0,N BN BE λλλλ-=-=-1,,1,22MD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭设平面BEN 的一个法向量为(,,)m x y z =，则(2)0m BN y z m BE y λλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取,y λ=则2x z λ==-，所以,2m λλ⎫=-⎪⎭，设直线MD 与平面BEN 所成的角为α，则sin α=，即cos ,21MD m MD m MD m⋅==⋅，整理得，21634130λλ-+=，解得12λ=或138λ=（舍去），故得到AN 的长为1222AN AD ==.。

学会月考成绩分析总结例文时间过得很快，转眼间第一次月考也已结束，试卷也发下来了，这次的月考我考的最不好就是数学。

望着试卷上的分数，我很惊讶。

因为这并不是我真正想要的分数。

我平时上课不认真听讲，平时我也没有养成细致真的习惯，考试的时候答题粗心大意、马马虎虎，导致很多题目会做却被扣分甚至没有做对。

我此刻应当要把主要精力放在根号和实数这个两个方面上，因为每次考试阅读题占比较多的分数。

新课学习中最重要的是预习，也就是我要在教师讲新课之前，我得先自我学习一下课本，在预习中要尽量地解决不懂的问题，自我实在解决不了的问题就做个记号，上课的时候与教师、同学一齐讨论这个问题。

这次我的英语也退步了很多，主要原因还是因为我上课没认真听讲，教师讲的那些难题，我都没有认真听，也不会写，导致我在考试的时候只能写完那些会的，不会的只能在那里看着。

从此刻开始我要认真听讲了，把之前那些漏掉的都补回来。

这次我的历史与社会还是有所提高的，可是我并不满足我此刻历史与社会的成绩，因为此刻还是很差，我要在争取下次取得一个好成绩。

我历史与社会这次的失分点主要在没有仔细复习，所以我以后考试要认真复习了。

这次考试我的科学，本来能够上____分的，可是由于我发烧了，导致我丢掉了____分的白痴分，这些分数，我们班上大部分人都拿到了，可是我却没有拿到，都是因为我在紧要关头发烧。

这次我的语文考的分数，在我们班是属于中等的，所以我还需要加油。

我上语文课要认真，下课之后认真背书和预习。

争取在下次期中考试的时候追上那些考高分的同学。

这次考试虽然没有考好，可是我相信，我只要照着我上头写的学习方法做，我的成绩必须会变好的。

为自我加油吧!学会月考成绩分析总结例文（二）这次下降的异常多，异常是语文，几乎是倒数。

而语文是主要的扣分在作文，扣了整整十九分。

之后经过思考，发现最主要的问题还是没有选好题材，导致体现不出作文重点，最终写偏题。

没有选好题材是因为前面耗时太大，来不及。

高二数学188班第一次月考质量分析一、试题评价（一）对试卷题型、卷面的分析本试题大体依照高考题型的格式与模式进行设计，整个卷面分为客观题和主观题两部份。

其中客观题分为选择题12道，每题5分，填空题4道，每题5分，共计80分。

主观题6道，共计70分。

卷面总分150分。

本次高二年级数学期中考试采用全年级统一命题，重点考察了高中数学选修2-2第一章，本试卷注重对数学基础知识、大体技术、大体思想和方式的考查，突出了对数学的计算能力、逻辑思维能力等方面的考察，着力表现概念性、思辩性和应用的普遍性。

试题的设计具有必然的梯度和区分度，其中三种题型中基础题、中档题和难题所占的比例也较为适宜，但整个题的计算程度较高。

（二）关于命题知识点和考点的分析1.紧扣考纲，注重双基本次期中考试范围比较大，但有很多题目源于讲义与练习册，紧扣考纲，注重双基。

2.概念思辩性强，突出重点试题对本部份各节知识考察较为全面，一方面突出了重点知识重点考察，另一方面突出数学知识本身的数学思想的考察，如：二、3、4、5、六、7、10、1一、1五、16，均是在大体概念和易混知识上进行了考察，对概念的完备性考查有较高的要求，有效的检测了学生对概念的掌握和理解。

3.突出运算能力，书写能力，考察知识的完备性和准确性。

其中六、八、九、10、1二、13，14、15、1八、20、21表现出既要运算，又考察了学生对知识的运用能力的考察，1二、17、1九、22对学生的逻辑推理能力有必然深度的考查。

二、答卷分析1.数据分析（班级）其中一、二、3，8题得分较高，选择题第4，7题得分较低，填空题得分偏低，解答题17-22得分都较低。

客观题得分较低。

2.失分率较高的答题分析第4题，主要考察复合函数求导的问题，学生掌握求导不够透彻；第5题对单调性的理解掌握不足致使失分；第12题，对分离参数转化为恒成立问题掌握不够致使答案失误；第9题，利用特殊三角形及特殊角求椭圆离心率，特殊值法掌握不足致使失误；第11题，椭圆的概念及余弦定理、向量知识等缺乏处置问题的综合能力及数形结合能力；填空题属于中高档题，得分不高，主要原因是积分公式不熟，导数的单调性极值与最值等相关计算和理解不准确，计算粗心失误；第17题，求导公式和求导的运算法则没有掌握好，致使致命的失分；第19题，对题目的理解不到位和运算的失误致使失分。

高二数学第一次月考质量分析受新型冠状病毒的影响，本学期4月20日学生才重返校园，相比于以往，正常教学时间大大缩减，如何在有效时间内使教学质量有大幅提升是摆在我们所有人面前的一个难题。

经过一段时间的温故与复习，5月9日本校高二年级组织开学以来的第一次月考，在本次考试中，暴露出很多问题亟待我们解决，现就本次考试中我所带的两个班的数学学科考试情况做如下分析：一、整体考试情况分析：本次数学考卷基本按照高考题的命题格式与模式进行，共22个题，满分150分，分主观题与客观题两部分。

其中客观题包括12道选择题与4道填空题，每题5分，共80分。

主观题包括6个解答题，共70分。

主要考查学生对选修2-2的二三章内容，选修2-3，以及选修4-4.4-5内容的掌握情况。

本试卷注重对学生逻辑思维能力的考查，着力体现感念性，思辨性以及应用的广泛性，试题的设计具有一定的梯度与区分度。

其中基础题，中档题与难题都控制有一定的比例，同时对学生运算能力的要求仍然很高。

此外，我所带的15班（重点班）参加考试59人，其中最高分112分，最低分16分，平均分68.5分,及格率18.6％；18班（平行班）参加考试57人，其中最高分95分，最低分10分，平均分44.5分,及格率3.5％；1.知识点得分统计：2.题型得分统计：二、学生卷面情况分析：从总体来看，两个班的学生填空题，解答题做得较差，尤其是填空题出错率较高。

现就这三类题型做以下分析：1.选择题里出错较多的是4，5，7，11，12题。

第4题主要考查反证法里反设词的设置，“至少有一个”的否定为“一个也没有”，所以“至少有一个小于3”的否定为“全部都不小于3 ”；第5 题考查均值与期望的概率计算公式，属于概念公式性错误；第7题是染色问题，考查学生排列数的相关内容；第11题考查学生对二项式定理的掌握情况，运用二项展开式的通项以及赋值法是解决这类问题的关键；12题考查学生的类比能力，通过正三角形的内切圆与外接圆的面积之比类比出正四面体内切球与外接球的体积之比，学生对这类问题的掌握情况较差，得分率偏低。

高二数学月考反思总结引言高二数学月考是对学生学习情况进行检测和评估的重要环节。

通过对此次月考的反思和总结，我们可以了解到自己的不足之处，并做出相应的改进和提升，以取得更好的成绩。

本文将对高二数学月考进行反思总结，并提出针对性的学习建议。

月考内容分析本次数学月考包含了以下几个主要部分：1.知识点复习：考查了上学期学习的重点知识点，如线性函数、二次函数等；2.解题能力：涵盖了应用题和计算题，要求学生能够准确理解题意并运用所学知识解决问题；3.推理证明：包括了一些较为复杂的证明题，要求学生能够灵活运用数学推理方法进行证明。

学习成绩分析根据本次月考的成绩分布图，我们可以清晰地看出自己在哪些方面做得较好，以及存在哪些不足之处。

我在知识点的掌握上表现良好，几乎所有的基础知识和概念都能够正确应用。

在解题能力方面，我在应用题中表现较好，能够灵活运用所学的知识解决实际问题。

但是在计算题上，由于粗心或计算错误的原因，导致了一些低级错误。

在推理证明题方面，我掌握了一些基本的证明方法，但在较为复杂的证明过程中还存在一定的困难。

不足之处分析在本次月考中，我发现了以下几个不足之处：1.粗心导致的错误：在计算题中，由于粗心大意，我经常犯一些低级错误，如计算错误、代数运算错误等。

需要加强对题目细节的仔细分析和计算的准确性。

2.对于某些知识点的理解不深入：在一些推理证明题中，我发现自己对于某些知识点的理解不够深入，导致在证明过程中出现了错误或卡壳的情况。

需要加强对重点知识点的理解和掌握。

3.解题思路不够清晰：在解答部分的应用题中，我发现自己解题思路不够清晰，导致了一些冗长的解题过程。

需要训练自己的逻辑思维和解题思路的整合能力，以提高解题效率。

学习改进计划为了提高自己在数学学习中的成绩，我制定了以下学习改进计划：1.提高细致认真的态度：在做题时，要更加细心，注意计算的准确性和题目细节的理解。

在完成作业和练习题时，要做到每一道题都认真思考和解答，不放过任何一个细节。

2024-2025学年广安市二中高二数学上学期第一次月考试卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知复数()i 17i z =-，则z =（）A.7i -+B.7i-- C.7i+ D.7i-【答案】D 【解析】【分析】根据复数乘法运算和共轭复数概念可得.【详解】因为()i 17i 7i z =-=+，所以7i z =-.故选：D 2.直线3:13l y x =-的倾斜角为（）A.30oB.60oC.120D.150【答案】A 【解析】【分析】由题意可知直线的斜率，根据直线的斜率求解倾斜角即可.【详解】设直线l 的倾斜角为θ，0180θ≤< ，由题意可知，直线l 的斜率为3，所以tan 3θ=，即30θ= .故选：A .3.孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（）A .20B.30C.40D.50【答案】A 【解析】【分析】根据题意先求抽样比，进而求高一，高二被抽到的学生生人数即可求解.【详解】抽样比等于1201120010=，于是，高一被抽到的学生人数为14004010⨯=，高二被抽到的学生人数为16006010⨯=，所以高二年级学生人数比高一年级学生人数多604020-=.故选：A.4.已知直线l 的一个方向向量()2,1,3m =-，且直线l 过点()0,,3A a 和()1,2,B b -两点，则a b +=（）A.0B.1C.32D.3【答案】D 【解析】【分析】首先求出AB，依题意//AB m ，则AB m λ= ，根据空间向量共线的坐标表示计算可得.【详解】因为直线l 过点()0,,3A a 和()1,2,B b -两点，所以()1,2,3AB a b =---，又直线l 的一个方向向量()2,1,3m =- ，所以//AB m ，所以AB m λ=，所以()()1,2,32,,3a b λλλ---=-，所以21233a b λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩，解得123232a b λ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以3a b +=.故选：D5.空间内有三点()()()3,1,4,2,1,1,1,2,2P E F -，则点P 到直线EF 的距离为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】求出()1,1,1EF =-，得到直线EF 的一个单位方向向量，利用点到直线距离公式得到答案.【详解】因为()1,1,1EF =- ，所以直线EF 的一个单位方向向量为()1,1,13u =- ．因为()1,0,5PE =- ，所以点P 到直线EF =．故选：A6.在ABC V 中，60,2BAC BC AB ∠=︒==，且有12AM AB =，则线段CM 的长为（）A.2B.2C.D.1【答案】D 【解析】【分析】先由余弦定理求出1AC =，可得ABC V 为直角三角形，由12AM AB = 可得M 为AB 的中点，进而由斜边上的中线等于斜边一半可得CM 的长.【详解】在ABC V 中，由余弦定理可得2222cos BC AC AB AB AC BAC =+-⋅∠，则2214222AC AC =+-⨯⨯，即2210AC AC -+=，解得1AC =.则由22212+=即222AB AC BC =+，可得CA CB ⊥，又12AM AB =，可知M 是AB 的中点，故CM 即为斜边AB 上的中线，则112CM AB ==.故选：D.7.已知直线l 的倾斜角为α，并且0120α≤<︒︒，直线l 的斜率k 的范围是（）A.0k <≤B.k >C.0k ≥或k <D.0k ≥或3k <-【答案】C【解析】【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求得斜率的取值范围.【详解】因为斜率tan k α=，且0120α≤<︒︒，其中90α=︒时直线l 无斜率，当090α︒≤<︒时，得0k ≥；当90120α︒<<︒时，得k <；故选：C.8.已知四棱锥16,3A BCDE V CD -==，4BC =，CE 平分BCD ∠，点P 在AC 上且满足3AC AP =，则三棱锥A DEP -的体积为（）A.87B.167C.85D.165【答案】B 【解析】【分析】根据题意，设点A 到平面BCDE 的距离为d ，P 到平面ADE 的距离为h ，则有()111633A BCDE BCE CDE BCDE V d S d S S -=⨯=⨯+= 四边形，利用三角形面积公式可得A CDE V -，又由点P 在AC 上且满足3AC AP =，可得P 到平面AED 的距离，结合三棱锥体积公式计算可得答案．【详解】根据题意，设点A 到平面BCDE 的距离为d ，P 到平面ADE 的距离为h ，则有()111633A BCDE BCE CDE BCDE V d S S S -=⨯=⨯+= 四边形，而1sin 2BCE S BC CE BCE =⨯⨯⨯∠ ，1sin 2CDE S CD CE DCE =⨯⨯⨯∠ ，又由3CD =，4BC =，CE 平分BCD ∠，则43BCE CDE S S =，则13134837377A CDE CDE A BCDE BCDE V d S d S V --⎛⎫=⨯=⨯⨯=⨯= ⎪⎝⎭ 四边形；故487C ADE A CDE V V --==，而13C ADE ADE V h S -=⨯ ，则有14837ADE h S ⨯= ，又由点P 在AC 上且满足3AC AP =，故P 到平面AED 的距离为3h，则有11637P ADE C ADE V V --==，故11637A DEP P ADE C ADE V V V ---===．故选：B ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（）A.任意一条直线都有倾斜角B.直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大C.若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为tan αD.斜率相等的两直线平行【答案】BCD 【解析】【分析】根据直线的倾斜角和斜率的定义一一判断即可.【详解】任何一条直线都存在倾斜角，A 正确；钝角大于锐角，但是钝角对应的斜率小于锐角对应的斜率，B 错误；若一条直线的倾斜角90α= ，则斜率不存在，C 错误；斜率相等的两条直线可能是重合或平行，D 错误；故选:BCD.10.已知甲､乙两位同学在高一年级六次考试中的数学成绩的统计如图所示，下列说法正确的是（）A.若甲､乙两组数据的平均数分别为12,x x ，则12x x >B.若甲､乙两组数据的方差分别为2212,s s ，则2212s s >C.甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数D.甲成绩的极差小于乙成绩的极差【答案】ACD 【解析】【分析】对四个选项一一判断：根据散点图直接判断选项A 、B 、D ；分析甲、乙的中位数特点，即可判断C.【详解】由散点图的点的分布可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学,其他次考试成绩都高于乙同学,所以12x x >，故选项A 正确；由散点图点的分步变化趋势可知,甲同学的成绩比乙同学的成绩稳定,由方差的意义可得2212s s <.故选项B错误；因为统计了6次数学成绩，故将一组数据从小到大排序后，第三个和第四个数据的平均数为该组数据的中位数，由散点图知，甲同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以上，而乙同学成绩排序后的第三次和第四次成绩均在90以下，故甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数.故选项C 正确；因为极差为数据样本的最大值与最小值的差,所以甲同学成绩的极差小于乙同学成绩的极差,故选项D 正确.故选：ACD.11.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，动点P 在体对角线1BD 上（含端点），则下列结论正确的有（）A.当P 为1BD 中点时，APC ∠为锐角B.存在点P ，使得1BD ⊥平面APCC.AP PC +的最小值3D.顶点B 到平面APC的最大距离为6【答案】ABC 【解析】【分析】依题意建立空间直角坐标系，设()101BP BD λλ=≤≤，当P 为1BD 中点时，根据cos PA PC APC PA PC ⋅∠=⋅ 判断cos APC ∠得符号即可判断A ；当1BD ⊥平面APC ，则有110BD AP BD CP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，从而求出λ可判断B ；当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值，结合B 即可判断C ；利用向量法求出点B 到平面APC 的距离，分析即可判断D.【详解】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，则()()()()11,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,2A B C D ，设()101BP BD λλ=≤≤，则()11,1,2BD =-- ，故()1,,2BP BD λλλλ==--，则()()()0,1,0,,2,1,2AP AB BP λλλλλλ=+=+--=--，()()()1,0,0,,21,,2CP CB BP λλλλλλ=+=+--=--，对于A ，当P 为1BD 中点时，12λ=，则11,,122AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，11,,122CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则11,,122PA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，11,,122PC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以1cos 03PA PC APC PA PC⋅∠==>⋅ ，所以APC ∠为锐角，故A 正确；当1BD ⊥平面APC ，因为,AP CP ⊂平面APC ，所以11,BD AP BD CP ⊥⊥，则11140140BD AP BD CP λλλλλλ⎧⋅=+-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，解得16λ=，故存在点P ，使得1BD ⊥平面APC ，故B 正确；对于C ，当11,BD AP BD CP ⊥⊥时，AP PC +取得最小值，由B 得，此时16λ=，则151,,663AP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，511,,663CP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以6AP CP == ，即AP PC +的最小值为303，故C 正确；对于D ，()()0,1,0,1,1,0AB AC =- ，(),1,2AP λλλ=--，设平面APC 的法向量(),,n x y z =，则()0120n AC x y n AP x y z λλλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+-+=⎪⎩ ，可取()2,2,21n λλλ=- ，则点B 到平面APC的距离为AB n n ⋅= 当0λ=时，点B 到平面APC 的距离为0，当01λ<≤2==，当且仅当12λ=时，取等号，所以点B 到平面APC的最大距离为2，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是建立空间直角坐标系，求得(),1,2AP λλλ=--，()1,,2CP λλλ=--，从而利用空间向量法逐一分析判断各选项即可.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共三小题，每小题5分，共15分.12.已知向量(2,,4),(1,4,2)a m b =-=- ，且a b ⊥ ，则实数m =______.【答案】52##2.5【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可直接构造方程求得结果.【详解】因为a b ⊥ ，所以·2480a b m =-+-= ，解得52m =.故答案为：52.13.已知,,,A B C D 四点共面且任意三点不共线，平面ABCD 外一点P ，满足2(,PD AB PB PC μλλμ=++ 均大于0)，则11λμ+的最小值________.【答案】4【解析】【分析】根据向量的线性表示，结合共面的性质，可得1μλ+=，即可利用基本不等式求解.【详解】由2PD AB PB PC μλ=++可得()()222PD PB PA PB PC PA PB PC μλμλ=-++=-+++ ,,,,A B C D 四点共面且任意三点不共线，所以221μλ-+++=，故1μλ+=，由于,λμ均为正数，所以()11224μλμλλμλμ⎛⎫++=++≥+⎪⎝⎭，当且仅当μλλμ=，即12μλ==等号成立，故答案为：414.如图，在四面体ABCD 中，ABD △与BCD △均是边长为的等边三角形，二面角A BD C --的大小为90︒，则四面体ABCD 的外接球表面积为______.【答案】20π【解析】【分析】设1O 为BCD △的中心，O 为四面体ABCD 的外接球的球心，过O 作OG AM ⊥，然后在Rt AGO △中，由222GA GO OA +=求出外接球的半径，再由球的表面积公式计算可得.【详解】如图所示：设1O 为BCD △的中心，O 为四面体ABCD 的外接球的球心，则1OO ⊥平面BDC ．因为二面角A BD C --的大小为90︒，即平面ABD ⊥平面BCD ，设M 为线段BD 的中点，外接球的半径为R ，连接,,AM CM OA ，过O 作OG AM ⊥于点G ，易知G 为ABD △的中心，则11OO OG MO MG ===，因为3332MA =⨯=，故1313MG OG ==⨯=，2GA =，在Rt AGO △中，222GA GO OA +=，故22212R +=，则5R =所以外接球的表面积为24π20πS R ==，故答案为：20π.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.111ππ1,2,23AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=∠=．（1）用向量1,,AB AD AA 表示向量1BD ，并求1BD；（2）求1cos ,BD AC ．【答案】（1）11BD AD AA AB =+-（2）3【解析】【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；（2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.【小问1详解】111A BD D AB AD AA AB =-=+-，则2222211111()222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+-=+++⋅-⋅-⋅111412120221622=+++⨯⨯⨯--⨯⨯⨯=，所以1BD =【小问2详解】由空间向量的运算法则，可得AC AB AD =+ ，因为11,2AB AD AA ===且11ππ,23BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，所以AC====，11()()BD AC AD AA AB AB AD⋅=+-⋅+2211AD AB AD AA AB AA AD AB AD AB=⋅++⋅+⋅--⋅22ππππ11cos121cos21cos111cos22332=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯=，则1113cos,3BD ACBD ACBD AC⋅==⋅.16.已知(1,2),(5,0),(3,4)A B C.（1）若,,,A B C D四点可以构成平行四边形，求点D的坐标；（2）在（1）的条件下若点D在第四象限的情况下，判断,,,A B C D构成的平行四边形是否为菱形.【答案】（1）(1,6)-或(7,2)或(3,2)-（2）不是菱形【解析】【分析】（1）分四边形ABCD、ABDC、ACBD是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解即可；（2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为1-即可.【小问1详解】由题意得021512ABk-==--，42131ACk-==-，40235BCk-==--，设(),D a b，若四边形ABCD是平行四边形，则CD ABk k=，AD BCk k=，即4132221baba-⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=-⎪-⎩，解得16ab=-⎧⎨=⎩，即()1,6D-.若四边形ABDC是平行四边形，则CD ABk k=，BD ACk k=，即4122015b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，解得72a b =⎧⎨=⎩，即()7,2D .若四边形ACBD 是平行四边形，则BD AC k k =，AD BC k k =，即015221b a b a -⎧=⎪⎪-⎨-⎪=-⎪-⎩，解得32a b =⎧⎨=-⎩，即()3,2D -.综上所述，点D 的坐标为()1,6-或()7,2或()3,2-.【小问2详解】若D 的坐标为()3,2-，因为12AB k =-，直线CD 的斜率不存在，所以平行四边形ACBD 不是菱形.17.四棱锥M CDEF -中，平面MCD ⊥平面CDEF ，//DE CF ，24DE CF ==，CF EF CD ==，MCD △是正三角形，点N 是ME的中点．（1）求证：//FN 平面MCD ；（2）求点D 到平面MCE 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）记点H 是MD 的中点，连接,HN CH ，利用线线平行证明线面平行；（2）连接CE ，过点C 作CP DE ⊥于点P ，可证平面MCD ⊥平面MCE ，作DQ CM ⊥于点Q ，点Q 到平面MCE 的距离为DQ .【小问1详解】证明：记点H 是MD 的中点，连接,HN CH ，点N 是ME 的中点，∴//NH DE ，且12NH DE =，//CF DE ，且12CF DE =，∴//NH CF ，且NH CF =，∴四边形CFNH 为平行四边形，∴//CH FN ，CH ⊂平面,MCD FN ⊄平面MCD ，∴//FN 平面MCD ．【小问2详解】解：连接CE ，过点C 作CP DE ⊥于点P ，由题知，11()(42)122DP DE CF =-=⨯-=，∴3CDP π∠=，∴CE ===，∴222CD CE DE +=，∴CE CD ⊥，∴平面MCD ⊥平面CDEF ，平面MCD 平面CDEF CD =，∴CE ⊥平面MCD ，又CE ⊂平面CME ，∴平面MCD ⊥平面MCE ，作DQ CM ⊥于点Q ，又平面MCD 平面MCE CM =，则DQ ⊥平面MCE ，即点Q 到平面MCE 的距离为DQ ．由MCD △是正三角形，且2CD =得3DQ =∴点D 到平面MCE 318.某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求,a b 的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.【答案】（1）0.005a =，0.025b =（2）众数为70，平均数为69.5，60%分位数为71.7（3）25【解析】【分析】（1）由第三､四､五组的频率之和为0.7，所有组频率之和为1，列方程求,a b 的值；（2）由频率分布直方图中众数､平均数和百分位数的定义公式计算；（3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题.【小问1详解】因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以()0.0450.020100.7a ++⨯=，解得0.005a =，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，所以0.025b =.【小问2详解】众数为70,平均数为500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以60%分位数在第三组，且为0.60.3651071.70.45-+⨯≈.【小问3详解】第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，则第四组抽4人，记为a b c d ,,,，第五组抽1人，记为A ，则从这5人中选出2人，有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a A b c b d b A c d c A d A 共10种结果，两人来自不同组有()()()(),,,,,,,a A b A c A d A 共4种结果，所以两人来自不同组的概率为42105P ==.19.在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，,D E 分别是,AC AB 上的点，满足DE BC ∥且DE 经过ABC V 的重心，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，M 是1A D 的中点，如图所示.（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）在线段1AC 上是否存在点N ，使平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为34？若存在，求出CN 的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）π4（3或【解析】【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系；（2）以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CA 为z 轴，建立空间直角坐标系.用向量法求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）假设存在点N ，使平面CBM 与平面BMN 成角余弦值为34，设1CN CA λ= ，分别求解两平面的法向量，用λ表示余弦值解方程可得.【小问1详解】因为在Rt ABC △中，90C ∠=︒，DE BC ∥，且BC CD ⊥，所以DE CD ⊥，DE AD ⊥，则折叠后，1DE A D ⊥，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以DE ⊥平面1A CD ，1A C ⊂平面1A CD ，所以1DE A C ⊥，又已知1A C CD ⊥，CD DE D = 且都在面BCDE 内，所以1A C ⊥平面BCDE ；【小问2详解】由（1），以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CA 为z 轴，建立空间直角坐标系-C xyz .因为2AD CD =，故223DE BC ==，由几何关系可知，2CD =，14A D =，1AC =，故()0,0,0C ，()2,0,0D ，()2,2,0E ，()0,3,0B，(10,0,A，(M，(CM =，(10,3,A B =-，(12,2,A E =- ，设平面1A BE 的法向量为(),,n x y z =r ，则1100n A B n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即30220y x y ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩，不妨令2y =，则z =，1x =，(1,n = .设CM 与平面1A BE 所成角的大小为θ，则有sin cos ,2CM n CM n CM n θ⋅===，设θ为CM 与平面1A BE 所成角，故π4θ=，即CM 与平面1A BE 所成角的大小为π4；【小问3详解】假设在线段1AC 上存在点N ，使平面CBM 与平面BMN成角余弦值为4.在空间直角坐标系中，(1,BM =-，CM =，1(0,0,CA =，设1CN CA λ=，则(0,0,)CN =，(0,3,0)(0,0,)(0,3,)BN BC CN =+=-+=-，设平面BMN 的法向量为()2222,,n x y z = ，则有2200n BM n BN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222223030x y y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，不妨令2z =，则22y λ=，263x λ=-，所以(263,2n λλ=-，设平面CBM 的法向量为()3333,,n x y z = ，则有3300n BM n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即3333330x y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，不妨令3z =，则33x =-，30=y，所以(3n =-，若平面CBM 与平面BMN成角余弦值为4.则满足232323cos,4n nn nn n⋅==，化简得22310λλ-+=，解得1λ=或12，即1CN CA=或112CN CA=，故在线段1AC上存在这样的点N，使平面CBM与平面BMN 成角余弦值为34.此时CN的长度为或。

高二数学月考总结范文8篇第1篇示例：高二数学月考总结范文在高二数学月考中，我认真备考，充分复习，取得了一定的成绩。

通过这次考试，我深刻体会到了数学学习的重要性，也发现了自己在学习上的一些不足之处。

接下来，我将对这次月考进行总结，分析自己的情况，并提出改进措施，以便在接下来的学习中取得更好的成绩。

这次月考中我对于基础知识的掌握不够扎实。

在做题时，我发现有一些基础知识点并没有彻底掌握，导致在解题过程中出现了一些错误。

在接下来的学习中，我需要重点复习数学的基础知识，夯实基础，以便更好地应对各种题型。

我在解题过程中有时会出现粗心大意的情况。

有些简单的题目，由于我没有认真仔细地阅读题目，导致答案出错。

我在做题时需要更加细心，不能急于求成，要认真阅读题目，仔细分析，确保每一步都正确无误。

我发现自己在解答解答题时缺乏灵活性。

有些题目虽然之前复习过，但在考试时因为题目的稍微变化或稍微难度的提高就无法正确解答。

我需要增加日常练习的量，进行更多的题目练习，提高自己的解题灵活性和应变能力。

我在复习时发现自己对于一些题型的应用能力不足。

在解题过程中，我缺乏对数学知识的灵活应用，只停留在死记硬背知识点的程度，缺乏对于实际问题的思考和解答。

我需要增加学习的深度，多做一些应用题，培养自己的数学思维能力，提高解决实际问题的能力。

这次高二数学月考让我深刻认识到了自己在学习中的不足之处，并为我未来的学习提供了很好的借鉴。

在接下来的学习中，我将继续努力，加强对基础知识的复习，提高解题的细心程度，增加练习的量，培养解题的灵活应用能力，以便在数学学习中取得更好的成绩。

我相信通过自己的努力，我一定能够取得更大的进步，不断提高自己的数学水平。

第2篇示例：本次高二数学月考已经顺利结束，各位同学们经过一番紧张的答题后，相信大家都有了自己的感悟与收获。

以下是对本次数学考试的总结与反思。

本次数学考试涵盖了高中数学的各个章节与知识点，考查的内容非常全面。

高二数学第一次月考试卷分析与反思开学已将近一个月，为以考促学，以考促教，有效提高学生的学习效率，在年级部的组织下，本周一晚上利用一、二晚自习的时间进行了本学期第一次月考。

考试结束后，数学组教师及时认真阅卷，之后对各班成绩进行详细分析，总结本阶段教学工作的得与失，认真反思，为下一步更好完成教学工作而努力。

一、试卷结构本试卷内容主要以必修五等差数列和等差数列求和为主，选择题占50分，填空题20分，解答题50分，总分120分，试卷难度不大，考查了学生对基础知识、基本技能的掌握情况，在能力方面考查了学生分析问题、解决问题的基本能力。

二、成绩总体分析各班成绩情况不理想，两个清华英才班平均分分别为80.1和79.7，最高分105，总体看分数集中在70-80分之间，高分不多。

选择题失分多的是第9题构造数列，解答题失分严重的是17题，本题学生不能够灵活应用所学知识，导致失分严重，解答题失分严重的是18和19题。

三、失分原因分析（1）基础知识不牢固，主要反映在选择题和填空题上，例如8题、9题，对基础知识的理解不深入、不透彻，基本方法掌握不到位，应变能力差。

（2）审题不清，对题意的理解有误，如18 、17题。

（3）解题不规范，解题不规范反映在解答题。

在解答题中，主要表现为丢、漏步骤，有的同学或有思路，但不知如何把题设表述成数学语言。

（4）学生计算能力较差，几乎所有学生在计算上都有不同程度的失分现象。

这是我们学生普遍存在的问题，也是目前学习数学的一个巨大的障碍。

四、对课堂教学情况的反思（1）有时课堂效率低，讲的多，练的少。

（2）学生学习主动性不强，老师布留的课下作业不能够按时完成，教师课下督促检查不及时、不到位。

五、改进措施（1）在数学教学中充分调动学生的学习主动性、积极性，培养他们学习数学的兴趣，提高课堂效率。

（2）加强基础，强化习惯，重视数学基础教学，加强数学基本功训练是学好数学的法宝，在平时的教学中，多帮助学生复习以往的知识，经常性地对学生进行查漏补缺，科学编制一些简易又能强化学习结果的方案，并不定时地进行检测、评估和矫正。

2024-2025学年广东省三校高二数学上学期第一次月考试卷一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）1.如图所示，在三棱台A B C ABC '''-中，截去三棱锥A ABC '-，则剩余部分是（）A.三棱锥B.四棱锥C.三棱柱D.组合体【答案】B 【解析】【分析】根据图形和棱锥的定义及结构特征，即可得出结论．【详解】三棱台A B C ABC '''-中，沿平面A BC '截去三棱锥A ABC '-，剩余的部分是以A '为顶点，四边形BCC B ''为底面的四棱锥A BCC B '''-．故选：B2.棱长为1的正四面体的表面积为（）A.B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】利用三角形的面积公式可得出正四面体的表面积.【详解】棱长为1的正四面体的表面积为2211341sin 6041222S =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= .故选：A.3.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别为棱1111,,,A D B C BC AD 的中点，则（）A.直线HE 与直线GF 是异面直线B.直线HE 与直线1BB 是异面直线C.直线HE 与直线1CC 共面D.直线HE 与直线BF 共面【答案】C 【解析】【分析】由正四棱台的结构特征，侧棱的延长线交于同一点，,HE GF 的延长线必过此点，可判断选项中的线线位置关系.【详解】延长1111,,,AA BB CC DD ，由正四棱台的性质可得侧棱1111,,,AA BB CC DD 的延长线交于同一点，设该交点为P .,,,E F G H 分别为棱1111,,,A D B C BC AD 的中点，延长,HE GF ，则,HE GF 的延长线必过点P ，则直线HE 与直线GF 相交于点P ；与直线1BB 相交于点P ；与直线1CC 相交于点P ；与直线BF 是异面直线.故选：C.4.底面积是π，侧面积是3π的圆锥的体积是（）A. B.C.2π3D.π3【答案】D 【解析】【分析】先利用圆锥的侧面积公式求出母线长，进而求出高，再利用圆锥的体积公式求解．【详解】设圆锥的母线长为l ，高为h ，半径为r ，则2ππS r ==底且=π3πS r l ⨯⨯=侧，故1,3r l ==h ∴===∴圆锥的体积为21π1π33⨯⨯⨯=．故选：D ．5.已知正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11B C 中点，则异面直线1BA 与C 所成角的余弦值为（）A.10B.5C.10D.5【答案】D 【解析】【分析】连接1CD ，1D E ，根据异面直线所成角的定义，转化为求1D CE ∠（或其补角），然后在1D CE 中用余弦定理即可解得.【详解】连接1CD ，1D E，如图：因为1111ABCD A B C D -为正方体可得11//CD BA ，所以1D CE ∠（或其补角）是异面直线1BA 与C 所成角，设正方体的棱长为a，1CD ===，155,22CE D E a ===，在1D CE 中，2221111cos 2CD CE D E D CE CD CE +-∠=⋅⋅22255244a a a +-=5=，所以异面直线1BA 与C 所成角的余弦值是5.故选：D.6.如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1114,2,3AB A B AA ===，则该正四棱台的体积为（）A.1129B.1409C.1123D.1403【答案】A 【解析】【分析】作出截面，过点1A 作1A E AC ⊥，结合等腰梯形的性质得到高，再计算体积即可.【详解】过11,AC A C 作出截面如图所示，过点1A 作1A E AC ⊥，垂足为E ，易知1A E 为正四棱台1111ABCD A B C D -的高，因为1124,AB A B ==，所以由勾股定理得11AC A C ==，又113CC AA ==，则在等腰梯形11ACC A 中，AE =，所以143A E ===，所以所求体积为11111114112((1643339ABCD A B C D V S S A E =⨯++⋅=⨯++⨯=.故选：A .7.我国古代数学专著《九章算术》中有这样一个问题:“今有木长二丈，围之三尺.葛生其下，缠木七周，上与木齐.问葛长几何?”其意思为:“圆木长2丈，圆周长为3尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木7周，顶部刚好与圆木平齐，问葛藤长为多少?"若1丈10=尺，则葛藤最少长（）A.21尺 B.25尺C.29尺D.33尺【答案】C 【解析】【分析】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为21（尺），高为20尺，则葛藤的最少长度为矩形的对角线长，利用勾股定理可求得结果.【详解】根据题意知，圆柱的侧面展开图是矩形，如下图所示，矩形的高（即圆木长）为20尺，矩形的底边长为7321⨯=（尺），29=（尺）.故选：C.8.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1AA ，AB 上的中点，且E F P 点是正方形11ABB A 内的动点，若1C P ∥平面1CD EF ，则P 点的轨迹长度为（）A. B.3πC.D.π【答案】C 【解析】【分析】取11A B 的中点H ，1B B 的中点为G ，连接11,,,,GH C H C G EG HF ，可得四边形11EGC D 是平行四边形，可得1C G ∥1D E ,同理可得1C H ∥CF .可得面面平行，进而得出P 点的轨迹.【详解】如图所示，取11A B 的中点H ，1B B 的中点为G ，连接11,,,,GH C H C G EG HF ，则11A B ∥EG ，11A B EG =，且11A B ∥11C D ，1111A B C D =，可得EG ∥11C D ，且11EG C D =，可知四边形11EGC D 是平行四边形，则1C G ∥1D E ，且1C G ⊄平面1CD EF ，1D E ⊄平面1CD EF ，可得1C G ∥平面1CD EF ，同理可得：1C H ∥平面1CD EF ，且111C H C G C = ，11,C H C G ⊂平面1C GH ，可知平面1C GH ∥平面1CD EF ，又因为P 点是正方形11ABB A 内的动点，1C P ∥平面1CD EF ，所以点M 在线段GH 上，由题意可知：1111,22GH A B EF A B ==，可得GH EF ==，所以P 故选：C.二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的部分分，有选错的得0分.）9.已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题，其中正确的是（）A.若αβ⊥，l β⊥，则l α∥B.若m β⊥，l m ∥，l α⊂，则αβ⊥C.若αβ∥，m α⊥，l β⊂，则l m ⊥D.若m αβ= ，l α∥，则l m∥【答案】BC 【解析】【分析】根据空间中垂直关系的转化可判断ABC 的正误，根据线面平行定义可判断D 的正误.【详解】对于A ，若αβ⊥，l β⊥，则l α∥或l α⊂，故A 错误；对于B ，若m β⊥，l m ∥，则l β⊥，而l α⊂，故αβ⊥，故B 正确；对于C ，若αβ∥，m α⊥，则m β⊥，而l β⊂，故l m ⊥，故C 正确；对于D ，若m αβ= ，l α∥，则l m ∥或,l m 异面，故D 错误，故选：BC10.在实践课上，小华将透明塑料制成了一个长方体容器1111ABCD A B C D -，如图（1），2AB BC ==，15A A =，在容器内灌进一些水()14D H DH =，现固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，如图（2），则（）A.有水的部分始终呈三棱柱或四棱柱B.棱11A D 与水面所在平面平行C.水面EFGH 所在四边形的面积为定值D.当容器倾斜成如图（3）所示时，EF 的最小值为【答案】ABD 【解析】【分析】由棱柱的概述判断A ；由线面平行判定定理判断B ；计算EFGH S 可判断C ；利用基本不等式可判断D.【详解】由棱柱的定义知，选项A 正确；对于选项B ，由于11A D BC ∥，BC FG ∥，所以11A D FG ∥，且11A D 不在水面所在平面内，所以棱11A D 与水面所在平面平行，选项B 正确；对于选项C ，在图（1）中，4EFGH S FG EF BC AB =⋅=⋅=，在图（2）中，4EFGH S FG EF AB BC =⋅>⋅=，选项C 错误；对于选项D ，12212V BE BF BC =⨯⨯=⋅⋅⋅水，所以4BE BF ⋅=．22228EF BE BF BE BF =+≥⋅=，当且仅当2BE BF ==时，等号成立，所以EF 的最小值为，选项D 正确．故选：ABD ．11.半正多面体（semiregular solid ）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成（如图所示），则（）A.BF ⊥平面EABB.该二十四等边体的体积为203C.该二十四等边体外接球的表面积为6πD.PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为2【答案】BD 【解析】【分析】A 用反证法判断；B 先补齐八个角成正方体，再计算体积判断；C 先找到球心与半径，再计算表面积判断；D 先找到直线与平面所成角，再求正弦值判断．【详解】对于A ，假设A 对，即BF ⊥平面EAB ，于是BF AB ⊥，90ABF ∠=︒，但六边形ABFPQH 为正六边形，120ABF ∠=︒，矛盾，所以A 错误；对于B ，补齐八个角构成棱长为2的正方体，则该二十四等边体的体积为3112028111323-⋅⋅⋅⋅⋅=，所以B 对；对于C ，取正方形A C P M 对角线交点O ，即为该二十四等边体外接球的球心，其半径为R =24π8πR =，所以C 错误；对于D ，因为PN 在平面EBFN 内射影为NS ，所以PN 与平面EBFN 所成角即为PNS ∠，其正弦值为2PS PN ==，所以D 对．故选：BD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分）12.如下图，三角形A'B'C'是三角形ABC 的直观图，则三角形ABC 的面积是_______.【答案】2【解析】【分析】画出原图形可得答案.【详解】由直观图画出原图，如图，可得ABC V 是等腰三角形，且2,2BC OA ==，所以三角形ABC 的面积12222S =⨯⨯=.故答案为:2.13.圆柱的底面半径为1，侧面积为10π，则该圆柱外接球的表面积为______．【答案】29π【解析】【分析】先利用侧面积求出圆柱的高，再求出球的半径可得表面积.【详解】设圆柱的高为h ，其外接球的半径为R ，由圆柱的底面半径为1，侧面积为10π，得2π10πh =，解得5h =，由圆柱和球的对称性可知，球心位于圆柱上下底面中心连线的中点处，因此2R ==，所以球的表面积为24π29πS R ==.故答案为：29π14.球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，一个球面的半径为R ，球冠的高是h ，球冠的表面积公式是2πS Rh =.如图2，已知,C D 是以AB 为直径的圆上的两点，ππ,63AOC BOD ∠∠==，扇形COD 的面积为π，则扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体的表面积为__________.【答案】)61π【解析】【分析】首先求出DOC ∠，再根据扇形面积公式求出圆的半径，过点C 作CE AB ⊥交AB 于点E ，过点D 作DF AB ⊥交AB 于点F ，即可求出,,,,,CE OE AE OF BF DF ，将扇形DOC 绕直线AB 旋转一周形成的几何体为一个半径R 的球中上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，再根据所给公式分别求出表面积.【详解】因为ππ,63AOC BOD ∠∠==，所以π2DOC ∠=，设圆的半径为R ，又2COD 1ππ22S R =⨯⨯=扇形，解得2R =（负值舍去），过点C 作CE AB ⊥交AB 于点E ，过点D 作DF AB ⊥交AB 于点F ，则ππsin 1,cos 66CE OC OE OC ====，所以2AE R OE =-=-，同理可得1DF OF ==，将扇形COD 绕直线AB 旋转一周形成的几何体为一个半径2R =的球中，上下截去两个球缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高12h =，上面圆锥的底面半径11r =，高为1h ='，下面球缺的高21h =，下面圆锥的底面半径2r =21h ='，则上面球冠的表面积(112π2π228πs Rh ==⨯⨯-=-，下面球冠的表面积222π2π214πs Rh ==⨯⨯=，球的表面积24π16πS R ==球，上面圆锥的侧面积111ππ122πS rl ==⨯⨯='，下面圆锥的侧面积222ππ2S r l ==='，所以几何体的表面积())''121116π8π4π2π61πS S S S S S =--++=---++=球.故答案为：)61π+.【点睛】关键点点睛：本题关键是弄清楚经过旋转之后得到的几何体是如何组成，对于表面积要合理转化.四、解答题（本题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，11A B ，11A C 的中点.（1）求证：B ，C ，H ，G 四点共面；（2）求证：平面//BCHG 平面1A EF ；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）证明出//GH BC ，得到四点共面；（2）先得到1//A E BG ，//GH EF ，证明出线面平行，面面平行.【小问1详解】∵G ，H 分别是11A B ，11A C 的中点，∴GH 是111A B C △的中位线，∴11//GH B C ，又在三棱柱111ABC A B C -中，11//B C BC ，∴//GH BC ，∴B ，C ，H ，G 四点共面.【小问2详解】∵在三棱柱111ABC A B C -中，11//A B AB ，11A B AB =，∴1//A G EB ，1111122A G AB AB EB ===，∴四边形1A EBG 是平行四边形，∴1//A E BG ，∵1A E ⊂平面1A EF ，BG ⊂/平面1A EF ，∴//BG 平面1A EF .又E ，F 是AB ，AC 的中点，所以//EF BC ，又//GH BC .所以//GH EF ，∵EF ⊂平面1A EF ，GH ⊂/平面1A EF ，∴//GH 平面1A EF .又BG GH G = ，,BG GH ⊂平面BCHG ，所以平面//BCHG 平面1A EF .16.如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN ⊥PM ，N 为垂足.（1）若2PA AM BM ===，Q 为PB 的中点，求三棱锥Q ABM -的体积；（2）求证：AN ⊥平面PBM ；（3）若AQ ⊥PB ，垂足为Q ，求证：NQ ⊥PB.【答案】（1）23（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先得到1433P AMB AMB V S PA -=⋅= ，根据Q 为PB 的中点，故1223Q ABM P AMB V V --==；（2）由线线垂直，得到线面垂直，即BM ⊥平面PAM .，故BM ⊥AN ，又AN ⊥PM ，从而得到线面垂直；（3）由(1)知AN ⊥平面PBM ，故AN ⊥PB ，又AQ ⊥PB ，故PB ⊥平面ANQ ，得到答案.【小问1详解】因为AB 为⊙O 的直径，所以AM ⊥BM ，又2AM BM ==，故122AMB S AM BM =⋅= ，又PA 垂直于⊙O 所在的平面，2PA =，故11422333P AMB AMB V S PA -=⋅=⨯⨯= ，因为Q 为PB 的中点，所以11422233Q ABM P AMB V V --==⨯=.【小问2详解】∵AB 为⊙O 的直径，∴AM ⊥BM .又PA ⊥平面ABM ，BM ⊂平面ABM ，∴PA ⊥BM .又∵PA AM A = ，PA ，AM ⊂平面PAM ，∴BM ⊥平面PAM .又AN ⊂平面PAM ，∴BM ⊥AN .又AN ⊥PM ，且BM PM M = ，BM ，PM ⊂平面PBM ，∴AN ⊥平面PBM .【小问3详解】由(1)知AN ⊥平面PBM ，PB ⊂平面PBM ，∴AN ⊥PB .又∵AQ ⊥PB ，AN ∩AQ ＝A ，AN ，AQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥平面ANQ .又NQ ⊂平面ANQ ，∴PB ⊥NQ .17.我国古代数学名著《九章算术》中，称四面都为直角三角形的三棱锥为“鳖臑”．如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面,BCD BC CD ⊥．（1）证明：三棱锥A BCD -为鳖臑；（2）若E 为AD 上一点，点,P Q 分别为,BC BE 的中点．平面DPQ 与平面ACD 的交线为l ．①证明：直线//PQ 平面ACD ；②判断PQ 与l 的位置关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②平行，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理即可求解；（2）①利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可求解；②利用①的结论及线面平行的性质定理即可求解.【小问1详解】∵BC CD ⊥，∴BCD △为直角三角形，∵AB ⊥平面BCD ，且BD ⊂平面BCD ，⊂BC 平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，∴AB BC ⊥，AB BD ⊥，AB CD ⊥，∴ABC V 和ABD △为直角三角形，∵BC AB B ⋂=，BC ⊂平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴CD ⊥平面ABC ，又∵AC ⊂平面ABC ，∴CD AD ⊥，∴ACD 为直角三角形，∴三棱锥A BCD -为鳖曘.【小问2详解】①连接CE ，∵点,P Q 分别为,BC BE 的中点，∴//PQ CE ，且PQ ⊄平面ACD ，CE ⊂平面ACD ，所以直线//PQ 平面ACD ，②平行，证明：//PQ 平面ACD ，PQ ⊂平面DPQ ，平面DPQ ⋂平面ACD =l ，所以//PQ l .18.一块四棱锥木块如图所示，SD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，且60BAD ∠=︒，224AB BC SD ===.（1）要经过点B 、D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱SA ，在木料表面该怎样画线？并说明理由；（2）计算（1）中所得截面的面积；（3）求直线SC 与（1）中截面所在平面所成角的正弦值.【答案】（1）,ED EB 即为要画的线，理由见解析；（2（3）5【解析】【分析】（1）要使截面与SA 平行，考虑构造线线平行，取SC 的中点E ，取ABCD 的对称中心O ,连接OE ,证明//SA OE 即得截面BDE ；（2）分别计算BDE 的三边，再利用三角形面积公式计算即得；（3）利用等体积求出点C 到平面BDE 的距离，再由线面所成角的定义即可求得.【小问1详解】如图，取SC 的中点E ，连接,,ED EB ,则,ED EB 即为要画的线.理由如下：连接BD 与AC 交于点O ，连接OE .因四边形ABCD 为平行四边形，则点O 为AC 的中点，故//SA OE ,又因SA ⊄平面BDE ,OE ⊂平面BDE ,故有SA ∥平面BDE ；【小问2详解】如图中，过点E 作EF DC ⊥于点F ，连接BF ,因SD ⊥平面ABCD ,CD ⊂平面ABCD ，则SD CD ⊥,故//EF SD ,⊥EF 平面ABCD ,112EF SD ==,12DE SC ===因12,60,22CF DC DCB BC ==∠== ，则2BF =,因BF ⊂平面ABCD ，则EF FB ⊥，故BE ==,又由余弦定理，22224224cos6012BD =+-⨯⨯=，故得BD =.又DE DB =，O 为BD 中点，则OE BD ⊥，于是截面的面积为12BDE S =⨯ ；【小问3详解】过点C 作CH ⊥平面BDE ，交平面BDE 于点H ,连接EH,则CEH ∠即直线SC 与截面BDE 所成的角.由E BCD C BED V V --=可得，1133BCD BED S EF S CH ⨯=⨯ ,即得：124sin 6012BCD BED S EF CH S ⨯⨯⨯⨯==，则sin 5CH CEH EC ∠===,即直线SC 与平面BDE所成角的正弦值为5.【点睛】思路点睛：本题主要考查运用线面平行的判定方法解决实际问题和线面所成角的求法，属于较难题.解题的思路在于充分利用平行四边形对角线性质、等腰三角形三线合一，三角形中位线性质等方法寻找线线平行；对于线面所成角问题，除了定义法作图求解外，对于不易找到点在平面的射影时，可考虑运用等体积转化求解.19.空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为π2π3π3-⨯=.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点A 的曲率为2π3，M 为1CC 的中点，且AB AC =.（1）判断ABC V 的形状，并说明理由；（2）若124A A AB ==，求点B 到平面1AB M 的距离；（3）表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面体的顶点数为D ，棱数为L ，面数为M ，则有：2D L M -+=.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率（多面体有顶点的曲率之和）是常数.【答案】（1）ABC V 为等边三角形，理由见解析（2）5（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得1AA AC ⊥，1AA AB ⊥，即可根据曲率的定义求解，（2）利用等体积法，结合锥体体积公式即可求解，（3）根据则多面体的棱数，顶点数，以及内角之和，即可根据曲率的定义求解.【小问1详解】因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，,AC AB ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥，1AA AB ⊥，所以点A 的曲率为π2ππ2232BAC -⨯-∠=，得π3BAC ∠=，因为AB AC =，所以ABC V 为等边三角形.【小问2详解】取BC 中点D ，连接AD 、AM ，因为D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥，因为1BB ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以1BB AD ⊥，因为1BB BC B = ，1,AA AB ⊂平面11ABB A ，所以AD ⊥平面11BB C C ；所以AD 是三棱锥1A BB M -的高.设点B 到平面1AB M 的距离为h ，则有11B AB M A BB M V V --=，即11AB M BB M S h S AD =⋅.在11Rt AA B △中有1AB ==，同理计算得1AM B M BM ===，AD =.所以112AB M S =⨯=，114242BB M S =⨯⨯=，所以455h ==.【小问3详解】证明：设多面体有M 个面，给组成多面体的多边形编号，分别为1,2,,M ⋅⋅⋅号，设第i 号()1i M ≤≤多边形有i L 条边，则多面体共有122M L L L L ++⋅⋅⋅+=条棱，由题意，多面体共有12222M L L L D M L M ++⋅⋅⋅+=-+=-+个顶点，i 号多边形的内角之和为π2πi L -，所以所有多边形的内角之和为()12π2πM L L L M ++⋅⋅⋅+-，所以多面体的总曲率为()122ππ2πM D L L L M ⎡⎤-++⋅⋅⋅+-⎣⎦()12122π2π2π4π2M M L L L M L L L M ++⋅⋅⋅+⎛⎫⎡⎤=-+-++⋅⋅⋅+-= ⎪⎣⎦⎝⎭.所以简单多面体的总曲率为4π.。

月考成绩分析总结与反思6篇月考成绩分析总结与反思 (1) 时间过得飞快，一眨眼之间开学的第一次月考已经结束了。

面对这一张张优而不尖和“绊脚石”似的的分数令我不禁陷入沉思;看看一道道不该错的题目被打上大大的叉时，心底里感到无限地自责……数学的成绩确实不能让自己满意。

数学是开学以来主攻的科目，时间精力的投入收到了一定效果，但是细节与知识的结合还有漏洞，在以前没有养成良好的学习习惯，对概念的模糊，都在这份数学试卷中暴露了。

压轴题上不去，细节还扣分，这样高不成低不就的学习是必须要摒弃的。

学习知识就要新旧结合，同时还要锻炼思维的严谨性，把知识点学透不能摸棱两个。

只有把只是学透了，思维才能得到充分的发散。

还有一些完全是粗心造成的，使那本该属于我的分数离我而去。

学习必须循序渐进。

只有地基打牢固了,高楼大厦才不会倾斜;只有走稳了,才会轻松地跑。

学习任何知识，必须注重基本训练，要一步一个脚印，由易到难，扎扎实实地练好基本功，不要前面的内容没有学懂，就急着去学习后面的知识;更不能基本的习题没有做好，就一味去钻偏题、难题。

这是十分有害的。

在今后的学习生活中，仍然有一段很长的路要走，良好的学习习惯是成功的保障。

我的目标就是在所有考试中不丢让自己觉得遗憾的分。

学习而不思考，等于吃饭不消化，我相信对于学习中的问题，有了好的学习态度，在经过自己的思考和总结一定会提升自己的学习质量。

月考成绩分析总结与反思 (2) 初中的第一次月考成绩已经出炉，语文92分全班第一，数学98分居次席，英语100，综合91，第一次月考的反思。

这看似良好的成绩，其中还藏着小小的遗憾，这些遗憾都是由疏忽大意造成的。

先说语文，除去作文扣的四分，其余的四分丢的真不应该，两道题回答不完整各扣一分，一道没加引号扣一分，一道“画蛇添足”扣掉一分。

我如果能一丝不苟的去完成它们，语文成绩岂不是一个多么可观的数字?数学的马虎更不应该，一失手成千古恨，把x的绝对值当成了x，虽说一个是对的，但把绝对值弄成个负数，简直心里后悔地像老鼠在挠。

高二月考年级质量分析报告高二月考年级质量分析报告尊敬的校领导、各位老师、同学们：大家好！今天我将向大家汇报高二年级月考的质量分析情况。

一、总体情况分析本次高二年级月考是对学生们最近学习成果的一次全面检测。

共有XX名学生参加了考试，占年级总人数的XX%。

考试科目包括了语文、数学、英语、物理、化学和生物等六门必修科目，每门科目均为闭卷考试。

考试时间为三天，以考试为主，没有进行复习和讲解。

整体来看，学生们在此次考试中表现出了积极向上的学习态度和较高的答题积极性。

二、总体成绩分析根据成绩统计，高二年级总体平均成绩为XX分（满分100分），高出全年级平均分XX分。

本次考试中，共有A （优秀）、B（良好）、C（中等）、D（及格）和E（不及格）五个等级的成绩。

具体成绩分布情况如下：A等级人数占比XX%，B等级人数占比XX%，C等级人数占比XX%，D等级人数占比XX%，E等级人数占比XX%。

三、科目成绩分析1. 语文：语文科目平均成绩为XX分。

整体来看，学生们在对文言文的理解、文言文阅读和写作等方面还有一定的不足。

建议加强阅读理解和写作的训练，提高学生们的文言文水平。

2. 数学：数学科目平均成绩为XX分。

学生们在综合运用解题方法和思维能力方面表现出了较高的水平，但是在一些基础概念的理解和运用上存在一定的不足。

建议加强对基础概念的讲解和巩固，提高学生们的数学思维能力。

3. 英语：英语科目平均成绩为XX分。

学生们在听力和阅读理解方面表现出了较好的水平，但在语法和写作等方面还存在一定的问题。

建议加强语法知识的讲解和练习，提高学生们的英语写作能力。

4. 物理、化学和生物：这些科目的平均成绩分别为XX 分、XX分和XX分。

一部分学生在实验操作和问题解答方面表现出了较好的水平，但在基础理论知识的掌握和应用上还存在一定欠缺。

建议加强理论知识的讲解和实践操作的训练，提高学生们的科学素养。

四、问题分析与建议经过对本次高二月考成绩的分析，我们发现了一些问题，并提出了相应的建议。

高二数学月考成绩分析1. 引言本次分析的对象是高二数学月考成绩，我们将对学生的成绩分布、优势与劣势、以及可能存在的问题进行深入分析，为后续的教学提供有益的参考。

2. 成绩分布本次月考共吸引了XXX名学生参加，其中最高分为XXX分，最低分为XXX分，平均分为XXX分。

成绩分布如下：3. 优势与劣势分析通过对成绩的深入分析，我们发现以下几个方面的优势与劣势：3.1 优势- 大部分学生在基础题型方面表现良好，错误率较低。

- 一部分学生在解决问题和应用题方面有较强的能力。

3.2 劣势- 部分学生在选择题和填空题方面错误较多，可能对基础知识掌握不够牢固。

- 少数学生在解决问题和应用题方面表现较差，可能需要加强训练。

4. 可能存在的问题通过对本次月考成绩的分析，我们发现以下几个可能存在的问题：- 部分学生可能存在态度不端正，导致在考试中粗心大意，出现低级错误。

- 少数学生可能在方法上存在问题，需要改进策略，提高效率。

- 部分教师在教学方法和内容上可能需要调整，以适应学生的需求。

5. 建议与措施针对上述分析结果，我们提出以下建议与措施：5.1 学生方面- 加强基础知识的，尤其是选择题和填空题部分。

- 提高解决问题的能力，多做应用题训练。

- 端正态度，培养良好的考试惯。

5.2 教师方面- 针对学生的劣势，调整教学内容和方法，加强薄弱环节的训练。

- 关注方法指导，提高学生的效率。

- 定期进行教学质量评估，持续改进教学。

6. 总结本次月考成绩分析揭示了高二学生在数学方面的优势与劣势，为后续的教学提供了有益的参考。

希望通过本次分析，能够引起学生和教师对存在问题的关注，并采取相应措施加以改进，提高教学质量。

岑巩二中高二数学第一次月考试卷质量分析本次数学月考范围是直线方程，圆的方程，程序框图三个部分。

这三大部分特点是：概念多，内容多，知识点多，容量大。

而且比较抽象，与之前学习的数学明显不一样，很多学生比较不适应。

加上学生数学基础较薄弱，运算能力低，思维层次有限，考试成绩不是很理想。

现将本次月考试卷的考试情况作如下分析：一、试卷的评价1、试卷的基本情况：数学考试时间为120分钟。

数学学科的题型包括单项选择题、填空题和解答题。

2、试卷的基本特点：（1）基础性强。

试题立足于数学基础知识，以重点知识来设计题目。

重在考查学生对数学基础知识的掌握情况。

如选择题的第二题，第六题，第十题。

都是课本上的重点知识。

（2）标高适度。

基于目前二中学生的学习能力和数学教学的现状，试卷没出现较大的偏题、怪题，整卷的试题难度应该说是适中的。

（3）题目设计具有简明性。

题意指向明确，题目的表述较清楚，简单明了，学生审题时一目了然。

二、试卷成绩情况本次考试，因不分文理科，故文理科成绩相差有一定的距离，平均分理科较文科的高，及格率也是如此，学生得分分布较为均匀，但也有少数分数偏低的情况。

三、学生答题质量分析1、优点（1）对数学教材的主干知识掌握得较好。

学生能根据要求加以复习巩固，对重点知识的掌握较熟练。

（2）能正确地运用解题方法。

大部分学生能采用较常用的直选法和排除法来解答选择题。

（3）能根据题意认真解答。

大部分学生能根据题目的要求，认真分析问题，正确地得出答案。

（4）部分学生的学科能力有所提高。

大部分学生的再认再现能力较强；部分学生善于运用已知知识进行分析判断，此次判断题的得分率略高，在一定程度上反映学生具备了理解、分析能力。

2、存在问题（1）基本功不扎实。

书写不公正、不规范，错别字多。

如解答题的“解”字忘写或者是没有解答过程。

（2）同类知识混淆不清。

学生对同类知识掌握不牢固，张冠李戴的现象很普遍。

如解答题的17和18题，把垂直平分线和中线的概念混淆，故而出现求解错误。