证明不等式的常用方法和技巧.

1、设 x 1,x2,x3,x4＞ 0，求证：
x12
+
x
2 2
+
x32
+
x42
≥ x 1+x 2+x3+x 4
x2 x3 x4 x1
b 2、设 a,b,c＞ 0，求证：
c x2+ c
a y2+ a
b z2 ≥ 2(xy+yz+xz)
a
b
c
3、设 a,b,c 为正数，试证： abc≥ (b+c－ a)(c+a－ b)(a+b－ c)
七、构造法 例 18、设 a,b,c 为绝对值小于 1 的实数，求证： ab+bc+ca+1＞ 0
例 19、已知 v ＞ 0,u∈ [－ 2 , 2 ] ，求证： (u－ v) 2+( 2 u 2 － 9 )2≥ 8 v
八、反证法 例 20、已知 a1，a2，…， a8＞ 0 且 a1+a2+… +a8=20 ，a1a2 … a8＜ 13。求证： a1， a2，…， a8 中至少有一个小于 1。
x＞ 0,求证：
1+x+x
2
+
…
+x
2n≥
(2n+1)x
n
11、求证：
n ＜ 1+ 2
1 2
+
1 +… + 3
1 2n
＜n 1
(n≥ 2)
2
2
12、证明：对任意正数 x,y,z 有 x 2 xy y + z 2 y ＞ z 2 zx x2
3
3
2
4
13、若 a,b,c＞ 0，方程 ax +bx+c=0 有实根， 求证：a,b,c 至少有一个数不小于 (a+b+c).
2
2
x 1,x2,… ,xn，
必有 f ( x1 x 2 n
x n )＜ 1 [ f (x 1 )+f (x 2)+ …+f (x n)] n
1 3、(Young 不等式 )设 p,q＞ 1,
1
1 ，则对任何 x,y ≥ 0，有 xy≤ x p
yq 。当且仅
pq
pq
当 xp =yq 时等号成立。
4、(赫德勒不等式 )若 ak≥ 0， bk≥ 0， k=1， 2，…， n，且 p＞ 1， 1 1 1，则 pq
1) 2
a1
a2
an
n
例 7、设
3x
2
+2y
2≤
6，求
p=2x+y
的最大值。
例 8、在△ ABC 中，A 、B、C 是三内角， a、b、c 为其对应边。 求证： aA bB cC abc 3
例 9、 a,b,c＞ 0，求证： a+b+c≤ a 2
b2 b2 +
c2 c2 +
a2
≤
a3 b3 +
c3 +
9
14、任给 7 个实数，证明其中必存在两个实数
例 4、若 m、 n∈N* ，求证： m n m n m nnm 2
例 5、求证：对任意正整数
n，有 (1+ 1 )n+1＞ (1+ 1 )n+2＞ 2
n
n1
例 6、已知 a1,a2,… ,an 都是正数，且 a1+a2+… +an=1，求证：
1 (a1+
)2+(a2 +
1
) 2+…+(a n+
1
)2≥ (n 2
18000 。
7、若 x+y+z=1 ，求 22x 2+33y 2+11z2 的最小值
8、若 n 是不小于 2 的正整数，试证：
4
＜ 1－
1
+
1－
1 +…+
1
－ 1＜
2
7
23 4
2n 1 2n 2
9、已知 a,b,c＞0，求证：
a 12
b 12 +
+
c 12
≥
a10+b
10
+c
10
bc ca ab
10、设
2c
2a
2b
bc ca ab
几个古典不等式
1、(切比雪夫不等式 )若 a1，a2，…， an 和 b1， b2，…， bn 为实数，且 a1≤ a2≤…≤ an，
b1≤ b2≤…≤ bn(或
a1 ≥a2 ≥…≥
an， b1≥ b2≥…≥
bn)，则 (
1n
ni
ai
1
)(
1 n
n
bi
i1
)≤
1 n
n
ai bi
证明不等式的常用方法和技巧
一、比较法 例 1、求证：对任何非负数
a 和 b，不等式 1 (a+b)2+ 1 (a+b) ≥ a b +b a 成立
2
4
二、分析法
例 2、设 0 b a , 求证 : 1 a b 2 a b
8a
2
1 a b2 ab
8b
三、综合法
例 3、对任意实数 x,y,z，有 sinxcosy+sinycosz+sinzcosx ≤ 3 2
例 21、设 f (x) ，g (x) 是 [0，1] 上的增函数。证明： 存在 x 0,y0∈ [0 ，1] ，使得 |x0y0－ f (x 0) － g(y 0)|≥ 1
4
九、数学归纳法
例 22、当 0＜α ＜
， n≥ 2，n∈ N 时，求证： tan nα ＞ ntanα
4(n 1)
练习题：
a2yz+b
2
zx+c
2
xy
≤
0
五、放缩法
例
12、求证：
1+
1 22
1 + 32
1 +…+ n2
＜
7 4
例 13、已知 a,b,c∈ [0,1] ，求证： a + b + c +(1－ a)(1－ b)(1－ c)≤ 1 bc1 c a1 a b1
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例 14、设 x 0=5， xn+1=x n+ 1 ,求证： 45＜ x1000＜45.1 xn
六、代换法 例 15、设 a＞1,n∈ N,n≥ 2，求证： n a 1 ＜ a 1
n
例 16、设 x 1,x2,… ,xn＞0,求证： n (1 x1)(1 x 2 ) (1 x n) － n x1x 2 xn ≥1
例 17、设 a≥4，求证： lg a lg 3 lg(a 2) lg 4 lg 3 lg 2
4、设 x,y,x,w 是四个不全为零为实数，求证：
xy 2yz zw ≤ 2 1
x 2 y2 z2 w2
2
5、求证： (a1+a2+… +an)2≤ n(a12+a22+… +an2)
6、有一个矩形铁片，尺寸是 80× 50，现要在四角各裁去一个同样大小的正方形，做
成无盖盒子。求证上：不管如何裁法，所成盒子的容积不超过
i1
当且仅当 a1=a2=… =an 或 b1=b 2=… =bn 时取等号。
2、(琴生不等式 )设 f (x) 为区间 [a，b] 上的严格下凸函数，即对 x1,x2∈ [a,b], x 1≠x 2，总
有 f ( x1 x 2 )＜ 1 [ f (x1)+f (x 2)] ，则对于 [a ，b] 中任意一组不全相同的值
1
1
n
ak bk
k1
≤
n
(a
k1
p k
)
p
n
(
k
1bkq
)
q
四、判别式法 例 10、已知 A 、B 、 C 是△ ABC 的内角， x,y,z∈R，求证：
x 2+y 2+z2≥ 2xycosC+2yzcosA+2zxcosB
例 11、若 x+y+z=0 ，且 a,b,c 为三角形的三条边长。求证：