基本初等函数的导数公式的推导过程

基本初等函数的导数公式的推导过程

基本初等函数的导数公式推导过程

一、幂函数()f x x α=（α∈Q*）的导数公式推导过程

命题

若()f x x α=（α∈Q*），则()1f x x αα-'=．

推导过程

()f x '

()()()()()()000112220011222011222011220

lim lim C C C C lim C C C C lim C C C lim lim C C C x x x x x x f x x f x x

x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x

x x x x x x

x x x αα

αααααα

ααααααααααααααααααα

αααααα∆→∆→--∆→--∆→--∆→--∆→+∆-=∆+∆-=∆+∆+∆++∆-=∆-+∆+∆++∆=∆∆+∆++∆=∆=+∆++()1111

C x x x ααααα

αα---∆== 所以原命题得证．

三、余弦函数()cos f x x =的导数公式推导过程

命题

若()cos f x x =，则()sin f x x '=-．

推导过程

()f x '

()()()()()()0000020lim cos cos lim cos cos sin sin cos lim cos cos cos sin sin lim cos cos 1sin sin lim cos 12sin 1sin 2sin cos 222lim x x x x x x f x x f x x

x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x

x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆∆-∆-=∆∆--∆=∆∆--∆=∆⎡∆⎤∆∆⎛⎫⎛⎫⋅---⋅ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=()

2000002sin cos 2sin sin cos 222lim 2sin sin cos cos sin 222lim 2sin sin 22lim sin 2lim sin 22lim sin 2sin si x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

x x x x

x x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→⎪∆∆∆∆⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭=∆∆∆∆⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=∆∆∆⎛⎫- ⎪⎝⎭=∆∆⎡⎤⎢⎥∆⎛⎫=-⋅⎢⎥ ⎪∆⎝⎭⎢⎥⎣⎦

∆⎛⎫=- ⎪⎝⎭

=-=-n x

所以原命题得证．

四、指数函数()x f x a =（a ＞0，且1a ≠）的导数公式推导过程

命题

若()x f x a =（a ＞0，且1a ≠），则()ln x f x a a '=． 推导过程

()f x '

()()

0000lim

lim lim 1lim x x x x

x x x x

x x x x f x x f x x

a a x a a a x

a a x ∆→+∆∆→∆∆→∆∆→+∆-=∆-=∆⋅-=∆⎛⎫-=⋅ ⎪∆⎝⎭ 令1x t a ∆=-，则1x a t ∆=+，即()log 1a x t ∆=+．且当0x ∆→时，

1x a ∆→，10x a ∆-→，即0t →．所以原极限可以表示为：

()f x '

()()()0010lim log 11lim 1log 11lim log 1x t a x t a x t t a t a t a t t a t →→→⎡⎤=⋅⎢⎥+⎣⎦

⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥⎢⎥+⎣⎦

⎡⎤⎢⎥=⋅⎢⎥+⎢⎥⎣⎦

又因为()10lim 1e t

t t →+=，所以 ()f x '

1log e ln lne

ln x a x x a a a a a

=⋅

=⋅=

五、对数函数()log a f x x =（a ＞0，且1a ≠，x ＞0）

的导数公式推导过程

命题

若()log a f x x =（a ＞0，且1a ≠，x ＞0），则()1ln f x x a '=． 推导过程

()f x '

()()()000000lim

log log lim 1lim log 11lim log 1lim log 1lim log lim x a a x a x a x a x a x x f x x f x x

x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆-=∆⎡+∆⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣⎦⎡+∆⎤⎛⎫⎛⎫=⋅⋅ ⎪ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡+∆⎤⎛⎫=⋅ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣

⎦⎧⎫⎡+∆⎤⎛⎫=⋅⎨⎬ ⎪⎢⎥∆⎝⎭⎣

⎦⎩⎭=001log 1lim log 1x x a x x a x x x x x x x x ∆∆∆→⎡⎤+∆⎛⎫⎢⎥⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦

⎡⎤∆⎛⎫⎢⎥=⋅+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 令x t x

∆=．且当0x ∆→时，0t →．所以原极限可以表示为： ()f x '

()101lim log 1t a t t x →⎡⎤=⋅+⎢⎥⎣⎦

又因为()10lim 1e t

t t →+=，所以 ()f x '11lne 1log e ln ln a x x a x a

=⋅=⋅=