2016～2017 学年第 一 学期
科目: 高等数学(一)第一章 单元测试题答案
命题教师： 使用班级：全校16级理科
一．单项选择题（每小题2分，共20分）
1．选B 因为A 、C 、D 中两个函数的定义域不同
2．选C 220ln(1)lim 1tan x x x
→+= 3．选C 根据连续的定义.
4．选A 根据连续的定义
5．选D 初等函数在其定义区间是连续的，故只要0)2)(1(≥--x x 即可，由于分母不能取0，故（D ）正确。
6．选Ｄ 00sin sin lim lim 1||x x x x x x ++→→==，00sin sin lim lim 1||x x x x x x
--→→=-=- 0sin lim ||
x x x →∴不存在 7．选Ｄ 11(1)100
lim(1)lim[1()]x x x x x x e ⋅---→→-=+-=， 8．A 00lim ()1,lim ()1(0)x x f x f x f →-→+===，故是连续点。
9．选Ｃ 由函数极限的局部有界性定理知，)(lim 0
x f x x →存在，则必有0x 的某一去心邻域使)(x f 有界，而)(x f 在0x 的某一去心邻域有界不一定有)(lim 0
x f x x →存在，例如x x 1sin lim 0→，函数11sin 1≤≤-x
有界，但在0=x 点极限不存在 10．选Ｃ 003sin 3sin 334lim
lim ,22229
x x mx m mx m m x mx →→===∴=
二. 填空题(每小题3分，共15分，请把答案填在横线上)
11．e x ≤≤1 根据题意 要求1ln 0≤≤x ，所以 e x ≤≤1。
12．.,2x u u y ==
13．2 211
lim ()lim 1--→→==x x f x x 11
lim ()lim(1)1++→→=-=-x x f x ax a 则由连续性，11a -=即2a =
14．8 ，根据书本P48页n 与m 间关系，由于分式→常数4，故m n =，∴0≠a ，且42
=a 15．0
三. 计算题（一）（每小题6分，共36分）
16. 解：由洛必达法则， 00cos 1cos sin lim lim sin 1cos x x x x x x x x x x x →→--+=-- 0sin sin cos lim sin x x x x x x →++=
3=
17. .解：原式=52525sin 522sin lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅→x x x x x 18. . 解：2
12lim 2)1(lim 21lim 2222=+=+=++++∞→+∞→+∞→n n n n n n n n n n n
19. . 解：1cos sin lim sin cos lim cot lim 000=⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅=⋅=→→→x x x x x x x x x x x 20.解：20tan sin lim sin x x x x x →- 20tan (1cos )lim sin x x x x x
→-= 20(1cos )lim x x x x x →⋅-=⋅ 12=
21. . 解：原式=()[]22/11lim e x x x =+∞→
四. 计算题（二）(每小题6分，总分18分)
22..求函数32233()6
x x x f x x x +--=+-的连续区间，并求极限032lim (),lim (),lim ()x x x f x f x f x →→-→． 解：2(1)(3)()(2)(3)
x x f x x x -+=-+，故()f x 在(,3)(3,2)(2,)-∞--+∞内连续 220332
11(3)18lim ()(0),lim ()lim ,lim ()22325x x x x x f x f f x f x x →→-→-→---=====-=∞--- 23.求函数x
x y 1sin
=的间断点,并说明间断点所属类型. 如果是可去间断点,则补充或改变函数的定义使它连续. 解：由于x x y 1sin =在0=x 处没有定义，因此0=x 是间断点，且01lim sin 0x x x →=,故0=x 为第一类可去间断点,若定义0)0(=y ,则y 在0=x 处连续.
24. 设2sin 0
() 0 x x x f x a x x <⎧=⎨+≥⎩
要使()f x 在(,+)-∞∞内连续,应当怎样选择数a ?
解：由于函数在()f x 在(,+)-∞∞内连续，故：
200lim sin 0,lim()x x x x a x a -+→→=+=
当0a =时，00lim ()lim ()0x x f x f x -+→→==
则0
lim ()(0)x f x f →=，此时()f x 在0x =连续，也在(,+)-∞∞内连续。 五．证明题（每小题6分， 共6分）
25证明方程01sin =++x x 在开区间⎪⎭⎫ ⎝
⎛-
2,2ππ内至少有一根. 证明：令,1sin )(++=x x x f 显然,)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上连续,0122sin 2>++=⎪⎭
⎫ ⎝⎛πππf ,.
022<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf , 所以存在一点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∈2,2ππξ使0)(=ξf 即01sin =++ξξ. 所以方程01sin =++x x 在⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
2,2ππ内至少有一根.
六．应用题（每小题5分， 共5分） 26试确定b a ,之值，使2111lim 2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+++∞→b ax x x x 。 解：1
)(1lim )11(lim 222+-+--+=--+++∞→+∞→x b x b a ax x b ax x x x x 2
11)1()()1(lim 2=+-++--=+∞→x b x b a x a x ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-∴21)(01b a a ⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-==231b a 。
