基本不等式及其应用-沪教版必修1教案

基本不等式及其应用砀山中学郑永超2011.11.15高考命题趋势：基本不等式是每年地高考热点，主要考察命题地判定，不等式地证明以及 求最值问题.特别是求最值问题往往在基本不等式地使用条件上设置一些问题 . 考察学生恒等变形地能力，运用基本不等式地和与积转化作用地能力 .教学目标1 .知识与技能理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式地“和”、“积”放缩 作用.会运用基本不等式解决相关地问题•2. 过程与方法通过师生互动、学生主动地探究过程，让学生体会研究数学问题地基本思 想方法，学会学习，学会探究•3. 情感态度与价值观鼓励学生大胆探索，增强学生地信心，获得探索问题地成功情感体验 •逐步 养成学生严谨地科学态度及良好地思维习惯•重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式地条件 教学过程：一、 要点梳理1、基本不等式若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” 若a 、b € R f ；则号、.ab ，当且仅当a=b 时取“=”2、常用变形形式：① vab -_b $ ——a 0,b 0 ④ a 2 b 22 v 2 ②abb 2（a 、b 同号） a3、求最大值、最小值问题(1) 如果x 、y € (0,+ x ),且xy=p (定值)，那么当x=y 时，x+y 有.(2) 如果x 、y € (0,+ x ),且x+y=s (定值)，那么当x=y 时，xy 有.2ab a 2 b 2 概括为:例题精讲例1若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 地取值范围.1 9例2、已知x>0、y>0,且--1，求x+y 地最小值.x y 变式训练：设x >0, y >0,且2x + 8y = xy ,求x + y 地最小值练习：设 x>-1求函数 y x 5 x __2 地最值.x 1二、基础巩固11、 函数 f(x)=x+ 4(X>2),贝U f(x)有()x 2 A.最大值0 B.最小值0 C.最大值-2 D. 最小值-22、 下列各式中最小值是2地是()2 ,-A. -B. -x -C.tan +cotD. 2x 2 xy x x 2 43、已知2a 为1-b 、1+b 地等比中项，贝U ab 地最大值是; a+b 地最大值是.2四、［考题印证］(1)［2010安徽卷］若a>0, b>0, a + b = 2,则下列不等式对一切满足条件地a ,b 恒成立地是________ 写出所有正确命题地编号①ab <1②需+丽国2:③a 2 + b 2>2④a 3+ b 3>3⑤寸+討2.⑵已知实数a , b , c 满足a + b + c = 1,贝U a 2+ b 2 + c 2, 1ab + bc + ca 、3地大小关系是 __________ .x(3) (2010 •山东高考)若对任意x>0, -7—< a 恒成立，则a 地取值范围x 十3—十1是 _________ ・五、小结 例3、已知a>0,求函数y x 2 a 1、x 2 a 地最小值.1、基本不等式及其常见变形形式；2、利用基本不等式地放缩作用求函数地最值，要特别注意使用地条件六、作业活页练习P242。

基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求 最值问题。

特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。

考 察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。

教学目标1. 知识与技能理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。

会运用基本不等式解决相关的问题。

2. 过程与方法通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想 方法，学会学习，学会探究。

3. 情感态度与价值观鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。

逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。

重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程：一、 要点梳理1、基本不等式若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=”b 2（a 、b 同号） a3、求最大值、最小值问题(1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________(2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9例2、已知x>0、y>0,且一 一 1，求x+y 的最小值x y2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式：宁,ab ，当且仅当a=b 时取■- ab2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 22 概括为:变式训练：设x >0, y >0,且2x + 8y = xy ，求x + y 的最小值2 1x a 」的最小值。

沪教版高一数学基本不等式及其应用教课计划：第二单元为了方便老师的教课，查词典数学网为大家整理了沪教版高一数学基本不等式及其应用教课计划，希望能给老师一个参照。

一、教课内容解析本节课鉴于学生已学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上睁开的，要进一步认识不等式的性质及运用，研究最值问题，此时基本不等式的引入与学习是必需的。

基本不等式在知识系统中起了承前启后的作用，同时在生活及生产实质中有着宽泛的应用，所以基本不等式应要点研究。

从教课方案理念上来看，教课中教师应发挥组织者、指引者、合作者的作用，不单要让学生接受、记忆、模拟和练习，更要着重指引他们自主研究、着手实践、合作沟通、师生互动，指引学生主体参加、研究实质、经历过程。

从知识应用价值上来看，基本不等式是从大批数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法如数形联合、归纳猜想、演绎推理、解析法证明等在各样不等式研究问题中有着宽泛的应用 ;此外它在如“求周长必定，面积最大 ;面积必定，周长最小”等实质问题的计算中也常常波及到。

从学生能力的培育来看，基本不等式的研究与推导有助于培养学生的创新思想和研究精神,是培育学生应企图识和数学能力的优异载体。

二、学情解析学生在初中阶段，学习了平方、开方、勾股定理、圆等观点，高中阶段学习了不等关系、不等式的性质以及几类不等式的求解，学生对不等式有了初步的认识和应用。

但本节内容，变换灵巧，应用宽泛，条件有限制，观察了学生数形联合、类比转变等数学思想;对学生能灵巧应用数学知识解决实质问题的要求较高，在实质问题的解决中应用宽泛。

所以，一定从基本不等式的代数构造和几何意义双方面下手，才能让学生深刻理解它的实质。

此外，在用基本不等式解决最值时，学生常常简单忽略基本不等式使用的前提条件和等号建立的条件，所以，在教课过程中，应借助辨误的方式让学生初步领悟基本不等式建立的三个限制条件 (一正二定三相等 )在解决最值问题中的作用，并在第二课时要点学习与掌握。

基本不等式2a bab 上述不等式对a ≥0,b ≥０时仍成立。

．基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．．基本不等式的变形公式： 2ab22(,)2a b a bR ； 2(,)bab a bR ；2()(,)2a baba bR 。

．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若0(i=1,2,…,n), 则1212nn na a a a a n(n>1,n例题序列题目涉及核心知识点设计意图1 例1．（1）如图,已知在正方形ABCD中,有四个全等的直角三角形,设直角三角形的两条直角边的长为a、b,则正方形ABCD的面积为S1=________,4个直角三角形面积的和为S2=________,则S1_______S2(填“≥”“≤”或“=”).据此,我们就可得到一个不等式(用含a、b的式子表示),并且当a______b时,直角三角形变为________时,S1=S2.（2）已知0,0a b>>，求证：2a bab，你能解释2a bab+≤（,a b R+∈）的几何意义吗？师这是一个很重要的不等式.对数学中重要的结论，我们应仔细观察、思考，才能挖掘出它的内涵与外延.只有这样，我们用它来解决问题时才能得心应手，也不会出错.（同学们的思维再一次高度集中，似乎能从不等式a2+b2≥2ab中得出什么.此时，教师应及时点拨、指引）师当a＞0,b＞0时，请同学们思考一下，是否可以用a、b代替此不等式中的a、b.生完全可以.师为什么？生因为不等式中的a、b∈R.师很好，我们来看一下代替后的结果.板书：abba≥+2即2baab+≤(a＞0,b＞0).本题涉及的内容及水平为：2.4.1B本题涉及的数学核心能力：数学表达能力师 这个不等式就是我们这节课要推导的基本不等式.它很重要，在数学的研究中有很多应用，我们常把2ba +叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （此处意在引起学生的重视，从不同的角度去理解） 师 请同学们尝试一下，能否利用不等式及实数的基本性质来推导出这个不等式呢？（此时，同学们信心十足，都说能.教师利用投影片展示推导过程的填空形式） 要证：ab ba ≥+2，① 只要证a +b ≥2ab ，②要证②，只要证：a +b -2ab ≥0，③要证③，只要证：,0)(2≥-b a ④显然④是成立的，当且仅当a =b 时，④中的等号成立，这样就又一次得到了基本不等式.（此处以填空的形式,突出体现了分析法证明的关键步骤，意在把思维的时空切实留给学生，让学生在探究的基础上去体会分析法的证明思路，加大了证明基本不等式的探究力度）2 ［合作探究］老师用投影仪给出下列问题.如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，A C=a,B C=b.过点C作垂直于AB的弦DD′，连结A D、B D.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？（本节课开展到这里，学生从基本不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对基本不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础）［合作探究］师同学们能找出图中与a、b有关的线段吗？生可证△A CD ∽△B CD,所以可得abCD=.生由射影定理也可得abCD=.师这两位同学回答得都很好，那ab与2ba+分别又有什么几何意义呢？生ab表示半弦长，2ba+表示半径长.师半径和半弦又有什么关系呢？生由半径大于半弦可得abba≥+2.师这位同学回答得是否很严密？本题涉及的内容及水平为：2.4.1C本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力生 当且仅当点C 与圆心重合，即当a =b 时可取等号，所以也可得出基本不等式2ba ab +≤ (a ＞0,b ＞0).课堂小结师 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？ 生 我们通过观察分析第24届国际数学家大会的会标得出了不等式a 2+b 2≥2ab .生 由a 2+b 2≥2ab ,当a ＞0，b ＞0时，以a 、b 分别代替a 、b ，得到了基本不等式2ba ab +≤(a ＞0,b ＞0).进而用不等式的性质，由结论到条件，证明了基本不等式. 生 在圆这个几何图形中我们也能得到基本不等式. （此处，创造让学生进行课堂小结的机会，目的是培养学生语言表达能力，也有利于课外学生归纳、总结等学习方法、能力的提高）师 大家刚才总结得都很好，本节课我们从实际情景中抽象出基本不等式.并采用数形结合的思想，赋予基本不等式几何直观，让大家进一步领悟到基本不等式成立的条件是a ＞0，b ＞0，及当且仅当a =b 时等号成立.在对不等式的证明过程中，体会到一些证明不等式常用的思路、方法.以后，同学们要注意数形结合的思想在解题中的灵活运用.[来源:]3问题1.已知x 、y 都是正数，求证： (1)2≥+yxx y ； 本题涉及的内容及水平为：13.1.1C 本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.师 前面我们研究了可以用不等式和实数的基本性质来证明不等式，请同学们思考一下，第一小问是否可以用不等式和实数的基本性质来证明此不等式呢？ （思考两分钟） 生 不可以证明.师 是否可以用基本不等式证明呢？ 生 可以.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：∵x 、y都是正数，∴0＞yx，0＞x y .∴22=•≥+xyy x x y y x ，即2≥+x y y x .师 这位同学板演得很好.下面的同学都完成了吗？ （齐声：完成） ［合作探究］师 请同学继续思考第二小问该如何证明？它是否能用一次基本不等式就能证明呢？ （引导同学们积极思考）生 可以用三次基本不等式再结合不等式的基本性质. 师 这位同学分析得非常好.他对要证不等式的特征观察的很细致、到位.生 ∵x ，y 都是正数，∴x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3＞0.∴x ＋y ≥2xy ＞0，x 2＋y 2≥2x 2y 2＞0, x 3+y 3≥2x 3y 3＞0.∴可得（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥2xy ·222y x ·222y x ＝８x 3y 3，即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3.师 这位同学表达得非常好，思维即严谨又周到. （在表达过程中，对条件x ，y 都是正数往往忽视） 师 在运用定理：ab ba ≥+2时，注意条件a 、b 均为正数，往往可以激发我们想到解题思路，再结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)进行变形，进而可以得证. (此时，老师用投影仪给出下列问题)问题3.求证：2)2(222b a b a +≤+. （此处留的时间可以长一些，意在激发学生自主探究问题，把探究的思维空间切实留给学生）师 利用完全平方公式，结合重要不等式：a 2＋b 2≥2ab ，恰当变形，是证明本题的关键.（让学生板演，老师根据学生的完成情况作点评） 解：∵a 2＋b 2≥2ab ，∴2（a 2＋b 2）≥a 2＋b 2＋2ab ＝（a ＋b ）2.∴2（a 2＋b 2）≥（a ＋b ）2.不等式两边同除以4，得222b a +≥2)2(b a +，即2)2(222b a b a +≤+. 师 下面同学都是用这种思路解答的吗？ 生 也可由结论到条件去证明，即用作差法.师 这位同学答得非常好，思维很活跃，具体的过程让同学们课后去完成. ［课堂练习］1.已知a 、b 、c 都是正数，求证：（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８ab c.[来源学科网]分析：对于此类题目，选择定理：ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果. ∵a 、b 、c 都是正数，∴a ＋b ≥2ab ＞0,b ＋c≥2bc ＞0,c+a ≥2ac ＞0. ∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８ab c, 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８ab c.4［合作探究］2.已知（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ），求证：2≥--+--yx ba b a y x . （老师先分析，再让学生完成）师 本题结论中，注意y x ba b a y x ----与互为倒数，它们的积为1，可利用公式a ＋b ≥2ab ，但要注意条件a 、b 为正数.故本题涉及的内容及水平为：2.4.1C 本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力课堂小结师 本节课我们研究了什么问题？同学们在本节课的研究过程中有什么收获呢？生 我们以基本不等式为基础，证明了另外一些重要、常用的不等式，并且在证明过程中进一步巩固了证明不等式常用的思想方法.（教师提出对重要、常用不等式的掌握要求） 师 本节课我们用到重要不等式a 2＋b 2≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2b a +），几何平均数（ab ）及它们的关系)2(ab ba ≥+证明了一些不等式，它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是此题应从已知条件出发，经过变形，说明yx ba b a y x ----与为正数开始证题. (在教师引导下，学生积极参与下列证题过程) 生 ∵（a ＋b ）（x ＋y ）＞2（ay ＋bx ）,∴ax ＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx . ∴ax －ay ＋by －bx ＞0. ∴（ax －bx ）－（ay －by ）＞0. ∴（a －b ）（x －y ）＞0, 即a －b 与x －y 同号. ∴yx ba b a y x ----与均为正数. ∴22=--•--≥----yx ba b a y x y x b a b a y x 与 (当且仅当yx b a b a y x --=--时取“＝”). ∴2≥--+--yx ba b a y x . 师生共析 我们在运用重要不等式a 2＋b 2≥2ab 时，只要求a 、b 为实数就可以了.而运用定理：“2ba +≥ab ”时，必须使a 、b 满足同为正数.本题通过对已知条件变形(恰当地因式分实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：222b a ab +≤，2)2(b a ab +≤. 师 同学们课后要进一步领会这些重要不等式成立的前提条件如何用.为下一节课基本不等式的实际应用打下坚实的基础.解)，从讨论因式乘积的符号来判断yx ba b a y x ----与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法.2x (x>45x 的最大值且5x+7y=20 ,(4)已知x , y ∈R + 且x+2y=1 , 求11x y的最小值.【解】答案：（1）y 的最小值为6（x=2）．（２）y 的最大值为２(x=1)．（３）xy 的最大值为720(x=2,y=710)． （4）11x y的最小值为223+ (221,12-=-=y x )． 32.4.1C 本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力 4 ：本题涉及的内容及水平为：2.4.1C本题涉及的数学核心能力：运算求解能力和数学表达能力。

沪教版高一数学上册《不等式的基本性质》说课稿一、引入大家好，我是XX，今天我将向大家介绍沪教版高中数学《不等式的基本性质》这一部分的教学内容。

本节课主要讲述了不等式的概念和性质，通过学习，学生可以更深入地理解不等式的基本规律和解题方法，打下扎实的数学基础。

二、教学目标通过本节课的学习，学生将能够：•理解不等式的概念和符号表示；•掌握不等式的基本性质；•掌握不等式的运算性质；•运用不等式的基本性质解决实际问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点•不等式的概念和符号表示；•不等式的基本性质；•不等式的运算性质。

2. 教学难点•运用不等式的基本性质解决实际问题。

四、教学内容1. 不等式的概念和符号表示不等式是数学中重要的概念之一，它描述了数之间的大小关系。

在不等式中，会用到一些特殊的符号来表示不同的关系，例如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。

学生需要通过例题来理解这些符号的含义，并能够正确地进行运用。

2. 不等式的基本性质不等式有一些基本性质，了解这些性质对于后续的学习和解题是非常重要的。

这些基本性质包括：•不等式两边加减同一个数，不等号方向不变；•不等式两边乘除同一个正数，不等号方向不变；•不等式两边乘除同一个负数，不等号方向改变。

学生需要通过书本上的例题和练习题来加深对这些基本性质的理解，掌握正确的应用方法。

3. 不等式的运算性质不等式与等式一样，也具有乘法性质和加法性质。

但在运算中，需要注意不等式符号的改变问题。

例如，在两个不等式相加时，需要根据不等式的符号来确定结果的大小关系。

学生需要通过实际的例题来熟悉和掌握这些运算性质。

4. 运用不等式的基本性质解决实际问题不等式的基本性质在解决实际问题时起到关键作用。

本节课将通过一些实例，教导学生如何将实际问题转化为数学不等式，并通过解不等式来得到问题的解。

这部分内容较为抽象，需要学生进行多次的实践和思考。

五、教学方法•导入法：通过引入一个生活实例，并提出引发学生思考的问题，激发学生的兴趣，引起学生对不等式概念的思考；•形象法：通过图示不等式、图像分析等方式，直观地展示不等式的性质和特点，帮助学生更好地理解；•实践法：通过大量的例题和练习题，引导学生运用不等式的基本性质解决实际问题，加深对概念和性质的理解。

2.1不等式的基本性质一、教学目标设计理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。

渗透分类讨论的数学思想。

二、教学重点及难点应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。

三、教学流程设计四、教学过程设计一、引入公路有长有短，房屋有高有低，速度有快有慢......现实世界中充满着不等的数量关系，可以用不等式来处理。

在初中阶段，我们已经学习了用一元一次不等式描述并解决一些不等关系问题，为了今后学习函数的需要和培养代数论证能力，还要学习不等关系的证明。

而解决不等关系问题的基础是不等式的性质，为此我们先学习不等式的基本性质。

二、探究不等式的基本性质判断两个实数a与b之间的大小关系，可以通过将它们的差与零相比较来确定，即a>b的充分必要条件是a-b>0；a=b的充分必要条件是a-b=0；a <b 的充分必要条件是a-b <0。

引出等式的性质： a=b ，b=c ⇒a=c ； a=b ⇒ac=bc ； a=b ，c=d ⇒a+c=b+d 。

1．通过类比等式的性质，得到关于不等式的三个结论： 结论1 如果a >b ，b >c ，那么a >c 。

结论2 如果a >b ，c >d ，那么a+c >b+d 。

结论3 如果a >b ，那么ac >bc 。

[说明]引导学生判断三个结论的正确性并加以证明，体现数学的严谨性。

利用举反例是证明命题错误的主要方法。

继续让学生探究让结论3成为正确命题的条件。

得出不等式的三个性质：性质1 如果a >b ，b >c ，那么a >c 。

性质2 如果a >b ，那么a+c >b+c 。

性质3 如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc 。

基本不等式一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的.二、教学目标设计1、知识与技能：掌握两个基本不等式：ab b a 222≥+（a 、R b ∈）、ab b a ≥+2（a 、b 为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、过程与方法：在公式的探求过程中，理解两个基本不等式相应的几何解释，领悟数形结合的数学思想，初步理解代换的数学方法。

3、情感态度与价值观：通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化的辩证唯物主义观点。

三、教学重点及难点重点 两个基本不等式的知识发生过程和证明；难点 基本不等式的应用.四、教学用具准备电脑、投影仪五、教学流程设计（一）讲授基本不等式1．引例：如右图，已知正方形ABCD ，在边AD 上任取一点E ，在边DC 上取点F ，使得DE DF =.分别过点E 、F 作EG BC ⊥、FH AB ⊥，垂足为G 、H ，EG 和HF 交于点M 。

设DF=a ，MG=b ，试比较红色部分面积之和与白色部分面积之和的大小，并说明理由。

2．基本不等式1的证明证明：因为()22220a b ab a b +-=-≥，所以ab b a 222≥+.当a b =时，()20a b -=.当a b ≠时，()20a b ->.所以，当且仅当a b =时，ab b a 222≥+的等号成立.充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a 、b∈R，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a=b 时取“=”号)．3．基本不等式的几何解释，讲解赵爽《勾股方圆图注》（二）讲授基本不等式21.引例：已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB是直径.过D 作DC AB ⊥，垂足为C .设AB b a +=，AC a =，CB b =，试用a 、b 来表示OD 、CD 的长度，你能发现什么结论吗？2．基本不等式2的证明（略）3．基本不等式2的扩充对于任意非负数a 、b ，有ab b a ≥+2，当且仅当a b =时等号成立. （三）基本不等式的简单应用 例1：已知0>ab ，求证：2≥+ba ab ，并指出等号成立的条件. 证明：因为0>ab ，所以 a 、b 同号，并有0>a b ，0>b a . 所以，22=⋅≥+b a a b b a a b .当且仅当 b a a b =，即0a b =≠时等号成立. [说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若0<ab ，则代数式ba ab +的取值范围是什么？ 例2 在周长相等的矩形中，正方形的面积最大六、课堂小结 b a C O D七、作业布置1、练习册P19～20，习题2.4A组2、思考题(1)在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？(2)整理一些不等式的常用变式并给出证明八、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由形到数，再由数到形的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识。

基本不等式及其应用【教学目标】1．通过集体讨论发现容易出现的问题，师生共同探究弄清两个基本不等式的应用及其等号成立的条件；2．在集体探究过程中，培养学生分类讨论思想、代换思想等；3．通过一题多解培养学生的发展性思维。

【教学重点】1．基本不等式的应用；2．不等式等号成立条件【教学过程】一、创设问题情景已知面积为2的矩形ABCD 的边长为y x ,，求矩形ABCD 的对角线AC 长的取值范围。

——引出基本不等式的应用。

基本不等式1：对于任意实数b a ,，有ab b a 222≥+，当且仅当b a =时，等号成立。

基本不等式2：对于任意正数b a ,，有ab b a ≥+2，当且仅当b a =时，等号成立。

基本不等式揭示了两数和)(b a +，两数积)(ab ，两数平方和)(22b a +之间的不等关系。

二、问题探究问题一：（1）已知R y x ∈,，且2-=xy ，求22y x +的取值范围。

（2）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求xy 的取值范围。

问题二：已知0,>y x ，且12=+y x ，求yx 11+的最小值。

三、课堂小结1．利用基本不等式——注意等号成立的条件；2．思考问题时体现数学思想——分类讨论思想、代换思想等。

【作业布置】1．已知R y x ∈,，且2=+y x ，求xy 的取值范围。

2．已知R y x ∈,，且2=xy ，求y x +的取值范围。

3．已知R y x ∈,，且2=+y x ，求22y x +的取值范围。

4．已知0,>y x ，且211=+yx ，求y x 2+的最小值。

5．已知0,,>z y x ，且4=++c b a ，求证：abc c b a 8)4)(4)(4(≥---。

6．（选做题）已知R y x ∈,，且222=+y x ，求y x +的取值范围。

2.4（1）基本不等式及其应用一、教学内容分析基本不等式及其应用是高中教材中的一个重要内容.尽管基本不等式本身的证明并不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式的形成、关系和变式等都是十分重要的. 二、教学目标设计1、掌握两个基本不等式：ab b a 222≥+（a 、R b ∈）、ab ba ≥+2（a 、b 为任意正数），并能用于解决一些简单问题.2、理解两个基本不等式相应的几何解释.初步理解代换的数学方法.3、在公式的探求过程中，领悟数形结合的数学思想，进一步体会事物之间互相联系及一定条件下互相转化等辨证唯物主义观点. 三、教学重点及难点重点 两个基本不等式的知识发生过程和证明；基本不等式的应用. 难点 基本不等式的应用. 四、教学用具准备 电脑、投影仪 五、教学流程设计六、教学过程设计 一、新课引入在客观世界中，有些量的大小关系是永远成立的.例如，32>、02≥a （R a ∈）、三角形任意两边之和大于第三边、三角形任意两边之“弦图”的现代数学图示差小于第三边等等.二、新课讲授 1、基本不等式1基本不等式1 对于任意实数a 和b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a b =时等号成立. （1）基本不等式1的证明证明：因为()22220a b ab a b +-=-≥，所以ab b a 222≥+.当a b =时，()20a b -=.当a b ≠时，()20a b ->.所以，当且仅当a b =时，ab b a 222≥+的等号成立.（2）基本不等式1的几何解释 ① 解释1边长为a 的正方形面积与边长为b 的正方形面积之和大于等于以a 、b 为邻边长的矩形面积的2倍（当且仅当a b =时等号成立）.已知正方形ABCD ，分别在边AD 、边DC 上取点E 、F ，使得DE DF =.分别过点E 、F 作EG BC ⊥、FH AB ⊥，垂足为G 、H .EG 和HF 交于点M .由几何画板进行动态计算演示，得到阴影部分的面积 ≥ 剩余部分的面积，当且仅当点E 移至AD 中点时等号成立. ② 解释2某届数学大会的会徽怎样的？三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述为：如图所示，以a 、b 、c 分别表示勾、股、弦，那么，a b ⋅表示“弦图”中两块“朱实”的面积，()2b a -表示“中黄实”的面积. 于是，从图中可明显看出，四块“朱实”的面积加上一个“中黄实”的面积就等于以c 为边长的正方形“弦实”的面积，即H B()222222222c b a ab b ab a ab a b =-+=-++=+这就是勾股定理的一般表达式.由图可知：以c 为边长的正方形“弦实”的面积 ≥ 四块“朱实”的面积即，222a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立）.2、基本不等式2观察下面这个几何图形.已知半圆O ，D 是半圆上任一点，AB 是直径. 过D 作DC AB ⊥，垂足为C .显然有线段OD 的长度大于等于垂线段DC 的长度.设AC a =，CB b =，请用a 、b 来表示上述这个不等关系.（ 即ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.）基本不等式2 对于任意正数a 、b ，有ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立. 我们把2ba +和ab 分别叫做正数a 、b 的算术平均数和几何平均数.因此基本不等式2也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.（1）基本不等式2的证明证明：因为20a b +-=≥，所以ab ba ≥+2. 当a b =时，20-=.当a b ≠时，20>.所以，当且仅当a b =时，ab ba ≥+2的等号成立. 另证：因为a 、b均存在. 由基本不等式1，得22+≥=.即ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.（2）基本不等式2的扩充对于任意非负数a 、b ，有ab ba ≥+2，当且仅当a b =时等号成立.例1 已知0>ab ，求证：2≥+baa b ，并指出等号成立的条件. 证明：因为0>ab ，所以 a 、b 同号，并有0>a b ，0>ba.所以，22=⋅≥+b a a b b a a b .当且仅当 baa b =，即0a b =≠时等号成立. [说明]1、体会代换的方法.2、用语言表述上述结论.3、思考：若0<ab ，则代数式baa b +的取值范围是什么？（2b a a b +≤-，当且仅当0a b =-≠时等号成立.）3、两个基本不等式的简单应用 （1）几何问题例2 在周长保持不变的条件下，何时矩形的面积最大？ 猜想：由几何画板电脑演示得出.解：设矩形的长、宽分别为a 、b （a 、b R +∈）且a b m +=（定值），则同样周长的正方形的边长为2a b+. 矩形面积S ab =，正方形面积22a b S +⎛⎫'= ⎪⎝⎭由基本不等式2，得ab b a ≥+2，又由不等式的性质得222a b +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，即S S '≥.b 中点CM'BM AA B折点M由题意，a b m +=（定值），所以2224m mS ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭（定值）.当且仅当a b =，即矩形为正方形时，矩形的面积最大. [说明]当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值. 例如，若01x <<时，有()114x x -≤，当且仅当12x =时等号成立.（事实上，由()2211124y x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭（01x <<），得104y <≤，当且仅当12x =时等号成立.）三、课堂小结 略四、作业布置 1、练习2.4（1） 2、思考题（1）通过查阅资料，了解这两个基本不等式其它的几何解释.（2）在面积保持不变的条件下，正方形的周长与矩形的周长之间有什么大小关系？ （3）整理一些基本不等式的常用变式并给出证明.七、教学设计说明本堂课是《基本不等式及其应用》的第一节课，在学生熟练掌握不等式性质的前提下，介绍了两个基本不等式及其初步应用.尽管对于基本不等式而言证明不困难，但它却是今后学习诸如不等式证明、求函数最值等时的有力工具，因此牢固掌握这两个基本不等式是十分重要的.为了避免单纯地讲授基本不等式，本堂课借助计算机软件，采用以几何图形辅助代数知识讲授，由数到形，再由形到数的设计思路，将两个基本不等式的证明、解释及其在应用时的注意点穿插其中，并通过几何解释加强对基本不等式的感性认识，从而达到较好的教学效果.整堂课主要采用 “观察 —— 猜测 —— 归纳 —— 证明”的探索流程，让学生通过观察两式的大小关系、几何图形中线段的长度来猜测相应的结论，最后再由讨论、归纳得出两个基本不等式.在教学过程中始终“关注学生的思维发展”.例如，将教科书上例1的证明题改成了一道探索题，通过对有关过程的设计，进而培养学生自行探索、解决问题的能力.此外，为了培养学生“观察——猜测”的能力，借用了几何画板的有关功能，帮助学生进行有关的猜想与验证，使学生始终处于自我发现、自我探索的过程中.通过整堂课的教学，不仅要求学生对有关知识点的掌握，此外还对应初步理解代换的数学方法有一定要求，并在公式的探求过程中，继续领悟数形结合的数学思想.。

沪教版高中高一数学上册《不等式》说课稿一、引入1. 课程背景和重要性《不等式》作为高中数学的重要内容之一，是高中数学知识的基础和承上启下的重要环节。

它不仅在高中阶段涉及广泛，而且在后续的高等数学学习中也扮演着重要的角色。

不等式不仅可以帮助学生理解数学中的大小关系，而且在日常生活和实际问题中也有广泛的应用。

因此，本课的教学目标既包括学生对不等式的基本概念和性质的掌握，也包括学生运用不等式解决实际问题的能力的培养。

2. 教学目标本节课的教学目标主要包括：•理解不等式的定义和基本性质；•掌握不等式的解法和不等式组的求解方法；•学会应用不等式解决实际问题。

二、学情分析1. 学生特点分析本节课的学生是高一级别的学生，他们已经具备了一定的数学基础，能够理解复杂的数学概念和符号。

然而，他们对于不等式这一内容可能存在一定的陌生感和困惑。

由于《不等式》是高中数学的第一个单元，对学生的思维方式和数学思想的培养具有重要意义。

因此，在教学过程中，需要注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

2. 学科内容分析本节课主要涉及的内容包括：•不等式的定义和性质；•不等式的解法和不等式组的求解方法；•应用不等式解决实际问题。

这些内容是数学中的基础知识，对于学生的数学学习和问题解决能力的培养具有重要的作用。

三、教学设计1. 教学环节安排本节课的教学环节主要包括以下几个部分：•知识导入•知识讲解•问题引导•练习与训练•拓展与应用•总结与归纳2. 教学内容与方法(1) 知识导入通过一个有趣的生活实例引入不等式的概念，让学生了解实际问题中不等式的应用，激发学生的学习兴趣和思考。

(2) 知识讲解首先，对不等式的定义和基本性质进行讲解，帮助学生理解不等式的含义和特点。

然后，介绍不等式的解法和不等式组的求解方法，引导学生掌握解不等式和不等式组的具体步骤和技巧。

(3) 问题引导通过一些实际问题的引导，让学生将所学的不等式知识应用到实际问题的解决中，培养学生的问题解决能力和数学思维。

《基本不等式》一、学习重点：（1）理解基本不等式，从不同角度探索其证明过程，体会其结构模型。

（2）学会用基本不等式来解决问题，体会其工具性。

二、学习目标：理解两个不等式的结构特征及其几何解释、适用条件，能合理选择公式并正确地运用公式解决有关问题。

三、学习难点：（1）如何利用基本不等式的模型求解函数最值。

（2）类比两个不等式的学习过程，学会研究不等式模型。

四、教学策略设计以下是本节课的结构安排：五、教学过程设计1.引入重要不等式:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。

提问：你能画出赵爽的弦图吗？能用这个图形证明勾股定理吗？图中有哪些不等关系？例题示范到解决实例布置作业课时小结归纳整理重要不等式证明基本不等式证明教材赵爽弦图引入基本不等式几何意义由几何题目到基本不等式留下伏笔设计意图：教材中重要不等式的几何背景引入，面对第24界国际数学家大会的会标，如何使学生从图案中找出一些相等或不等关系？这一探究过程会出现一个思维的障碍点或盲点，就是向哪个方向上寻找“相等和不等关系”。

如果由画出赵爽的弦图到用这个图形证明勾股定理，再去找图中有哪些不等关系,分解提问，用一些小问题链突破难点，也能发现得到重要不等式的代数形式。

我国古代的数学家赵爽是历史上最早用弦图证明勾股定理，根据面积相等，通过计算证明勾股定理的。

弦图构图巧妙、精致，既强调逻辑推理，又注重几何直观，是数与形的完美统一。

勾股定理有着“千古第一定理”之称。

今天，我们用数学欣赏的眼光再次审视勾股定理，会感到别有一番风味。

（2） 重要不等式代数形式：()()()()abb a b a b a b a ab b a b a ab b a a 2,0b -a , ,0b -a ,,0b -a , 2:)"",( 2R,b , 2222222222≥+==≠-=-+==≥+∈即所以时当时当因为证明号取时当且仅当那么如果 提问：重要不等式可以解决什么问题?首先从弦图中可以看出，随着直角三角形直角边的变化四个直角三角形面积和在变大,当直角三角形变为腰直角三角形时，和面积取到了最大值。

基本不等式的应用执教者： 时间： 执教班级： 地点： 【教学目标】1、进一步理解掌握两个基本不等式。

2、初步运用基本不等式解决典型问题：如求最值、取值范围以及简单不等式的证明。

【教学重点】1．“和是定值，积有最大值；积是定值，和有最小值”的应用 2．在运用基本不等式2求最值时，要注意“一正、二定、三等”。

【教学难点】1． 恰当的代数变形——配凑、换元，求最值。

2． 在使用不等式求最值时，要注意等号成立的条件是否一致。

【教学过程】（一）课前复习：两个基本不等式的复述，注意范围以及等号成立的条件。

提问：1．若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 2．若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）（二）新课讲授：板块一：“和是定值,积有最大值”引例：（课本p44例4）若,a b R +∈，且1,a b +=求证：14ab ≤，并指出等号成立的条件。

例1：求证：在周长相等的矩形中，正方形面积最大。

(注意将题意转化为题设，完成结果证明)ex ：（课本p45练习2.4（2）2）：已知,x y R +∈，21,x y +=求xy 的最大值。

例2：（课本p45练习2.4（2）3）：已知01x <<，求当x ()1x x - ex ：有一边长，分别为,12a a -的矩形，求此矩形的最大值，以及此时a 的值。

评注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值。

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”板块二：“积是定值,和有最小值”,1x x+形式例3：（1）已知1x >，求11x x +-的最小值。

（2）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

评注：积为定值，完成最值，注意符号和配凑定值。

（3）已知1x >-，求211x x ++的取值范围。