基本不等式及其应用
砀山中学 郑永超 高考命题趋势：
基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。考察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。 教学目标
1． 知识与技能
理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。
2． 过程与方法
通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。
3． 情感态度与价值观
鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。
重点：运用基本不等式求最值
难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件
教学过程：
一、 要点梳理
1、基本不等式
若a 、b ∈R,则a 2+b 2≥2ab,当且仅当a=b 时取“=”
若a 、b ∈R +,,则ab b a ≥+2，当且仅当a=b 时取“=”
2、常用变形形式：
① ()0,02222≥≥+≤+≤b a b a b a ab ④ ab
b a 222≥+
② 22222b a b a ab +≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤ ⑤ ③ 同号）、b a a b
b a (2≥+
3、求最大值、最小值问题
（1）如果x 、y ∈(0,+∞),且xy=p （定值），那么当x=y 时，x+y 有 。
（2）如果x 、y ∈(0,+∞),且x+y=s （定值），那么当x=y 时，xy 有 。
概括为：“一正，二定，三相等”
二、 例题精讲
例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3,求ab 的取值范围。
例2、已知x>0、y>0,且191=+y
x ，求x+y 的最小值。 变式训练：设x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值
例3、已知a>0,求函数a x a x y +++=
221的最小值。 练习:设x>-1求函数()()125+++=
x x x y 的最值。
三、基础巩固
1、函数f(x)=x+421--x (x>2),则f(x)有( ) A.最大值0 B.最小值0 C. 最大值-2 D. 最小值-2
2、下列各式中最小值是2的是（ ） A.x y y x + B.4
522++x x +cot D.x x -+22 3、已知2a 为1-b 、1+b 的等比中项，则ab 的最大值是 ； a+2
b 的最大值是 。 21≥+x
x
四、[考题印证]
(1)[2010·安徽卷]
若a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(写出所有正确命题的编号
①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1
a
＋
1
b
≥2.
(2)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a2＋b2＋c2，
ab＋bc＋ca、1
3
的大小关系是________．
（3）(2010·山东高考)若对任意x>0，x
x2＋3x＋1
≤a恒成立，则a的取值范围是________．
五、小结
1、基本不等式及其常见变形形式；
2、利用基本不等式的放缩作用求函数的最值，要特别注意使用的条件。
六、作业
活页练习P242
