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令 1 1 2,1, 0T
2
2
2 ,1 1,1
1
1 5
2, 4,5T
正交化
3 3 1, 2, 2T
e1
1
1
1
1 2,1, 0T
5
e2
1
2
2
1 35
2, 4,5T
e3
1
3
3
1 3
1, 2, 2T
单位化
（４）构造矩阵Ｐ，写出相应的对角形矩阵
2
5 5
25 15
1
3
令
P e1, e2 , e3
证明 设A是对称矩阵
A1 11, A2 22 , 1 0, 2 0, 1 2
1[1,2 ] [11,2 ] [ A1,2 ] 1 A2 1 A2
122 1,22 2 1,2
1 2 1,2 0
性质4.4 设A是n阶对称矩阵，是A的特征方程的 r重根， 则对应特征值 恰有 r 个线性无关的特征向量。
➢实对称矩阵的对角化
定理4.2设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使得
PT AP ,其中 是以A的n个特征值为
对角元素的对角矩阵，正交矩阵P的列向量 是A的特征值所顺次对应的单位正交特征向 量。
例 用正交变换把下列对称矩阵对角化
2 2 2
2
5
4
2 4 5
解 （１）求方阵Ａ的特征值
由 A E 0 得特征值 1 2 1, 3 10
（２）求特征向量
对于 1 2 1, 解方程组 A E X 0 得一个基础解系 1 2,1, 0T ,2 2, 0,1T 对于 3 10, 解方程组 A10E X 0 得一个基础解系 3 1, 2, 2T
（３）将特征向量组正交化、单位化
第三节 实对称矩阵的对角化
➢ 对称矩阵
如果方阵A满足 AT A, 就称A为对称矩阵
例 如
110 11
0 3
03
3 2 4 2 0 7 4 7 5
方阵A为对称矩阵 矩阵A中关于主对角线对称的每一对元素相等
➢ 实对称矩阵的性质
性质4.3 （1）实对称矩阵的特征值必为实数。 （2）实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。
即
4 2 4 x1 0
2
1
2
x2
0
4 2 4 x3 0
得到两个线性无关的特征向量 1 （1，0，1） ，2 （1， 2，0）
对于 3 8 1 1，
得到特征向量 3 （2，1，2）
2
2
[ 2，1 ] [ 1，1 ]
1
1
2
0
1
1 2
0
1
0.5
2
0.5
0 0 8
• 作业 • P88 • 4.4
5 5
4 5 2
15
3
0
5
2
3 3
1
则有
P 1
AP
PT
AP
1
10
求正交变换将实对称矩阵对角化的一般步骤：
1、求矩阵A的特征值 2、求特征向量 3、将特征向量正交化、单位化 4、构造正交矩阵，写出对应的对角形矩阵
注意：在实对称矩阵中，不同的特征值对应的特征 向量正交，故只需对重根所对应的特征向量进行施 密特正交化。
取 3 3 则１，２，３是矩阵A的正交特征向量组
单位化
e1
1
1
1
1 (1, 0, 1) 2
e2
1
2
2
1 32
(1, 4,1)
令 P (e1, e2 , e3)
1
1 2
ห้องสมุดไป่ตู้
2
32
3
=
0
4 32
1
3
1 2
1 32
2 3
e3
1
3
3
1 3
(2,1, 2)
1 0 0
则有
P 1 AP
0
1 0
3 2 4
练习 设实对称矩阵
A
2
0
2
4 2 3
求正交矩阵P,使 P1AP 为对角矩阵.
解 A的特征多项式为
3 2 4
A E 2 0 2 3 62 15 8
4 2 3
（ 1）（2 8）=0
A的特征值为 1 2 1， 3 8
当 1 2 1， 解方程组（A（1）E）x 0
