材料力学重点及其公式
材料力学的任务（1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。变形固体的基本假设（1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形
假设。
外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，
即构件内部各部分之间的因外力作
用而引起的附加相互作用力
截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（
2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。应力：dA
dP A
P p
A
lim
正应力、切应力。
变形与应变：线应变、切应变。杆件变形的基本形式
（1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。
静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。失效原因：脆性材料在其强度极限b
破坏，塑性材料在其屈服极限
s
时失效。二者统称为
极限应力理想情形。
塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：
3n s
，b b
n ，强度条件：
max
max
A
N
，等截面杆
A
N max
轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：
l l l 1
，沿轴线方向的应变和横
截面上的应力分别为：
l
l ，
A
P A
N 。横向应变为：b b
b b
b 1
'
，横向应
变与轴向应变的关系为：
'
。
胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即E ，这就是胡克定
律。E 为弹性模量。将应力与应变的表达式带入得：
EA
Nl l
静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解
出全部未知力。圆轴扭转时的应力变形几何关系—圆轴扭转的平面假设
dx d
。物理关系——胡克定律
dx
d G
G 。力学关系dA dx
d G dx d G dA
T
A
A
A
22圆轴扭转时
的应力：
t
p
W T R
I T
max
；圆轴扭转的强度条件：
][max
t
W T
，可以进行强度校核
、截面设计和确定许可载荷。
圆轴扭转时的变形：
l
p
l
p
dx GI T
dx GI T
；等直杆：
p GI Tl 圆轴扭转时的刚度条件：
p
GI T dx
d
，]
[
max max
p
GI T 弯曲内力与分布载荷q 之间的微分关系
)()(x q dx
x dQ ；
x Q dx
x dM ；
x
q dx
x dQ dx
x M d 2
2
Q 、M 图与外力间的关系
a ）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。
b ）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。
c ）在梁的某一截面。
0x
Q dx
x dM ，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。
d ）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力Q 有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然变化
形成一个转折点。
梁的正应力和剪应力强度条件
W
M max
max
，
max
提高弯曲强度的措施：梁的合理受力(降低最大弯矩
max M ，合理放置支座，合理布置载荷，
合理设计截面形状塑性材料：
c
t ，上、下对称，抗弯更好，抗扭差。脆性材料：
c
t ，采用T
字型或上下不对称的工字型截面。
等强度梁：截面沿杆长变化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称
为等强度梁。用叠加法求弯曲变形：
当梁上有几个载荷共同作用时，
可以分别计算梁在每个载荷单独作用
时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。简单超静定梁求解步骤：
（1）判断静不定度；
（2）建立基本系统（解除静不定结构的内部和外部多余约束后所得到的静定结构）；
（3）建立相当系统（作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统）；
（4）求解静不定问题。
二向应力状态分析—解析法
（1）任意斜截面上的应力
2sin 2
cos 2
2
xy
y
x y x ；
2
cos 2
sin 2
xy
y
x （2）极值应力正应力：
y
x
xy
tg 2
2
，
22
min
max )
2
(
2
xy
y
x y
x 切应力：
xy
y x
tg 2
2
1
，
22
min
max )
2
(
xy
y
x （3）主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系
