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材料力学公式汇总情况
完全版
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One
1截面几何参数
2应力与应变
3应力状态分析
4内力和内力图
5强度计算
6刚度校核
7压杆稳定性校核
8动两端固定：// = 0.5
()压杆的柔度2 =川
•
1
i =是截面的惯
性半径
（回转半径）
()压杆的临界应力b上"A 7r2E 6" 22
()欧拉公式的适用范
围
()抛物线公式
当2 < 2 - ^(已时，
Y 0.57人
P cr = a cr A = f v[\~a(-)2].A
人一压杆材料的屈服
极限；
常数，一般取a
= 0.43
()安全系数法校核压杆的稳定公式
()
折减系数法校核压
杆的稳定性
= — <(p.\cr}
A十
（p一折减系数
[b“],小于1 [b]
序号公式名称公式符号说明
()动荷系数
K _ E M _ 亠
"P J M 厲 d
p ■荷载N-内力<7 -应力
△-位移d-动卜静
构件匀加速上
升或下降时的
动荷系数
^=1 + -
g
a-加速度扌重力加速度()
构件匀加速上
升或下降时的
动应力
6 =K d a j=(l + -)cy j
g
动应力强度条
b/max = Kdbjmg < Q]
[6-杆件在静荷载作用下的
容许应力
9能量法和简单超静定问题。

材料力学重点及其公式材料力学的任务 （1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。

变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。

外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。

力：构件在外力的作用下，部相互作用力的变化量，即构件部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上力，以代替弃去部分对保留部分的作用。

（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和力。

应力： dA dP A P p A =∆∆=→∆lim 0正应力、切应力。

变形与应变：线应变、切应变。

杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。

静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。

动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。

失效原因：脆性材料在其强度极限b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。

二者统称为极限应力理想情形。

塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：[]3n s σσ=，[]bbn σσ=，强度条件：[]σσ≤⎪⎭⎫⎝⎛=maxmax A N ，等截面杆 []σ≤A N max轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=∆1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：ll ∆=ε，A PA N ==σ。

横向应变为：b b b b b -=∆=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-='。

胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。

E 为弹性模量。

将应力与应变的表达式带入得：EANl l =∆ 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。

圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dxd φργρ=。

1.外力偶矩计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪力和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截面上正应力的计算公式（杆件横截面轴力F N，横截面面积A，拉应力为正）4.轴向拉压杆斜截面上的正应力与切应力计算公式（夹角a 从x轴正方向逆时针转至外法线的方位角为正）5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）6.纵向线应变和横向线应变7.泊松比8.胡克定律9.受多个力作用的杆件纵向变形计算公式?10.承受轴向分布力或变截面的杆件，纵向变形计算公式11.轴向拉压杆的强度计算公式12.许用应力，脆性材料，塑性材料13.延伸率14.截面收缩率15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）16.拉压弹性模量E、泊松比和切变模量G之间关系式17.圆截面对圆心的极惯性矩（a）实心圆（b）空心圆18.圆轴扭转时横截面上任一点切应力计算公式（扭矩T，所求点到圆心距离r）19.圆截面周边各点处最大切应力计算公式20.扭转截面系数，（a）实心圆（b）空心圆21.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应力计算公式22.圆轴扭转角与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式23.同一材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或24.等直圆轴强度条件25.塑性材料；脆性材料26.扭转圆轴的刚度条件? 或27.受内压圆筒形薄壁容器横截面和纵截面上的应力计算公式,28.平面应力状态下斜截面应力的一般公式,29.平面应力状态的三个主应力,,30.主平面方位的计算公式31.面内最大切应力32.受扭圆轴表面某点的三个主应力，，33.三向应力状态最大与最小正应力 ,34.三向应力状态最大切应力35.广义胡克定律36.四种强度理论的相当应力37.一种常见的应力状态的强度条件，38.组合图形的形心坐标计算公式，39.任意截面图形对一点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式40.截面图形对轴z和轴y的惯性半径? ,41.平行移轴公式（形心轴z c与平行轴z1的距离为a，图形面积为A）42.纯弯曲梁的正应力计算公式43.横力弯曲最大正应力计算公式44.矩形、圆形、空心圆形的弯曲截面系数? ，，45.几种常见截面的最大弯曲切应力计算公式（为中性轴一侧的横截面对中性轴z的静矩，b为横截面在中性轴处的宽度）46.矩形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处47.工字形截面梁腹板上的弯曲切应力近似公式48.轧制工字钢梁最大弯曲切应力计算公式49.圆形截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处50.圆环形薄壁截面梁最大弯曲切应力发生在中性轴处51.弯曲正应力强度条件52.几种常见截面梁的弯曲切应力强度条件53.弯曲梁危险点上既有正应力σ又有切应力τ作用时的强度条件或，54.梁的挠曲线近似微分方程55.梁的转角方程56.梁的挠曲线方程?57.轴向荷载与横向均布荷载联合作用时杆件截面底部边缘和顶部边缘处的正应力计算公式58.偏心拉伸（压缩）59.弯扭组合变形时圆截面杆按第三和第四强度理论建立的强度条件表达式，60.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时，合成弯矩为61.圆截面杆横截面上有两个弯矩和同时作用时强度计算公式62.63.弯拉扭或弯压扭组合作用时强度计算公式64.剪切实用计算的强度条件65.挤压实用计算的强度条件66.等截面细长压杆在四种杆端约束情况下的临界力计算公式67.压杆的约束条件：（a）两端铰支μ=l（b）一端固定、一端自由μ=2（c）一端固定、一端铰支μ=0.7（d）两端固定μ=0.568.压杆的长细比或柔度计算公式，69.细长压杆临界应力的欧拉公式70.欧拉公式的适用范围71.压杆稳定性计算的安全系数法72.压杆稳定性计算的折减系数法73.关系需查表求得3 截面的几何参数4 应力和应变5 应力状态分析6 内力和内力图7 强度计算8 刚度校核9 压杆稳定性校核。

材料力学重点及其公式材料力学的任务（1）强度要求；（2）刚度要求；（3）稳定性要求。

变形固体的基本假设（1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。

外力分类：表面力、体积力；静载荷、动载荷。

内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。

（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。

应力：dAdP AP pAlim正应力、切应力。

变形与应变：线应变、切应变。

杆件变形的基本形式（1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；（5）组合变形。

静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷。

动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。

失效原因：脆性材料在其强度极限b破坏，塑性材料在其屈服极限s时失效。

二者统称为极限应力理想情形。

塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：3n s，b bn ，强度条件：maxmaxAN，等截面杆AN max轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l 1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：ll ，AP AN 。

横向应变为：b bb bb 1'，横向应变与轴向应变的关系为：'。

胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即E ，这就是胡克定律。

E 为弹性模量。

将应力与应变的表达式带入得：EANl l静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。

圆轴扭转时的应力变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d。

物理关系——胡克定律dxd GG 。

力学关系dA dxd G dx d G dATAAA22圆轴扭转时的应力：tpW T RI Tmax；圆轴扭转的强度条件：][maxtW T，可以进行强度校核、截面设计和确定许可载荷。

材料力学公式总结完美版材料力学的重点及其公式材料力学的任务是满足强度、刚度和稳定性要求。

变形固体的基本假设包括连续性、均匀性、各向同性和小变形假设。

外力可分为表面力和体积力，静载荷和动载荷。

内力是指构件在外力作用下，内部相互作用力的变化量。

截面法是求解构件某一截面上的内力的一种方法。

它的步骤包括将构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究；在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用；根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。

应力可分为正应力和切应力，线应变和切应变。

杆件变形的基本形式包括拉伸或压缩、剪切、扭转、弯曲和组合变形。

静载荷是指载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不再变化的载荷；动载荷是指载荷和速度随时间急剧变化的载荷。

失效原因是脆性材料在其强度极限破坏，塑性材料在其屈服极限失效。

塑性材料和脆性材料的许用应力分别为3n和nb。

强度条件为最大应力不超过材料的极限应力。

杆件在轴向拉伸或压缩时的变形为沿轴线方向的伸长，横截面上的应力为σ，应变为ε。

横向应变为ε'，与轴向应变的关系为ε'=-με。

胡克定律指出，当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即σ=Eε，其中E为弹性模量。

静不定是指对于杆件的轴力，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。

圆轴扭转时的应力变形几何关系为τ=ρdφ/dx，物理关系为τ=Gγ，其中G为剪切模量。

圆轴扭转时的强度条件为τmax≤GρdA/I，其中I为截面的极角惯性矩。

可以进行强度校核、截面设计和许可载荷确定。

在圆轴扭转时，变形为dx=dx(phi)，等直杆的变形为phi=max(dx/GI*p)，其中GI为截面惯性矩，p为截面周长。

圆轴扭转时的刚度条件为phi'=d2M(x)/dQ(x)，其中M(x)为弯曲内力，Q(x)为分布载荷。

在梁的不同截面上，剪力Q和弯矩M的图形与外力之间有不同的关系。

例如，梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。

材料力学II 第三章能量法主讲：韩玉林东南大学工程力学系§3.1 概述在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能。

物体在外力作用下发生变形，物体的应变Vε在数值上等于外力在加载过程中在相应位移上所做的功W，即Vε=W§3.2 杆件应变能•余能应变能的一般表达式若取单元体的边长为dx 、dy 、dz ，则该单元体的应变能为dV ε= v εdx dy dz令dx dy dz = dV则整个拉杆内的应变能为V dV dVεεευ==∫∫而外力P 1做功为：1ΔΔ(3.1)W P d =⋅∫1ΔΔW P d =⋅∫1d εευσε=⋅∫V dV dVεεευ==∫∫V Wε=应变能的一般表达式（适用于线性和非线性关系）：整个杆件的应变能•整个杆件的应变能V ε与单位体积应变能v εVV v dVεε=∫若单位体积应变能v ε为常量，那么VV v dV v Vεεε==∫单位体积应变能v ε也称为应变能密度关于上述变形能计算的讨论：1以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的变形能的计算。

2变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。

3 变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算中不能随便使用。

只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。

4变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。

关于简单变形条件下，变形能计算的讨论（强调）：•变形能的计算有两种方式：•一种由外力做功等价为变形能。

外力同位移间不一定是线性关系。

•另一种通过杆件微段上的内力功等于微段的变形能，然后积分求得整个杆件上的变形能。

如果是线弹性材料则实际上是通过最终应力乘以最终应变再除以2。

如果：•如果是线弹性材料，则实际上是通过单元体最终应力乘以最终应变再除以2（得到比能），再对整个杆件积分。

轴力弯矩的作用线的方向用右手螺旋弯矩材料的失效形式强度计算准则位移刚度计算准则应力状态和强度理论斜截面上的正应力和切应力：主应力：然后根据代数值进行排列（其中有一个主应力=0）强度理论：弯扭组合变形圆形运用强度理论（第三、第四）：资料什么叫解决方案？一、什么是解决方案？我们一直在尝试解决问题，但是很少有人真正去想一下：什么是解决方案？没错！大部分人从来就没有想过什么叫做“解决方案”。

我去某驾校学习科目二的时候，同车的学员（包括我）并没有向教练期望地那样以迅雷之势学会倒车入库—对我们来说，驾驶的动作的确太陌生了，需要一定的训练才能慢慢掌握。

教练一定想加速这个学习过程，“你们真是太笨了！教了2遍了还不会！”“向左打！向左打！跟你说了多少次了！你怎么这么笨！”“你们啊，就是不开窍！”我觉得教练的沟通方式太无效了，忍不住提醒教练：“吴教练啊，我觉得你这样频繁地骂反而降低了教学效果。

这样的语言提高了我们的紧张程度，从而让我们达到‘唤起’状态，这种状态的确对熟练或者简单工作是有利的—比如搬砖（这就是为什么体力劳动需要鞭策和口号）。

但是对于陌生及复杂的工作—比如我们学习驾驶的过程，‘唤起’反而会降低学习效果，提高失误率。

相反，相对放松和鼓励的环境更加容易帮助你达到目的—提高训练效果。

”教练：“……你说我唤起了什么？”……我不知道教练是否最终接受了这个心理学的理论，反正过后教练对我们尊重了很多。

那么问题来了，这个教练的对我们学习太慢的解决方案存在什么问题呢？二、目标不是解决方案！问题就是他把“目标”当成了“解决方案”。

他的目标是“减少学习失误”，而他对应的解决方案只不过是把这个目标以辱骂的方式说了一遍“这么笨！失误这么多！”从而导致该解决方案（把目标说一遍）不但没有帮助达成目标，反而损害了目标—让我们学习地更慢。

这也是无数人难以解决问题，反而让问题越来越糟的原因：错把目标当方案。

很多人天真地认为，自己一旦发现某个目标，所需要的解决方案只不过是把这个目标说一遍。

材料力学公式.pdf材料力学公式汇总第二章：拉伸、压缩与剪切序号名称1 正应力σ = FN A公式备注页码应用条件：外力合力作用线沿杆的轴线P122斜截面上的正应力与切应力σα=σ cos2α=σ 2(1 +cos 2α)τα=σ 2sin2α胡克定律σ = Εε3 剪切胡克定τ = Gγ律4拉压杆轴向变形Δl=±FN L EA(σ ≤ σ p时)P16P19式中：γ --切应变；γ = r?lP53式中： EA --抗拉（压）刚度P18泊松比（横向变形系数）ν=ε′ ε= ? ε ′ ε ′ = ενε= ?νσ Ε式中：ε ′ --横向正应变ε --轴向正应变P195G、E、μG=E （2 1+ μ）?εx=ε y=0γxy=τ Gε450σ1=τ σ3=?τε450=γ =?xy=τ...( a )2 2G1 E(σ3μσ1)=?G)τ...(b)式中：G --切变模量 E—弹性模量μ--泊松比杆件轴向拉压应变能Vε=W=1 2FΔl=FN2l 2EA6应变能密度（单位体积v = 1 σε = 1 Eε 2 = σ 2222E应变能）Q Δl=FN L EAP23单位：J m3；总应变能∫ Vε = V vε dvP23杆件温度变ΔlT = αl ? ΔT ? l式中：αl 为材料线胀系数7 形量ΔlT= Δl=FRBl EAαl ? ΔT ?l=FRBl EAFRB = E?αl ?ΔT? A? σT (热应力) =FRB A= αl ? E ? ΔTP188 P188附录 I：截面的几何性质∫ 1静矩SZ =ydAA2 形心∫ yc =A ydA = SZAA3组合截面形心nn∑ ∑ yc = Ai yiAii =1i =1∫ 惯性矩yx =x2dAA惯性积∫ 实心圆轴： I p =d 2ρ 22πρ d ρ=πd4324极惯性矩∫ I p =ρ 2dAA空心圆轴： I p=π 32(D 4d 4)=π D4 32(1 ? α4)薄壁圆截面：I p = 2π R03δxydAAP322 P323-1-材料力学公式汇总圆形截面： Iz=Iy=1 2Ip=πd4 64矩形截面： Iz=bh3 12∫ 5惯性矩Iz =y2dAA空心截面：Iz=π D4 64(1?α 4 )三角形：Iz=6平行移轴定理I y = I yo + Ab27 惯性矩和惯性轴的转轴公式→ I yo = I y ? Ab2第三章：扭转P3271功率与扭力矩的转换{ } M e N?M{P} = 9549 {n} KW{P}=159.2KW{n}r / minr/sM e ×ω(rad / s) =Me×2π×n 60=1000PP552薄壁圆筒扭转切τ = M e应力2π R02δ式中：δ---壁厚R0=d +δ 2=D ?δ 23圆轴扭转切应力 (横截面上距圆心为ρ 的任意点τ)τρ=Tρ IP适用于线弹性材料圆截面 P59圆轴扭转强度条件[ ] τ max= Tmax R IP= Tmax Wp≤τ4式中：Wp=IP R--抗扭截面系数P60实心圆轴： I p= πd4 32;Wt= πd3 16空心圆轴： I p=π D4 32(1?α 4 ) ;Wt=π D3 16(1?α 4 )圆轴 5扭转角等截面圆 ? = Tl轴GI p等截面薄 ? = Tl壁圆管2Gπ R03δ式中：(1) GI p ---抗扭刚度；(2) 此式若长度单位用 mm，则 G 单位用 MPaLP86I p薄=2π R03δ→ τ薄圆管=Me 2π R02δ6刚度条件（单位长度扭转角）， max=? l=Tmax GI p× 1800 π≤, ??单位： (0 ) / mLP87单位体积剪切应变能密度νε=1τr 2=τ2 2G7等直圆杆扭转时的应变能Vε= 1 T 2l 2 GI p= GI p ? 2 2l→ 弹簧变形量：V ε=1 T 2l2 GIp（FR）2 2π Rn =2GI p=W=18FD3 nF ? Δ ? Δ = ...=2Gd 4P718弹簧丝横截面上最大剪应力（强度条件）τ max=k8FD πd3=4c ?1 ( 4c ? 4+0.615 )c8FD πd3≤[τ]式中：k---曲度系数； c---弹簧指数（ c = D ）d-2-弹簧变形量材料力学公式汇总λ=F C=8FD3n Gd 4≤λmax=lnd式中：C—弹簧刚度，即弹簧抵抗变形的能力； n---弹簧有效圈数；l---弹簧自由长度LP93矩形截面轴扭转切应力τ max=T wt=T α hb2；τ1 =ντ max9式中：τ max ---最大切应力，发生在截面长边 h 的中点处；τ1 ---短边 b 中点处切应力；αν ---与比值 h/b 有关的系数。