圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结
1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如 （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．4
21=+PF PF B ．621=+PF PF C ．10
21=+PF PF D ．122
2
2
1
=+PF PF （答：C ）
；
（2）方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左
支）
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线4
2
x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____
（答：2）
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b
y a x （0a b >>）⇔
{
cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，
其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222b
x a y +＝1（0a b >>）。方程22
Ax By C +=表示椭
圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
如（1）已知方程1232
2=-++k
y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答：
11
(3,)(,2)22
---U ）
； （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2
2y x +的最小值是
___2）
（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22
22b
x a y -＝1
（0,0a b >>）。方程22
Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B
异号）。
如（1）双曲线的离心率等于25
，且与椭圆14
922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方
程_______（答：2
214
x y -=）；
（2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C
过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）
（3）抛物线：开口向右时2
2(0)y px p =>，开口向左时2
2(0)y px p =->，开口向上时2
2(0)x py p =>，开口向下时2
2(0)x py p =->。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：
（1）椭圆：由x
2
,y 2
分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程12122=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，
则m 的取值范围是__（答：)2
3
,1()1,(Y --∞）
（2）双曲线：由x 2,y 2
项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数,a b ，确定椭圆、双曲线的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向； （2）在椭圆中，a 最大，2
2
2
a b c =+，在双曲线中，
c 最大，222c a b =+。
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以122
22=+b
y a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；
②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c
=±；
⑤离心率：c
e a
=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
如（1）若椭圆1522=+m
y x 的离心率510
=
e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22）
（2）双曲线（以22
2
21x y a b
-=（0,0a b >>）为例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，
