判断下列命题是否正确，正确的在题后的括号划
“√ ”，错误的划“×”（每小题2分，共10
分）
1. 设函数()f x 在点0x 处连续，则0lim ()0x x f x →
'⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ( )
2. 若()f x 为可导函数，则()f x 也为可导函数 ( )
3. 设()f x 在[],a a -上连续，且()()f x f x -=，则
(2)0a
a
xf x dx -=⎰
( )
4. 方程2520x x -+=在区间(1,2)内必有一个正实根 ( )
5. 若()1f x < ，且在区间[]0,1上连续，则
0()21()x
F x x f t dt =--⎰
是区间[]0,1上的单调增函数 ( )
二、填空题（每小题2分，共10分）
1. 21lim(
)2x
x x x
→∞
+= . 2. 设函数211ln(),21x x y e x -+=-则dy
dx = .
3. 曲线12cos y x =+在(,2)3π
出的法线方程为
4. 设()arcsin xf x dx x c =+⎰，则1
()
dx f x ⎰= . 5. 72= .
三．选择题（每小题2分，共10分）
1.曲线32y ax bx =+的拐点为(1,3)，则 （ ）
（A ）0a b +> （B ）0a b += （C ）0a b +≥ （D ）0a b +< 2 设x y x =，则
dy
dx
为 （ ） （A ）1x x x -⋅ （B ）ln x x x （C ）(ln 1)x x x + （D ）ln 1x +
3 [()()]a
a x f x f x dx -+-=⎰ （ ）
（A ）0
4()a xf x dx ⎰ （B ） 0
2[()()]a
x f x f x dx +-⎰
（C ） 0 （D ）前面都不正确
4 设20()(2)x
f x t t dt =-⎰，则它在1
2
x =
处取 （ ） （A ）极大值 （B ）极小值 （C ） 单调下降 （D ） 间断点
5 直线111
:
314
x y z L ---==-与平面:3x y z π++=的位置关系为
（ ）
（A ）垂直 （B ）斜交 （C ）平行 （D ）L π在内
四 计算下列各题（每小题6分，共48分）
1 设(cos )(sin ),y x dy
x y dx
=求
2 arctan x xdx ⋅⎰ 3
4
1
⎰
4 230
3cos sin x xdx π
⎰
5 设空间三点为(1,1,1),(2,2,2),(1,1,3)A B C ----，试写出过点A ，B,C 的平面方程及过AB 中点M 的直线MC 的方程 6
1
⎰
7 若1y ≤，计算1
1
x x y e dx --⋅⎰
8 已知参数方程()()()
x u y u u u ϕϕϕ'=⎧⎨'=⋅-⎩，且()0u ϕ''≠，求22d y
dx
五 证明不等式（8分）
1ln(x x x +⋅≥-∞<<+∞
六 应用题（8分）
计算a 为何值时，曲线21y x ax a =-+-与直线0,2,0x x y =-=围城的封闭
七 综合题（6分）
设()cos 0()0g x x
x f x x
a
x -⎧≠⎪
=⎨⎪=⎩ ，其中()g x 具有二阶连续导数，且(0)1g = (1) 确定a 的值，使()f x 在0x =连续 （2分） (2) 求()f x ' （2分）
(3)
讨论()f x '在0x =处的连续性 （2分）
参考答案
一 是非判断题
1 √；
2 ×；
3 √ ；
4 √；
5 √； 二 填空题
1 12
e ； 2
2
1
1x x --； 3
2)3y x π-=-； 4 3
22
1(1)3
x c --+； 5 0；
三 选择题
1 A ；
2 C ；
3 C ；
4 B;
5 D 四 计算题
1 解 两边取对数有：
ln cos lnsin 0y x x y -= 两边取求导有
sin cos ln cos ln sin 0cos sin x y
y x y y x y x y
-''+⋅
--⋅= 得：
ln sin tan ln cos dy y y x dx x xcoty
+=- 2 解
2
221
=arctan 2
111
arctan arctan 22211
(1)arctan 22
x dx x x x x C x x x C ⋅=-++=+-+⎰原式 3 解
4
4
11
1
1
2ln 28ln 224(2ln 21)
x dx x ==-=-⋅=-⎰⎰
原式
4解 2
3
330017=3cos cos 3cos 38
xd x x π
π
-=-⋅=⎰原式
5 解 过点A 作向量AB →和AC →
，则
