在雨中被淋雨量与行进速度的关系探究
鲁妙然
提要：本文通过建立模型，简要分析了在雨中被淋雨量与行进速度的关系，希望对生活有所帮助。
关键词：小尺度，雨滴流密度面积分，对时间函数
正文：
1.引言
生活中我们经常遇到这样的情况：外面在下雨，我们没带伞但又必须冒雨经过一段路程，这就让我产生了一个疑问：在雨中究竟是跑步淋到的雨少还是走路淋到的雨少？对于同一段路程，跑步花的时间短，但单位时间内淋的雨量可能更多。本文试对该问题做一个相对具体的分析。
2.建立流密度场模型
首先我们要建立一个模型，实际生活中由于风受地形，温度，气压影响较大，情况很复杂，所以本文只讨论在一块较为平坦的区域，行进路线为直线，且区域内没有剧烈气温、气压变化的情况，并且降雨量同一时刻在所选区域内处处相同。一般冒雨出行距离不会太远，大约在几百米左右，这个距离小于小尺度天气系统最低尺度，所以可认为在该区域内不同地点同一时刻风向一致（当然若正好处在天气系统边界上就可能会不一致，但所选区域尺度极小，所以恰好处在天气系统边界上概率不大）。
我们定义“雨滴流密度”：即在空间中某点附近单位时间内通过垂直于该处雨滴运动方
向的面积微元的某一指定尺寸的雨滴数目与面积的比值，用字母j 表示，有
v n v ds
nds j ==，其中v 是在该处附近雨滴的速度，n 是该处附近雨滴的数密度。（这个定义参照电流密度）。需注意的是同一位置同一时刻的n 是雨滴直径的函数，及不同大小的雨滴数密度是不同的，下面的分析中我们只讨论某一确定大小雨滴（认为尺寸与之差异微小的的雨滴看作尺寸与之相同）的情况，因为不同大小的雨滴对该问题的情况是相同的。所有尺寸雨滴的总淋雨点数N 乘以每个水滴的含水量求和（)(ρV N V ⋅∑）即得总淋雨量。后面的讨论中主要是对水滴的水平速度做分析，而不同尺寸雨滴水平分速度差异并不大，因为一般的雨滴直径最大不超过5mm ，所以均认为等于水平风速，所以只需讨论一种尺寸的雨滴行为，就可以代表全部了。下文中讨论的均是同一尺寸雨滴的情况，所以之后的讨论中，n 仅是空间与时间的函数。当雨足够大时可认为j
在空间和时间上是连续的。 3.流密度场的面积分与化简
当人静止时，雨滴流密度对人体包络面内表面（法向量只向内）的面积分，即是某时刻附近单位时间内落到人身上的雨点数，需注意的是雨点不可能从人体表面内部落向外部，所以上述积分中ds j 小于零的部分要舍去（归零），即不是对整个包络面积分，而是对雨滴从
外落向内的那部分面做积分，令这部分面为A ，321,,A A A 为其在三个坐标平面上的投影。则总积分写作：
⎰⎰+⎰⎰+⎰⎰⎰⎰=⎰⎰++=⋅3
21A dxdy z nv A dzdx y nv A A dydz x nv A dxdy z j dzdx y j dydz x j j 其中n ,z
v y v x v ,,均是x,y,z,t 的函数，当你在雨中行进时（不失一般性，令行进方向即x 方向，所以速度为u ，向x 轴正向为正），x v 变为u v x -，相应的积分面1A 也变化成使dydz u v x )(-恒正的积分面了。则积分变为：
⎰⎰+⎰⎰+⎰⎰⎰⎰-=⋅3
21)(A dxdy z nv A dzdx y nv A A dydz u x v n j
在人体这个尺度上，某一时刻人体表面处u ,n , z
v y v x v ,,均是定值，（不随x,y,z 变），故可提到积分号外，也可看出这种情况下的1A ，2A ，3A 均是连续的，且就是人体在三个坐标平面上的投影面。所以上述积分进一步化为：
)[(u x v n A
j -⎰⎰=⋅ S1+y v S2+z v S3]
其中S1,S2,S3表人体在三个坐标平面上的投影面积，大小（令|S1|,|S2|,|S3|=S1,S2,S3）确定但符号由其前面的速度分量而定，保证二者乘积为正（如若)(u x
v -<0，则S1=-|S1|=-S1）而u,n , z v y v x v ,,均是指这一时刻，人所在位置附近某点u,n , z v y v x v ,,的值（由前述，认为其附近所有点u ,n, z
v y v x v ,,值相同）。所以积分又可写作： |)([|u x v n A
j -⎰⎰=⋅ S1 +|y v |S2 +|z v |S3]
4.流量对时间积分 令⎰⎰⋅A
j =I ，设所研究路程长L ，则经这段路程耗时u L t =0，其中u 是人行进的平均速度。
则经过这段路淋的总雨滴量：
N =⎰
00t Idt =
)[(0
0u x v n t -⎰S1+y v S2+z v S3]dt （*） 或 N =⎰00t Idt =|)([|00u x v n t -⎰S1 +|y v |S2 +|z
v |S3]dt （**） 一切的问题归结为研究N 与u 的关系。
5.模型中各变量分析
到现在为止，还没用到建立模型时限定的条件。当没有这些限定条件时，u,n , z v y v x v ,,会随着不同时刻和人所在的位置发生改变。这是最一般的情况，但这样一来将使积分变的无法计算（因为不知道具体环境，n, z
v y v x v ,,与x ，y ，z ，t 的函数关系是未知的，也就将导致不同的结果）。
所以必须对模型做一些限制才能继续讨论。现在模型限制下，我们做进一步讨论。 首先，在限制之下，在同一高度处，n 仅是时间t 的函数，与地点无关，且由于下落到人体高度后雨滴的竖直速度基本恒定，所以在人体高度范围内，n 也不随z 做变化，所以n 仅是t 的函数。
再来考虑z
v y v x v ,,，一般可认为雨滴横向速度等于风的横向速度，因为风速仅是时间函数（所研究尺度内），所以y
v x v ,也仅是时间函数。而对于一般的不是很剧烈的的天气系统竖直方向的风速是很小的（远小于水平方向），所以可认为雨滴竖直方向受重力和空气阻力平衡，所以保持匀速，所以z
v 是个常数（对于给定尺寸的雨滴），由生活经验来看，即使不是常数，也仅与时间有关。而对于u ，可以由人控制，为讨论方便，也为本文结果更加有可操作性，我们令u 在运动过程中保持不变。
在如上限制下只要能获得n ，z
v y v x v ,,，利用计算机软件计算（**）积分即可得某一u 对应的N 的大小，再将所有尺寸雨滴的N 乘以每个水滴的含水量求和（
)(ρV N V ⋅∑）
即得总淋雨量。
为直观说明，我们可以作图如下：
积分变形做：
)([|00u x v n t -⎰S1| +|n y v S2| +|n z
v S3|]dt . n ，z v y v x v ,,均是t 的函数。
则有图：
