东北大学材料科学基础晶体结构f12-new

cos
u1u2 v1v2 w1w2
u12 v12 w12 u22 v22 w22
cos
h1h2 k1k2 l1l2
h12 k12 l12 h22 k22 l22
cos
hu kv lw
u2 v2 w2 h2 k 2 l2
2 、 锡 晶 体 具 有 体 心 四 方 点 阵 ， 其 点 阵 常 数 为 a=b=5.8Å， c=3.2Å。求出[201]与[203]晶向间的夹角。
h : k : l (v1w2 v2w1) : (w1u2 w2u1) : (u1v2 u2v1)
O
5、晶面间距：
a h
bk
c l
(hkl)
B
A
P
立方晶系： dhkl
a h2 k2 l2
正交晶系： dhkl
1
h2 a2
k2 b2
l2 c2
六方晶系： dhkl
1
4 3
h2
hk a2
(2
2r 2
2r)(4r)
0.555
[001]
[001]
[100]
[010]
[100]
FCC
最密排面{111} 最密排方向<110>
[010]
体心立方（ Body-Centered Cubic, BCC ）
晶胞中原子数
n 181 2 8
点阵常数
a 4r 3
原子坐标：(0, 0, 0) (1/2, 1/2, 1/2)
k1k2 b2
l1l2 c2
d d h1k1l1 h2k2l2
O
a h
bk
c l
B
A
P
cos
d hk l
h a
cos
dhkl
k b
C
cos
d hk l
l c
晶面法线单位矢量：
N1(cos1, cos 1, cos1)
N2 (cos2, cos 2, cos 2 )
N1 N2
cos1a0 cos 2 a0
正交晶系： cos (hu kv lw) dhkl
(ua)2 (vb)2 (wc)2
立方晶系： cos
(hu kv lw)
u2 v2 w2 h2 k 2 l2
练习题
1、求出立方晶系中下列晶向、晶面以及晶向与晶面间的夹角： (1)[111]与[112];(2)[211]与[321];(3)(111)与(111); (4)(210)与(121);(5)(111)与[100];(6)(111)与[110].
2、计算bcc和fcc结构中下述晶面的填充系数（面密度）： （a）{100};（b）{110};（c）{111}
3、计算hcp结构中下述晶面的填充系数（面密度）：
（a）{1 2 1 0} ；（b）{1 1 00} ；（c）{0001}
原子半径 间隙半径
rA a 2/4
rB
3 2 a / 4 2 2 a / 4
a 3/4
5 3 a / 4 2 3 a / 4
6 2 a / 4
a/2
2 1 a / 2
rB / rA
0.225 0.414 0.291 0.155 0.225 0.414
练习题
1、Fe在912C时由-Fe（bcc）变为-Fe（fcc）, C存在于Fe的 间隙中。试说明-Fe还是-Fe会溶解更多的C，为什么？已知Fe、-Fe和C的原子半径分别为0.129nm、0.125nm和0.077nm。
配位数 CN=8
致密度
致密度(原子堆垛Baidu Nhomakorabea子)
APF nv
2 4 r3
3
68%
V (4r / 3)3
原子线密度/面密度
LD[100]
2r 4r /
3
0.866
BCC
最密排面{110} 最密排方向<111>
PD(110)
2r2 0.833
2(4r / 3)2
密排六方（Hexagonal Close-Packed, HCP）
rA
12个/晶胞； rB 0.291
rA
HCP
八面体间隙 四面体间隙
6个/晶胞； 12个/晶胞；
rB 0.414 rA
rB 0.225 rA
BCC、FCC和HCP晶体结构中的间隙
晶体类型 间隙类型
FCC BCC HCP
正四面体 正八面体
四面体 扁八面体 正四面体 正八面体
晶胞内 间隙数
8 4 12 6 12 6
cos
u1u2a2 v1v2b2 w1w2c2
(u1a)2 (v1b)2 (w1c)2 (u2a)2 (v2b)2 (w2c)2
24.17
3、求出下列各组晶面的交线晶向： (1)(111)与(110);(2)(111)与(111)；(3)(123)与(112)
4、用计算和绘图两种方法证明(110)、(311)和(132)属于一个 晶带，晶带轴指数是什么？
致密度 晶体中原子体积所占总体积的分数。
原子堆垛因子（atomic packing factor, APF）
APF
nv
4
4 r3
3
74%
V (2 2r)3
原子线密度/面密度
线密度
在某一晶向上刚球所占线长度的分数
面密度
在某一晶面上刚球所占面积的分数
LD[100]
2r 2 2r
0.707
PD(110)
面心立方（Face-Centered Cubic, FCC）
晶胞
晶胞中原子数
n 18 1 6 4 82
点阵常数
a 2 2r
刚球模型
原子坐标：(0, 0, 0) (1/2, 0, 1/2) (1/2, 1/2, 0) (0, 1/2, 1/2)
配位数 与任一原子最近邻的原子数。
CN=12
cos cos
12bb00 ccooss12cc00
cos N1 N2
7、晶向与晶面夹角
N
L
[uvw] ~（hkl）
cos L N
(hkl)
L
N
cosa0
cos
b0
cos
c0
d hk l
h a
a0
d hk l
k b
b
d hk l
l c
c0
L
ua
vb
wc
uaa0
vbb0
wcc0
linear indices
BCC
atomic arrangement
linear density
FCC
atomic arrangement
linear density
<100>
2r
a
a
2r
a
a
<110>
2r
2a
2a
4r
2a
2a
<111>
4r
3a
3a
2r
3a
3a
BCC和FCC结构中{100}、{110}、{111}面密度
2a
2a
2r 2
2a2
3 1 3 1 r 2
6 2 3 a2 2
❖ 密排晶体结构中原子的堆垛方式
HCP
FCC
❖ 三种主要晶体结构中的间隙
FCC
八面体间隙 四面体间隙
4个/晶胞； 8个/晶胞；
rB 0.414 rA
rB 0.225 rA
BCC
(扁)八面体间隙 四面体间隙
6个/晶胞； rB 0.154
(311)
Z [112]
[112]
(132)
(132)
Y
(110) X 5 、 计 算 简 单 立 方 、 面 心 立 方 和 体 心 立 方 晶 体 中 (100) 、 (110)、(111)的面间距，并指出面间距最大的晶面。
❖ 三种主要的晶体结构
面心立方（Face-Centered Cubic, FCC） 体心立方（Body-Centered Cubic, BCC） 密排六方（Hexagonal Close-Packed, HCP）
2
3
Fe, Ti, W, Mo, Nb,
8
0.68
Ta, K, Na, V, Zr, Cr
FCC a 4 r
4
2
Fe, Cu, Au, Pt, Ag,
12
0.74
Pb, Ni
a 2r
HCP
6
c 1.633a
Ti, Mg, Zn, Be, Co,
12
0.74
Zr, Cd
BCC和FCC结构中<100>、<110>、<111>晶向线密度
重要的晶体学公式
1、晶带定律： hu＋kv＋lw＝0
2、立方晶系： [h k l] ⊥(h k l)
3、(h1k1l1)与(h2k2l2)交线晶向指数：
u : v : w (k1l2 k2l1) : (l1h2 l2h1) : (h1k2 h2k1)
4、[u1v1w1]与[u2v2w2]构成的晶面指数：
晶胞中原子数
原子坐标：
n 1 12 1 2 3 6
6
2
点阵常数
(0, 0, 0) (1, 0, 0) (2/3, 1/3, 1/2) (-1/3, 1/3, 1/2) (-1/3, -2/3, 1/2)
a 2r c / a 1.633
配位数 CN=12(6+6)
致密度 致密度(原子堆垛因子)
立方晶系： cos
u1u2 v1v2 w1w2
u12 v12 w12 u22 v22 w22
6、晶面夹角：
(h1k1l1) ~ (h2k2l2 )
立方晶系：cos
h1h2 k1k2 l1l2
h12 k12 l12 h22 k22 l22
正交晶系： cos
h1h2 a2
plane indices
BCC
FCC
atomic arrangement
planar density
atomic arrangement
planar density
r 2
{100}
a
a2
a
a a
2r 2
a2
{110} {111}
a 2a
2a
2a
2a
2r 2
2a2
1 r 2
2 3 a2 2
a
2a
2a
APF nv 74% V
HCP
最密排面 {0001} 最密排方向 <1120>
BCC、FCC和HCP结构的点阵常数、配位数及致密度
Structure
a vs. r
Atoms Coordination Packing per cell Number factor
Examples
BCC a 4 r
k2
l2 c2
cos
d hk l
h a
cos
dhkl
k b
C
cos
dhkl
l c
C
OB A
5、晶向夹角：
[u1v1w1 ] ~ [u2v2 w2 ]
L1
L2
u1a
u2a
v1b
v2b
w1c
w2c
正交晶系：cos
u1u2a2 v1v2b2 w1w2c2
(u1a)2 (v1b)2 (w1c)2 (u2a)2 (v2b)2 (w2c)2