双原子之间的作用力

荷间的库仑吸引力，长程作用； +B/rn :代表排斥能，来自同性电荷 间的库仑斥力及泡利原理所引起的 排斥力，总体表现短程作用。
第二章
晶体的结合
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相互作用势能的一般性质
（1）平衡位置r0的确定： 图（a）：互作用势能曲线
图（b）: 互作用势能曲线的微商曲线
du( r ) mA nB f (r ) m 1 n 1 dr r r
式中
振子的振动频率为
c c(1 ) 3 2r (7) c c(1 ) 3 2r
c 0 1 m 2r 3 (8) 1 c 0 1 2 m 2r 3 1 2
晶体的总相互作用势
一、双粒子模型（两个原子间的相互作用势能）
晶体中粒子的相互作用能
可以看成是由一对对粒子的相
互作用能叠加而得； 先只考虑晶体中一对粒子
的相互作用能，然后再对晶体
中所有粒子求和，可求出晶体 的相互作用能。
条件：1、组成晶体的原（离）子具有封闭的电子壳层，电子云分布近似球对称； 2、考虑晶体的结构因素
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第二章
晶体的结合
N个原子组成的晶体的总相互作用能可表示为：
1 E U (r ) 2
u(ri j ) i j
N
N
N
2
u(ri j ) (j j
1
1,j 2, 3, ,N )
总相互作用势能等于一个原子与其它所有原子相互作用势能的N/2。 第二章 晶体的结合
展开，取前三项，则：
e2 x1 x1 p2 u12 3 2 0 r 2 0 r 3 p ex, x x1 x2
(3)
第二章
晶体的结合
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3、两个有相互作用振子的总能量
两个分子有相互作用，则系统的总能量（1）式就改写为：
2 2 p12 cx12 p2 cx2 e 2 x1 x2 E E1 E2 (4) 3 2m 2 2m 2 20 r
为了讨论方便，引入正则坐标：
1 1 ( x1 x2 ) 2 (5) 1 2 ( x1 x2 ) 2
振子。
消除交叉项
目的：把两个相互作用的振子看作为正则坐标系中以不同频率作“独立”振动的
第二章
晶体的结合
Байду номын сангаас
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代入（4）式，有
2 p12 c12 p2 c 22 E (6) 2m 2 2m 2
U K ( 2 )V0 V0 V
2
dU d 2 r 2U dr V0 2 2 dr r0 dV r r dV 0 2U dr r 2 dV V0 r0
第二章
晶体的结合
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第二章
晶体的结合
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（2）有效引力最大位置rm的确定：当r= rm时，
d 2 u( r ) 0, or 2 dr r
m
df ( r ) 0 dr rm
rm r0 n m
两原子间距离r>r0时
n1 m1
原子间产生吸引力
第二章
晶体的结合
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它相应于两原子间的互作用力，当
r r0 du (r ) 0 dr r0
第二章 晶体的结合
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f (r0 ) 0
r0
n m
Bn Am
(2) (3)
A m U C U (r0 ) m (1 ) r0 n
互作用势能达极小值，由此决定原子
间的平衡距离r0。
此时的状态称为稳定状态。
c为简谐振子的恢复力常数（劲度系数），每个线性振子具有相同的频率
1 0 2
c , (0 20 m
c )( 2) m
2、两个有相互作用振子的互作用势能 如果两个分子靠得很近，足以发生
相互作用的话，互作用势能可表示为：
1 e2 e2 e2 e2 u12 4 0 r r x2 r x2 x1 r x1
这表明，分子间的范德瓦尔斯－伦敦力引起的互作用势能与r-6成正比。 而由泡利原理产生的斥力作用，较难计算，一般由实验求得，排斥 势与r-12成反比 因此，一对分子间总的互作用势能为：
第二章
晶体的结合
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A B u( r ) 6 12 (11) r r or
12 6 u( r ) 4 (12) r r A2 B , 4B A
u(rij )(j j
1
1,j 2, 3, ,N )
原子的数目
原子相互作用势能的大小由两个因素决定： 原子相互作用势能是晶体体积的函数。 已知原子相互作用势能 可以求出与体积相关的有关常数：晶体的晶格常数、体积弹性模量和压缩 原子的间距
系数、抗张强度等。
晶体压缩系数: 由热力学，压缩系数的定义是：单位压强引起的体积的相对变化， 即
2 R 2a N 3 V a 4 2 N 2
第二章
晶体的结合
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2U dr K 2 r dV V0 r0
( 8)
V NR
3
(9)
由（8）、（9）式，得平衡时晶体的体积弹性模量：
2 2 R U 1 U K 2 2 9V0 r r R 9 NR0 r r R 0 0 2 0
σ 和ε 是两个经验参数。
16
（12）式称为雷纳德－琼斯势。
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晶体的结合
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晶体的宏观可测量
晶格常数a（或原包体积V）、体积弹性模量K、抗张 强度Pm和结合能的关系
第二章
晶体的结合
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晶体的宏观可测量 1 N N N E U (r ) u(rij ) 2 i j 2
结合具体的晶体结构，便可确定晶格常数 a 。 第二章 晶体的结合
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第二章
晶体的结合
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第二章
晶体的结合
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第二章
晶体的结合
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体积弹性模量表示为： K 1 V P
k
V T
dU dU dr p dV dr dV
2 h 0 h 0 (9) 2 6 32 r
这里计算时，运用了展开公式：
1 x 1 1 1 x x2 , x 0 2 8
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晶体的结合
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上式前一项是两个振子在独立时的零点振动能，有了互作用后，能
量就降低了，其差值是第二项：
2 E h 0 (10) 2 6 32 r
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晶体的结合
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e2 1 1 1 1 x1 4 0 r x2 x1 1 x 2 1 1 r r r r
,
因为r>>x1、x2，上式后三项分别利用公式：
1 1 1 x x 2 , ( x 0) x
rm r0
当r= rm时 当超过 rm
n m
n1 m1
吸引力达极大值 吸引力就逐渐减少
du( r ) f ( rm ) dr r
大张力。
m
表示晶格所能容耐的在一个方向上的最
第二章
晶体的结合
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第二章
晶体的结合
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第二章
晶体的结合
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第二章
晶体的结合
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第二章
( 8)
晶体的结合
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当T＝0时，原子间的平衡间距为R 。 假设晶体有N个原胞，每个原胞的体积应与R3 成正比，因此晶体的平衡 体积为
V0 NR3
是与晶体几何结构有关的参数。
(9)
面心立方简单格子：
这里

简立方简单格子： 1
2 面心立方简单格子： 2 4 3 体心立方简单格子： 9
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二、两个非极性分子间的互作用势能
由范德瓦耳斯—伦敦力所引起的两分子间的互作用势可写成下面形
式：
A B u( r ) 6 12 r r
两个一维线性振子模型 1、两个独立振子的总能量
令r为两振子平衡点间的距离，
当r很大则两振子间无互作用，此 时系统的总能量为：
第二章
晶体的结合
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2 2 p12 cx12 p2 cx2 E E1 E 2 (1) 2m 2 2m 2
第二章
晶体的结合
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上面是经典力学的结果。
根据量子力学求解谐振子的结果，谐振子的振动能量表示为：
1 E ( n)h, n 0, 1, 2 2
系统的零点振动能为（n=0时）
12 12 1 1 1 E0 h h h 0 1 1 3 3 2 2 2 2r 2r
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晶体的结合
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第二章
晶体的结合
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1 k V
第二章
V P
T
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晶体的结合
1、三维晶体参数与结合能的关系
相距r的两个原子之间的互作用势能用U(r)表示：
A B U (r ) m n r r
A、B、m、n皆为大于零的常数。
(1)
( m n)
-A/rm :代表吸引能，来自异性电