函数增减性与奇偶性的快速判断方法

一复合函数
1.增减性
对于 F(x)=f[g(x)] 的复合函数,其增减性满足乘法定则
同增异减
2.奇偶性
对于F(x)=f[g(x)] 的复合函数,其实只要掌握好奇偶函数的定义，自己推一下是非常容易的。

记F(x)=f[g(x)]——复合函数，则F(-x)=f[g(-x)]
如果g(x)是奇函数，即g(-x)=-g(x) ==> F(-x)=f[-g(x)]，
则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-f[g(x)]=-F(x)，F(x)是奇函数；
当f(x)是偶函数时，F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。

如果g(x)是偶函数，即g(-x)=g(x) ==> F(-x)=f[g(x)]=F(x)，F(x)是偶函数。

所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数、外层的函数也是奇函数时，复合函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。

在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。

二加减函数
1.增减性
对于F(x)=g(x)+f(x) ，增+增=增，减+减=减，减+增则无定则
2.奇偶性
对于F(x)=g(x)+f(x) ,
奇+奇=奇, 奇-奇=奇, 偶+偶=偶 ,偶-偶=偶.奇+偶无定则
三相乘函数
1.增减性
对于F(x)=g(x)*f(x)
举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数,而F(x)=x^2,有增有减.
2.奇偶性
对于F(x)=g(x)*f(x), 即奇*偶=奇 ,偶*偶=偶 ,奇*奇=偶。

函数单调性、奇偶性、周期性◆知识点梳理 一函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称 奇函数)(x f 在原点有定义,则0)0(=f ；2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称；3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称；4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇,偶±偶=偶②奇×/÷奇=偶,奇×/÷偶=奇,偶×/÷偶=偶二函数的单调性 方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法; 1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式,以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数范围,一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题,接着用求最值的视角去解决；②先求出该函数的完整单调区间,根据此区间比已知单调区间大去求解; 4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减,增 + 增 = 增；②1()()()f x f x f x -与、的单调性相反；三复合函数单调性的判定：定义域优先考虑1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数： )(x g u =与)(u f y =；2、分别研究两个函数在各自定义域内的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域内的单调性; 四函数的周期性1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+,则称函数)(x f 为周期函数,T 为它的一个周期;如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期;2、三角函数的周期①π==T x y :tan ,||:tan ωπω==T x y ②||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 3、与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或(2)()f x a f x += ⇒)(x f 的周期为a 2； ②)()(x f a x f -=+⇒)(x f 的周期为a 2；③1()()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2；◆考点剖析一考查一般函数的奇偶性例1、 设函数fx 是定义在R 上的奇函数,若当x ∈0,+∞时,fx ＝lg x ,则满足fx ＞0的x 的取值范围是 .变式1、 若函数(1)()y x x a =+-为偶函数,则a = A ．2- B ．1- C ．1 D ．2变式2、 函数1()f x x x=-的图像关于A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称二考查函数奇偶性的判别例2、判断下下列函数的奇偶性122(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 224()|3|3x f x x -=--变式3、已知函数0()(2≠+=x xax x f ,常数)a ∈R ． 1讨论函数)(x f 的奇偶性,并说明理由； 变式4、判断下下列函数的奇偶性121()log 1x f x x -=+ 21,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨--≤⎩三考查抽象函数的奇偶性例3、已知函数fx,当x,y ∈R 时,恒有fx+y=fx+fy.求证：fx 是奇函数；变式5A 、若定义在R 上的函数fx 满足：对任意12,x x ∈R 有1212()()()1f x x f x f x +=++,则下列说法一定正确的是Afx 为奇函数 Bfx 为偶函数 C fx+1为奇函数 Dfx+1为偶函数变式5B 、已知函数()f x ,当,x y R ∈时,恒有()()()f x y xf y yf x +=+,求证()f x 是偶函数;三考查一般函数的单调区间暂不讲例4、 设函数1()(01)ln f x x x x x =>≠且,求函数()f x 的单调区间；变式6、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 A. )2,(-∞ B.0,3 C.1,4 D. ),2(+∞四考查复合函数的单调区间 例5、判断函数fx=12-x 在定义域上的单调性.变式7、求函数y=21log 4x-x 2的单调区间.五考查函数单调性的运用例6A 、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠,有2121()()0f x f x x x -<-.则A (3)(2)(1)f f f <-<B (1)(2)(3)f f f <-<C (2)(1)(3)f f f -<<D (3)(1)(2)f f f <<-变式8、2008全国设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数,且(1)0f =,则不等式()()0f x f x x --<的解集为A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，例6B 、已知函数32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增,求a 的取值范围;变式9、已知函数0()(2≠+=x xa x x f ,常数)a ∈R ． 1略 2若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数,求a 的取值范围．六考查函数周期性的应用例7、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=,若()15,f =-则()()5f f =__________;变式10、已知函数()f x 满足：()114f =,()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈,则()2010f =_____________.变式11、已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D2◆方法小结1、注意：单调区间一定要在定义域内,且不可以有“”,只能用“和”,“,”.2、含有参量的函数的单调性问题,可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围,其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式,结合定义域求出参数的取值范围.3、判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断或证明函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性,可以在定义域内找到一对非零实数a 与－a ,验证fa ±f －a ≠0.4、函数的周期性：第一应从定义入手,第二应结合图象理解.◆课后强化1.若函数2()()af x x a x=+∈R ,则下列结论正确的是A ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是增函数B ．a ∀∈R ,()f x 在(0,)+∞上是减函数C ．a ∃∈R ,()f x 是偶函数D ．a ∃∈R ,()f x 是奇函数2. 下列函数()f x 中,满足“对任意1x ,2x ∈0,+∞,当1x <2x 时,都有1()f x >2()f x 的是A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+ 3.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加,则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值范围是A 13,23B 13,23C 12,23D 12,234.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+,则)25(f 的值是A. 0B. 21C. 1D. 255.已知定义在R 上的奇函数)(x f ,满足(4)()f x f x -=-,且在区间0,2上是增函数,则 .A.(25)(11)(80)f f f -<<B. (80)(11)(25)f f f <<-C. (11)(80)(25)f f f <<-D. (25)(80)(11)f f f -<<6、已知()f x 在R 上是奇函数,且(4)(),f x f x +=2(0,2)()2,(7)x f x x f ∈==当时，则 A.—2 C.—987、设fx 为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,fx=2x +2x+bb 为常数,则f-1= A 3 B 1 C-1 D-38、给定函数①12y x =,②12log (1)y x =+,③|1|y x =-,④12x y +=,其中在区间0,1上单调递减的函数序号是A ①②B ②③C ③④D ①④9、若函数fx =3x +3-x 与gx =3x -3-x 的定义域均为R,则A ．fx 与gx 均为偶函数 B. fx 为偶函数,gx 为奇函数 C ．fx 与gx 均为奇函数 D. fx 为奇函数,gx 为偶函数 10、11、设函数fx=xe x +ae -x x ∈R 是偶函数,则实数a =________________12、以下4个函数: ①12+=x )x (f ; ②11+-=x x )x (f ; ③2211x x )x (f -+=; ④xxlg )x (f +-=11. 其中既不是奇函数, 又不是偶函数的是 A.①② B. ②③ C. ③④ D. ①②③13、已知函数), x x ( lg x )x (f 122+++=若f a ＝M, 则f －a 等于A. M a -22B. 22a M -C. 22a M -D. M a 22-14、设y ＝f x 是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时, f x ＝x 2－2 x, 则在R 上f x 的表达式为A. )x (x 2--B. ) |x | (x 2-C. ) x (|x |2-D. ) |x | (|x |2- 15．函数1)(+-=x a x f )1,0≠>a a 是减函数,则a 的取值范围是 A ．()1,0∈a B ．(]+∞∈,1a C ．R a ∈ D ．+∈R a 16．函数)(x f 112+-=x x 的单调增区间是 A ．(][)∞+--∞-11, B ．(][)∞+--∞-1,1, C ．(]1,-∞- D ．()()+∞--∞-,11,17．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)718．若fx=-x 2+2ax 与1)(+=x ax g 在区间1,2上都是减函数,则a 的值范围是A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．0,1D ．]1,0(19．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增,则a 的取值范围是A ．)1,41[B ． )1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(20．函数)1lg()(2x x x f ++=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数 21．函数2222)(x x x f -+-=是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数22．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0(,)0(,)(22x x x x x x x f 是A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数23．定义在R 上的偶函数fx 满足fx =fx +2,当x ∈3,5时,fx =2－|x －4|,则A ．f sin 6π<f cos 6πB ．f sin1>f cos1C ．f cos 32π<f sin 32πD ．f cos2>f sin224．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.若)(x f 的最小正周期是π,且当]2,0[π∈x 时,x x f sin )(=,则)35(πf 的值为A ．21-B ．21C ．23-D ．23 25．已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+3=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D226．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数,且0)2(=f ,则方程)(x f =0在区间0,6内解的个数的最小值是A ．5B ．4C ．3D ．227．下列函数既是奇函数,又在区间[]1,1-上单调递减的是 A ()sin f x x =B ()1f x x =-+C ()1()2x x f x a a -=+D 2()ln 2xf x x-=+ 28．若函数fx=121+X , 则该函数在-∞,+∞上是A 单调递减无最小值B 单调递减有最小值C 单调递增无最大值D 单调递增有最大值 29．下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x x y ∈=,)21(30．已知R a ∈,函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数,则a ＝A0 B1 C －1 D ±131．若函数fx 是定义在R 上的偶函数,在]0,(-∞上是减函数,且f 2=0,则使得fx <0的x 的取值范围是A -∞,2B 2,+∞C -∞,-2⋃2,+∞D -2,232．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是 A ()()f x f x -是奇函数 B ()()f x f x -是奇函数 C ()()f x f x --是偶函数 D ()()f x f x +-是偶函数33．函数)2(log )(22--=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.34. 函数1231)(+--⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.35.设fx 是定义在R 上的奇函数,且y=f x 的图象关于直线21=x 对称,则f 1+ f 2+ f 3+ f 4+ f 5=______________.36．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数,则a = . 37、函数fx =111122+++-++x x x x 的图象 A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x =1对称38、函数fx 在R 上为增函数,则y =f |x +1|的一个单调递减区间是_________. 39、若fx 为奇函数,且在0,+∞内是增函数,又f －3=0,则xfx <0的解集为_________.40、如果函数fx 在R 上为奇函数,在－1,0上是增函数,且fx +2=－fx ,试比较f 31,f 32,f 1的大小关系______41、已知函数y =fx =cbx ax ++12 a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0是奇函数,当x >0时,fx 有最小值2,其中b ∈N 且f 1<25.1试求函数fx 的解析式；2问函数fx 图象上是否存在关于点1,0对称的两点,若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.42、已知函数()()1011且x x a f x a a a -=>≠+．1判断()f x 的奇偶性；2当1a >时,判断()f x 的单调性,并证明．43、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在[)0,+∞上单调递增,()30f =,则不等式()0f x ≥的解集是 ．44、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递减区间是 ．45、若函数()11a f x x x a=+-+是奇函数,则实数a 的值为 ． 46、若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数,则实数a 、b 的取值范围分别是 ． 47、已知对于任意实数x ,函数()f x 满足()()f x f x -=,若方程()0f x =有2009个实数解,则这2009个实数解之和为 ．◆详细解析 例1、(1,0)(1,)-+∞ 变式1、C 变式2、C例2、解：12222(1),0(1),0()()(1),0(1),0x x x x x x f x f x x x x x x x ⎧⎧---≥-+≤⎪⎪-===⎨⎨--+-<->⎪⎪⎩⎩ 故()f x 为偶函数;2()f x 的定义域由240|3|30x x ⎧-≥⎨--≠⎩确定,解得2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠⎩且∴定义域为[2,0)(0,2]-关于原点对称∴()f x x =-∵()()f x f x x-==- 故()f x 为奇函数 变式3、解：1当0=a 时,2)(x x f =,对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，,)()()(22x f x x x f ==-=-, )(x f ∴为偶函数．当0≠a 时,2()(00)af x x a x x=+≠≠，,取1±=x ,得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，,(1)(1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，,∴ 函数)(x f 既不是奇函数,也不是偶函数．变式4、解：1由101x x ->+解得1,1x x <->或,则定义域关于原点对称; ∵222111()log log log ()111x x x f x f x x x x --+--===-=--+-+ ∴()f x 为奇函数 21,01,0()()1,01,0x x x x f x f x x x x x --->--<⎧⎧-===⎨⎨--≤-≥⎩⎩,故()f x 为偶函数;例3、证明： ∵函数定义域为R,其定义域关于原点对称.∵fx+y=fx+fy,令y=-x,∴f0=fx+f-x.令x=y=0, ∴f0=f0+f0,得f0=0.∴fx+f-x=0,得f-x=-fx, ∴fx 为奇函数. 变式5A 、C变式5B 、证明：令0x y ==,可得(0)0f =；令y x =-,可得()()()f x x xf x xf x -=--即(0)[()()]0f x f x f x =--= 又x R ∈ ∴()()f x f x -- ∴()f x 是偶函数例4、解：'22ln 1(),ln x f x x x +=-其中01x x >≠且若 '()0,f x < 则 1x e >,此时()f x 单调递减,故减区间为1(,1),(1,)e +∞；若 '()0,f x > 则 1x e <,此时()f x 单调递增,故增区间为1(0,)e；变式6、解析()()(3)(3)(2)x x x f x x e x e x e '''=-+-=-,令()0f x '>,解得2x >,故选D 例5、解： 函数的定义域为{x|x ≤-1或x ≥1},则fx=12-x ,可分解成两个简单函数.fx=)(,)(x u x u =x2-1的形式.当x ≥1时,ux 为增函数,)(x u 为增函数.∴fx=12-x 在1,+∞上为增函数.当x ≤-1时,ux 为减函数,)(x u 为减函数,∴fx=12-x 在-∞,-1上为减函数.变式7、解： 由4x-x 2＞0,得函数的定义域是0,4.令t=4x-x 2,则y=21log t.∵t=4x-x 2=-x-22+4,∴t=4x-x 2的单调减区间是2,4,增区间是0,2.又y=21log t 在0,+∞上是减函数,∴函数y=21log 4x-x 2的单调减区间是0,2,单调增区间是2,4.例6、答案:A. 解析:由2121()(()())0x x f x f x -->等价,于2121()()0f x f x x x ->-则()f x 在1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠上单调递增, 又()f x 是偶函数,故()f x 在1212,(0,]()x x x x ∈+∞≠单调递减.且满足*n N ∈时, (2)(2)f f -=, 03>21>>,得(3)(2)(1)f f f <-<,故选A. 变式8、D例6B 、解：∵32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增 ∴2()320f x x ax a '=+-≥在区间(1,)+∞上恒成立 即2(21)3x a x -≥-在区间(1,)+∞上恒成立 ∵210x ->∴2321x a x ≥--在区间(1,)+∞上恒成立 只要满足2max 3()21x a x ≥-- ∵23333334[(21)](2)321422142x x x x -=--++≤-⨯+=--- ∴3a ≥-变式9、2解：∵)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数 ∴ ()0f x '≥在[2)x ∈+∞，上恒成立即32202a x a x x-≥≤即在[2)x ∈+∞，上恒成立,故只要满足3min (2)a x ≤显然33min (2)2216x =⋅= a ∴的取值范围是(16]-∞，． 例7、解析：由()()12f x f x +=得()()14()2f x f x f x +==+,所以(5)(1)5f f ==-,则()()115(5)(1)(12)5f f f f f =-=-==--+;变式10、解析：取x=1 y=0得21)0(=f 法一：通过计算)........4(),3(),2(f f f ,寻得周期为6 法二：取x=n y=1,有fn=fn+1+fn-1,同理fn+1=fn+2+fn 联立得fn+2= —fn-1 所以T=6 故()2010f =f0=21变式11、解析：由()()()()()x f x f x f x f x f =+-=+⇒-=+242由()x f 是定义在R 上的奇函数得()00=f ,∴()()()()002246=-==+=f f f f ,故选择B; 1、答案：C 解析对于0a =时有()2f x x =是一个偶函数2、解析依题意可得函数应在(0,)x ∈+∞上单调递减,故由选项可得A 正确;3、答案A 解析由于fx 是偶函数,故fx ＝f|x|∴得f|2x －1|＜f 13,再根据fx 的单调性 得|2x －1|＜13 解得13＜x ＜234、答案A 解析若x ≠0,则有)(1)1(x f xx x f +=+,取21-=x ,则有： )21()21()21(21211)121()21(f f f f f -=--=---=+-= ∵)(x f 是偶函数,则)21()21(f f =- 由此得0)21(=f 于是, 0)21(5)21(]21211[35)121(35)23(35)23(23231)123()25(==+=+==+=+=f f f f f f f 5、解析:因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-,所以(8)()f x f x -=,所以函数是以8为周期的周期函数, 则)1()25(-=-f f ,)0()80(f f =,)3()11(f f =,又因为)(x f 在R 上是奇函数, (0)0f =,得0)0()80(==f f ,)1()1()25(f f f -=-=-,而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==,又因为)(x f 在区间0,2上是增函数,所以0)0()1(=>f f ,所以0)1(<-f ,即(25)(80)(11)f f f -<<,故选D.6、选A7、答案D8、答案：B9、D ．()33(),()33()x x x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．10、11、解析 gx=e x +ae -x 为奇函数,由g0=0,得a =－1;12、A 13、A 14、B15、B 16、D 17、C 18、D30、A 33.()+∞,2;()1,-∞- 34.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21;⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21, 36.22 37、答案：C 解析：f －x =－fx ,fx 是奇函数,图象关于原点对称.38、解析：令t =|x +1|,则t 在－∞,－1]上递减,又y =fx 在R 上单调递增,∴y =f |x +1|在－∞,－1]上递减.答案：－∞,－1]39、答案：－3,0∪0,3 解析：由题意可知：xfx ＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或∴x ∈－3,0∪0,3 40、答案：f 31＜f 32＜f 1 解析：∵fx 为R 上的奇函数∴f 31=－f －31,f 32=－f －32,f 1=－f －1,又fx 在－1,0上是增函数且－31> －32>－1. ∴f －31>f －32>f －1,∴f 31＜f 32＜f 1.41、解：1∵fx 是奇函数,∴f －x =－fx ,即c bx c bx cbx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴fx =bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ,当且仅当x =a1时等号成立,于是22ba =2,∴a =b 2,由f 1＜25得b a 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2,又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴fx =x +x1.2设存在一点x 0,y 0在y =fx 的图象上,并且关于1,0的对称点2－x 0,－y 0也在y =fx 图象上,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1y x x y x x 消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1±2.∴y =fx 图象上存在两点1+2,22,1－2,－22关于1,0对称.42、解：1由()f x 的定义域为R ,关于原点对称()()1111x xx xa a f x f x a a -----===-++得()f x 为R 上的奇函数 2证明：12x x ∀<∈R ,则由1a >得12x x a a <()()()()()()()12121212122121101111x x x x x x x x a a a a f x f x f x f x a a a a ----=-=<⇒>++++ ∴当1a >时,()f x 在R 上单调递增 43、(][),33,-∞-+∞ 44、[)1,3 45、1 46、00且a b >≤ 47、0。

函数单调性与奇偶性在我们学习数学的旅程中，函数的单调性和奇偶性是两个非常重要的概念。

它们就像是函数世界里的“性格特征”，帮助我们更好地理解和描述函数的行为。

让我们先来聊聊函数的单调性。

简单来说，单调性就是函数值随着自变量的变化而呈现出的一种规律。

如果一个函数在某个区间内，当自变量增大时，函数值也随之增大，那我们就说这个函数在这个区间上是单调递增的；反之，如果自变量增大时，函数值反而减小，那这个函数在这个区间上就是单调递减的。

比如说，一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 就是单调递增的。

当 x 从 1 增加到 2 时，y 就从 3 增加到 5。

再看反比例函数 y ＝ 1/x ，在 x ＞ 0 这个区间上，它是单调递减的。

因为当 x 从 1 增大到 2 时，y 从 1 减小到 1/2 。

那么，怎么判断一个函数的单调性呢？这就需要用到一些方法啦。

最常见的就是定义法。

我们假设在给定的区间内有两个自变量 x1 和x2 ，且 x1 ＜ x2 ，然后比较 f(x1) 和 f(x2) 的大小。

如果 f(x1) ＜ f(x2) ，那函数就是单调递增的；如果 f(x1) ＞ f(x2) ，那就是单调递减的。

除了定义法，还有导数法。

对于一些比较复杂的函数，我们可以通过求导来判断单调性。

导数大于零的区间，函数单调递增；导数小于零的区间，函数单调递减。

接下来，咱们再说说函数的奇偶性。

奇偶性就像是函数的“对称美”。

如果对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，那么这个函数就是偶函数；如果都有 f(x) ＝ f(x) ，那它就是奇函数。

比如说，偶函数就像我们熟悉的二次函数 y ＝ x²，当 x 取 2 和－2 时，y 都等于 4 。

奇函数的典型例子是 y ＝ x³，当 x 取 2 时，y 等于 8 ；当 x 取－2 时，y 等于－8 ，正好是相反数。

那怎么判断一个函数是奇函数还是偶函数呢？首先要看函数的定义域是否关于原点对称。

〔一〕函数单调性 1.增函数、减函数如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； 如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 注意：求函数的单调区间，必须先求函数的定义域. 2、增、减函数的性质：增函数： 12x x <⇔12()()f x f x < 减函数： 12x x <⇔12()()f x f x < 式子的变形：设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么 []1212()()()0x x f x f x -->⇔[]ba x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x xf x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. 3、判断函数单调性的方法步骤：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：1)、取值： 设任意两个实数12,x x 有， 12,x x ∈D ，且12x x <；2)、作差：)()(21x f x f -；3)、变形：通常方法：因式分解；配方； 分母有理化； 4)、定号：即判断差)()(21x f x f -的正负；5)、下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性． 取值→作差→变形→定号→下结论例：证明函数 在R 上是增函数.xx x f +=3)(一些重要函数的单调性：1、一次函数的图象y=kx+b 的单调性：（1）当k>0时，函数在R 上是增函数 〔2〕当k<0时，函数在R 上是减函数 2、反比例函数的图象)0(≠=k xky 的单调性： 〔1〕当k>0时，函数在()()+∞∞-,0,0,上是减函数 〔2〕当k<0时，函数在()()+∞∞-,0,0,上是增函数 3、二次函数的图象)0(2≠++=a c bx ax y 的单调性〔1〕当a>0时，函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-a b 2,上是减函数, 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a b 上是增函数 〔2〕当a<0时，函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-a b 2,上是增函数,在⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,2a b 上是减函数 例题：偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，那么满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值X 围是: ()变式：二次函数的根本性质例1、函数2()2f x x t x =-+在[1，2]上是单调递增函数，那么实数t的取值X 围是_________二、两个函数和差乘除单调性和复合函数的单调性1、如果函数f(x)在区间D 上是增〔减〕函数，函数g(x)在区间D 上是增(减)函数；函数F(x)=f(x)+g(x)在D 上为增(减)函数。

奇偶函数的判断口诀
判断一个函数是奇函数还是偶函数可以使用以下口诀：
"奇函数积偶负，偶函数积偶正"。

这句口诀的意思是，如果一个函数是奇函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是负数；如果一个函数是偶函数，那么它的奇次幂
的项的系数乘积是正数。

另外，还可以通过函数的定义来判断。

奇函数满足f(-x)=-
f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

通过这两个条件，可以判断一个函
数是奇函数还是偶函数。

此外，还可以通过函数图像的对称性来判断。

如果函数的图像
关于原点对称，则该函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，则该函数是偶函数。

综上所述，通过口诀、函数的定义和函数图像的对称性这几种
方法，可以较为全面地判断一个函数是奇函数还是偶函数。

【数学知识点】函数增减性判断口诀函数增减性判断口诀为同增异减，判断函数增减性可以用基本函数法，图象法，定义法，函数运算法等。

同增异减增+增=增减+减=减增-减=增减-增=减1.基本函数法用熟悉的基本函数（一次、二次、反比例、指数、对数、三角等函数）的单调性来判断函数单调性的方法叫基本函数法。

2.图象法用函数图象来判断函数单调性的方法叫图象法。

图象从左往右逐渐上升<=>是增函数。

图象从左往右逐渐下降<=>是减函数。

3.定义法用单调性的定义来判断函数的单调性的方法叫定义法。

设x1,x2∈D,x1<x2有f(x1)<f(x2) (>)<=>(x)是D上的增函数（减函数）。

过程为取值——作差——变形——判符号——结论。

其实，这也是单调性的证明过程。

4.函数运算法用单调函数通过四则运算得到的和差积商函数来判断函数的单调性的方法叫函数运算法。

设f，g是增函数，则在f的单调增区间上，或者f与g的单调增区间的交集上，有如下结论：①f+g是增函数。

②－f是减函数。

③1/f 是减函数(f>0)。

④fg是增函数（f>0,且g>0）。

5.导数法用导数符号来判断函数单调性的方法叫导数法。

f（x）是增函数(减函数)<=>f′>0(f′<0).6.复合函数单调性判断法则由函数u＝φ(x)和函数y=f(u)复合而成的函数y=f[φ(x)]叫复合函数.复合函数的单调性判断法则如表所示。

口诀：相同则增，相异则减。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

判断函数奇偶性的方法
要判断一个函数的奇偶性，可以通过以下方法进行推导：
1. 将函数表示为一个代数式，并用f(x)代表该函数。

2. 奇函数的定义是f(-x) = -f(x)。

这意味着，如果将函数的自变量取相反数，然后将函数值取负数，结果应该与原函数的函数值相同。

如果这个等式成立，那么函数是奇函数。

3. 偶函数的定义是f(-x) = f(x)。

这意味着，如果将函数的自变量取相反数，然后函数值保持不变，结果应该与原函数的函数值相同。

如果这个等式成立，那么函数是偶函数。

4. 可以通过将自变量分别设置为正数和负数来验证奇偶性质。

如果函数满足奇函数或偶函数的定义，那么函数的图像将具有特定的对称性。

注意：在进行奇偶性判断时，应注意函数的定义域和值域，以确保函数在这些范围内满足奇偶性质。

尽管以上方法没有标题，但提供了一种可以用于判断函数奇偶性的解释过程。

函数的单调性与奇偶性知识点：1.函数的单调性的定义令1212,x x x x <属于定义域，并且⇒比较()()12f x f x 与的大小⎧⎨⎩作差法，与0比较作商法，与1比较（作商时，只有同号，才能比较大小）⇒()()()()()()1212f x f x f x f x f x f x <⇒⎧⎪⎨>⇒⎪⎩若单调递增若单调递减函数单调性的判定（方法对接）1、定义法（作差比较和作商比较）；2、图象法；3、复合函数[()]y f g x =单调性判断法则：同增异减；（1）用定义法证明函数的单调性例1 、用定义法证明函数()()21,1x f x x +=-+∞+在上是减函数。

练习1、用定义法证明函数y=x 3在R 上单增。

2、用定义方法证明()212x f x -=在定义域内是单调递增函数。

3、在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y=2x ＋1B ．y=3x 2＋1C ．y=x2D ．y=2x 2＋x ＋14、函数f(x)=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是减函数？试证明你的结论．5、试讨论函数f(x)=21x -在区间［－1，1］上的单调性．（2）用图像法求函数的单调性例2、指出函数()223f x x x =-++的单调区间例3、（对号函数)讨论函数y=x+1/x 函数的单调性情况。

练习: 1、指出函数y=｜-x 2+2x+3｜的单调区间。

2、求函数()2f x x x=-的单调区间 （3）特殊方法判断函数单调性。

复合函数的单调性为‘同增异减’ 例4、212()log (2)(0)f x x x =+>若()(),f x g x 均为增函数，则()()f x g x +仍为增：若()f x 为增函数，()g x 为减函数，则()()f x g x -为增函数。

例5、()212x x f x e +=+（4）抽象函数单调性方法：定义法 （注：如无法直接比较时，可用配凑法; 即2211()x x x x =-+或2211x x x x =） 例6、已知函数()f x 对任意的,x y R ∈都有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <， 证明()f x 在R 上是减函数。

函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。

2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。

注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。

（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。

（4）利用函数的图象分别指出： 一次函数y=kx+b 、 反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）． （7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法 （3导数法） 二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性， 当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性， 则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 ；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

本周内容：函数地增减性、函数地奇偶性重点难点分析：1．不能把一个完整地单调区间随意分成两个区间,例如y=3x地单调区间(-∞,+∞>不可以写成(-∞,0]和[0,+∞>,也不能把本来不是一个区间地单调区间合起来.例如y=地单调递减区间是(-∞,0>和(0,+∞>,而不能写成x∈R且x≠0.2．设y=f(u>,u=g(x>,复合函数y=f[g(x>]地增减性有下面二种情况：<1）若u=g(x>, y=f(u>在所讨论区间上都是递增或递减地,则y=f[g(x>]在该区间上为增函数.<2）若u=g(x>, y=f(u>,在所讨论区间上一个是递增地,另一个是递减地,则y=f[g(x>]在该区间上为减函数.3．奇函数或偶函数都是定义在关于原点对称区间上地函数,且等式f(-x>=f(x>或f(-x>=-f(x>是定义在对称区间上地恒等式,而不是只对自变量地部分值成立地方程,所以,只要出现以下两种情况之一,函数就不是偶函数或奇函数：<1）定义域不是关于原点对称地区间<2）f(-x>=f(x>和f(-x>=-f(x>不是定义在定义域上地恒等式.典型例题：例1．求y=log a(-2x2+x+3>地递减区间解：令u=-2x2+x+3>0得定义域为(-1,>,∵u=-2(x->2+3, x∈(-1,>,当x∈(-1, ]时,u=-2x2+x+3为增函数,当x∈[,>时,u=-2x2+x+3为减函数.<1）如果a>1,则y=log a u 为增函数, y=log a (-2x 2+x+3>地递减区间为[,>.<2）如果0<a<1,则y=log a u 为减函数,y=log a (-2x 2+x+3>地递减区间为(-1,].例2．试讨论y=x+(a>0>在区间(0,+∞>上地单调性,并证明.解：任取x 1, x 2∈(0,+∞>且x 1<x 2.f(x 1>-f(x 2>=(x 1+>-(x 2+>=(x 1-x 2>+(- >=(x 1-x 2>+=(x 1-x 2>(1->.........(*>∵x 1<x 2,∴x 1-x 2<0.(1>当x 1,x 2∈(0,]时,0<x 1x 2<a, >1,1- <0,此时(*>>0,f(x 1>>f(x 2>, f(x>在(0,]上是减函数.(2> 当x 1, x 2∈[,+∞>时,x 1x 2>a, 0<<1,1->0,此时(*><0, f(x 1><f(x 2>, f(x>在[,+∞>上是增函数.注：∵x>0,a>0, 根据均值不等式 ∴x+,当且仅当x=时取等号,即y 最小.所以在x=时函数图像是最低地,即函数图像从左向右是先降后升地,转折点是x=,可以自己画出函数草图.例3．求y=cos(-2x>递增区间.解：方法(1> 设u=-2x, y=cosu,∵ u=-2x+为减函数,∴只需求y=cosu 地递减区间,2kπ≤-2x≤π+2kπ(k∈Z>2kπ-≤-2x≤+2kπ-kπ+≥x≥--kπ.∵-k与k等效,∴kπ-≤x≤kπ+.图示：方法(2>,∵cosu为偶函数,∴y=cos(2x-> u=2x-为增函数.∴只需求y=cosu递减区间,2kπ+π≤2x-≤2kπ+2π2kπ+≤2x≤2kπ+kπ+≤x≤kπ+.图示：说明：形式不同,但区间相同.但更多是用方法(2>,容易理解并且不易出错.例4．定义在(-2,2>上地偶函数g(x>,当x≥0时,g(x>单调递减,若g(1-m><g(m>求实数m地取值范围.解：∵g(x>为偶函数,∴g(-x>=g(x>,对于x∈(-2,2>,g(-x>=g(x>=g(|x|>,g(1-m><g(m>g(|1-m|><g(|m|>由已知得：(1>: -1<m<3(3>: (1-m>2>m2m<,∴-1<m<例5．设f(x>是定义在R上地以2为周期地偶函数,在(2,3>上f(x>=-2(x-3>2+4.求当x∈(1,2>时f(x>地解读式.解：当-3≤x≤-2时2≤-x≤3,∵f(x>为偶函数,f(x>=f(-x>=-2[(-x>-3]2+4=-2(x+3>2+4当1≤x≤2时, -3≤x-4≤-2f(x>=f(x-4>=-2[(x-4>+3]2+4=-2(x-1>2+4.例6．已知y=f(x>是定义在R上地奇函数,x>0时,f(x>=x-lg|x|,当x<0时,求f(x>解读式.解：当x<0时,-x>0,∵f(x>奇函数,∴f(x>=-f(-x>=-[(-x>-lg|-x|]=-(-x-lg|x|>=x+lg|x|本周练习：一填空题：1．函数y=(-x2+2x+3>单调递增区间是________.2．函数f(x>=(>|1-x|地单调递减区间是_________.3．f(x>是定义在[-2,2]上地奇函数,且为减函数,若不等式f(2-a>+f(2a-3><0成立,则实数a 地范围是________.二、解答题：1．函数f(x+1>是偶函数,且x<1时f(x>=x2+1, 求x>1时,f(x>地表达式.2．设函数f(x>是定义在R上地偶函数,并且在区间(-∞,0>上单调递增,f(2a2+a+1><f(3a2-2a+1>,求实数a地取值范围,使函数y=在这个范围上是单调递减函数.参考答案：一、填空题1. [1,3>2. [1, +∞>3. 1<a≤二、解答题1.解：∵f(x+1>为偶函数,∴f(-x+1>=f(x+1>,∴f(x>=f(2-x>, 当x>1时,2-x<1,∴f(2-x>=(2-x>2+1=x2-4x+5,即当x>1时,f(x>=x2-4x+5.2．解：∵f(x>是R上地偶函数,且在(-∞,0>上单调递增,∴f(x>在(0,+∞>上单调递减,∵2a2+a+1=2(a+>2+>0,3a2-2a+1=3(a->2+>0f(2a2+a+1><f(3a2-2a+1>∴2a2+a+1>3a2-2a+1∴a2-3a<0a(a-3><00<a<3 又∵y=(>x为减函数,∴要使为减函数,需a地取值范围使a2-3a+1为增函数,即a≥.综上得：≤a<3.。

函数的单调性与奇偶性一、函数的单调性初中时我们学过，对于一次函数y＝x+1，y随着x的增大而增大，我们称之为增函数；y＝-x+l，y随着x的增大而减小，我们称之为减函数。

那么如何定义呢?用数学符号语言如何叙述呢?1．定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：在定义域内的某个区间上任取x1，x2，且x1＜x2，若都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是单调增函数；在定义域内的某个区间上任取x1，x2，且x1＜x2，若都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是单调减函数；若函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间。

理解：初中的说法是描述性的语言，通俗易懂；而高中的定义体现了自变量的变化关系决定因变量的变化关系。

分为两个层次，一是在哪个范围上研究，二是符号语言是怎么样的。

今后学习奇偶性，周期性都是这样定义的。

注：(1)单调函数是对整个定义域而言的，单调性是一个局部概念，是针对定义域内某个区间而言的，通常谈到单调性都会注明单调区间。

(2)单调区间能写闭区间的最好写闭区间，若在区间的端点处没有定义，则写成开区间。

比如，反比例函数不是单调函数，但是它在(-∞,0)上是减函数，在(0，+∞)上也是减函数。

我们把(-∞，0)和(0，+∞)叫的单调减区间。

若表示为(-∞,0)∪(0,+∞)是不对的。

如右图所示的函数，单调区间是R，它是单调函数。

若去掉点(0，1)，则单调区间是(-∞，0)∪(0，+∞)。

例1．证明函数在[0，+∞）上是增函数。

分析：判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手。

证明：设x1≥0，x2＞0，且x1＜x2，则，∵0≤x1<x2, ∴x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2)由定义知，在[0，+∞)上是增函数。

（一）函数的单调性1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的增函数，D 叫f(x)单调递增区间．当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间D 上的减函数，D 叫f(x)单调递减区间．2．函数单调性的判断方法：（1）从直观上看，函数图象从左向右看，在某个区间上，图象是上升的，则此函数是增函数，若图象是下降的，则此函数是减函数。

（2）一般地，设函数)(x f y =的定义域为I ．如果对于属于定义域I 某个区间A 上的任意两个自变量的值1x ，2x ，且21x x <，则021<-x x（1）()()则0-21<x f x f ()()()1212120f x f x x x x x -⇔>≠-)(x f 即在区间A 上是增函数； （2）()()则21x f x f >()()()1212120f x f x x x x x -⇔<≠-)(x f 即在区间A 上是减函数． 如果函数)(x f y =在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）的单调性，这一区间叫做)(x f y =的单调区间．单调区间是函数定义域的子区间，因此函数单调性是函数的局部性质，应以定义域为前提；必须指明在某个区间上函数是增函数或减函数（3）复合函数单调性判断方法：设()()[][],,,,,y f u u g x x a b u m n ==∈∈若外两函数的单调性相同，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 单调递增，若外两函数的单调性相反时，则()y f g x =⎡⎤⎣⎦在x 的区间D 单调递减．（同增异减）3．常见结论若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ；若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数)(1x f 在其定义域为减函数．【题型一、单调性的判断】例、写出下列函数的单调区间（1）,b kx y +=（2）x ky =， （3）c bx ax y ++=2．如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【题型二、用定义法证明单调性】例、定义法证明函数y=2x+3在),(+∞-∞的单调性.例、判断函数f （x ）＝x x 1+在（0,1）上的单调性．【变式训练1】证明函数12)(++=x x x f 在),1(+∞-上是增函数．【方法技巧】根据函数的定义法来进行判别，记好步骤。

函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性湖南祁阳四中何双桥整理一、函数的单调性 1.单调性的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有 f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的单调增区间；如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有 f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的单调减区间。

2.单调函数与严格单调函数设f(x)为定义在I上的函数，若对任何x1,x2?I，当x1?x2时，总有特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的增函数，(��) f(x1)?f(x2)，则称立时称f(x)为I上的严格单调递增函数。

特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的减函数，(��) f(x1)?f(x2)，则称立时称f(x)为I上的严格单调递减函数。

2.函数单调的充要条件★若f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有：f(x1)?f(x2)?0或（x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0?x1x2★若f(x)为区间I上的单调递减函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有：f(x1)?f(x2)?0或（x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0?x1x23.函数单调性的判断(证明)(1)作差法(定义法) (2)作商法4.复合函数的单调性的判定对于函数y?f(u)和u?g(x)，如果函数u?g(x)在区间(a,b)上具有单调性，当用心爱心专心x??a,b?时u??m,n?，且函数y?f(u)在区间(m,n)上也具有单调性，则复合函数y?f(g(x))在区间?a,b?具有单调性。

5.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数(1)当f(x)和g(x)，若它们的定义域分别为I和J，且I?J??：函数FF2(x)?f(x)?g(x)的f(x)和g(x)具有相同的增减性时，1(x)?f(x)?g(x)、增减性与f(x) (或g(x))相同，F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)(g(x)?0)的增减性g(x)不能确定； (2)当f(x)和g(x)具有相异的增减性时，我们假设f(x)为增函数，g(x)为减函数，那么：①F1(x)?②f(x)?g(x)、F2(x)?f(x)?g(x)的增减性不能确定；f(x)g(x)(g(x)?0)为增函数，F5(x)?(f(x)?0)为g(x)f(x)F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?减函数。

函数的单调性、奇偶性与最大(小)值1．函数的单调性(1)单调函数的定义如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．2．奇函数、偶函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数．图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．3．奇(偶)函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反(填“相同”、“相反”)．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．(3)若函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.4．周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．5．函数的最值1．函数单调性定义的理解(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D 且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(2)函数f (x )＝2x ＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( ) (3)(教材改编)函数f (x )＝1x 在其定义域上是减函数．( )(4)已知f (x )＝x ，g (x )＝－2x ，则y ＝f (x )－g (x )在定义域上是增函数．( ) 2．函数的单调区间与最值(5)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1， ＋∞)．( ) (6)(教材改编)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( ) (7)(2013·北京卷改编)函数y ＝lg|x |的单调递减区间为(0，＋∞)．( ) (8)函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的最小值为0.( ) 3．对奇偶函数的认识及应用(1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( )(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )(3)(教材习题改编)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．( )(4)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(5)(2013·山东卷改编)已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝－2.( )(6)(2014·鹰潭模拟改编)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是[－2,2]．( )4．对函数周期性的理解(7)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )(8)(2013·湖北卷改编)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R 上是周期函数．()考点一确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)判断函数f(x)＝x＋ax(a＞0)在(0，＋∞)上的单调性．(2)(2013·高安中学模拟)求函数y＝log 13(x2－4x＋3)的单调区间．【训练1】试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1,1)上的单调性．考点二利用单调性求参数【例2】若函数f(x)＝ax－1x＋1在(－∞，－1)上是减函数，则a的取值范围是________．【训练2】(1)函数y＝x－5x－a－2在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是()．A．{－3}B．(－∞，3)C．(－∞，－3]D．[－3，＋∞)(2)(2014·贵溪模拟)若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是()．A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1] C．(0,1)D．(0,1]考点三利用函数的单调性求最值【例3】已知f(x)＝x2＋2x＋ax，x∈[1，＋∞)．(1)当a＝12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－2 3.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．考点四函数奇偶性的判断及应用【例1】 (1)判断下列函数的奇偶性： ①f (x )＝x 2－1＋1－x 2；②f (x )＝ln 1－x1＋x.(2)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f (lg 12)＝( )． A ．－1 B ．0 C ．1D ．2【训练1】 (1)(2013·湖南卷)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2， f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )． A ．4 B ．3 C ．2D ．1(2)设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3考点五 函数的单调性与奇偶性【例2】 (1)(2014·山东实验中学诊断)下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是( )．A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝－x C ．f (x )＝2－x －2xD ．f (x )＝－tan x(2)(2013·江西九校联考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间[0，＋∞)上为增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝0，则不等式f (log 18x )＞0的解集为( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B ．(2，＋∞)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1∪(2，＋∞)【训练2】 (2013·天津卷)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )．A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D ．(0,2]考点六 函数的单调性、奇偶性、周期性【例3】 (经典题)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)【训练3】 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式； (3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 014)．基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．函数f (x )＝1－1x 在[3,4)上( )． A ．有最小值无最大值 B ．有最大值无最小值 C ．既有最大值又有最小值D ．最大值和最小值皆不存在2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，343．(2013·玉山一中模拟)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( )．A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1,0)∪(0,1) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2014·南昌模拟)已知函数y ＝f (x )的图像关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )．A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜b ＜c5．(2013·渭南模拟)下列函数中既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递增的函数是( )． A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1 C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2x6. (2013·咸阳二模)若函数f (x )＝sin x(x ＋a )2是奇函数，则a 的值为( )． A ．0 B ．1 C ．2D ．47. 函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )．A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)二、填空题8．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．9．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.10．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________. 11. (2014·临川二中)f (x )为奇函数，当x ＜0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________. 12. 设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．三、解答题13．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)． (1)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．14. f (x )为R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式．能力提升题组1．(2014·宜春模拟)下列函数中，在[－1,0]上单调递减的是( )． A ．y ＝cos x B ．y ＝－|x －1| C ．y ＝ln2＋x2－xD ．y ＝e x ＋e －x 2．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在 区间(1，＋∞)上一定( )．A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数3. (2013·吉安模拟)已知偶函数f (x )对任意x ∈R 都有f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[－1,0]时f (x )＝2x ，则f (2 013)＝( )．A ．1B ．－1C ．12D ．－123．已知函数f (x )＝x 2＋ax (a ＞0)在(2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是________．。

函数的单调性与奇偶性①增函数的定义：如果函数f(x)在区间（a,b ）上有定义，对于任意的x 1,x 2（a,b ）,当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),那么函数f(x)在区间（a,b ）上严格递增。

即函数f(x)在区间（a,b ）上是增函数。

函数f(x)在区间（a,b ）上严格递增，其图像是上升的。

②减函数的定义：如果函数f(x)在区间（a,b ）上有定义，对于任意的x 1,x 2（a,b ）,当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2),那么函数f(x)在区间（a,b ）上严格递减。

即函数f(x)在区间（a,b ）上是减函数。

函数f(x)在区间（a,b ）上严格递减，其图像是下降的。

注意：（1）函数的单调性离不开区间。

（2）单调函数是指在定义域上单调递增或单调递减的函数例1、用函数单调性的定义证明（1）在上是增函数。

（2）在上是减函数。

【课堂练习】1、证明在上是增函数。

∈∈32)(2++-=x x x f )41,(-∞1)(3+-=x x f ,0)(-∞x x xf 4)(+=),2(+∞2、证明在上是减函数。

例2、指出下列函数的单调区间（先考虑函数的定义域，再确定要研究的区间）（1） （2）例3、求复合函数的单调性（1） （2）X k b 1 . c o m注意某些判断函数单调性的逆向思维例4：已知函数在上是减函数，求实数的取值范围。

问题：如果该函数的递增区间是，怎样求解。

4)(2-=x xx f ,2)2(-11+=x y 123+-=x x y 245x x y --=1||-=x y 122--=ax x y )41,(-∞a )41,(-∞例5、求对勾函数)0k (>+=x k x y 的单调区间，画这些函数的图象。

问题：已知函数在上是增函数，求实数的取值范围。

奇函数、偶函数的定义： 奇函数：如果函数f(x)对于定义域内的任意x 的值，都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。

高一数学函数的单调性与奇偶性【本讲主要内容】一. 本周教学内容：函数的单调性与奇偶性函数单调性概念；增（减）函数的定义及判定方法；函数奇偶性定义及判定方法。

【知识掌握】 【知识点精析】（一）函数的单调性1. 增函数、减函数的定义一般地，对于给定区间上的函数f x ()，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x x 12、，当x x 12<时，都有f x f x ()()12<［或都有f x f x ()()12>］，那么就说f x ()在这个区间上是增函数（或减函数）。

如果函数y f x -()在某个区间上是增函数（或减函数），就说f x ()在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做f x ()的单调区间。

如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。

2. 函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f x ()，函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减。

（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f x ()，如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减。

（3）定量刻画，即定义。

上述三方面是我们研究函数单调性的基本途径。

注：利用导数研究函数单调性更便捷。

（二）函数奇偶性1. 奇函数：对于函数f x ()的定义域内任意一个x ，都有f x f x ()()-=-［或f x f x ()()+-=0］，则称f x ()为奇函数。

2. 偶函数：对于函数f x ()的定义域内任意一个x ，都有f x f x ()()-=［或f x f x ()()--=0］，则称f x ()为偶函数。

3. 奇、偶函数的性质（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。